【文档说明】四川省泸县泸州市第四中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.810 MB，由小赞的店铺上传

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2019年秋四川省泸县第四中学高三期末考试文科数学试题第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合{|1}Axyx==−，{|12}Bxx

=−，则AB=（）A.[1,2]−B.[1,2]C.(1,2]D.[1,1]{2}−【答案】B【解析】由{|1}{|1}Axyxxx==−=得，[1,)A=+，又因为{|12}Bxx=−，[1,2]AB=，故选B.2.“,0ab

c”是“acbc”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由不等式的性质知“,0abcacbc”是真命题，但反过来，若acbc，不能得出,0abc，如(5)(1)(2)(1)−−−−

，但52−−，因此选A.考点：充分必要条件.3.某家庭去年收入的各种用途占比统计如下面的折线图，今年收入的各种用途占比统计如下面的条形图.已知今年的“旅行”费用比去年增加了3500元，则该家庭今年“衣食住”费用比去年增加了

（）A.2000元B.2500元C.3000元D.3500元【答案】B【解析】【分析】根据折线图与条形图可得35%35%3500yx−=，即10000yx−=，从而得到“衣食住”费用的变化情况.【详解】设

该家庭去年的收入为x元，今年的收入为y元，由题意得，35%35%3500yx−=，解得10000yx−=，今年“衣食住”费用比去年多25%25%2500yx−=元，故选B.【点睛】本题考查对条形图和折线图的认识和应用，考查分

析问题解决问题的能力．4.函数()cossin,,=−−fxxxxx的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用2f的符号进行排除即可．【详解】()()()cossincossinfxxxxxxxfx−=−+=−−=−，

函数()fx是奇函数，图象关于原点对称，排除,ACcossin102222f=−=−，排除B，故选D．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采

用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0xxxx+−→+→−→→等.5.在ABC中，BC边上的中线AD的长为3，26BC=，则ABAC=（）A.1−B.1C.2

D.3【答案】D【解析】由题意得22()()()()()(69)3ABACDBDADCDADBDADBDADBDA=−−=−−−=−−=−−=【点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的

基底，再把其它向量都用基底表示．6.已知角的终边经过点()1,3P−，则sin2=A.32B.32−C.12−D.34−【答案】B【解析】【分析】先求出点P到原点的距离，再用三角函数的定义依次算出正、余弦值，利用二倍角公式计算结果即可．

【详解】角的终边经过点p（﹣1，3），其到原点的距离r13=+=2故cos12=−，sin32=∴sin22=sincos1332222−=−=（）.故选B．【点睛】本题考查了任意角三

角函数的定义，考查了二倍角公式，属于基础题．7.若a=2，b=2，且（ab−）a⊥，则a与b的夹角是A.6B.4C.3D.512【答案】B【解析】2()202abaaababab−⊥=−=−==

,22cos2||22ababab===,所以a与b的夹角是4.8.在数列na中，112,2nnnaaa+=−=−，则2017a的值为（）A.20162B.20182C.20172

−D.20172【答案】C【解析】2112132122,2,,2nnnnnnaaaaaaaa−+−=−=−=−=−，以上等式相加得1121231211(12)(222)212nnnnnnaaaaaaaa−−−−+++=

+++−+++=−=−−，201720172a=−．故选C．9.已知函数()sincos,()fxxxgx=−为()fx的导函数，则下列结论中正确的是()A.函数()fx的值域与()gx的值域不同B.存在0x，使得函数()fx和g(

)x都在0x处取得最值C.把函数()fx的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数()gx的图象D.函数()fx和g()x在区间π(0,)2上都是增函数【答案】C【解析】【分析】根据辅助角公式化简可得f

（x）2=sin（x4−），求导化简可得g（x）2=sin（x4+），结合三角形的函数的图象和性质即可判断【详解】()sincos2sin4fxxxx=−=−，值域为：［－2，2］，()()'co

ssin2sin4gxfxxxx==+=+，值域为：［－2，2］，两函数的值域相同，所以，A错误；B选项，不存在x0，使得函数f（x）和g（x）都在x0处取得极值点，B错误；C选项，()fx的图像向右平移2个单位：()2sin2

