【文档说明】《中考数学二轮复习重难题型突破》类型八 二次函数与平行四边形有关的问题（解析版）.doc，共(19)页，1.032 MB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1类型八二次函数与平行四边形有关的问题【典例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐

标．（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）yx

2﹣2x﹣3；（2）满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+10）、（0，﹣3﹣10）、（0，﹣43）；（3）存在，P（﹣1+22，0）、Q（1+22，4）或P（﹣1﹣22，0）、Q（1﹣22，4）．【解析

】【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．

【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，2∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令

y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴AC＝10，设点E（0，m），则AE＝21m+，CE＝|m+3|，∵△ACE是等腰三角形，∴①当AC＝AE时，10＝21m+，∴m＝3或m＝﹣

3（点C的纵坐标，舍去），∴E（3，0），②当AC＝CE时，10＝|m+3|，∴m＝﹣3±10，∴E（0，﹣3+10）或（0，﹣3﹣10），③当AE＝CE时，21m+＝|m+3|，∴m＝﹣43，∴E（0，﹣43），即满足条件的点E的坐标为（0，3）

、（0，﹣3+10）、（0，﹣3﹣10）、（0，﹣43）；（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，∴点Q的纵坐标为4，设Q（t，4），将点Q的坐标代

入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，3∴t＝1+22或t＝1﹣22，∴Q（1+22，4）或（1﹣22，4），分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），∴FB＝PG＝

3﹣1＝2，∴点P的横坐标为（1+22）﹣2＝﹣1+22或（1﹣22）﹣2＝﹣1﹣22，即P（﹣1+22，0）、Q（1+22，4）或P（﹣1﹣22，0）、Q（1﹣22，4）．【点睛】此题主要考查待定系数法求二

次函数解析式、二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．【典例2】如图，抛物线2yxbxc=−++与直线122yx=+交于,CD两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为7(3,)2。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，

过点P作PEx⊥轴于点E，交CD于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,,,OCPF为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。4【解析】（1）∵直线122yx=+经过点C,∴(0,2)C∵抛物线2yxbxc=−++经过点(0,2)C

，D7(3,)2∴227273322cbbcc===−++=∴抛物线的解析式为2722yxx=−++（2）∵点P的横坐标为m且在抛物线上∴271(,2),(,2)22PmmmFmm−+++∵PF∥CO，∴当PFCO=时，以,,,OCP

F为顶点的四边形是平行四边形①当03m时，22712(2)322PFmmmmm=−++−+=−+∴232mm−+=，解得：121,2mm==即当1m=或2时，四边形OCPF是平行四边形②当3m时，2217(2)(2)322PFmmmmm=+

−−++=−5232mm−=，解得：12317317,22mm+−==（舍去）即当13172m+=时，四边形OCFP是平行四边形【典例3】已知抛物线2123yxx=−−+与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）将抛物线1y经过向

下平移，使得到的抛物线与x轴交于B，B两点（B在B的右侧），顶点D的对应点D¢，若90BDB=，求B的坐标和抛物线2y的解析式；（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线1y或2y上是否存在点P，使以,,,BCQP为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点

P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）B'（3，0），y2=-x2+4x-3；（3）P的坐标为（-2，3），（-1+7，-3），（-1-7，-3），（0，-3），（4，-3）．【解析】

【分析】（1）令y=0，即可求出A，B，令x=0，即可求出C的坐标；（2）设B'（t，0），根据由题意得y2由y1平移所得，可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1+t）x-t，求出D'，判断出△BD'B'是等腰直角三角形，可得

yD'=12|BB'|，即可得到关于t的方程，解出t即可求出B'的坐标和y2的解析式；（3）分①若Q在B'右边，②若Q在B'左边：当B'Q为边时和当B'Q为对角线时，这几种情况讨论即可．6【详解】解：（

1）由题意得抛物线2123yxx=−−+与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C，∴当y=0时，223=0xx−−+即（x+3）（1-x）=0解得x1=-3，x2=1，∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），当x=0时，y

