【文档说明】辽宁省抚顺市2020届高三下学期二模考试数学（文）试题 【精准解析】.doc，共(22)页，3.032 MB，由小赞的店铺上传

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2020年420模拟考试数学试卷(文科)一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,0,1,2,3}A=−，{|31}Bxx=−，则AB=（）A.{|12}xx−B.{1,0,1}−C.{1,0}−D.{0,1}【答案】C【解析

】【分析】找两个集合的公共元素.【详解】∵{1,0,1,2,3}A=−，{|31}Bxx=−，∴1,0AB=−故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查理解辨析能力，是基础题.2.(2)(1)ii++=（）A.13i+B.13

i−C.13i−+D.13i−−【答案】A【解析】【分析】复数的乘法类似于多项式乘多项式，遇到2i化为1−.【详解】2(2)(1)2213iiiiii++=+++=+.故选：A.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查运算

求解能力，是基础题.3.已知向量()2,23a=，()3,bm=，则向量ab⊥，则m=（）A.3B.3−C.1D.1−【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得m的值.【详解】因为ab⊥，所以23230m+=，所以1m=−.故选：D【点睛】本小题主要考查向

量垂直的坐标表示，属于基础题.4.已知3tan4=，则sin2cos2sincos−=+（）A.2−B.2C.12−D.12【答案】C【解析】【分析】分子分母同除cos，利用同角三角函数的基本关系式化简求值.【详解】sin2costan

212sincos2tan12−−==−++.故选：C.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查运算求解能力，是基础题.5.已知3log5a=，0.23b−=，1.23c=，则（）A.bcaB.b

acC.acbD.abc【答案】B【解析】【分析】利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较,,abc的大小.【详解】∵3331loglog5lo392g==，0.2031−，1.233，∴bac.故选：B.【点睛】本题考查利用利用对数函数和指数函数单调

性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.6.下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图（虚线代表甲，实线代表乙）.根据下图中的信息，下面说法错误．．的是（）A.甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮

胎宽度的平均数B.甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数C.甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同D.甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差【答案】B【解析】【分析】通过雷达图分别求出甲、乙轮胎宽

度的平均数、众数中位数和极差，对照选项选出错误的答案.【详解】由题意可知甲厂轮胎宽度的平均数是195，众数是194，中位数是194.5，极差是3；乙厂轮胎宽度的平均数是194，众数是195，中位数是194.5，极差是5；则A，C，D正确，B错误.故选：B.【点睛】本题考查用雷达图计算平

均数、众数中位数和极差，需注意甲、乙数据不要搞混，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.7.函数2()1cos1xfxxe=−−的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先利用函数的奇偶性进行排除,再利用特殊取值判断.【详解】()21222()

1cos()1coscos1cos1111xxxxxxeefxxxxxeeee−−−−=−−=−==−−−−−−即()()fxfx−=−，所以()fx是奇函数，排除A，B；当02x时，2101xe−−−，cos0x，则()0f

x，排除C.故选：D.【点睛】本题考查利用函数解析式判断函数图像，考查理解辨析能力和推理论证能力，是基础题.8.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的侧面积是（）A.18B.36C.27D.54【答案】A【解析】【分析】分别设出圆柱

的底面半径和高，由已知列出关于底面半径和高的方程，解方程，最后可求圆柱的侧面积.【详解】设圆柱的底面圆的半径为r，高为h，由题意可得2212222(2)18rhrrhrh=++=，解得3rh==，则该圆柱的侧面积是218rh=.故选：A.【

点睛】本题考查圆柱表面积和轴截面周长的计算，考查运算求解能力和直观想象能力，是基础题.9.如图，P，Q是函数()cos()(0,0,0)fxAxA=+−的图象与x轴的两个相邻交点，(1,2)M是函数()fx的图象的一个最高点，若MPQ是

等腰直角三角形，则函数()fx的解析式是（）A.()2cos24fxx=−B.()2cos44fxx=−C.()2cos22fxx=−D.()2cos42fx

x=−【答案】B【解析】【分析】通过(1,2)M，MPQ是等腰直角三角形，可得||PQ长度，从而求出周期T，由T可得得值，再将(1,2)M代入()fx计算的值，最后可得()fx的解析式.【详解】由题意可得2A=，因为MPQ是等腰直角三角，

