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4.4*数学归纳法必备知识基础练1.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+12𝑛-1<n(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k变到n=k+1时,左边增加了()A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项2.(

2021上海交大附中高一下入学检测)用数学归纳法证明“对任意偶数n,an-bn能被a-b整除”时,其第二步论证应该是()A.假设n=k(k为正整数)时命题成立,再证n=k+1时命题也成立B.假设n=2k(k为正整数)时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立C.假设n=k(

k为正整数)时命题成立,再证n=2k+1时命题也成立D.假设n=2k(k为正整数)时命题成立,再证n=2(k+1)时命题也成立3.(2021上海黄浦高二期末)用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(

n∈N*).从n=k(k∈N*)到n=k+1,若设f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),则f(k+1)=()A.f(k)+[2(2k+1)]B.f(k)·[2(2k+1)]C.f(k)+2𝑘+1𝑘+1D.f

(k)·2𝑘+1𝑘+14.(多选题)对于不等式√𝑛2+𝑛≤n+1(n∈N*),某学生的证明过程如下:①当n=1时,√12+1≤1+1,不等式成立.②假设n=k(k∈N*)时,不等式成立,即√𝑘2+𝑘<k+1,

则n=k+1时,√(𝑘+1)2+(𝑘+1)=√𝑘2+3𝑘+2<√(𝑘2+3𝑘+2)+(𝑘+2)=√(𝑘+2)2=(k+1)+1,∴当n=k+1时,不等式成立,关于上述证明过程的说法正确的是()A.证明过程全都正确B.当n=1时的验证正确C.归纳假设正确D.

从n=k到n=k+1的推理不正确5.(多选题)一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则下列说法正确的是()A.该命题对于n=6时命题成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取值无关D.以

上答案都不对6.用数学归纳法证明1-12+13−14+…+12𝑛-1−12𝑛=1𝑛+1+1𝑛+2+…+12𝑛时,第一步应验证的等式是;从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是.7.用数学归纳法证明:12-22+32

-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·𝑛(𝑛+1)2(n∈N*).8.(2021陕西西安铁路一中高二期末)在数列{an}中,a1=12,an+1=3𝑎𝑛𝑎𝑛+3.(1)求出a2,a3并猜想{an}的通项公式;(2)用数学

归纳法证明你的猜想.关键能力提升练9.(2021江西赣州高二期末)用数学归纳法证明不等式1𝑛+1+1𝑛+2+…+1𝑛+𝑛>1314(n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边()A.增加了12(𝑘+1)B

.增加了12𝑘+1+12𝑘+2C.增加了12(𝑘+1)−1𝑘+1D.增加了12𝑘+1+12𝑘+2−1𝑘+110.(2021浙江温州期中)利用数学归纳法证明等式:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=16n(n+1)(n+2)(n∈N*),当n=k时,

左边的和1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,记作Sk,则当n=k+1时左边的和,记作Sk+1,则Sk+1-Sk=()A.1+2+3+…+kB.1+2+3+…+(k-1)C.1+2+3+…+(k+1)D.1+2+3+…+(k-2)

11.(多选题)用数学归纳法证明2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1对任意n≥λ(n,λ∈N*)都成立,则以下满足条件的λ的值为()A.1B.2C.3D.412.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+.

13.是否存在a,b,c使等式(1𝑛)2+(2𝑛)2+(3𝑛)2+…+(𝑛𝑛)2=𝑎𝑛2+𝑏𝑛+𝑐𝑛对一切n∈N*都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.14.用数学归纳法证明:23×45×67×…×2𝑛2𝑛+1<1√𝑛+1(n∈N*

).15.已知数列{fn(x)}满足f1(x)=𝑥√1+𝑥2(x>0),fn+1(x)=f1(fn(x)).(1)求f2(x),f3(x),并猜想{fn(x)}的通项公式;(2)用数学归纳法证明猜想.学科素养创新练16.已知数列{an}满足a1=2,an+1=𝑎𝑛

2-nan+1(n∈N*).(1)求a2,a3,a4,并由此猜想出{an}的一个通项公式并用数学归纳法证明;(2)用数学归纳法证明:当n>1时,1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑛<𝑛2𝑛+2.参考

答案4.4*数学归纳法1.D当n=k时,不等式左边的最后一项为12𝑘-1,而当n=k+1时,最后一项为12𝑘+1-1=12𝑘-1+2𝑘,并且不等式左边和式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加1,故增加了2k项.2.