4hxx=+−与()gx相同，C正确；求出单调递增区间可知，()gx在区间π0,2上不是增函数，D错误．故选C【点睛】本题考查了导数的应用和三角函数的图象和性质，属于中档题.10.己知点(1,0)A−，(1,0)B分别为双曲线2222:1(0,0)xyCa

bab−=的左、右顶点，点M在双曲线C上，若ABM是顶角为120的等腰三角形，则双曲线C的方程为A.2214yx−=B.2213yx−=C.2212yx−=D.221xy−=【答案】D【解析】分析：由条件可得1a=，不妨设点M在双曲线的右支上，由题意可得等腰△ABM中

，120ABM=且2ABBM==，由此可得点M的坐标，然后根据点M在双曲线上可得1b=，故可得曲线方程．详解：由题意得1a=，故双曲线的方程为2221(0)yxbb−=．设点M在双曲线的右支上且在第一象限，则在等腰△ABM中，有120ABM=且2ABBM==，∴点M的

横坐标为12cos602Mx=+=，纵坐标为2sin603My==，∴点M的坐标为(2,3)．又点(2,3)在双曲线上，∴222(3)21b−=，解得21b=，∴双曲线的方程为221xy−=．故选D．点睛：对于圆锥曲线中的特殊

几何图形的问题，解题时要根据题意将几何图形的性质转化为曲线中的有关系数的问题处理，如根据等腰三角形可得线段相等、底边上的高与底边垂直等．11.定义在R上的函数()fx满足(3)(3)fxfx+=−，当31x−−时2()(2)fxx=−+，当13x−时()fxx=，则(1)(2)

(3)(2019)ffff++++=（）A.335B.338C.339D.340【答案】B【解析】【分析】根据函数的周期性，将函数值进行转化即可．【详解】解：(3)(3)fxfx+=−，(6)()fxfx+=

()fx为以6为周期的周期函数.当31x−−„时，2()(2)fxx=−+当13x−„时，()fxx=，()11f=，()22f=，()3(3)1ff=−=−，()4(2)0ff=−=，()5(1)1ff=−=−，()6(0)0ff

==，()()()()()()1234561ffffff+++++=，()()()123(2019)ffff++++()()()336123fff=+++338=．故选B．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性

，进行转化是解决本题的关键．12.椭圆与双曲线共焦点1F、2F，它们的交点P对两公共焦点1F、2F的张角为122FPF=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e、2e，则（）A.222212cossin1ee+=B.222212sincos1ee+=C.2212221c

ossinee+=D.2212221sincosee+=【答案】B【解析】【分析】设椭圆的长轴长为12a，双曲线的实轴长为22a，并设1PFm=，2PFn=，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出

1a、2a关于c的等式，从而可得出1e、2e的关系式.【详解】设椭圆的长轴长为12a，双曲线的实轴长为22a，并设1PFm=，2PFn=，焦距为2c，在12PFF中，由余弦定理得()2222cos22mnmnc+−=，由椭圆和双曲线的定义得1222mnamna+=

−=，解得1212maanaa=+=−.代入()2222cos22mnmnc+−=，得()()()()222121212122cos24aaaaaaaac++−−+−=，即()222221221cos22aaaac++−=，()()222121cos21cos22aac

−++=，即22222122sin2cos2aac+=，22221222sincos1aacc+=，因此，222212sincos1ee+=.故选B.【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求

解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知实数,xy满足约束条件222020xxyxy−+++，则3xzy=−+的最大值为_____【答案】43【解析】【分析】

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【详解】解：作出实数,xy满足约束条件222020xxyxy−+++，对应的平面区域如图：（阴影部分）由3xzy=−+的得13yxz=+，平移直线13y

xz=+由图象可知当直线13yxz=+经过点A时，直线13yxz=+的截距最大，此时z最大．由2220xxy=−+=解得()2,2A．代入目标函数3xzy=−+得24233z=−+=．即3xzy=−+的最大值为：43．故答案为43．

【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．14.已知()1,4a=，()2,bk=−，且()2ab+∥()2ab−，则实数k=

