【文档说明】宁夏固原市五原中学补习部2021届高三上学期期中考试数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(20)页，1.699 MB，由管理员店铺上传

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宁夏固原市五原中学2021届高三中期考试试题数学(理)试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2Myyx−==∣，{1}Pyyx==−∣，那么MP=（）A.(1,)+B.[

1,)+C.(0,)+D.[0,)+【答案】C【解析】【分析】计算集合M和P，再计算交集得到答案.【详解】210Myyyyx===，10Pyyxyy==−=∣，故(0,)MP=+.故选：C.2.设()ln2fxxx=+−，则函数()fx的零点所在的区间为（）A

.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】B【解析】【分析】根据()fx的单调性，结合零点存在性定理，即可得出结论.【详解】()ln2fxxx=+−在(0,)+单调递增，且(1)10,(2)ln20ff=−=，根据零点存在性定理，得

()fx存在唯一的零点在区间(1,2)上.故选：B【点睛】本题考查判断函数零点所在区间，结合零点存在性定理的应用，属于基础题.3.将函数sin3yx=−的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3个

单位，得到的图象对应的解析式是（）A.1sin2yx=B.1sin22yx=−C.1sin26yx=−D.sin26yx=−【答案】C【解析】【详解】将函数y=s

in(x－3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(12x－3)，再向左平移3个单位得到的解析式为y=sin(12（x+3）－3)=y=sin(12x－6)，故选C4.若2x=−是函数21()(1)xfxxaxe−=+−的极值点，则()fx的极小值为（）

．A.1−B.32e−−C.35e−D.1【答案】A【解析】由题可得()()()()121212121xxxfxxaexaxexaxae−−−=+++−=+++−，因为()20f−=，所以1a=−，()()211xfxxxe−=−−，故()()212xfxxxe−−=+，令

()0fx，解得2x−或1x，所以()fx在()(),2,1,−−+上单调递增，在()2,1−上单调递减，所以()fx的极小值为()()1111111fe−=−−=−，故选A．【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x

0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．5.高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则

函数()vfh=的大致图像是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函数的自变量为水深h，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢

的，即可求解.【详解】根据题意知，函数的自变量为水深h，函数值为鱼缸中水的体积，所以当0h=时，体积0v=，所以函数图像过原点，故排除A、C；再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化

速度是先慢后快再慢的，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.若ab，则（）A.n0()lab−B.||||abC.3

3abD.330ab−【答案】D【解析】【分析】根据题目条件，针对各选项分别进行讨论,从而求出答案.【详解】A.因为ab，所以0ab−，当01ab−时，ln()0−ab，故A错误；B若12ab==−，所以||||ab，故B错误；C.因为ab

，所以33ab，故C错误；D.因为ab，所以33ab，所以330ab−，故D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查不等式的性质，根据题目条件化简得出结论，当然也可以使用特殊值的方法，本题属于常考题.7.设0.2log0.3a=，

2log0.3b=，则A.0abab+B.0abab+C.0abab+D.0abab+【答案】B【解析】【详解】分析：求出0.2211log0.3,0.3logab==，得到11ab+的范围，进而可得结果．详解：.0.30.3log0.2

,2ablog==0.2211log0.3,0.3logab==0.3110.4logab+=1101ab+,即01abab+又a0,b0ab0即abab0+故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．8.已知

定义在R上的奇函数()fx满足：当0x时，()1eexxfx=−.若不等式()()242ftfmmt−+对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A.(),2−−B.()2,0−C.()(),02,−+D.()(),22,−−+【答案】A【解析】【分析】

由()fx是R上的奇函数，并结合当0x时，()1eexxfx=−，可得()fx的解析式，进而判断其单调性，可将不等式转化为2420mttm++对任意tR恒成立，进而可求得实数m的取值范围.【详解】由题意知，0x时，0x−，则

()1eexxfx−−−=−，因为()fx是R上的奇函数，所以()()11eeeexxxxfxfx−−=−−=−−=−，所以当xR时，()1eexxfx=−.因为函数1xye=为R上的减函数，所以1e

xy=−为R上的增函数，故()1eexxfx=−为R上的增函数，由()()242ftfmmt−+，可得242tmmt−+，即2420mttm++对任意tR恒成立，当0m=时，不等式可化为40t，显然不符合题意，所以0m，可得201680mm=−，

解得2m−.故选：A.【点睛】本题考查奇函数的性质，考查函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.9.已知函数()|21|,xfxabc=−且()()()fafcfb，则下列结论中，一定成立的是（）A.0,0,0abcB.0,0

,0abcC.22ac−D.222ac+【答案】D【解析】【分析】根据题意可画出函数图像，由图像可知要使得abc，且()()()fafcfb，则有()|21|12aafa=−=−，()|21|21ccfc=−=−，由()()fafc，从而得到答案.【详解】作

出函数()|21|xfx=−的图象，如图，abc且()()()fafcfb，结合图象知，0()1,0,0faac，021a()|21|12aafa=−=−()1,01fcc022,()|21|21cccfc=−=−

，又()()fafc1221ac−−，222ac+，故选：D.【点睛】本题考查指数型函数的单调性；函数图像的应用.10.若函数2()(2)(21)fxmxmxm=−+++的两个零点分别在区间()1,0−和区间()1,2内，则m的取值范围是（）A.