D根据证明的结论,n为正偶数,故第二步的假设应写成:假设n=2k,k∈N*时命题正确,即当n=2k,k∈N*时,a2k-b2k能被a-b整除,再推证n=2k+2时正确.故选D.3.B由数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从“k”

到“k+1”的证明,左边需增添的一个因式是(2𝑘+1)(2𝑘+2)𝑘+1=2(2k+1),则f(k+1)=f(k)·[2(2k+1)].4.BCDn=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推

理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.5.AB由n=k时命题成立可以推出n=k+2时命题也成立,且n=2时,命题成立,故对所有的正偶数都成立.故选AB.6.1-12=1212𝑘+1−12(𝑘+1)当n=1时,应

当验证的第一个式子是1-12=12,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的式子是12𝑘+1−12(𝑘+1).7.证明①当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0×1×(1+1)2=1,左边=右边,等式成立.②假设n=k(k∈N*)时,等式成立,即12-22+32-42+…

+(-1)k-1k2=(-1)k-1·𝑘(𝑘+1)2.则当n=k+1时,12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1·𝑘(𝑘+1)2+(-1)k(k+1)2=(-1)k(

k+1)·(k+1)-𝑘2=(-1)k·(𝑘+1)[(𝑘+1)+1]2.∴当n=k+1时,等式也成立,根据①②可知,对于任何n∈N*等式成立.8.(1)解由a1=12,an+1=3𝑎𝑛𝑎𝑛+3,得a2=3𝑎1𝑎1+3=3212+3=

37,a3=3𝑎2𝑎2+3=9737+3=924=38.猜想an=3𝑛+5.(2)证明①当n=1时,a1=12=36=31+5,结论成立.②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即ak=3𝑘+5,那么,当n=k+1时,ak+1=3𝑎𝑘𝑎𝑘+3=3·3𝑘+53𝑘+5+3=93�

�+18=3(𝑘+1)+5,结论成立.由①和②可知对任意n∈N*,都有an=3𝑛+5成立.9.D当n=k时,1𝑘+1+1𝑘+2+…+1𝑘+𝑘>1314,当n=k+1时,1𝑘+1+1+1𝑘+1+2+…+1𝑘+𝑘

+1𝑘+𝑘+1+1𝑘+1+𝑘+1>1314,左边增加了12𝑘+1+12𝑘+2−1𝑘+1.10.C依题意,Sk=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,则Sk+1=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+

1)·1,∴Sk+1-Sk=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1).11.CD取n=1,则2𝑛-12𝑛+1=13,𝑛�

�+1=12,2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1不成立;取n=2,则2𝑛-12𝑛+1=35,𝑛𝑛+1=23,2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1不成立;取n=3,则2𝑛-12𝑛+1=79,𝑛𝑛+1

=34,2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1成立;取n=4,则2𝑛-12𝑛+1=1517,𝑛𝑛+1=45,2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1成立.猜想当n≥3时,2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1(n∈N*)成立.证明:当n=3时,2𝑛-12𝑛+1=79,𝑛

𝑛+1=34,2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1成立.设当n=k(k≥3,k∈N*)时,有2𝑘-12𝑘+1>𝑘𝑘+1成立,则当n=k+1时,有2𝑘+1-12𝑘+1+1=3×2𝑘-12𝑘+1+12𝑘-12𝑘+1+3,令t=2𝑘-12𝑘+1,则2𝑘+1-1

2𝑘+1+1=3𝑡+1𝑡+3=3-8𝑡+3,因为t>𝑘𝑘+1,故2𝑘+1-12𝑘+1+1>3-8𝑘𝑘+1+3=4𝑘+14𝑘+3,因为4𝑘+14𝑘+3−𝑘+1𝑘+2=2𝑘-1(4𝑘+3)(𝑘+2)>

0,所以2𝑘+1-12𝑘+1+1>𝑘+1𝑘+2=𝑘+1(𝑘+1)+1,所以当n=k+1时,不等式也成立,由数学归纳法可知2𝑛-12𝑛+1>𝑛𝑛+1对任意的n≥3都成立.故选CD.12.π由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形图形,故f(k+1)=f(k)+π.

