【文档说明】高三北师大版数学（文）一轮复习教师文档：第二章第五节　对数与对数函数 含解析【高考】.doc，共(8)页，315.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第五节对数与对数函数授课提示：对应学生用书第23页[基础梳理]1．对数的概念如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN．2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质①loga

1＝0；②logaa＝1．(2)对数恒等式alogaN＝N．(其中a＞0且a≠1)(3)对数的换底公式logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1，N＞0)．(4)对数的运算法则如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0

，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．对数函数的定义、图像与性质定义函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫作对数函数图像a＞10＜a＜

1性质定义域：(0，＋∞)值域：(－∞，＋∞)当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(

a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．1．换底公式的三个重要结论(1)logab＝1logba；-2-(2)logambn＝nmlogab；(3)logab·logbc·logcd＝logad.

2．对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．[四基自测]1．(基础点：对数运算)lg2＋lg5＝()A．

10B．1C．lg7D．lg2lg5答案：B2．(基础点：对数函数的图像)y＝ln|x|的图像为()答案：B3．(基础点：对数函数性质)a＝log23.4，b＝log82，c＝log0.32.7由大到小的排列顺序为_____

___．答案：a＞b＞c4．(易错点：对数函数单调区间与定义域)函数y＝2ln(x＋1)的递增区间为________．答案：(－1，＋∞)授课提示：对应学生用书第24页考点一对数式的化简与求值挖掘1直接利用对数性质计算/自主练透[例1](1)(2020·洛阳市尖子生联考)已知定义在R上的函

数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(31)＝()A．0B．1C．－1D．2[解析]由f(x＋1)＝f(1－x)及f(－x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f[1－(x＋1)]

＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(31)＝f(4×8－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，故

选C.[答案]C(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数ƒ(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，ƒ(a)＝4，则ƒ(－a)＝-3-________．[解析]∵ƒ(x)＋ƒ(－x)＝ln(1＋x2－x)＋1＋ln(1＋x2＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，∴ƒ(a)＋ƒ(－a)＝2，∴ƒ(

－a)＝－2.[答案]－2(3)lg2＋lg50＝________．[答案]1挖掘2利用指数与对数的转化求值/互动探究[例2](1)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．

3y<5z<2xD．3y<2x<5z[解析]设2x＝3y＝5z＝k>1，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝2logk2－3logk3＝2logk3－3logk2logk2·logk3＝logk3

2－logk23logk2·logk3＝logk98logk2·logk3>0，∴2x>3y；∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝3logk3－5logk5＝3logk5－5logk3logk3·logk5＝logk53－logk35logk3·logk5＝

logk125243logk3·logk5<0，∴3y<5z；∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝2logk2－5logk5＝2logk5－5logk2logk2·logk5＝logk52－logk25logk2·logk

5＝logk2532logk2·logk5<0，∴5z>2x.∴5z>2x>3y，故选D.[答案]D(2)(2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝5

2lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10－10.1[解析]由题意

知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lgE1E2，所以lgE1E2＝10.1，所以E1E2＝1010.1.故选A.[答案]A[破题技法]对数的运算方法，主要有两种方法

：一是对数式转化为指数式；-4-二是利用对数运算法则，进行变形：(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并，正确使用幂的运算法则．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆

用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算，正确使用对数的运算法则．(3)注意指数式与对数式的相互转化关系．将例2(1)变为：设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________．解析：a＝log2m，b＝log5m.∴1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋

logm5＝logm10.∴logm10＝2，∴m2＝10，∴m＝10.答案：10考点二对数函数的图像及应用挖掘1辨认对数型图像/自主练透[例1](1)(2018·高考全国卷Ⅲ)下列函数中，其图像与函数y＝l

nx的图像关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)[解析]函数y＝ƒ(x)的图像与函数y＝ƒ(a－x)的图像关于直线x＝a2对称，令a＝2可得与函数y＝lnx的图像关于直线x＝1对称的是函数y＝ln(2－x)的图

像．故选B.[答案]B(2)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y＝1ax，y＝logax＋12(a>0，且a≠1)的图像可能是()[解析]当0<a<1时，函数y＝ax的图像过定点(0，1)，在R上单调递减

，-5-于是函数y＝1ax的图像过定点(0，1)，在R上单调递增，函数y＝logax＋12的图像过定点12，0，在－12，＋∞上单调递减．因此，选项D中的两个图像符合．当a>1时，函数y＝ax的图像过定点(0，1)，在R上单

调递增，于是函数y＝1ax的图像过定点(0，1)，在R上单调递减，函数y＝logax＋12的图像过定点12，0，在－12，＋∞上单调递增．显然A、B、C三个选项都不符合．故选D.[答案]D挖掘2利用对数型图像求参数/互动探