所以||4PQ=，所以42T=，即8T=则24T==，故()2cos4fxx=+，将(1,2)M代入()fx的解析式得2cos24+=，可得24k+=()kZ，解得24k=−+()kZ，因为||2，所以4=−，则()

2cos44fxx=−.故选：B.【点睛】本题考查三角函数识图求解析式，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.10.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家.他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法

和机械制造三方面，特别是在探索圆周率的精确度上，首次将“”精确到小数点后第七位，即3.1415926=，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a，b，则事件“||3ab−”的概率为（）A.13B.815C

.23D.715【答案】B【解析】【分析】把第三到第八位6个有效数字两两组合，列出所有可能情况，找出符合要求事件个数，求概率.【详解】由题意可知第三到第八位有效数字为4，1，5，9，2，6，则取到数字a，b的情况有(4,1)，(4,5)，(4,9)，(4,2)，(4,6)，

(1,5)，(1,9)，(1,2)，(1,6)，(5,9)，(5,2)，(5,6)，(9,2)，(9,6)，(2,6)，共15种，其中符合条件的有8种，故所求概率815P=.故选：B.【点睛】本题考查用列举法求古典概型的概率，考

查数据处理能力和运算求解能力，是基础题.11.已知直线l过抛物线2:8Cyx=的焦点F，且与抛物线C在第一象限的交点为M，点N在抛物线C的准线1l上，且1MNl⊥.若点M到直线NF的距离是43，则直线l的斜率是（）A.33−B.33C.3−D.3【答案】D【解析】【分析】设出M点坐标，由

此得到N的坐标，求出直线NF的方程，利用点到直线距离公式列方程，由此求得M点的坐标，进而求得直线l的斜率.【详解】由题意可知()2,0F，设()00,Mxy，则()02,Ny−，直线NF的方程为()024yyx=−−，即00204yxy

y+−=.因为点M到直线NF的距离是43，所以000020424316xyyyy+−=+.因为点M在抛物线C上，所以2008yx=，所以3000204284316yyyy+−=+，整理得()2200166448yy+=，解得043y=，所以06x=，

即()6,43M，故直线l的斜率是430362−=−.故选：D【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题.12.若对任意实数(,1x−，2211xxaxe−+恒成立，则a=（）A.12−B.0

C.12D.e【答案】A【解析】【分析】构造函数()()2211xxaxfxxe−+=，求得()'fx，对a进行分类讨论，结合2211xxaxe−+恒成立，求得a的值.【详解】()()2211xxaxfxxe−+=，则()()()()1211xxxafxxe−−+=.当211

a+，即0a时，()0fx，则()fx在(,1−单调递减，故()()2211afxfe−=，解得102ea−，所以0a不符合题意；当211a+，即0a时，()fx在(),21a−+上单调递减，在(21,1a+上单调递

增，则()()min21fxfa=+.因为2211xxaxe−+，所以()()2122211aafxfae+++=.令211at+=，不等式21221aae++可转化为10tet−−，设()1tgtet=−−，则(

)1tgte=−，令()0gt，得0t；令()0gt，得01t，则()gt在(),0−上单调递减，在()0,1上单调递增，当0t=时，()gt有最小值0，即()0gt，因为()0gt，所以()0gt=

，此时210a+=，故12a=−.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.二､填空题13.已知双曲线22214xya−=的一条渐近线方程为33yx=，则该双曲线的实

轴长为______.【答案】43【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程求得ba，结合24b=求得a的值，进而求得双曲线的实轴长.【详解】由题意可得2334bab==，解得23a=，则该双曲线的实轴长为243a=.故答案为：43【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.14.若实数x，y满足约束条件2022033xyxyxy−++−−，则3zxy=−的最小值为__________.【答案】11−【解析】【分析】根据不等式组作出可行域，结合可行域求目标函数最值.【详解】如图，可行域为图中阴影

