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3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程A级必备知识基础练1.(多选题)如果方程𝑥2𝑚+2−𝑦2𝑚+1=1表示双曲线,则m的取值可能是()A.-4B.-2C.-1D.732.(多选题)双曲线𝑥225−𝑦29

=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为()A.17B.7C.22D.23.若ax2+by2=b(ab<0),则这个曲线是()A.双曲线,焦点在x轴上B.双曲线,焦点在y轴上C.椭圆,焦点在x轴上D.椭圆,焦点在y轴上4.如图,已知双曲线的方程为𝑥2𝑎

2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为()A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m

5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在()A.一个椭圆上B.一个圆上C.一条抛物线上D.双曲线的一支上6.经过点P(-3,2√7)和Q(-6√2,-7),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为.7.已知点F1,F2分

别是双曲线𝑥29−𝑦216=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32.则△F1PF2的面积为.8.若k是实数,试讨论方程kx2+2y2-8=0表示何种曲线.B级关键能力提升练9.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:

𝑥2𝑎2-y2=1(a>0)过点√15,-√63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.3B.6C.9D.1210.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线

与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆11.已知双曲线𝑥216−𝑦29=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,△F1PF2的内切圆圆心为M,若𝑆△𝐹1𝑃𝑀=𝑆△𝐹2𝑃𝑀+8,则𝑆△𝐹1𝑀𝐹2=()A.2√7B

.6C.8D.1012.(多选题)已知方程𝑥24-𝑡+𝑦2𝑡-1=1表示的曲线为C,下列说法正确的有()A.当1<t<4时,曲线C为椭圆B.当t>4或t<1时,曲线C为双曲线C.若曲线C为焦点在x

轴上的椭圆,则1<t<52D.若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则t>413.(多选题)已知点P在双曲线C:𝑥216−𝑦29=1上,F1,F2是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有()A.点P到x轴的距离为203B.|PF1|+|

PF2|=503C.△PF1F2为钝角三角形D.∠F1PF2=π314.设P是双曲线𝑥29−𝑦216=1上一点,M,N分别是两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为.15.一动圆过定点A(-4

,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为.16.已知双曲线𝑥24−𝑦29=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积.(2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=6

0°,△F1MF2的面积又是多少?C级学科素养创新练17.某地发生里氏8.0级地震,为了援救灾民,某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品,要把这批药品沿道路PA,PB送到矩形灾民区ABCD中去,若PA=100km,PB=150km,

BC=60km,∠APB=60°,试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线?并求出其方程.3.2.1双曲线及其标准方程

1.AD要使方程表示双曲线,需(m+2)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1.由选项知AD符合.2.CD设双曲线𝑥225−𝑦29=1的左、右焦点分别为F1,F2,则a=5,b=3,c=√34,设P为双曲线上一点,不妨令|PF1|=12(12>a+c=5+

√34),∴点P可能在左支,也可能在右支,由||PF1|-|PF2||=2a=10,得|12-|PF2||=10,∴|PF2|=22或2.∴点P到另一个焦点的距离是22或2.3.B原方程可化为𝑥2𝑏𝑎+y2=1,因为ab<0,

所以𝑏𝑎<0,所以方程表示的曲线是双曲线,且焦点在y轴上.4.B由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+

2m.5.D由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.6

.𝑦225−𝑥275=1设双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0),则{9𝐴-28𝐵=1,72𝐴-49𝐵=1,解得A=-175,B=-125,故双曲线的标准方程为𝑦225−𝑥275=1.7.16因为P是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边

平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2-|�

�1𝐹2|22|𝑃𝐹1|·|𝑃𝐹2|=100-1002|𝑃𝐹1|·|𝑃𝐹2|=0,所以∠F1PF2=90°,所以𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=12|PF1|·|PF2|=12×32=16.8.解当k<0时,曲线方程化

为𝑦24−𝑥2-8𝑘=1,表示焦点在y轴的双曲线;当k=0时,曲线方程化为2y2-8=0,表示两条垂直于y轴的直线;当0<k<2时,曲线方程化为𝑥28𝑘+𝑦24=1,表示焦点在x轴的椭圆;当k=2时,曲线方程化为x2+y2=4,表示一个圆;当k>2时,曲线方程化为𝑦24+𝑥28

𝑘=1,表示焦点在y轴的椭圆.9.C由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:𝑥2𝑎2-y2=1(a>0)过点√15,-√63,可得15𝑎2−69=1,解得a=3,b=1,c=√10,a+c>3,点P在双曲线C上,若|P