究[例2]当0＜x≤12时，4x＜logax，则a的取值范围是()A.0，22B.22，1C．(1，2)D．(2，2)[解析]由题意得，当0＜a＜1时，要使得4x＜logax0＜x≤12，即当0＜x≤12时，函数y＝4x的图像在函数y＝l

ogax图像的下方．又当x＝12时，412＝2，即函数y＝4x的图像过点12，2，把点12，2代入函数y＝logax，得a＝22，若函数y＝4x的图像在函数y＝logax图像的下方，则需22＜a＜1(如图所示)．当a＞1时，不符

合题意，舍去．所以实数a的取值范围是22，1.[答案]B[破题技法]1.(1)y＝log1ax＝－logax，故与y＝logax的图像关于x轴对称．(2)在第一象限，顺时针方向看对数的底逐渐变大．2．应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平

移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调-6-区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．求参数时往往使其中一个函数图像“动起来”，找变化的边界位置，得

参数范围．与绝对值相联系的函数图像．①y＝|logax|(a>1)的图像如图(1)．②y＝loga|x|(a>1)的图像如图(2)．③y＝|loga|x||(a>1)的图像如图(3)．将例2变为：若不

等式x2－logax＜0对x∈0，12恒成立，求实数a的取值范围．解析：显然0＜a＜1，当y＝logax过点12，14时，即loga12＝14，∴a＝116，如图，显然满足x2－logax＜0，令y＝logax

绕(1，0)顺时针转动时，满足x2－logax＜0，∴116≤a＜1.考点三对数函数的性质及其应用挖掘1与对数大小有关的问题/互动探究[例1](1)a＞b的充分不必要条件是()A．ln(a－b)＞0B．3a＜3bC．a3－b3＞0

D．|a|＞|b|[解析]A．∵ln(a－b)＞0，∴a－b＞1＞0，∴a＞b.但a＞b时a－b＞1，故a＞bln(a－b)＞0.C．a3－b3＞0⇔a3＞b3⇔a＞b.B、D是既不充分也不必要．故选A.[答案]A(2)已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则()A．πe＜3eB．3

e－2π＜3πe－2C．logπe＞log3eD．πlog3e＞3logπe[解析]对于选项A，函数y＝xe在(0，＋∞)上单调递增，所以πe＞3e，故选项A错误．对于选项B，3e－2π＜3πe－2，两边同时除以3π可得3e－3＜πe－3，由函数

y＝xe-7-－3在(0，＋∞)上单调递减可得选项B错误．对于选项C，由logπe＞log3e可得1lnπ＞1ln3，所以lnπ＜ln3，而函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，故选项C错误．对于选项D

，由πlog3e＞3logπe可得πln3＞3lnπ，所以πlnπ＞3ln3，所以ππ＞33，故选项D正确．故选D.[答案]D[破题技法]1.(1)形如函数y＝logaf(x)求定义域，要在a＞0，a≠1的前提下，使f(x)＞0.(2)判断y＝lo

gaf(x)型的奇偶性要结合对数的运算：logaf(x)＋logaf(－x)及logaf(x)－logaf(－x)，其单调性利用复合函数y＝logan，n＝f(x)的单调性的法则．2．比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字

母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．挖掘2与对数有关的不等式/互动探究[例2](1)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a

＞0，a≠1)，若f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．[解析]当a＞1时，f(x)＝loga(8－ax)在[1，2]上是减函数，由f(x)＞1恒成立，则f(x)min＝loga(8－2a)＞1，解得1＜a＜83.若0＜a＜1时，f(x)在x∈[1，2]

上是增函数，由f(x)＞1恒成立，则f(x)min＝loga(8－a)＞1，∴0＜8－a＜a，∴4＜a＜8无解．综上a的范围为(1，83)．[答案]1，83(2)解不等式2loga(x－4)＞l

oga(x－2)．[解析]当a＞1时，原不等式等价于（x－4）2＞x－2，x－4＞0，x－2＞0，解得，x＞6；当0＜a＜1时，原不等式等价于（x－4）2＜x－2，x－4＞0，x－2＞0，解得，4＜x＜6.所以当a＞

1时，不等式的解集为(6，＋∞)；当0＜a＜1时，不等式的解集为(4，6)．[破题技法]1.求形如y＝logaf(x)的单调区间，首先求定义域：f(x)＞0，同时结合复合函数“同增异减”的法则．2．解对数不等式

的类型及方法(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．-8-(2)形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．设函数f(x)＝log2x，x＞0，lo

g12（－x），x＜0，若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，1)解析：由题意可得a＞0，log2a＞－log2a或a＜0，log12

（－a）＞log2（－a），解得a＞1或－1＜a＜0.答案：C