11,24−B.11,42−C.11,42D.11,42【答案】C【解析】【分析】利用零点存在定理进行列不等式方程组，进而求解即可【详解】函数2()(2)(21)fxmxmxm=−+++的两个零点，根据题意有，(1)(0)0(1)(2)0ffff−

，解得1142m故选：C11.函数()()sinln2xfxx=+的部分图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】考查函数()yfx=的定义域、在()1,0−上的函数值符号，可得出正确选项.【详解】对于函数()yfx=，2021xx++，解得2x−

且1x−，该函数的定义域为()()2,11,−−−+U，排除B、D选项.当10x−时，sin0x，122x+，则()ln20x+，此时，()()sin0ln2xfxx=+，故选A.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点、函数

值符号进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.已知函数()yfx=在R上可导且()02f=，其导函数()fx满足()()02fxfxx−−，对于函数()()xfxgxe=，下列结论错误．．的是（）.A.函数()gx在()2,+上为单调递增函

数B.2x=是函数()gx的极小值点C.0x时，不等式()2xfxe恒成立D.函数()gx至多有两个零点【答案】C【解析】【分析】由()()02fxfxx−−，利用导数求出函数()gx的单调区间以及函数的极值，根据单调性、极值判断每个选项，从而可得结论．【详解】()()xfxgxe=

，则()()()xfxfxgxe−=，2x时，()()0fxfx−，故()ygx=在(2,)+递增，A正确；2x时，()()0fxfx−，故()ygx=在(,2)−递减，故2x=是函数()ygx=的极小值点，故B正确；若g（2）0，则()ygx=

有2个零点，若g（2）0=，则函数()ygx=有1个零点，若g（2）0，则函数()ygx=没有零点，故D正确；由()ygx=在(,2)−递减，则()ygx=在(,0)−递减，由0(0)(0)2fge==，得0x„时，()(0)gxg…，故()2xfxe…，故(

)2xfxe，故C错误；故选：C．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、零点问题，考查了构造函数法的应用，是一道综合题．二､填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.)13.已知2()2(2)fxxxf=+，则曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为________.

【答案】610xy++=【解析】【分析】求出导函数()22(2)fxxf=+，令2x=，求出()2f，从而求出函数表达式以及导函数表达式，求出()1f以及()1f，再利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.【详解】由2()2(2)fxxxf

=+，则()22(2)fxxf=+，当2x=时，(2)42(2)ff=+，解得()24f=−，所以2()8fxxx=−，()28fxx=−，即()17f=−，(1)2186f=−=−，所以曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方

程为：()761yx+=−−，即为610xy++=.故答案为：610xy++=【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数以及导数的运算法则，属于基础题.14.已知()(2,0,11,1,xxfxxex=

(e为自然对数的底数),则()e0fxdx=_________.【答案】43【解析】因为()(2,0,11,1,xxfxxex=，所以()e1e231e01001114|ln|33fxdxxdxdxxxx=+=+=15.奇函数(

)fx满足(1)(1)fxfx+=−，当01x时，2()log(4)fxxa=+，若1522f=−，则()afa+=__________.【答案】2【解析】【分析】根据题中条件，先得到函数的周期，再由21511log(2)2222fffa

=−=−=−+=−求出a，进而可求出结果.【详解】由于函数()yfx=为奇函数，且(1)(1)(1)fxfxfx+=−=−−，即(2)()fxfx+=−，(4)(2)()fxfxfx+=−+=，所以，函数()yfx=是以4为周期的奇函数，21

511log(2)2222fffa=−=−=−+=−，解得2a=.(2)(2)(2)fff=−=−，(2)0f=.因此，()2(2)2afaf+=+=.故答案为：2.【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，属于常考题型.16.定义：如果在函

数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a＜x0＜b)，满足f(x0)＝()()fbfaba−−，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1,1]上的平

均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________．【答案】(0,2)【解析】【分析】设x0为均值点，由已知可得：关于x0的方程(1)(

1)1(1)ff−−−−＝f(x0)有实数根，整理求得：x0＝1或x0＝m－1，结合题意列不等式可得：－1＜m－1＜1，问题得解.【详解】因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以(1

