【文档说明】北京市西城区2020届高三下学期二模考试数学试题 含答案.pdf，共(13)页，448.161 KB，由小赞的店铺上传

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北京市西城区2020年6月高三数学试卷第1页(共6页)西城区高三模拟测试数学2020.6本试卷共6页,150分。考试时长120分钟。考生务必将条形码贴在答题卡规定处,并将答案写在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷(选择题共

40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设全集U=R,集合A={x|x<2},B={x|x<1},则集合(∁UA)∪B=(A)(-¥,2)(B)[

2,+¥)(C)(1,2)(D)(-¥,1)∪[2,+¥)2.设复数z=1+i,则􀭵z2=(A)-2i(B)2i(C)2-2i(D)2+2i3.焦点在x轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(A)x2

=4y(B)y2=4x(C)x2=8y(D)y2=8x4.在锐角△ABC中,若a=2,b=3,A=π6,则cosB=(A)34(B)34(C)74(D)3345.函数f(x)=x-1x是(A)奇函数,且值域为(0,+¥)(B)奇函数,且值域为R(C)偶函数,且值域为(0,+¥)(D

)偶函数,且值域为R北京市西城区2020年6月高三数学试卷第2页(共6页)6.圆x2+y2+4x-2y+1=0截x轴所得弦的长度等于(A)2(B)23(C)25(D)47.设a,b,c为非零实数,且a>b>c,则(A)a-b>b-c(B)1a<1b<1c(

C)a+b>2c(D)以上三个选项都不对8.设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=12,则|a+xb|(x∈R)的最小值为(A)52(B)32(C)1(D)29.设{an}为等比数列,则“对于任意的m∈N*,am+2>am”是“{an}为递增数列”的(A)充分而不必

要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件10.佩香囊是端午节传统习俗之一.香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目.图1的▱ABCD由六个正三角形构成.将它沿虚线折

起来,可得图2所示的六面体形状的香囊.那么在图2这个六面体中,棱AB与CD所在直线的位置关系为图1图2(A)平行(B)相交(C)异面且垂直(D)异面且不垂直北京市西城区2020年6月高三数学试卷第3页(共6页

)第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.在(1+5x)6的展开式中,x的系数为.12.在等差数列{an}中,若a1+a2=16,a5=1,则a1=;使得数列{

an}前n项的和Sn取到最大值的n=.13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.14.能说明“若m(n+2)≠0,则方程x2m+y2n+2=1表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组m,n的值是.15.已知函

数f(x)的定义域为R,满足f(x+2)=2f(x),且当x∈(0,2]时,f(x)=2x-3.有以下三个结论:①f(-1)=-12;②当a∈(14,12]时,方程f(x)=a在区间[-4,4]上有三个不同的实根;③函数f(x)有无穷多个零点,且存在一个零点b∈Z.其中,所有正确结论的序号是.北京

市西城区2020年6月高三数学试卷第4页(共6页)三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面

ABC,AC⊥BC,D是A1C1的中点,且AC=BC=AA1=2.(Ⅰ)求证:BC1∥平面AB1D;(Ⅱ)求直线BC与平面AB1D所成角的正弦值.17.(本小题满分14分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)同

时满足下列四个条件中的三个:①最小正周期为π;②最大值为2;③f(0)=-1;④f(-π6)=0.(Ⅰ)给出函数f(x)的解析式,并说明理由;(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间.北京市西城区2020年6月高三数

学试卷第5页(共6页)18.(本小题满分14分)随着科技的进步,视频会议系统的前景愈加广阔.其中,小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计,小型视频会议软件下载量前6名的依次为A,B,C,D,E,F.在实际中,存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此,某调查公司对有视频会议需

求的人群进行抽样调查,统计得到这6款软件的下载量W(单位:人次)与使用量U(单位:人次),数据用柱状图表示如下:定义软件的使用率t=UW,当t≥0.9时,称该款软件为“有效下载软件”.调查公司以调查得到的使用

率t作为实际中该款软件的使用率.(Ⅰ)在这6款软件中任取1款,求该款软件是“有效下载软件”的概率;(Ⅱ)从这6款软件中随机抽取4款,记其中“有效下载软件”的数量为X,求X的分布列与数学期望;(Ⅲ)将(Ⅰ)中概率值记为x%.对

于市场上所有小型视频会议软件,能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”?说明理由.19.(本小题满分15分)设函数f(x)=axlnx,其中a∈R.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(3,2).(Ⅰ

