【文档说明】北京市石景山区2021-2022学年高二下学期期末数学试题 含解析.docx，共(15)页，598.150 KB，由小赞的店铺上传

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2022年北京市石景山区高二下学期期末数学试卷本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选

择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知等差数列na的通项公式为52nan=−,则它的公差是A.5−B.2−C.2D.5【答案】B【解析】【分析】求得12,aa，由此求得公差.【详解】依题意123

,1aa==，故公差为212aa−=−，故选B.【点睛】本小题主要考查利用等差数列通项公式求等差数列的公差，属于基础题.2.如果一个物体的运动方程为()()30sttt=，其中s的单位是千米，t的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（）A.

12千米/小时B.24千米/小时C.48千米/小时D.64千米/小时【答案】C【解析】【分析】对v求导，代入t值即可.【详解】由()23vstt==，则当4t=，48v=故选：C.【点睛】本题考查了瞬时变化率、导数概念的问题，属于基础题.3.一名老师和四名学生站成一排

照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为（）A.4种B.12种C.24种D.120种【答案】C【解析】的【分析】根据题意，只需将四名同学排序即可，进而根据排序问题求解即可.【详解】根据题意，一名老师和四名学生站成一排照相，老师站在正中间，只需

将四名同学排序，所以，不同的站法为44A432124==种.故选：C4.在71xx−的展开式中，含x项的系数为（）A.21B.－21C.35D.－35【答案】D【解析】【分析】首先写出二项式展开式的通项，再令721r−=求出r，再代入

计算可得；【详解】解：二项式71xx−展开式的通项为()7721771CC1rrrrrrrTxxx−−+=−=−，令721r−=，解得3r=，所以含x项的系数为()337C135−=−；故选：D5.已知曲线(

)yfx=在()()5,5f处切线方程是5yx=−+，则()5f与()'5f分别为()A.5，1−B.1−，5C.1−，0D.0，1−【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义得到f'（5）等于直线的斜率﹣1，由切点横坐标为5，得到纵坐标即f（5）．【详解】由题意得f（5）=﹣5+5=0，f′

（5）=﹣1．故选D．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．6.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到两个数均为偶数”，则()

|PBA=A.18B.14C.25D.12【答案】B【解析】的【分析】先求得()PA和()PAB的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题意()22322542105CCPAC+===,()22251=10CPA

BC=,故()|PBA=()()1110245PABPA==.故选B.【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.7.下列命题错误的是（）A.随机变量1,3Bn，若()30E=，则90

n=B.线性回归直线ybxa=+一定经过样本点的中心(),xyC.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1D.设()21,N，且()00.2P=，则()120.2P=【答案】D【解析】【分析】对A，根据二项分布的数学期望求解即可；

对B，根据回归直线的性质判断即可；对C，根据相关系数的性质判断即可；对D，根据正态分布的对称性判断即可【详解】对A，随机变量1,3Bn，若()30E=，则1303n=，即90n=，故A正确；对B，线性回归直线ybxa=+一定

经过样本点的中心(),xy，故B正确；对C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C正确；对D，设()21,N，且()00.2P=，则()()()12010.500.3PPP==−=，故D错误；故选：D8.已知数列na前n项和为nS，若

1123nan=++++，则5S=（）A.2B.32C.53D.85【答案】C的【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式求出数列na通项，再利用裂项相消法即可得解.【详解】解：()()112112112

3112nannnnnnn====−+++++++，所以5111111521212235663S=−+−++−=−=.故选：C.9.已知函数()1exfxxa−=+−有两个零点，则实数a的取值范围为（）

A.21,0e−B.21,e−+C.()2e,0−D.()2e,−+【答案】A【解析】【分析】令()0fx=，转化为()1exax=+，设()()1exgxx=+，利用导数求得函数()gx单调性和最值，把函数的零点，转化为ya=与()()1ex

gxx=+的图像有两个交点，结合图像，即可求解.【详解】由题意，函数()1exfxxa−=+−的定义域为R，令()0fx=，即1e0xxa−+−=，即()1exax=+，设()()1exgxx=+，可得()()()e1e2exxxgxxx=++=+，当<2x−时，()0gx

，当2x−时，()0gx，所以()gx在(,2)−−上单调递减，在(2,)−+上单调递增.又()212eg−=−，作出简图，如图所示，要使得函数()1exfxxa−=+−有两个零点，只需y

a=与()()1exgxx=+的图像有两个交点，所以210ea−，即实数a的取值范围是210ea−.故选：A.10.等差数列na前n项和为nS，前n项积为nT，已知211a=−，47a=−，则（）A.nS有最小值，nT有最小值

B.nS有最大值，nT有最大值C.nS有最小值，nT有最大值D.nS有最大值，nT有最小值【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得1,ad，进而求得na，结合数列的有关性质确定正确选项.【详解】依题意1111113,221

537nadadanad+=−=−==−+=−，由0na解得152n，*Nn，所以等差数列na的前n项和nS满足：7S最小，无最大值.1234567813,11,9,7,5,3,1,1,aaaaaaaa=−=−=−=−=−=−=−=…123456713,143,1287,90