)(1)1(1)ff−−−−＝m＝f(x0)，即关于x0的方程－20x＋mx0＋1＝m在(－1,1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1.所以必有－1＜m－1＜1，即0＜m＜2，所以实数m的取值范围是(0,2)．.【点睛】本题主要考查了新概念知识的理解及方程

思思，还考查了转化能力及计算能力，属于难题．三､解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17.已知函数321()(,)3fxxaxbxabR=++在3x=−处取得极大值为9.（1）求a，b的值；（2）求函数()

fx在区间[3,3]−上的最值.【答案】(1)13ab==−.(2)函数()fx在区间[3,3]−上的最大值为9，最小值为53−.【解析】分析：（I）首先求解导函数，然后结合()()3039ff−=−=，可得13ab

==−.（II）由（I）得()()()()321-3313fxxxxfxxx=+=+−，结合导函数研究函数的单调性和最值可知函数()fx在区间3,3−上的最大值为9，最小值为53−.详解：（I）()22f

xxaxb=++依题意得()()3039ff−=−=，即9609939abab−+=−+−=，解得13ab==−.经检验，上述结果满足题意.（II）由（I）得()()()()3221-323=313fxxxx

fxxxxx=+=+−+−，令()0fx，得31xx−或；令()0fx，得31x−，()fx的单调递增区间为()1+，和()--3，，()fx的单调递增区间是()-3,1，()()=39fxf−=极大值，()()(

)5=1,393fxff=−=极小值又，所以函数()fx在区间3,3−上的最大值为9，最小值为53−.点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，

那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．18.对于函数()()()212,0fxaxbxba=+++−,若存在实数0x,使()0fx=0x成立,则称0x为()fx的不动点.（1）当2,2ab

==−时,求()fx的不动点；（2）若对于任意实数b,函数()fx恒有两个不相同的不动点,求a的取值范围【答案】（1）1−和2；（2）（0,2）【解析】【分析】（1）把a，b的值代入方程，解出方程22240xx−−=即可得(

)fx的不动点；（2）根据方程有两解可得2480baba−+，将其看成关于b的二次函数，根据10即可得结果.【详解】⑴由题义()()222122xxx+−++−−=整理得22240xx−−=,解方程

得121,2xx=−=即()fx的不动点为-1和2．⑵由()fx=x得220axbxb++−=如此方程有两解,则有△=()2242480babbaba−−=−+把2480baba−+看作是关于b的二次函数,则有1=()()()2244816321620aaaaaa−=−=−，解得02

a即为所求.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，考查了新定义问题，考查了转化思想，将“b”看成自变量是解题的关键，是一道中档题．19.某市近郊有一块大约500500mm的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一

个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）

分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．【答案】（1）1500030306Sxx=−+，其定义域是(6,500)．（2）设计50xm=，60ym=时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【解析】【分析】（1）总面积

为3000xy=，且26ay+=，则3000yx=，1500332yax=−=−（其中6500)x，从而运动场占地面积为(4)(6)Sxaxa=−+−，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积15000150

00303063030(6)Sxxxx=−−=−+，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．【详解】解：（1）由已知3000xy=，3000yx=，其定义域是(6,500)．(4)(6)(210)Sxax

axa=−+−=−，26ay+=，1500332yax=−=−，150015000(210)(3)3030(6)Sxxxx=−−=−+，其定义域是(6,500)．（2）15000150003030(6)303026303023002430Sx

xxx=−+−=−=„，当且仅当150006xx=，即50(6,500)x=时，上述不等式等号成立，此时，50x=，60y=，2430maxS=．答：设计50xm=，60ym=时，运动场地面积最大，最大值为2430平

方米．【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．20.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点

；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(,0a−.【解析】【分析】（1）求导得到导函数后，设为()gx进行再次求导，可判断出当0,2x时，()

0gx，当,2x时，()0gx，从而得到()gx单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数()()hxfxax=−，通过二次求导可判断出()()min2hxha==−−，()max222hxha−==−；分别在2a

−，20a−≤，202a−和22a−的情况下根据导函数的符号判断()hx单调性，从而确定()0hx恒成立时a的取值范围.【详解】（1）()2coscossin1cossin1fxxxxxxxx=−+−=+−令()cossin1gxxxx=+−，则()

sinsincoscosgxxxxxxx=−++=当()0,x时，令()0gx=，解得：2x=当0,2x时，()0gx；当,2x时，()0gx()gx在0,2上单调递增；在,2ππ上单调递减又(

)0110g=−=，1022g=−，()112g=−−=−即当0,2x时，()0gx，此时()gx无零点，即()fx无零点()02gg0,2x，使得()00gx=又()gx在,2ππ上单