___________.【答案】8−【解析】【分析】根据向量坐标的运算可得()23,42abk+=−+，()24,8abk−=−，根据向量平行即可求出k.【详解】由己知得，()23,42abk+=−+，()

24,8abk−=−，由于()2ab+∥()2ab−,所以3(8)4(42)kk−−=+得8k=−.故答案为：8−【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量平行的充要条件，属于中档题.15.若正三棱柱111ABCABC−的棱长均相等，则1AB与侧面1

1ACCA所成角的正切值为___.【答案】155【解析】【详解】设棱长为1.取中点,连接,根据正三棱柱的特点,,根据线面角的定义可知,为1AB与侧面11ACCA所成角,在中，.考点：线面角的定义.16.若过点32(,)(0,0,3)Pababbaa−可作曲线32()3fxxx=−的

切线恰有两条，则11ab+的最小值为__________【答案】423+【解析】【分析】求出f（x）的导数，设切点（x0，f（x0）），求得切线的方程，代入切点，整理化简可得2x03﹣（3+3a）x02+6ax0+b

=0（*）由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令u（x）=2x3﹣（3+3a）x2+6ax+b，求出导数，求得极值点，令其中一个极值为0，可得3a+b=1，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值．【详解】f′（x）=3x2﹣6x，过点P（

a，b）作曲线的切线，设切点（x0，f（x0）），则切线方程为：y﹣b=（3x02﹣6x0）（x﹣a），将（x0，f（x0））代入得：f（x0）=（3x02﹣6x0）（x0﹣a）+b=x03﹣3x02，即2x

03﹣（3+3a）x02+6ax0+b=0（*）由条件切线恰有两条，方程（*）恰有两根．令u（x）=2x3﹣（3+3a）x2+6ax+b，u′（x）=6x2﹣（6+6a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1），可得u（1）=0或u（a）=0，即有3a+

b=1或b=a3﹣3a2（舍去），则11ab+=（3a+b）（11ab+）=4+3baab++≥4+23baab=4+23，当且仅当b=3a=312−时，取得等号．即有11ab+的最小值为4+23，故答案为

4+23【点睛】（1）本题考查导数的运用，考查求切线的方程和极值，考查基本不等式的运用（注意乘1法），考查转化思想和化简整理的运算能力．（2）本题的解题关键是常量代换，即把11ab+化成11ab+=（3a+b）（11ab+），再利用基本不等式求函数的最小值.利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定

三相等”，三个条件缺一不可.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.已知数列na的前n项和为nS，12a=，1(2)3nnSna=+．（

1）求na；（2）求证:121111naaa+++．【答案】（1）(1)nann=+；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由()32nnSna=+，得()()11312nnSnan−−=+，两式相减整理得()1121nnannan−+=−，然后利用累乘可得数列的通项

公式．（2）由（1）可得()111nann=+，利用列项求和后利用放缩可得不等式成立．试题解析：（1）∵()32nnSna=+，∴()()11312nnSnan−−=+，两式相减得，()()1321nnnanana−=+−+，∴()1121nnan

nan−+=−，∴123211232111432(1),212321nnnnnnnaaaaannnaannnaaaaannn−−−−−+−===+−−−又12a=，满足上式．∴()1(*)nannnN=

+．（2）由（1）得()111111nannnn==−++．∴()1211111112231naaann+++=++++1111112231nn=−+−++−+1111n=−+．18

.手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；（2）若该单位有职工200人

，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间（150，170]

的概率．【答案】（1）125；（2）112；（3）25【解析】【分析】(1)由频率和为1,列出关于a的方程,然后求出a的值,再利用中位数两边频率相等,求出中位数的值;(2)根据一天行走步数不大于13000频率样本容量,求出频数;(3)根据分层抽样原理抽取6人,利用列举法求出基

本事件数,计算所求的概率值.【详解】解:(1)由题意,得(0.0020.0060.0080.0100.0080.0020.002)201a+++++++=,所以0.012a=.设中位数为110x+,则0.002200.006200.008200.0120.5x+

++=,所以15x=,所以中位数为125.(2)由200(0.002200.006200.008200.01220)112+++=,所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人.(3)在区间(150,170]中有2000.0082032=人,在区间(170,1