部分，目标函数3zxy=−在点59,22A处取得最小值，5931122z=−=−.故答案为：11−.【点睛】本题考查线性规划求目标函数最值，考查运算求解能力和数形结合思想，是基础题.15.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知(s

in3sin)csinsinbBCCaA−+=，且8+=bc，则ABC的面积的最大值是__________.【答案】4【解析】【分析】利用正弦定理把已知等式角化边，并结合余弦定理可求得角A；8+=bc，利用基本不

等式可得bc的最大值，最后可得ABC的面积的最大值.【详解】因为(sin3sin)sinsinbBCcCaA−+=，所以2223bbcca−+=，即2223bcabc+−=，所以2223cos22bcaAbc+−==，则1sin2A=.因为8+=bc，所以2162bcbc+=

（当且仅当4bc==时，等号成立），故ABC的面积111sin164222SbcA==.故答案为：4.【点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，并求三角形面积的最值，考查运算求解能力，是中档题.16.在直四棱柱1111ABCDABC

D−中，ADCD=，24ABBC==，四边形ABCD的外接圆的圆心在线段AC上.若四棱柱1111ABCDABCD−的体积为36，则该四棱柱的外接球的体积为______.【答案】36π【解析】【分析】根据四棱柱1111ABCDABCD−的体积求得侧棱长，利用勾股定理计算出四棱柱外

接球的半径，进而计算出外接球的体积.【详解】由题意可得ABC和ACD都是以AC为斜边的直角三角形，因为24ABBC==，所以25AC=.因为ADCD=，所以10ADCD==，所以四边形ABCD的面积1142

1010922S=+=.因为四棱柱1111ABCDABCD−的体积为36，所以14AA=，所以该四棱柱的外接球的半径22154322RACAA+=+==，故该四棱柱的外接球的体积为34π36π3R=.

故答案为：36π【点睛】本小题主要考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.三､解答题：17.在数列na中，11a=，23a=，11320nnnaaa+−−+=（n+N且2n）.（1）证明：数列1nnaa+−是等比数列；（2）求数列na的通项公式.【答案】（1）见解

析；（2）21nna=−.【解析】【分析】（1）利用定义法证明数列1nnaa+−是等比数列；（2）结合数列1nnaa+−的通项公式，利用累加法可求得数列na的通项公式.【详解】（1）证明：∵11320nnnaaa+−−+=，∴()112nn

nnaaaa+−−=−，又11a=，23a=，2120aa−=；∴112nnnnaaaa+−−=−（n+N，且2n），故数列1nnaa+−是首项和公比都是2的等比数列；（2）解：由（1）可得12

nnnaa+−=，则112nnnaa−−−=（n+N，且2n），故()()()()11223211nnnnnnnaaaaaaaaaa−−−−−=−+−+−++−+…12322221nnn−−−=+++++…

122112nn−==−−（n+N，且2n），当1n=时，1a1=满足上式，∴21nna=−.【点睛】本题考查了等比数列的证明方法——定义法，等比数列通项公式，累加法求求通项公式，特别是累加法求通项要验

证首项，考查理解辨析能力和运算求解能力，是中档题.18.某中学有教师400人，其中高中教师240人.为了了解该校教师每天课外锻炼时间，现利用分层抽样的方法从该校教师中随机抽取了100名教师进行调查，统计其每天课外锻炼时间

(所有教师每天课外锻炼时间均在0,60分钟内)，将统计数据按)0,10，)10,20，)20,30，…，50,60分成6组，制成频率分布直方图如下：假设每位教师每天课外锻炼时间相互独立，并称每天锻炼时间小于20分钟为缺乏锻炼.（1）试

估计本校教师中缺乏锻炼的人数；（2）若从参与调查，且每天课外锻炼时间在50,60内的该校教师中任取2人，求至少有1名初中教师被选中的概率.【答案】（1）176人.（2）710【解析】【分析】（1）先求得样本中初中、高中教师缺乏锻炼的频率，由此计算出该校教师中缺乏锻炼的人数.利用列举法，结合古典

概型概率计算公式，计算出所求概率.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）由题意可得样本中初中教师缺乏锻炼的频率为()0.0150.020100.35+=，样本中高中教师缺乏锻炼