)求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的极值;(Ⅲ)证明:f(x)>xex-2e.北京市西城区2020年6月高三数学试卷第6页(共6页)20.(本小题满分14分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点

C(0,1),离心率为32.O为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆E的左、右顶点,D为椭圆E上一点(不在坐标轴上),直线CD交x轴于点P,Q为直线AD上一点,且OP→·OQ→=4,求证:C,B,Q三点共线.21

.(本小题满分14分)如图,表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表,其中am,n(m=1,2,…,40;n=1,2,…,20)表示位于第m行第n列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列(不改变该数所在的列的位置),得到表

2(即bi,j≥bi+1,j,其中i=1,2,…,39;j=1,2,…,20).表1表2a1,1a1,2…a1,20a2,1a2,2…a2,20…………a40,1a40,2…a40,20b1,1b1,2…b1,20b2,1b2,2…b2,20…………b40,1b40,2…

b40,20(Ⅰ)判断是否存在表1,使得表2中的bi,j(i=1,2,…,40;j=1,2,…,20)等于100-i-j?等于i+2-j呢?(结论不需要证明)(Ⅱ)如果b40,20=1,且对于任意的i=1,2,…,39;

j=1,2,…,20,都有bi,j-bi+1,j≥1成立,对于任意的m=1,2,…,40;n=1,2,…,19,都有bm,n-bm,n+1≥2成立,证明:b1,1≥78;(Ⅲ)若ai,1+ai,2+…+ai,20≤19(i=1,2,…,40),求最

小的正整数k,使得任给i≥k,都有bi,1+bi,2+…+bi,20≤19成立.北京市西城区2020年6月高三数学参考答案第1页（共7页）西城区高三模拟测试数学参考答案2020.6一、选择题：本大题共10小题，每小题4分

，共40分.1．D2．A3．D4．C5.B6.B7.C8.B9.C10.B二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分.11．3012．9，513．454+14．答案不唯一.如3m，1n15．①②注：第

12题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.三、解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）如图，连接

1AB.设11ABABE，并连接DE.由三棱柱111ABCABC，得1AEBE.…………2分又因为D是11AC的中点，所以1//BCDE.………………4分又因为1BC平面1ABD，DE平面1ABD，所以

1//BC平面1ABD.………………6分（Ⅱ）因为1CC底面ABC，ACBC，所以CA，CB，1CC两两垂直，故分别以CA，CB，1CC为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，………………7分则(0,0,0)

C，(0,2,0)B，(2,0,0)A，1(0,2,2)B，(1,0,2)D，所以1(2,2,2)AB，1(1,2,0)BD，(0,2,0)BC，………………8分DCA1B1C1ABEyxz北京市西城区2020年6月高三数学参考答案

第2页（共7页）设平面1ABD的法向量(,,)xyzn，由10ABn，10BDn，得2220,20,xyzxy令1y，得(2,1,1)n.………………11分设直线BC与平面1ABD所成的角为

，则6sin|cos,|||6||||BCBCBCnnn，所以直线BC与平面1ABD所成角的正弦值为66.………………14分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）若函

数()fx满足条件③，则(0)sin1fA.这与π0,02A矛盾，故()fx不能满足条件③，所以函数()fx只能满足条件①，②，④.………………2分由条件①，得2ππ||，又因为0，所以2.………………4分由条件②，得2A.………………5分由条件④，得ππ()2

sin()063f，又因为π02，所以π3.所以π()2sin(2)3fxx.………………8分（Ⅱ）由ππππ2π+23222xkk≤≤，kZ，………………10分得5ππππ+1212xkk≤≤，………………12分所以函

数()fx的单调递增区间为5ππππ+]1212[kk,，kZ.………………14分（注：单调区间写成开区间亦可.）北京市西城区2020年6月高三数学参考答案第3页（共7页）18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）根据数据，

可得软件A，B，C，D，E，F的使用率A910.996t，B840.991t，C690.985t，D540.974t，E640.969t，F630.965t.所以软件A，B，E，F为“有

效下载软件”.………………2分记事件M为“在6款软件中任取1款，该款软件是有效下载软件”，………3分则事件M的概率42()63PM.………………4分（Ⅱ）随机变量X的可能取值为2，3，4.………………5分则

224246CC2(2)C5PX，314246CC8(3)C15PX，4446C1(4)C15PX.……8分所以随机变量X的分布列为：X234P25815115………………9分所以随机变量X的数学期望281

8234515153EX.………………10分（Ⅲ）不能认为大约有%x的软件为“有效下载软件”.………………12分理由如下：若根据这6款软件中“有效下载软件”的概率来估计所有软件中“有效下载软件”的频率，即是用样本估计总体.用样本估计总体应保证总体中