90]中有2000.002208=人,在区间(190,210]中有2000.002208=人,按分层抽样抽取6人,则从(150,170]中抽取4人,(170,190]中抽取1人,(190,210

]中抽取1人;设从(150,170]中抽取职工为a、b、c、d,从(170,190]中抽取职工为E,从(190,210]中抽取职工为F,则从6人中抽取2人的情况有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种情

况,它们是等可能的,其中满足两人均来自区间(150,170]的有ab、ac、ad、bc、bd、cd共有6种情况,所以两人均来自区间(150,170]的概率62155P==;【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数和古典概型的

概率计算问题,属基础题.19.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE翻折得到△ASE，且平面ASE⊥平面ABCE．（1）求三棱锥B﹣CES的体积；（2）设线段SC上一点G满足2SGGC=，在BE上是否存在点H使GH∥平面SAE？若存在，求出

EH的长度；若不存在，说明理由．【答案】（1）2515；（2）53，理由见解析【解析】【分析】(1)过S作SOAE⊥于O,从而得到SO⊥平面ABCE,进一步得到BCESSBCEVV−−=,由此求出三棱锥BCES−的体积.(2)连接AC,交BE于H,连接G

H,推导出//GHSA,由此能求出结果.【详解】解:(1)过S作SOAE⊥于O,因为平面ASE⊥平面ABCE交线为AE,所以SO⊥平面ABCE.在RtASE中由1,2SESA==,得25SO=,因为112122BCES==,所以11225133155BCE

SSBCEBCEVVSSO−−====.所以三棱锥BCES−的体积为2515.(2)连接AC,交BE于H,连接GH,因为//CEAB,12CEAB=,所以ABHCEH∽,所以12CHEHCEHAHBAB===

,又因为2SGGC=,所以12CGGS=,所以CGCHGSHA=,所以//GHSA.又因为GH平面SAE,SA平面SAE,所以//GH平面SAE,此时1533EHBE==.【点睛】本题考查了折叠问题、三棱锥体积的求法和线面平行的判定定理,考查了转化思想和

运算求解能力,属中档题.20.已知函数()221xfxxeaxx=+++在1x=−处取得极值.（1）求函数()fx的单调区间；（2）若函数()1yfxm=−−在22−,上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围.【答案】（1）f（x

）在（-∞，-1）递减；在（-1，+∞）递增；（2）212m1,ee−−−.【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于22xxexxm

++=在[-2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xex+x2+2x，求出函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出m的范围即可．试题解析：（1）f'（x）=ex+xex+2ax+2，∵f（x）在

1x=−处取得极值，∴f'（-1）=0，解得a=1．经检验a=1适合，∴f（x）=xex+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（ex+2），当x∈（-∞，-1）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）递减；当x∈（-

1+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）递增．（2）函数y=f（x）-m-1在[-2，2]上恰有两个不同的零点，等价于xex+x2+2x-m=0在[-2，2]上恰有两个不同的实根，等价于xex+x2+2x=m在[-2，2]上恰有两个不同的实根．令g（x）=xex+x2+2x

，∴g'（x）=（x+1）（ex+2），由（1）知g（x）在（-∞，-1）递减；在（-1，+∞）递增．g（x）在[-2，2]上的极小值也是最小值；．又，g（2）=8+2e2＞g（-2），∴，即．点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通

过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.21.已知椭圆1C：22221(0)xyabab+=的左、右焦

点分别为12,FF，右顶点为A，且1C过点3(3,)2B，圆O是以线段12FF为直径的圆，经过点A且倾斜角为030的直线与圆O相切.（1）求椭圆1C及圆O的方程；（2）是否存在直线l，使得直线l与圆O相切，与椭圆1C交于,CD两点，且满足OCODCD+=？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请

说明理由.【答案】（1）椭圆1C的方程为22143xy+=，圆O的方程为221xy+=；（2）不存在【解析】【详解】分析：（1）由题意得01sin302ca==，再根据椭圆过点B得到关于,,abc的方程组，求解后可得椭圆和圆的方