的频率为()0.0100.040100.5+=，估计该校教师中缺乏锻炼的人数为1600.352400.556120176+=+=.（2）由题意可参与调查初中教师每天课外锻炼时间在50,60的人数为400.052=，记为a，b；高中教师每天课外锻炼时间在50,60的人

数为600.053=，记为D，E，F.从这5人中选取2人的情况有(),ab，(),aD，(),aE，(),aF，(),bD，(),bE，(),bF，(),DE，(),DF，(),EF，共10种；其中符合条件的情况有(),ab，(),aD，(),aE

，(),aF，(),bD，(),bE，(),bF，共7种.故所求概率710P=.【点睛】本小题主要考查利用频率分布直方图进行估计，考查古典概型概率计算，属于基础题.19.如图1，在梯形ABCD中，//ABC

D，且24ABCD==，ABC是等腰直角三角形，其中BC为斜边.若把ACD沿AC边折叠到ACP△的位置，使平面PAC⊥平面ABC，如图2.（1）证明：ABPA⊥；（2）若E为棱BC的中点，求点B到平面PAE的距离.【答案】

（1）见解析；（2）263.【解析】【分析】（1）证明AB⊥平面PAC，则有ABPA⊥；（2）等体积法求点到平面的距离.【详解】（1）证明：∵ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，∴ABAC⊥.∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABCAC=，ABÌ平面ABC∴A

B⊥平面PAC，∵PA平面PAC，∴ABPA⊥；（2）解：由（1）知ABAC⊥，PC⊥平面ABC，由题意可得2PC=，4ACAB==，ACAB⊥，则42BC=，41625PA=+=，∵E为棱BC的中点，∴1222AECEBC===，∴4823PE=+=，在PAE△中，22A

E=，25PA=，23PE=，∴222AEPEPA+=，即AEPE⊥，则PAE△的面积为12223262=，设点B到平面PAE的距离为h∵BPAEPABEVV−−=，∴2111126423322h=，∴263h=.【点睛

】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，点到平面距离的求法，考查直观想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题.20.已知函数()()xfxaxea=−R.（1）讨论()fx的单调性；（2）讨论()fx在(0

,)+上的零点个数.【答案】（1）当0a时，()fx在R上单调递减，当a0时，()fx在(,ln)a−上单调递增，在(ln,)a+上单调递减；（2）当ae时，()fx在(0,)+上没有零点，当ae=时，()fx在(0,)+上只有一个零点，

当ae时，()fx在(0,)+上有两个零点.【解析】【分析】（1）利用函数()fx的导函数，分类讨论参数a，得出()fx的单调性；（2）转化问题，原函数有零点即函数()(0)xegxxx=有解，求导得出()(0)xegxxx=的

单调性和极值，分类讨论得出()fx在(0,)+上的零点个数.【详解】解：（1）∵()xfxaxe=−，∴()xfxae=−，当0a时，()0fx恒成立，∴()fx在R上单调递减，当0a时，令()0fx，得lnxa，令()

0fx，得lnxa.∴()fx在(,ln)a−上单调递增，在(ln,)a+上单调递减，综上所述，当0a时，()fx在R上单调递减，当a0时，()fx在(,ln)a−上单调递增，在(ln,)a+上单调递减；（2）令()0xfxaxe=−=，得exax=，设()(0)xe

gxxx=，则2(1)()(0)xxexegxxxx−==.令()0gx，得1x，令()0gx，得01x，∴()gx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，则()(1)gxge=.当ae时，xeax=在(0,)+上无解，所以()fx在(0

,)+上没有零点；当ae=时，xeax=在(0,)+上有且仅一个解，所以()fx在(0,)+上有一个零点；当ae时，xeax=在(0,)+上有两个解，所以()fx在(0,)+上有两个零点.综上，当ae时，()fx在(0,)+上没有零点；当ae=时，()fx在(0,)+上只有

一个零点；当ae时，()fx在(0,)+上有两个零点.【点睛】本题考查利用导数研究含参数的函数单调性，利用导数求函数单调性和极值讨论函数零点问题，考查了分类讨论思想、转化与化归思想和运算求解能力，是中档题.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=