09,45045,135135,135135,TTTTTTT=−==−==−==−…当8n时：0nT，且为递减数列，故nT有最大值135135，没有最小值.故选：C第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.离散型随机变量的分布列如下表：的012Pa

1214则()E=_________；()D=_________．【答案】①.1②.12##0.5【解析】【分析】根据分布列的性质求出参数a，再计算期望和方差.【详解】由分布列可知：11124a++=，得1

4a=；所以()1110121424E=++=；()2221111(01)(11)(21)4242D=−+−+−=.故答案为：1；12.12.在()413x+的展开式中，二项式系数之和为_

________；各项系数之和为_________．（用数字作答）【答案】①.16②.256【解析】【分析】根据二项式系数和公式2n求得二项式系数之和；再用赋值法求各项系数之和.【详解】在()413x+的展开式中，二项式系数之和为4216=；令1x=，()413256+=，即各项系数和为25

6.故答案为：①16；②256.13.已知函数()321fxxaxx=−+−−在R上是单调函数，则实数a的取值范围是_________．【答案】[3,3]−【解析】【分析】判断函数导数为开口向下的二次函数，则应满足0，即可求解【详解】2()321fxxax=−+−，因为函数在R

上是单调函数，故只能满足2()3210fxxax=−+−在R上恒成立，即0，24120a=−，解得[3,3]a−故答案为:[3,3]−14.在数列na中，112a=，11nnnaaa+

+=，nN，则2022a=_________．【答案】2【解析】【分析】根据数列的递推公式，发现规律，即数列na为周期数列，然后求出2022a即可.【详解】由11nnnaaa++=，可得111n

naa+=−，从而可得：112a=，21111aa=−=−，32112aa=−=，431112aa=−=故数列na是周期为3的数列，可得：2022367432aaa===故答案为：215.若存在常数k和b，使得

函数()fx和()gx对其公共定义域上的任意实数x都满足：()fxkxb+和()gxkxb+恒成立或（()fxkxb+和()gxkxb+恒成立），则称此直线ykxb=+为()fx和()gx的“隔离直线”．已知函数()2fxx=，

()()10gxxx=，有下列命题：①直线0y=为()fx和()gx的“隔离直线”．②若yxb=−+为()fx和()gx的“隔离直线”，则b的范围为14,4−−．③存在实数k，使得()fx和()gx有且仅有唯一的“隔离直线”．④(

)fx和()gx之间一定存在“隔离直线”，且b的最小值为4−．其中所有正确命题的序号是_________．【答案】①④【解析】【分析】根据“隔离直线”的定义逐个分析判断即可【详解】对于①，因为当0x时，

()20fxx=，()10gxx=，所以直线0y=为()fx和()gx的“隔离直线”，所以①正确，对于②，因为yxb=−+为()fx和()gx的“隔离直线”，所以2xxb−+恒成立，所以221124bxxx+=+−，所以14b−，1(

0)xbxx−+恒成立，所以1(0)bxxx+恒成立，因为111()2()2xxxxxx+=−−+−−=−−−(0)x，当且仅当1xx−=−即=1x−时取等号，所以2b−，综上124b−−，所以②错误，对于③④，设()2fxx=，()()10gxxx=之

间的隔离直线为ykxb=+，即2xkxb+，20xkxb−−恒成立，所以240kb+，所以0b，因为1kxbx+（0x），所以210kxbx+−（0x）恒成立，当0k时，不合题意，当0,0kb==时，符合题意，当0k

时，令21ykxbx=+−，对称轴为02bxk=−，所以只需满足240bk+，所以24kb−且24bk−，所以421664kbk−，所以40k−，同理可得40b−，所以()fx和()gx之间一定存在“隔离直线”，且b的最小值为4−，()fx

和()gx之间有无数条“隔离直线”，且实数k不唯一，所以③错误，④正确，故答案为：①④三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知数列{}na是公比为2的等比数列，且234,1,aaa+成等差数列．（1）

求数列{}na的通项公式；（2）记21nnnbaloga+=+，求数列{}nb的前n项和nT．【答案】（1）12nna−=；（2）()1212nnn++−【解析】【详解】（1）由题意可得32421aaa+=+（），即2222214aa

a+=+（），解得：22a=，∴2112aa==，∴数列na的通项公式为12nna−=．（2）121log2nnnnbaan−+=+=+，12112312320222nnnTbbbbn−=++++=+++++++++（）（）=()1122

12nnn+−+−=()1212nnn++−．17.某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响，假设这名射手射击3次．（1）求恰有2次击中目标的概率；（2）现在对射手的3次射击进行计分：每击中目

标1次得1分，未击中目标得0分；若仅有2次连续击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记X为射手射击3次后的总得分，求X的概率分布列与数学期望()EX．【答案】（1）49；（2）()86=27E