F1|=3,可得P在双曲线的左支上,则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C.10.B如图所示,连接ON,由题意可得ON=1,且N为MF1的中点,∴MF2=2.∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线

F2M相交于点P.由垂直平分线的性质可得PM=PF1.∴|PF2-PF1|=|PF2-PM|=MF2=2<F1F2.由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.11.D由双曲线𝑥216−𝑦29=1得a

=4,b=3,可得c=√𝑎2+𝑏2=5.设△F1PF2的内切圆的半径为r,由𝑆△𝐹1𝑃𝑀=𝑆△𝐹2𝑃𝑀+8,可得12r|PF1|=12r|PF2|+8,即12r(|PF1|-|PF2|)=8.易得|PF1|-|PF2|>0,由

双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,则有4r=8,解得r=2,则𝑆△𝐹1𝑀𝐹2=12r|F1F2|=10.12.BCDA错误,当t=52时,曲线C为圆;B正确,若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t<1或t>4;C正确,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1

>0,∴1<t<52;D正确,若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则{4-𝑡<0,𝑡-1>0,∴t>4.13.BC因为双曲线C:𝑥216−𝑦29=1,所以c=√16+9=5.又因为𝑆△𝑃𝐹1𝐹2=

12·2c|yP|=12·10·|yP|=20,所以|yP|=4,所以选项A错误;将|yP|=4代入C:𝑥216−𝑦29=1得𝑥216−429=1,即|xP|=203.由对称性,不妨取P的坐标为(203,4),可知|P

F2|=√(203-5)2+42=133.由双曲线定义可知|PF1|=|PF2|+2a=133+8=373,所以|PF1|+|PF2|=133+373=503,所以选项B正确;对于点P,在△PF1F2中,|PF1|=373>2c=10>|PF2|=133,则𝑘𝑃𝐹2=4

-0203-5=125>0,则∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,选项C正确;由余弦定理得cos∠F1PF2=|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝐹2|2-|𝐹1𝐹2|22|𝑃𝐹1|·|𝑃𝐹2|=319481≠12,∴∠F1PF2≠π3,所以

选项D错误.14.9如图所示,设双曲线𝑥29−𝑦216=1的左、右焦点分别为F1,F2,则点F1(-5,0)为圆(x+5)2+y2=1的圆心,点F2(5,0)为圆(x-5)2+y2=4的圆心,当|PM|-|PN|取最大值时,点P在该双曲线的左支上,由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6

.由圆的几何性质得|PM|≤|PF2|+2,|PN|≥|PF1|-1,所以|PM|-|PN|≤|PF2|-|PF1|+3=6+3=9.15.𝑥24−𝑦212=1(x≤-2)设动圆圆心为点P,则|PB|=|PA|+4,即|PB|-|PA|=4<|AB|

=8.∴点P的轨迹是以A(-4,0),B(4,0)为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支.又2c=8,∴c=4.∴b2=c2-a2=12.∴动圆圆心的轨迹方程为𝑥24−𝑦212=1(x≤-2).16.解设|MF1|=

r1,|MF2|=r2(不妨设r1>r2),θ=∠F1MF2,因为𝑆△𝐹1𝑀𝐹2=12r1r2sinθ,θ已知,所以只需求r1r2即可.(1)当θ=90°时,𝑆△𝐹1𝑀𝐹2=12r1r2sinθ=12r1r2.由双曲线方程知a=2,b=3,c=√13,由双曲线的定义,

得r1-r2=2a=4,两边平方,得𝑟12+𝑟22-2r1r2=16.又𝑟12+𝑟22=|F1F2|2,即|F1F2|2-4𝑆△𝐹1𝑀𝐹2=16,也即52-16=4𝑆△𝐹1𝑀𝐹2,求得𝑆△𝐹

1𝑀𝐹2=9.(2)若∠F1MF2=120°,则在△F1MF2中,|F1F2|2=𝑟12+𝑟22-2r1r2cos120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以r1r2=12,求得𝑆△𝐹1𝑀

𝐹2=12r1r2sin120°=3√3.同理,可求得当∠F1MF2=60°时,𝑆△𝐹1𝑀𝐹2=9√3.17.解矩形灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样远近,依题意知,界线是第

三类点的轨迹.设M为界线上的任一点,则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50,∴界线是以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分,如图,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,设所求双曲线

方程的标准形式为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),∵a=25,2c=|AB|=√1002+1502-2×100×150×cos60°=50√7,∴c=25√7,b2=c2-a2=3750,故双曲线的标准方程为

𝑥2625−𝑦23750=1,