【文档说明】黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含答案.docx，共(10)页，658.919 KB，由小赞的店铺上传

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哈师大附中2020级高一下期中考试数学试题总分150时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足2zzi−=，则z的虚部是（）A．1−B．1C．i−D．i2．设复数z满足()()231zii−=+，则z=（

）A．12B．1C．22D．323．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，M，N，P分别是1CC，BC，DC的中点，则下列说法错误的是（）A．1//MPABB．//AO平面MNPC．MN⊥平面11ABCDD．

MN与1AD是异面直线4．设向量()1,2a=r，(),1bm=−r，且()aba+⊥rrr，则实数m=（）A．3−B．32C．2−D．32−5．已知平面l=，m是内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是（）A．若//

m，则//mlB．若//ml，则//mC．若m⊥，则ml⊥D．若ml⊥，则m⊥6．已知ABC△中，π3A=，2AB=，若满足上述条件的三角形有两个，则BC的范围是（）A．(3,2B．()3,2C．()2,+D．()3,+7．一个正方体的展开图如图所示，A、B、

C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中，直线AB与CD所成角的大小为（）A．π2B．2π3C．π3D．π48．函数()()()sin0,π0,fxAxxR=+−的部分图象如图所示，则()fx

的解析式为（）A．()π34sinπ84fxx=−B．()π14sinπ84fxx=+C．()π14sinπ84fxx=−−D．()π34sinπ84fxx=−−二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符

合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分．9．设z为复数，则下列命题中正确的是（）A．22zz=B．2zzz=C．若1zi=−−，则3πarg4z=D．若11z−=，则02z10．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是

（）A．圆柱的表面积为26πRB．圆锥的表面积为23πRC．圆锥的表面积与球面面积相等D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:211．设向量()1,1a=−r，()0,2b=r，则（）A．()//aba−rrrB．2ab=rrC．与向量ar方向相同的

单位向量的坐标为22,22−D．向量br在向量ar上的投影向量坐标为()1,1−12．在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a=，sin2sinBC=，2AC=，下列四个命题中正确的是（）A．ABC

△为直角三角形B．ABC△的面积为233ABCS=△C．3cos2C=D．ABC△的周长为223+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．欧拉公式cossinixexix=+（i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将

指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，则复数8π3ie在复平面内对应的点所在的象限为第______象限．14．若ABC△的内角A，B，C所对的边a，b，c满足()224abc+−=，且60C=，则ab的值为______．15．如图

，在四面体ABCD中作截面PQR，其中14ARAD=uuuruuur，13APAC=uuuruuur，12AQAB=uuuruuur，则:APQRDBCPQVV−−=______．16．在长方体1111ABCDABCD−中，1ABAD==，12AA=，P是线段1BC上的一动点，则1AP与1AB所

成角的最大值为______；圆锥的高为2，顶点位于上底面中心，底面内切与于长方体底面ABCD，则该圆锥的侧面积为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1

）如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M，N是棱11AB，11AD的中点，在图中画出过底面ABCD中的心O且与平面AMN平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为：______；（2）作出平面PQR与四棱锥ABCDE的截面，截面多边

形的边数为______．18．（12分）2019年10月1日，在庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵中，有我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，展实力，壮军威。在一次飞行模拟训练中，

地面塔台观测到一架直升机以722/kmh的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上，仰角为30°，求直升机飞行的高度为多少千米．（结果保留根号）19．（12分）如图所示，在三棱柱111ABCABC−中，侧棱1AA

⊥底面ABC，ABBC⊥，D为AC的中点，12AAAB==，3BC=．（1）求证：1//AB平面1BCD；（2）求证：1AB⊥平面1ABC；（3）求异面直线1AB与BD所成角的余弦值．20．（12分）已知在ABC△中，()23sin12sin2

CAB+=+．（1）求角C的大小；（2）若2133CDCACB=+uuuruuruur，且2CD=，求ABC△面积的最大值．21．（12分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，()2222223tan0acbCabc+−+=