=-02-2×0+3=3，∴C的坐标为（0，3），综上：A（-3，0），B（1，0），（0，3）；（2）设B'（t，0），由题意得y2由y1平移所得，∴a=-1，∴可设y2的解析式为：y2=-（x-1）（x-t）=-x2+（1

+t）x-t，∴D'（12t+，()2144tt+−），∵B和B'是对称点，D'在对称轴上，∠BD'B'=90°，∴△BD'B'是等腰直角三角形，∴yD'=12|BB'|，∴()2144tt+−=12（t-1），解得t=3，∴B'（3，0），∴y2=-x2+4x-3；（3）①若Q

在B'右边，则P在x轴上方，且CP∥B'Q，∴yP=yC=3，此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去；②若Q在B'左边，当B'Q为边时，则CP∥B'Q，7此时yP=yC=3，P点在y1上，将yP=3，代入y1得

223=3xx−−+，解得x1=0，x2=-2，∴此时P的坐标为（-2，3）；当B'Q为对角线时，则B'C∥QP，∵yC-yB'=3，∴yQ-yP=3，∵Q在x轴上，∴yP=-3，将yP=-3代入y1得223=3xx−−+−，解得x1=-1+7，

x2=-1-7，将yP=-3代入y2得-x2+4x-3=-3，解得x1=0，x2=4，∴P的坐标为：（-1+7，-3），（-1-7，-3），（0，-3），（4，-3），综上：P的坐标为：（-2，3），（-1+7，-3），（-1-7，-3），（0，-3）

，（4，-3）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质，结合题意灵活运用知识点是解题关键．【典例4】如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点

C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；8【解析】解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0

）在抛物线y=ax2+bx+3上，∴，解得a=﹣1，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，∴C（0，3）．设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标

代入得：，解得k=﹣1，b=3，∴y=﹣x+3．设E点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3），∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．∵四边形ODEF是平行四边形，∴EF

=OD=2，∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2，∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．【典例5】如图，抛物线32++=bxaxy与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，31tan=OCA，6=ABCS．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点E在x

轴上，点F在抛物线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，请写出点E9的坐标（不必书写计算过程）．【解析】解：（1）∵32++=bxaxy∴C(0,3)又∵tan∠OCA=31∴A（1，0）又∵S△ABC=6∴6321=AB∴AB=4∴B（3−，0）（2）把A（1，0）、B（3−，

0）代入32++=bxaxy得：+−=++=339030baba∴1−=a，2−=b∴322+−−=xxy∵4)1(2++−=xy∴顶点坐标（1−，4）（3）①AC为平行四边形的一边时E1析(1−，0)E2（−−27，0）E3（+−27，0）②AC为平行四边形的

对角线时CABOyx10E4（3，0）【典例6】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分

别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存

在，请说明理由．【解析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣

3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=32时，PM最长为=94，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点

P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．【答案】解

：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，11xyAOCB所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P

的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=32时，二次函数的最大值，即PM最长值为=94，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、

M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有94，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍

去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．【典例7】如图，抛物线经过5(1,0),(5,0),(0,)2ABC

−−三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.12x

yAOCB'NPNMH'M【解析】解：（1）设抛物线的解析式为2yaxbxc=++，根据题意，得0,2550,5.2abcabcc−+=++==−，解得1,22,5.2abc==−=−

∴抛物线的解析式为：2152.22yxx=−−（2）由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求.设直线BC的解析式为ykxb=+，由题意，得50,5.2kbb+==−解得1

,25.2kb==−∴直线BC的解析式为15.22yx=−∵抛物线215222yxx=−−的对称轴是2x=，∴当2x=时，153.222yx=−=−∴点P的坐标是3(2,)2−.（3）存在(i)当

存在的点N在x轴的下方时，如图所示，∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，∴点C与点N关于对称轴x=2对称，∵C点的坐标为5(0,)2−，∴点N的坐标为5(4,).2−（II）当存在的点'N在x轴上方时，如图所示，作'NHx