的离心率为22，且四个顶点构成的四边形的面积是82.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l经过点(2,0)P−，且不垂直于y轴，直线l与椭圆C交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM与椭圆C交于E，F两点（O是坐标原点），若四边形AEBF的面积为46，求直线l的方程.【答案】（1）22184xy

+=；（2）220xy+=.【解析】【分析】（1）离心率提供a与c的关系，四个顶点构成的四边形对角线互相垂直，列出等量关系求a，b的值；（2）直线l经过点(2,0)P−,由直线点斜式方程设出直线l的方程，并设出直线l与椭圆C交点A、B的坐标，联立方程，由韦达定理可表示出A

B的中点M的坐标；由中点M的坐标可得直线OM的方程，联立直线OM的方程与椭圆C的方程，利用韦达定理可求||EF，再利用点到直线距离公式可求点A、B到直线OM的距离，由四边形AEBF的面积为46可列出等量关系，最后可求出直线l的方程.【详解】解：（1）由题意可得222221222822caababa

bc====+，解得22a=，2b=，故椭圆C的方程为22184xy+=.（2）设直线l的方程为2xmy=−，()11,Axy，()22,Bxy.联立222184xmyxy=−+=，整理得()222440mymy+−−=，则12242m

yym+=+，12242yym=−+，从而()12122842xxmyym+=+−=−+，故2242,22mMmm−++，直线OM的斜率为2m−，所以直线OM的方程为2myx=−，即20mxy+

=.联立2220184mxyxy+=+=，整理得22162xm=+，则22224||242mEFxym+=+=+.设点A到直线OM的距离为d，则点B到直线OM的距离也为d，从而112222224mxymxydm+++=+.∵点A，B在直线OM的两侧，∴()()1122220mx

ymxy++，∴112211222222mxymxymxymxy+++=+−−，则()2122224myydm+−=+，∵()22121212242142myyyyyym+−=+−=+，∴2212424mdm+=+，则四边形AEBF的面积22222211411||24428222242mmmS

EFdmmm+++===+++，∵四边形AEBF的面积为46，∴22182462mm+=+，解得2m=，故直线l的方程为220xy+=.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，联立方程利用韦达定理求弦长，考查转化

与化归思想和运算求解能力，是难题.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos23sinxy==+（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程

为sin224−=.（1）求C与l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，点(2,2)P−，求11||||PMPN+的值.【答案】（1）22(2)9xy+−=，40xy−+=；（2）275.【解析】【分析】（1）直接利用参

数方程和极坐标方程转化公式，可得出C与l的直角坐标方程；（2）将直线l的直角坐标方程化为参数方程，点(2,2)P−在直线上l，利用参数t的几何意义，可得11||||PMPN+的值.【详解】解：（1）因为曲线C的参数方程为3cos23sinxy==+（为参数），所以其直

角坐标方程为22(2)9xy+−=，∵直线l的极坐标方程为sin224−=，∴sincos4−=，∴其直角坐标方程为40xy−+=；（2）直线l过点(2,2)P−且参数方程可表示为222222xtyt=−+=+（t为参数），代入曲线C的方程，得22250tt

−−=，则1222tt+=，125tt=−，∴12121127||||5ttPMPNtt−+==.【点睛】本题考查了利用公式把参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程参数t的几何意义，考查运算求解的能力和转化与化归思想，是基础题.23.已知函数()|||5|fxxax

=++−.（1）当3a=时，求不等式()10fx的解集；（2）若()1fx，求a的取值范围.【答案】（1）[4,6]−；（2）(,6][4,)−−−+.【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值解不等式；（2）利用三角不等式解法解不等式，从而得出a

的取值范围.【详解】解：（1）当3a=时，22,3()8,3522,5xxfxxxx−+−=−−，不等式()10fx等价于32210xx−−+或35810x−或52210xx−，解得43x−−或35x−或56x

.∴原不等式的解集为[4,6]−；（2）()1fx等价于|||5|1xax++−.因为|||5||5|xaxx++−+，所以|5|1x+，所以4a−或6a−.则a的取值范围是(,6][4,)−−−+.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式和绝对值不等式成立问

题，考查运算求解能力、分类讨论思想和转化与化归思想，是基础题.