【文档说明】重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期4月月考试题 数学 含答案.docx，共(9)页，516.494 KB，由管理员店铺上传

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2023-2024学年（下）第一阶段性学业质量联合调研抽测高一数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数z满足i34iz=+(其中i为虚数单位)，则z的虚部为（）A．3−B．3C．

3i−D．3i2．设复数2iz=+的共轭复数为z，则zzzz−+=（）A．32i+B．32i−C．52i−D．52i+3．与向量a=（12，5）垂直的单位向量为()A．（1213，513）B．（-1213，-513）C．（513−，1213）或（513，-12

13）D．（±1213，513）4．已知等边ABC，边长为1，则34ABBC+等于（）A．37B．5C．13D．75．ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足coscosabBA=，则ABC的形状是A．正三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．已

知复数12zz，满足()11212231iizzzzz=−=−，，为虚数单位，则12zz=（）A．1B．2C．1-iD．2-i7．在ABC中，5,,26412BCAC===，AC的中点为D，若长度为3的线段PQ（P在Q的左侧）在直线BC上移

动，则APDQ+的最小值为A．302102+B．303102+C．304102+D．305102+8．已知平面向量,,abc满足12,3abc===，，则以下说法正确的有个.①max6abc++=rrr；②对于平面内任

一向量m，有且只有一对实数1，2使12mab=+；③若01，且0bc=，则()1abc−−−的范围为61313,413−；④设(),,,1OAbOBaOPtOAOQtOB====−，

且||PQ在0t处取得最小值，当010,5t时，则2,,23ab；A．1B．2C．3D．4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2

分，有选错的得2分。9．在复平面内，复数z对应的点是()1,1，则（）A．1iz=+B．1iz=−+C．2z=D．2z=10．下列叙述中错误的是（）A．若ab=，则32abB．若//ab，则a与b的方向相同或相反C．若//ab，//bc，则//acD．对任一非零向量a，aa是一个

单位向量11．已知△𝐴𝐵𝐶面积为12，6BC=，则下列说法正确的是（）A．若25cos5B=，则3sin5A=B．sinA的最大值为1213C．cbbc+的值可以为92D．2cbbc+的值可以为92三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共1

5分。12．已知𝑎⃗=(1,2)，𝑏⃗⃗=(𝑥,2)，若𝑎⃗⊥𝑏⃗⃗，则b=.13．若复数1i2ia+−为纯虚数，则实数a的值为．14．若点C在以P为圆心，6为半径的弧𝐴𝐵⏜（包括A、B两点）上，120APB=，且PCxP

AyPB=+，则23xy+的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵𝐶中，,ABACA=与A在直线BC的同侧，ABACABAC++=，直线AC与直线AB交于O.(1)若2

,1ABAC==，求sinA的取值范围；(2)证明：OAOA.16．已知复数()()2sincossin2cosiz=+++，其中()0,.(1)当=时，z表示实数；当=时，z表示纯虚数.求()tan−的值.(2)复数z的长度记作||z，求||z的最大值.

17．蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的

三等分点，60ADC=，2AD=．(1)若45ACD=，求三角形手巾的面积；(2)当ACAB取最小值时，请帮设计师计算BD的长．18．在英语中，实数是RealQuantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部

；虚数是ImaginaryQuantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：()Re23i2+=，()Im23i3+=；()Re3i0−=，()Im3i3−=−.已知复数z是方程2220xx++=的解.(1)若()Im0z，且2ia

bz=−（a，Rb，i是虚数单位），求iab+；(2)若()Im0z，复数20231i3itzz+=+，Rt，且()1Re0z，()1Im0z，求t的取值范围.19．“费马点”是由十七世纪法国数学家

费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△𝐴𝐵𝐶的三个内角均小于120时，使得120AOBBOCCOA===

的点O即为费马点；当△𝐴𝐵𝐶有一个内角大于或等于120时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△𝐴𝐵𝐶的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且cos2cos2cos21BCA+−=

(1)求A；(2)若2bc=，设点P为△𝐴𝐵𝐶的费马点，求PAPBPBPCPCPA++；(3)设点P为△𝐴𝐵𝐶的费马点，PBPCtPA+=，求实数t的最小值．2023-2024学年（下）第一阶段性学业质量联合调研抽测高一数学答案（分数：150分，时间：120分钟

）1．A2．D3．C4．C5．D6．C由题意，根据复数的定义，设出复数，结合模长公式，以及共轭复数与复数的乘法，可得答案.7．B先根据正弦定理求得,BCAB，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据对称性和两点间的距离公式，求得所求的最小值.8．C根据题意，利用向量知识，

对每个选项进行逐一判断即可.9．AD根据复平面内，复数的z对应的点的坐标，即可求得复数z，逐一分析选项，即可得答案.10．ABC本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解.11．AD利用同角的三角函数的基本关系结合面积、余弦定理可得,ac，计算出sinA可判断A的正误，而利