⊥轴于点H，∵四边形''ACMN13是平行四边形，∴'''',ACMNNMHCAO==,∴Rt△CAO≌Rt△''NMH,∴'NHOC=.∵点C的坐标为'55(0,),22NH−=,即N点的纵坐标为52，∴21552,222xx−−=即24100xx−−=解得12214,214

.xx=+=−∴点'N的坐标为5(214,)2−和5(214,)2+.综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为5(4,).2−，5(214,)2+，5(214,)2−【典例8】在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在

y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为，cos∠ABO＝；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的

坐标为；（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平

行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14【答案】【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），即可求出AB的表达式；OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP＝AC或AC，即可求解；（3）△AMQ的

周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，即可求解；（4）分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故直线AB的表达式为：y＝x2+2x；（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4

，故点B（0，4），由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；则∠ABO＝45°，故cos∠ABO＝；对于y＝x2+2x，函数的对称轴为x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP＝AC或AC，则

，即，解得：yP＝2或4，故点P（﹣2，2）或（0，4）；故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；；（﹣2，2）或（0，4）；（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，点A′（4，0），15设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则，解得，故直线A′M的表达

式为：y＝x﹣，令x＝0，则y＝﹣，故点Q（0，﹣）；（4）存在，理由：设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），①当AC是边时，点A向右平移6个单位向上平移6个单

位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；②当AC是对角线时，由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，解得：m＝﹣2，n＝6，故点N（﹣2，6）；

综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．【典例9】如图1（注：与图2完

全相同）所示，抛物线212yxbxc=−++经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P

在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标（请在图2中探索）16【答案】（1）21322yxx=−++；（2）92；（3）点P的坐标为：3(2,)2或（4，52−）或（4

−，212−）．【解析】【分析】（1）由图可知点B、点D的坐标，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；（2）过点M作ME⊥AB于点E，由二次函数的性质，分别求出点A、C、M的坐标，然后得到OE、BE的长度，再利用切割法求出四边形的面积即可；（3）由点Q在y轴上，设Q（0，y

），由平行四边形的性质，根据题意可分为：①当AB为对角线时；②当BQ2为对角线时；③当AQ3为对角线时；分别求出三种情况的点P的坐标，即可得到答案．【详解】解：（1）根据题意，抛物线212yxbxc=−++经过B、D两点，点D为（2−，52−），点B为（3，0），17则2215(2

)22213302bcbc−−−+=−−++=，解得：132bc==，∴抛物线的解析式为21322yxx=−++；（2）∵22131(1)2222yxxx=−++=−−+，∴点M的坐标为（1，2

）令213022xx−++=，解得：11x=−，23x=，∴点A为（1−，0）；令0x=，则32y=，∴点C为（0，32）；∴OA=1，OC=32，过点M作ME⊥AB于点E，如图：∴2ME=，1OE=，2BE=，∴111()2

22ABMCSOAOCOCMEOEBEME=•++•+•四边形，∴131313791(2)122222222442ABMCS=+++=++=四边形；18（3）根据题意，点Q在y轴上，则设点Q为（0，y），∵点P在抛物

线上，且以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，可分为三种情况进行分析：①AB为对角线时，则11PQ为对角线；由平行四边形的性质，∴点E为AB和11PQ的中点，∵E为（1，0），∵点Q1为（0，y），∴点P1的横坐标为2；当2x=时，代入21322yxx=−++，

∴32y=，∴点13(2,)2P；②当BQ2是对角线时，AP也是对角线，∵点B（3，0），点Q2（0，y），19∴BQ2中点的横坐标为32，∵点A为（1−，0），∴点P2的横坐标为4，当4x=时，代入213

22yxx=−++，∴52y=−，∴点P2的坐标为（4，52−）；③当AQ3为对角线时，BP3也是对角线；∵点A为（1−，0），点Q3（0，y），∴AQ3的中点的横坐标为12−，∵点B（3，0），∴点P3的横坐标为4−，当4x=−时，代入21322yxx=−++，

∴212y=−，∴点P3的坐标为（4−，212−）；综合上述，点P的坐标为：3(2,)2或（4，52−）或（4−，212−）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注

意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析．