的每个个体被等可能抽取.但此次调查是“从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取“下载量排名前6名”的软件，不是从所有软件中随机抽取6款作为样本.故不能认为大约有%x的软件为“有效下载软件”.………………14分19．（本小题满分15分）解

：（Ⅰ）由()lnfxaxx，得()lnfxaxa，………………2分北京市西城区2020年6月高三数学参考答案第4页（共7页）则(1)0f，(1)fa.所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线为(1)yax.…

……………4分将点(3,2)代入切线方程，得1a.………………5分（Ⅱ）由题意，得()lnfxxx，()ln1fxx.令()0fx，得1ex.………………7分随着x变化，()fx与()f

x的变化情况如下表所示：所以函数()fx在1(0,)e上单调递减，在1(,+)e上单调递增.………………9分所以函数()fx存在极小值，且极小值为11()eef；函数()fx不存在极大值.………………10分（Ⅲ）“2()eexxfx”等价于“2ln0eexxxx

”.………………11分由（Ⅱ），得1()lnefxxx≥-（当且仅当1ex时等号成立）.①所以21lneeeexxxxxx≥.故只要证明10eexx≥即可（需验证等号不同时成立）.………………12分设1()eexxgx，(0,

+)x，则1()exxgx.………………13分因为当(0,1)x时，1()0exxgx；当(1,)x时，1()0exxgx，所以函数()gx在(0,1)上单调递减，在(1

,+)上单调递增.所以()(1)0gxg≥（当且仅当1x时等号成立）.②因为①②两个不等式中的等号不同时成立，所以当(0,)x时，2()eexxfx.………………15分x1(0,)e1e1(,+)e()fx0()fx↘极小值↗北京市

西城区2020年6月高三数学参考答案第5页（共7页）20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得1b，32ca.………………2分又因为222abc，………………3分所以2a，3c.故椭圆E的方程为2214xy.

………………5分（Ⅱ）(2,0)A，(2,0)B.设0000(,)(0)Dxyxy，则220014xy.………………6分所以直线CD的方程为0011yyxx，………………7分令0y，得点P的坐标为00(,0)1xy.………………8分设(,)

QQQxy，由4OPOQ，得004(1)Qyxx（显然2Qx）.……9分直线AD的方程为00(2)2yyxx，………………10分将Qx代入，得00000(442)(2)Qyyxyxx，即00000004(1)(442)(,)(2

)yyyxQxxx.………………11分故直线BQ的斜率存在，且000000(442)2(2)(442)QBQQyyyxkxxyx……12分200002000022424yyxyxxyy20000200002214242yyxyyxyy.………

…13分又因为直线BC的斜率12BCk，所以BCBQkk，即,,CBQ三点共线.………………14分北京市西城区2020年6月高三数学参考答案第6页（共7页）21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）存在表1，使得,100ijbij；不存在表1，使得,ijb等于2ji

.………3分（Ⅱ）因为对于任意的1,2,,391,2,,20ij；，都有,1,1ijijbb≥，所以1,202,201bb≥，2,203,201bb≥，，39,2040,201bb≥，所以

1,202,202,203,2039,2040,20(39bbbbbb)+()++()≥，即1,2040,203940bb≥.………………6分又因为对于1,2,,401,2,,19mn；，都有,,12

mnmnbn≥，所以1,11,22bb≥，1,21,32bb≥，，1,191,202bb≥，所以1,11,21,21,31,191,20(38bbbbbb)+()++()≥，所以1,11,20384038

78bb≥≥.即1,178b≥.………………8分（Ⅲ）当表1如下图时：其中，每行恰好有1个0和19个1；每列恰好有2个0和38个1；因此每行的和均为19.符合题意.重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20；后2行各数

均为0，因此39k≥.………………10分以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2的前39行中，至少包含原表1中某一011110111110111101111101111011111

01111011111011110北京市西城区2020年6月高三数学参考答案第7页（共7页）行（设为第r行）的全部实数（即包含,1,2,20,,,rrraaa）.假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数.则表2的前39行中至多含有表1中的4019760个

数，这与表2中前39行中共有3920780个数矛盾.所以表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r行）的全部实数.………………12分其次，在表2中，根据重排规则得：当39i≥时，,39,,ijjrjbba≤≤1,2,2

0j（，），所以,1,2,20,1,2,2019iiirrrabbbaa≤≤.所以39k≤.综上，39k.………………14分