【文档说明】上海市实验学校2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 含答案.doc，共(10)页，1.134 MB，由小赞的店铺上传

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上海市实验学校2020-2021学年度第二学期期中考试高一年级数学试卷一、填空题（本大题满分40分,共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．终边在x轴上的角的全体用集合表示是.2．已知扇形的弧长和半径

都是2，则扇形的面积是.3．已知角的终边落在函数3yx=−的图象上，则cos2=．4．sin3cosxx−可以写成()2sinx+的形式，其中02，则=.5．在ABC中，已知4,5,6abc===，则角A的正弦值为．6．已知tan2=.则21sin

2cos+的值为．7．已知函数()sinyAx=+，其中00πA，，.在一个周期内，当π12x=时，函数取得最大值2；当7π12x=时，函数取得最小值2−.该函数的解析式为.8．已知函数22342sinsin21cosxxyx

−−=+既存在最大值M，又存在最小值m，则Mm+的值为．9．如图所示，在RtABC中，=90C，AC=6，BC=8，D为AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE，交点为F，若=45BFE，则CE=．10．若,x−，则函数()s

in4cos5xfxx=+的值域为．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。）11.如果π3−=，那么sinsin−的值恒等于（）（A）sin2+.（

B）sin2−.（C）cos2+.（D）cos2−.12．sin22sinxx=的一个充要条件是（）（A）sin0x=.（B）cos0x=.（C）sin1x=.（D）cos1x=.13.函数sinyx=（）（A）是奇函数，也是周期函数.（B

）是奇函数，不是周期函数.（C）是偶函数，也是周期函数.（D）是偶函数，不是周期函数.14．设函数()()sinfxx=+，其中0,,43，已知()fx在区间02，内有且只有4个零点，则下列的值中满足条件的是（）（A）136=（B）116

=（C）74=(D)34=三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)15、（本题满分10分）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45.①求sinα的值

；②若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值．16、（本题满分10分）求函数()()22sincosyxx=+−的定义域、值域及单调增区间.17、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）某体

育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径是80m．矩形AGHM就是拟建的健身室，其中GM、分别在AB和AD上，H在EF上。设矩形AGHM的面积为S，HCF=，（1）

将S表示为的函数；（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点H在EF的何处？18、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.(1)求角B的

大小；(2)求2cosA＋cosC的最大值；(3)若b＝4，求△ABC面积的最大值与周长的范围．四、附加题19、（本题满分10分）设x≥y≥z≥12，且x+y+z=2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小

值．20、（本题满分10分）求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，2]，恒有（x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥18．上海市实验学校2020-2021学年度高一第二学期期中数学参考答案一、填空题（本大题满

分40分,共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1．终边在x轴上的角的全体用集合表示是.πkk=Z，2．已知扇形的弧长和半径都是2，则扇形的面积是.23．已知角的终边落在函数3yx=−的

图象上，则cos2=．45−4．sin3cosxx−可以写成()2sinx+的形式，其中02，则=.5π35．在ABC中，已知4,5,6abc===，则角A的正弦值为．746．已知tan2=.则21sin2c

os+的值为．解：因为22tan224sin21451tan===++，并且22sec1tan145=+=+=，所以229sin2sec5+=.7．已知函数()sinyAx=+，其中00πA，，.在一个周期

内，当π12x=时，函数取得最大值2；当7π12x=时，函数取得最小值2−.该函数的解析式为.π2sin23yx=+8．已知函数22342sinsin21cosxxyx−−=+既存在最大值

M，又存在最小值m，则Mm+的值为49．如图所示，在RtABC中，=90C，AC=6，BC=8，D为AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE，交点为F，若=45BFE，则CE=．10．若,x−，则函数()sin4cos5xfxx=+的值域为．解：

()sin4cos5xfxx=+是奇函数，则求出最大值即可知最小值令tan2xk=，则()()242222sin214cos51094151kxkkfxxkkkk+===+++−++,,222xx

−−，当0,22x时，k>0，此时()4222222221=29109910210kfxkkkkkk==+++++从而()12fx−，所以函数()sin4cos5xfxx=+的值域为1122

−，二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分。）11.如果π3−=，那么sinsin−的值恒等于（C）（A）sin2+.（B）sin

2−.（C）cos2+.（D）cos2−.12．sin22sinxx=的一个充要条件是（A）（A）sin0x=.（B）cos0x=.（C）sin1x=.（D）cos1x=.13.函数sinyx=（D）（A）是奇函数，也是周期函数.（B）是奇函数，不是周期函数.（

C）是偶函数，也是周期函数.（D）是偶函数，不是周期函数.14．设函数()()sinfxx=+，其中0,,43，已知()fx在区间02，内有且只有4个零点，则下列的值中满足条件的是（）A．136=B．116=C．74=D．34=三、解