13.解取n=1,2,3可得{𝑎+𝑏+𝑐=1,8𝑎+4𝑏+2𝑐=5,27𝑎+9𝑏+3𝑐=14,解得a=13,b=12,c=16.下面用数学归纳法证明(1𝑛)2+(2𝑛)2+(3𝑛)2+…+(𝑛𝑛)2=2𝑛2+3𝑛+16

𝑛=(𝑛+1)(2𝑛+1)6𝑛.即证12+22+…+n2=16n(n+1)(2n+1),①当n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即12+22+…+k2=16k(k+1)(2k+1)成立,则当n=k

+1时,等式左边=12+22+…+k2+(k+1)2=16k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=16[k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2]=16(k+1)(2k2+7k+6)=16(k+1)(k+2)(2k+3),故当n=k+1时等式成立.由数学归纳法

,综合①②当n∈N*等式成立,故存在a=13,b=12,c=16使已知等式成立.14.证明①∵当n=1时,49−12=-118<0,∴49<12,∴23<1√2=1√1+1,即当n=1时,不等式成立.②假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即23×45×67×…×2𝑘2𝑘+1<1√𝑘+1

,则当n=k+1时,23×45×67×…×2𝑘2𝑘+1×2(𝑘+1)2(𝑘+1)+1<1√𝑘+1×2(𝑘+1)2(𝑘+1)+1=2√𝑘+12𝑘+3.∵2√𝑘+12𝑘+32-1√(𝑘+1)+12=4(𝑘+1

)(𝑘+2)-(2𝑘+3)2(2𝑘+3)2(𝑘+2)=-1(2𝑘+3)2(𝑘+2)<0,∴2√𝑘+12𝑘+32<1√(𝑘+1)+12,∴2√𝑘+12𝑘+3<1√(𝑘+1)+1,即当n=k+1时,原不等式也成立.综合①②可知,对于任意n∈N*,23×45×

67×…×2𝑛2𝑛+1<1√𝑛+1成立.15.解(1)f2(x)=f1[f1(x)]=𝑓1(𝑥)√1+𝑓12(𝑥)=𝑥√1+2𝑥2,f3(x)=f1[f2(x)]=𝑓2(𝑥)√1+𝑓22(𝑥)=𝑥√1+3𝑥2.猜想:fn(x)=𝑥√1

+𝑛𝑥2(n∈N*).(2)下面用数学归纳法证明fn(x)=𝑥√1+𝑛𝑥2(n∈N*),①当n=1时,f1(x)=𝑥√1+𝑥2,显然成立.②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即fk(x)=𝑥√1+𝑘𝑥2,则当n=k+1时,fk+1=f1[fk(x)]=𝑥√1+�

�𝑥2√1+(𝑥√1+𝑘𝑥2)2=𝑥√1+(𝑘+1)𝑥2,即对n=k+1时,猜想也成立.结合①②可知,猜想fn(x)=𝑥√1+𝑛𝑥2对一切n∈N*都成立.16.(1)解由a1=2,得a2=𝑎12-a1

+1=3;由a2=3,得a3=𝑎22-2a2+1=4;由a3=4,得a4=𝑎32-3a3+1=5;由此猜想an的一个通项公式为an=n+1.下面证明an=n+1.当n=1时,a2=2=1+1,成立

.假设当n=k(k≥2)时成立,即ak=k+1,那么当n=k+1时,ak+1=𝑎𝑘2-kak+1=(k+1)2-k(k+1)+1=k+2=(k+1)+1,即当n=k+1时也成立.所以an=n+1.(2)证明①当n=2时,1𝑎1+

1𝑎2=12+13=56<222+2=1,不等式成立,②假设当n=k(k∈N*,k≥2)时结论成立,即1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑘<𝑘2𝑘+2,当n=k+1时,1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑘+1𝑎𝑘+1<𝑘2𝑘+2+1𝑎𝑘+1=𝑘2

𝑘+2+1𝑘+2=𝑘2+1𝑘+2,而𝑘2+1𝑘+2−(𝑘+1)2𝑘+3=-(𝑘+2)2+5(𝑘+2)(𝑘+3)<0,所以1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑘+1𝑎𝑘+1<(𝑘+1)2𝑘+3=(𝑘+1)2𝑘+1+2

,即n=k+1时,结论也成立.由①②可知,当n>1时,1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑛<𝑛2𝑛+2.