用余弦定理、基本不等式可得关于A的三角函数不等式，从而可判断B的正误，对于C，求出cbbc+的范围后可判断其正误，对于D，由292cbbc+=可得cb的值，结合已知条件可判断三角形是否存在.12．2513．214．257[2,]315．（1）在△

𝐴𝐵𝐶中，因为2,1ABACAC===，所以23ABABAC−==，设BCa=，由于ABACaABACABACaABAC−+−+，所以24a，由余弦定理得2222cos128ACABaaAACAB+−==−，所以11cos2A−，从而ππ3

A，故0sin1A；（2）连结AA，记,OAAOAA==，在OAA中由正弦定理知，要证明OAOA，只需证明.设,ABACbABm===，,ACnAAd==，由题意

知bnmb−=−，从而在CAA与BAA△中由余弦定理得()()()22222222222coscos222dmbbbmmbnbdnmdbbdmdmbd−+−+−+−+−−=−=()()()()()22022mbdbmbmbmnmbdmbdbmmbdmbd−−−++−+−+

−==所以，故OAOA.16．（1）因为当=时，z表示实数，所以sin2cos0+=，所以tan2=-.又因为当=时z表示纯虚数，所以2sincos0+=，且sin2cos0+所以1tan2=−.从而()1

2tantan32tan11tantan4122−+−−===−++.（2）因为()()2222sincossin2cosz=+++()225sincos8sincos54sin2=++=+.当π4=时，sin2=1，则2z

取得最大值9，此时z的最大值为3.17．（1）在△𝐴𝐶𝐷中，45ACD=，60ADC=，故75DAC=，120ADB=，由正弦定理得sinsinDCADDACACD=，即2sin75sin45DC=，而123226sin75sin(3045)22224+=+

=+=，故26241322DC+==+，故11(13)22BDDC==+,故三角形手巾的面积为11sinsin22ADCADBADCADBSSADDCADDB+=+1311339332(13)2222224++=++=（2）设(0)BDmm=

，则2CDm=，则在ABD△中，22222cos42ABBDADBDADADBmm=+−=++，在△𝐴𝐶𝐷中，22222cos444ACCDADCDADADCmm=+−=+−，故2222224444(42)12(1)4242A

CmmmmmABmmmm+−++−+==++++2212(1)12(1)12444342(1)3(1)1mmmmmmm++=−=−=−+++++++，由于33(1)2(1)2311mmmm+++=++，当且仅当311mm+=+，即3

1m=−时取等号，故121244423323(1)1mm−−=−+++，即22ACAB取到最小值即ACAB取最小值时，31m=−，即此时31BD=−.18．（1）因为z是方程2220xx++=的根，解得1iz=−，Im（z）0，1iz=−+，2i1iaabz==−−+，

()()()2i1i22iabbb=−−+=−+++，220abb=−++=，解得4,2ab==−，i25ab+=；（2）Im（z）0，复数20231i3itzz+=+，Rt，且Re（1z）0，Im

（1z）01iz=−−，又20233iii==−，()20231212iii12i12i5ttttz−−+−+−===−+−+，Re（1z）0，Im（1z）02051205tt−−

−，解得122t−.所以t的取值范围为122t−.19．（1）由已知△𝐴𝐵𝐶中cos2cos2cos21BCA+−=，即22212sin12sin12sin1BCA−+−−+=，故222sinsins

inABC=+，由正弦定理可得222abc=+，故△𝐴𝐵𝐶直角三角形，即π2A=.（2）由（1）π2A=，所以三角形ABC的三个角都小于120，则由费马点定义可知：120APBBPCAPC===，设,,PAxPBy

PCz===，由APBBPCAPCABCSSSS++=得：131313122222222xyyzxz++=，整理得433xyyzxz++=，则PAPBPBPCPAPC++111143232

22233xyyzxz=−+−+−=−=−.（3）点P为△𝐴𝐵𝐶的费马点，则2π3APBBPCCPA===，设||||||||,||,00,,0,PBmPAPCnP

APAxmnx===，则由PBPCtPA+=得mnt+=；由余弦定理得()22222222π||2cos13ABxmxmxmmx=+−=++，()22222222π||2cos13ACxnxnxnnx=+−=

++，()2222222222π||2cos3BCmxnxmnxmnmnx=+−=++，故由222||||||ACABBC+=得()()()222222211nnxmmxmnmnx+++++=++，即2mnmn++=，而0,0mn，故22()2mnmnmn+++=

，当且仅当mn=，结合2mnmn++=，解得13mn==+时，等号成立，又mnt+=，即有2480tt−−，解得223t+或223t−（舍去），故实数t的最小值为223+.