答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)15．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45.①求sinα的值；②若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值．解：①由角α的终边过点P－35，

－45得sinα＝－45，②由角α的终边过点P－35，－45得cosα＝－35，由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cos

β＝－5665或cosβ＝1665.16．求函数()()22sincosyxx=+−的定义域、值域及单调增区间.解：由sin0cos0xx−，，得已知函数的定义域为π2π2ππ2kkk++Z，，.已知函数可化为ππ2sin2π2ππ42yxxk

kk=−++Z，，，.因为π2π2ππ2xkkk++Z，，，所以ππ3π2π2π444xkkk−++Z，，.此时，π2sin142x−，.所以，已知函数的值域为12，.单调增区间为：π3

π2π2π24kkk++Z，，17．某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径是80m．矩形AGHM就是拟建的健身室，其中GM、分别在AB和AD上，H在EF上。

设矩形AGHM的面积为S，HCF=，（1）将S表示为的函数；（5分）（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点H在EF的何处？解：（1）延长GH交CD于P，HPCD⊥,80sin,80cos,HPCP==10080sin,10080cos,HGH

M=−=−()()10080sin10080cos,0,2SHGHM==−−整理得：()4002520sincos16sincos,0,2S=−++（2）设sincos

2sin1,24t=+=+，则21sincos2t−=，()()222540025208140082017320018004Sttttt=−+−=−+=−+当1t=时，max2000S=，此时，sinc

os0,sin0cos0,0,2===即或又，02=或当H在EF的端点E或F处时，健身室面积最大，最大面积为2000平方米．18．在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.(1)求角B的大小；(2)求2cosA＋cosC

的最大值；(3)若b＝4，求△ABC面积的最大值与周长的范围．【解】(1)由余弦定理及题设得cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22.又0<B<π，所以B＝π4.(2)由(1)知A＋C＝3π4，则2cosA＋cosC＝2cosA＋cos

3π4－A＝2cosA－22cosA＋22sinA＝22cosA＋22sinA＝cosA－π4.因为0<A<3π4，所以当A＝π4时，2cosA＋cosC取得最大值1.(3)由题意知a2＋c2－2ac＝16，由基本不等式得16≥(2－2)ac.所以ac≤162－2＝8(2＋2)，当且

仅当a＝c＝24＋22时取等号．所以S△ABC＝12acsinB≤12×8(2＋2)×22＝4(2＋1)，即当a＝c＝24＋22时，S△ABC的最大值为4(2＋1)．又由a2＋c2－2ac＝16，得(a＋c)2－(2＋2)ac＝16.由

均值不等式a＋c2≥ac知ac≤14(a＋c)2，当且仅当a＝c时取等号，所以（a＋c）2－162＋2≤14(a＋c)2，所以(a＋c)2≤32(2＋2)，所以a＋c≤44＋22，当且仅当a＝c＝24＋22时，取等号．又a＋c>b＝

4，所以a＋b＋c>2b，所以8<a＋b＋c≤4(4＋22＋1)，即周长的范围为(8，44＋22＋4]．四、附加题：19．设x≥y≥z≥12，且x+y+z=2，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．解：由于x≥y≥z≥12，故6≤x≤2－12×2=3．∴cosxsinyc

osz=cosx×12[sin(y+z)+sin(y－z)]=12cos2x+12cosxsin(y－z)≥12cos23=18．即最小值．(由于6≤x≤3，y≥z，故cosxsin(y－z)≥0)，当y=z=

12，x=3时，cosxsinycosz=18．∵cosxsinycosz=cosz×12[sin(x+y)－sin(x－y)]=12cos2z－12coszsin(x－y)．由于sin(x－y)≥0，cosz>0，故cosxsinycosz≤12cos2z=12cos212=1

2(1+cos6)=2+38．当x=y=512，z=12时取得最大值．∴最大值2+38，最小值18．20．求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，2]，恒有（x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥18

．解：令sinθ+cosθ=u，则2sinθcosθ=u2－1，当θ∈[0，2]时，u∈[1，2]．并记f(x)=(x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2．∴f(x)=(x+2+u2)2+(x+au)2=2x2+2(

u2+au+2)x+(u2+2)2+(au)2=2[x+12(u2+au+2)]2+12(u2－au+2)2．∴x=－12(u2+au+2)时，f(x)取得最小值12(u2－au+2)2．∴u2－au+2≥12，或u2－au+2≤－12．∴a≤u+32u，或a≥u+52u．当u∈[1，2]时，u+

32u∈[6，742]；u+52u∈[942，72]．∴a≤6或a≥72．