+−．（1）求角B的大小；（2）若点D为CB边延长线上一点，且3CDBC=，2c=，ABD△的面积为33−，求CAD的余弦值．22．（12分）如图所示，在直四棱柱1111BCDEBCDE−中，底面BCDE为菱形，A是棱11BE的中点，且ABAEBE

==，O，F分别为BE，DE的中点．（1）求证：CEAF⊥；（2）在棱AC上是否存在点P，使得//BP平面AOF？若存在，请找出点P的位置，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题题号123456789101112答案ABDADBCA

BDADBCDABD二、填空题13．二14．4315．1:2016．π2、17π4三、解答题17．（10分）（1）周长为3225+（2）五边形18（12分）解：在AOB△中，作OEAB⊥，则30OAB

=，135AOB=，625AB=由正弦定理得：sinsinABOBAOBOAB=所以，65OB=在直角三角形OBD中，2tantan3035BDDOBBDOBOB===．所以，直升机飞行的高度为235千米．19．（

12分）（1）证明：连接1BC，11BCBCO=，连接OD，则O是1BC的中点11111////ODABODBCDABABBCD平面平面平面1BCD（2）证明：11BBABCBBBCBCABC⊥⊥平面

平面11BBBCABBCBCABBBB⊥⊥⊥=平面11ABBA111111BCABBAABBCABABBA⊥⊥平面平面11111111ABBCABABABBCABBBCABCABABC⊥⊥⊥=平

面平面平面1ABC（3）由（1）可知ODB为异面直线BD与1AB所成的角或补角又1122ODAB==，132BDOB==在OBD△中，由余弦定理得：22226cos213ODBDOBODBODBD+−==所以，异面直线BD与1AB所成的角的余弦值

为2613．20（12分）（1）解：()23sin12sin3sin2cos2CABCC+=+=−所以，π2sin26C+=因为，π0,6C，则ππ7π,666C+所以，ππ

62C+=，即：π3C=．（2）由32CDCACB=+uuuruuruur两边平方得，222944CDCACBCACB=++uuuruuruuruuruur即：2236426ababab=++所以，6ab又因为133sin3242ABCSabCa

b==△当且仅当2ab=时，ABCS△的最大值为332．（2）另解：由2133CDCACB=+uuuruuruur可知，点D是靠近点A的三等分点过点A作//AEBC，交CD的延长线于点E，则3CE=，2aAE=，在ACE△中，由余弦定理得：2222cosCEACADACADC

AE=+−，即：223642abab=++，所以，22364266abababab=++，所以，6ab，又因为133sin3242ABCSabCab==△，当且仅当2ab=时，ABCS△的最大值为332．21．（12分）（1）解：因为()2222223tanacbCabc+−=−

+−，又余弦定理得sin23cos2coscosCacBabCC−=所以，tan3B=−，即：2π3B=（2）由已知1sin332ABDSBABDABD==−△，则()231BD=−，31BC=−()2222cos631ADABBDABBDA

BDAD=+−=−2222cos6ACABBCABBCABCAC=+−=所以，2221cos22ACADCDCADACAD+−==．22．（12分）（1）证明：连接BD，交EC于点M，交OF于点N，连接AN11//AOBBBBBCDEAOCEAOBCDE

CEBCDE⊥⊥⊥平面平面平面//BDCECEOFOFBD⊥⊥AOCEOFCECEAOOFOAOAOFOFAOF⊥⊥⊥=平面平面平面AOFCEAOFAFCEAFAOF⊥⊥平面平面（2）过点M，作

//PMAN，交AC于点P，连接BP////OFBDOFAOFBDBDAOF平面平面平面AOF////PMANANAOFPMPMAOF平面平面平面AOF////BDAOFPMAOFBD

PMM=平面平面平面//AOF平面BPM////AOFBPMBPBPBPM平面平面平面平面AOF所以，23CMCPCNCA==，点P靠近点A的三等分点处．