X【解析】【分析】（1）先记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件A，根据题中条件，即可得出结果；（2）先由题意确定X的可能取值，求出对应概率，进而可得出分布列，再由分布列求出期望即可.【详解】（1）记“射手射击3次，恰有2次击中目标”为事件A，因为射手每次射击击中目标的

概率是23，所以223224()1339PAC=−=；（2）由题意可得，X的可能取值为0,1,2,3,6，321(0)1327PX==−=；213222(1)1339PXC==−=；212

4(2)33327PX===，2211228(3)33333327PX==+=，328(6)327PX===；所以X的分布列如下：X01236P12729427827827因此，1248886()01236279272727

27EX=++++=.【点睛】本题主要考查独立重复试验，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概率计算公式，以及分布列与期望的概念即可，属于常考题型.18.已知函数()32fxaxbx=+，当1x=时，()fx取得极值3−．（1）求a，b的值；（2）若对于任意0x，不

等式()220fxmm+−恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）69ab==−（2）3(,1][,)2−−+【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式组，求出a，b的值；（2）问题转化为f（x）≥m﹣

2m2对任意x＞0恒成立，求出f（x）的最小值，从而求出m的范围即可．【小问1详解】由2()32fxaxbx=+，当x=1时，f（x）的极值为﹣3，∴()()132013fabfab=+==+=−

，解得：69ab==−，经检验，符合题意.【小问2详解】f（x）+2m2﹣m≥0对任意x＞0恒成立，即f（x）≥m﹣2m2对任意x＞0恒成立，即2min()2fxmm−由（1）知32()69fxxx=−，2()1818fxxx=−，由()0fx得

x＜0或x＞1，由()0fx得0＜x＜1∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减所以当x=1，min()(1)3fxf==−∴232mm−−，即2230mm−−，∴1m−或32m，即m的取值范围为3(,1][,)2−−+.19.某单位共有员工45人，其中男员

工27人，女员工18人．上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核．（1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈，设选出的3

人中男员工人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99．这5名员工笔试成绩与考核

成绩的方差分别记为21s，22s，试比较21s与22s的大小．（只需写出结论）【答案】（1）男员工抽取3人，女员工抽取2人（2）分布列见解析，数学期望为95（3）2212ss=【解析】【分析】（1）求出男员工与女员工的人数比，从而利用分层抽样求出抽取的5人中男、女员工的人数；（2）求

出X的可能取值及对应的概率，求出分布列，数学期望；（3）计算出这5名员工笔试成绩与考核成绩的平均值，进而求出21s，22s，比较出大小.【小问1详解】男员工与女员工的人数比例为27:183:2=，所以抽取的5人中男员工的人数

为35332=+人，女员工人数为25232=+人，【小问2详解】X的可能取值为1,2,3，()123235CC31C10PX===，()213235CC32C5PX===，()3335C13C10PX===，所以X的分布列为：X123P31035110数学期望为363910

5105EX=++=【小问3详解】设这5名员工笔试成绩的平均数为17885899296885x++++==，考核成绩的平均数为2958810210699985x++++==，所以()()()()()222222178888588898892889688385s−+−+−+−+−==，

()()()()()22222219598889810298106989998385s−+−+−+−+−==所以2212ss=.20.已知函数()()21ln2xfxx−=−．（1）求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）存在01x，当()01,xx时，恒有()()1fxk

x−，求实数k的取值范围．【答案】（1）1yx=−（2）(),1−【解析】【分析】（1）求出()10f=，求导，得到()11f=，利用点斜式求出切线方程；（2）结合第一问求解出1yx=−为曲线()yfx=在点()()1,1f的切线方程，从而先求解当1k=时，构造

()()()1gxfxx=−−，求导后得到函数单调性，求出()1fxx−，不合题意；再考虑1k时，()()11fxxkx−−，因此不存在01x，不合要求；最后考虑1k时，存在()2011412

kkx−+−+=，满足要求，求出答案.【小问1详解】()()21ln2xfxx−=−定义域为()0,+，()()2111ln102f−=−=()11fxxx=−+，所以()1111111fxx=−+=−+=，故曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为：1yx=−【小问2详

解】当1k=时，设()()()1gxfxx=−−，则()1111gxxxxx=−+−=−因()01,xx，所以()0gx，所以()gx在()01,xx上单调递减，所以当()01,xx时，()()1

0gxg=，所以当()01,xx时，()1fxx−，不合要求；当1k时，1x，所以()()11fxxkx−−，因此不存在01x，不合要求；当1k时，设()()()1hxfxkx=−−，1x

，则()()211xkxhxx−+−+=，令()0hx=，即()2110xkx−+−+=，解得：()2111402kkx−−−+=，()2211412kkx−+−+=，所以当()21,xx时，()

0hx，所以()hx在()21,xx上单调递增，取02xx=，所以当()01,xx时，()()10hxh=，()()1fxkx−，综上：实数k的取值范围是(),1−【点睛】导函数求解参数的取值范围问题，一般需要构造函数来进行求解，本题中要抓住关键点，就

是第一问提供的思路，首先考虑1k=，进而在考虑其他情况，求出答案.为获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com