程．（2）先假设存在直线满足条件．（ⅰ）当直线斜率不存在时，可得直线方程为1x=，求得点,CD的坐标后验证可得OCODCD+；（ⅱ）当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，结合根据系数的关系可得0O

COD=不成立．从而可得不存在直线l满足题意．详解：(1)由题意知()1,0Fc−,()2,0Fc,(),0Aa，圆O的方程为222xyc+=由题可知022222303314csinaababc=+=

=+，解得231abc===，所以椭圆1C的方程为22143xy+=，圆O的方程为221xy+=.（2）假设存在直线l满足题意.由OCODCD+=，可得OCODODOC+=−，故0O

COD=．（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为1x=．当直线1lx=方程为时，可得331,,1,,22CD−所以9104OCOD=−．同理可得，当1lx=−方程为时，0OCOD.故直线l不存在．（

ⅱ）当直线l的斜率存在时，设l方程为ykxm=+，因为直线l与圆O相切，所以211mk=+，整理得221mk=+①由22143ykxmxy=++=消去y整理得()2223484120kxkmxm+++−=，设(

)()1122,,,CxyDxy，则122834kmxxk−+=+，212241234mxxk−=+，因为OCODCD+=，所以OCODODOC+=−，则0OCOD=，即12120xxyy+=，所以()()()(

)221212121210xxkxmkxmkxxkmxxm+++=++++=，所以()222224128103434mkmkkmmkk−−+++=++，整理得22712120mk−−=②由①②得21k=−，此时方程无解.故直线l

不存在．由（i）（ii）可知不存在直线l满足题意.点睛：圆锥曲线中存在性问题的求解步骤假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存

在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为

4cos=，将曲线C向左平移2个单位长度得到曲线D.（1）求曲线D的参数方程；（2）已知P为曲线D上的动点，,AB两点的极坐标分别为(3,0),(23,)6，求APBP的最大值.【答案】（1）曲线D的参数方程为2cos2sinxy==（为参数）；（2）13239−.【解析】

试题分析：（1）题设给出的是曲线C的极坐标方程，把它变形为24cos=后利用222,cosxyx==+把后者化为()2224xy−+=，向左平移2个单位长度后得到曲线D，其方程为224xy+=，其参数方程为2cos2sinxy==

（为参数）.（2）,AB两点的直角坐标为()()3,0,3,3，利用（1）算出的曲线D的参数方程计算·1323sin12cosAPBP=−−，利用辅助角公式可以求其最大值.解析：（1）2224cos,4cos,4xyx==+=,则曲线C的

直角坐标方程为()2224xy−+=，易知曲线C为圆心是()2,0，半径为2的圆，从而得到曲线D的直角坐标方程为224xy+=，故曲线D的参数方程为()2cos2sinxy==为参数.（2）,AB两点的直角坐标分别为()()3,033，，，依题意可设()2cos,2s

inP，则()()2cos3,2sin,2cos3,2sin3APBP=−=−−，()()22cos32sin2sin3423sin12cos9APBPaa=−+−=−−+()13239sin

=−+，故APBP的最大值为13239−.23.设函数()21fxxx=+−−.（1）求不等式()1fx的解集；（2）若关于x的不等式()412fxm+−有解，求实数m的取值范围．【答案】(1)(0,)+;(2)34m−.【解析】试题分析：（1）由条件利用绝对值的意义

求得不等式f（x）＞1解集;（2）根据题意可得|x+2|-|x-1|+4≥|1-m|有解，即|x+2|-|x-1|+4的最大值大于或等于|1-m|，再利用绝对值的意义求得|x+2|-|x-1|+4的最大值，从而求得m的范围．试题解析：（1）函数()fx可化为()3,2,{21,21,

3,1,xfxxxx−−=+−当2x−时，()30fx=−，不合题意；当21x−时，()2110fxxx=+，即01x；当1x时，()31fx=，即1x.综上，不等式()1fx的解集为()0,+.（2）关于x的不等式()412

fxm+−有解等价于()()max412fxm+−，由（1）可知()max3fx=，（也可由()()()21213fxxxxx=+−−+−−=，得()max3fx=），即127m−，解得34m−.