调递减0xx=为()gx，即()fx在,2ππ上的唯一零点综上所述：()fx在区间()0,存在唯一零点（2）若0,x时，()fxax，即()0fxax−恒成立令()()

()2sincos1hxfxaxxxxax=−=−−+则()cossin1hxxxxa=+−−，()()coshxxxgx==由（1）可知，()hx在0,2上单调递增；在,2ππ上单调递减且()0ha=−，222ha−=−，()2ha=

−−()()min2hxha==−−，()max222hxha−==−①当2a−时，()()min20hxha==−−，即()0hx在0,上恒成立()hx在0,上单调递增()()00hxh=，即()0fxax−，此时()fxax恒

成立②当20a−≤时，()00h，02h，()0h1,2x，使得()10hx=()hx在)10,x上单调递增，在(1,x上单调递减又()00h=，()()2sincos10haa=−−+=−()0hx在

0,上恒成立，即()fxax恒成立③当202a−时，()00h，2022ha−=−20,2x，使得()20hx=()hx在)20,x上单调递减，在2,2x上单调递增()20,xx时，()()00

hxh=，可知()fxax不恒成立④当22a−时，()max2022hxha−==−()hx在0,2上单调递减()()00hxh\<=可知()fxax不恒成立综上所述：(,0a−【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒

成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.21.已知函

数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.【答案】(1)f(x)在,ln2−−a上单调递减，在区间ln,2−+

a上单调递增.【解析】【分析】(1)求f(x)的导函数为f′(x)＝(2ex＋a)(ex－a)，通过讨论a，求函数的单调区间即可.(2)因为f(x)≥0，所以即求f(x)的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f(x)的最小值，解关于a的不等式即可求出a的范围.【详解】(1)

函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0.f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln2a−.当x∈,ln2−−

a时，f′(x)<0；当x∈ln,2−+a时，f′(x)>0.故f(x)在,ln2−−a上单调递减，在区间ln,2−+a上单调递增.(2)①当a＝0时，f(x)＝e2x≥0恒成立.

②若a<0，则由(1)得，当x＝ln2a−时，f(x)取得最小值，最小值为fln2a−＝a23ln42a−−，故当且仅当a23ln42a−−≥0，即0>a≥342e−时，f(x)≥

0.综上a的取值范围是[342e−，0].【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查函数的恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想和学生的计算能力，属于中档题.22.若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是26cossin=.（

1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为323xtyt=+=(t为参数)，3,02P，当直线l与曲线C相交于A，B两点，求2||||||ABPAPB.【答案】（1）曲线C的直角坐标系方程为26yx=，曲

线为以3,02为焦点，开口向右的抛物线；（2）163.【解析】【分析】（1）运用极坐标与直角坐标之间的关系将曲线C的极坐标方程26cossin=化为直角坐标方程，再依据圆锥曲线的标准方程的特征进行判断；（2）将直线的参数方程323xtyt

=+=代入曲线方程26yx=，运用直线参数方程中的参数t的几何意义进行求解.【详解】（1）∵26cossin=，∴22sin6cos=，∴曲线C的直角坐标系方程为26yx=，曲线为以3,02为焦点，开口向右的抛物线.

（2）直线l的参数方程可化为312232xtyt=+=，代入26yx=得24120tt−−=.则12124,12tttt+==−，()12121248ABtttttt=−=+−=，因为3,02P在直线l上，所以1212PAPBtt??，∴2||6416||||12

3ABPAPB==.【点睛】本题关键点是熟练掌握极坐标方程和普通方程的转化公式；熟练利用直线参数方程中的参数t的几何意义进行求解.23.设,,xyzR，且1xyz++=.（1）求222(1)(1)(1)xyz−++++的最

小值；（2）若2221(2)(1)()3xyza−+−+−成立，证明：3a−或1a−.【答案】(1)43；(2)见详解.【解析】【分析】(1)根据条件1xyz++=，和柯西不等式得到2224(1)(1)(1)3xyz−++++，再讨论,,xyz是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成

立问题，柯西不等式等号成立时构造的,,xyz代入原不等式，便可得到参数a的取值范围.【详解】(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4xyzxyzxyz−++++++−++++=+++=故222

4(1)(1)(1)3xyz−++++等号成立当且仅当111xyz−=+=+而又因1xyz++=，解得531313xyz==−=−时等号成立所以222(1)(1)(1)xyz−++++的最小值为43.(2)因为2221(2)(1)()3xyza−+−+−

，所以222222[(2)(1)()](111)1xyza−+−+−++.根据柯西不等式等号成立条件，当21xyza−=−=−，即22321323axayaza+=−+=−+=−时有22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)xyz

axyzaa−+−+−++=−+−+−=+成立.所以2(2)1a+成立，所以有3a−或1a−.【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.