【文档说明】四川省宜宾市第四中学校2020届高三下学期第一次在线月考数学（理）试题【精准解析】.doc，共(21)页，1.586 MB，由小赞的店铺上传

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2020年春四川省宜宾市第四中学高三第一学月考试理科数学注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.1.已知集合0,1A=，0,1,2B=，则AB的子集个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】先由题意求出AB,然后再求子集个数.【详解】由题意可得:0,1AB=,有两个元素,则其子集个数有224=个.故选:A.【点睛】本题考查了

集合的运算以及集合子集个数的求解,考查运算求解能力,属于基础题.2.i为虚数单位，复数21iz=+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】化简复数z，根据实部与虚部即可判断对应的点所在象限.【

详解】()()()212221112iiziii−−====++−1-i，在复平面内的对应点位（1，-1），故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，化简复数为1-i，是解题的关键．3.已知f(x)=1,00,01,0xxxx

x−=+,则f[f(3)]=()A.1B.2C.3D.5【答案】A【解析】由题设可得(3)312f=−=，[(3)](2)211fff==−=，应选答案A．4.下列函数中，任取函数定义域内,xy，满足()()xffxfyy=−，且在定

义域内单调递减的函数是（）A.2()fxx−=B.12()logfxx=C.()xfxe=D.()xxfxee−=−【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的性质，结合对数函数的单调性，即可容易判断.【详解

】对函数()12logfxx=，其定义域为()0,+，满足()()111222logloglogxxfxfyxyfyy−=−==，又因为()10,12，故()fx在定义域内是单调减函数.故选：B.【点睛】本题考查对数的运

算性质，以及对数函数的单调性，属基础题.5.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用

秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入,nx的值分别为3,3.则输出v的值为（）A.15B.16C.47D.48【答案】D【解析】执行程序框图：输入331,2,0nxvii====，，，是0i，是，132

5,1vi=+==;0i，是，53116,0vi=+==;0i，是，163048,1vi=+==−;0i，否，输出48v=.故选D.6.函数()()20622xxfxx−=−的图象大致

形状为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数()yfx=的奇偶性，在区间(0,6上的函数值符号进行排除，可得出函数()yfx=的图象.【详解】函数()222xxfx−=−的定义域为)(6,

00,6−U，关于原点对称，且()()222xxfxfx−−==−−，该函数为奇函数，排除C、D选项，当06x时，22xx−，此时，()0fx，排除A选项，故选B.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般利用函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号进行排除，考查分析问题和解决问题

的能力，属于中等题.7.已知平面向量ab，的夹角为π3，且a1b2==，，则()2abb+=（）A.64B.36C.8D.6【答案】D【解析】【分析】根据向量运算的公式，直接计算出()2?abb+的值.【详解】依题意()22

2abbabb+=+2π212cos263=+=，故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量的运算，属于基础题.8.二项式2nxxx−的展开式中第7项是常数项，则n的值是（）A.8B.9C.10D.11【答案】B【解析】【分析】利用二项展开式的通项

公式，得第7项x的指数，利用指数为零，求出n的值．【详解】二项式2nxxx−的展开式中第7项为()6666666696+131=222nnnnnnnnxTCxCxCxxx−−−−−−==，由于第7项为常数项，则n﹣9＝0，解得n＝9故选B．【点睛】

本题考查二项展开式的通项公式的理解与应用，属于基础题．9.函数()2sin223cos2fxxx=+−的一条对称轴是（）A.π12x=B.π6x=C.π3x=D.π2x=【答案】A【解析】【分析】利用降次公式和辅助角公式化简函数()fx解析式，再根据正弦

型函数的对称轴的求法，求得函数的对称轴，从而得出正确选项.【详解】依题意，()sin23cos232fxxx=++−π2sin2323x=++−，由ππ2π32xk+=+解得ππ,212kxkZ=+为函数的对称

轴，令0k=求得函数的一条对称轴为π12x=.故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查正弦型三角函数的对称轴的求法，属于基础题.10.若347logloglog2xyz==−，则（）A.347xyz

B.743zyxC.437yxzD.734zxy【答案】B【解析】【分析】令347logloglog2xyzk===−,可得3kx=,4ky=,7kz=,进而得到133kx+=,144k

y+=,177kz+=,画出3xy=,4xy=,7xy=的图象,利用图象比较大小即可.【详解】令347logloglog2xyzk===−,则3kx=,4ky=,7kz=133kx+=,144ky

+=,177kz+=,且11k+−分别画出3xy=,4xy=,7xy=的图象可得,111743kkk+++,即743zyx故选B.【点睛】本题考查指对互化,考查指数函数图象,考查利用图象比较值的

大小.11.双曲线22:4Cxy−=的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若POPF=，则PFO的外接圆方程是（）A.22220xyx+−=B.2220xyx++=C.22220xyxy+−

+=D.2222220xyxy+−−=【答案】A【解析】【分析】求出双曲线C的渐近线方程和右焦点F的坐标，易知4POF=，再由POPF=可知PFO是以OF为斜边的等腰直角三角形，可得知PFO的外接圆的一条

直径为OF，由此可得出PFO的外接圆方程.【详解】易知双曲线C是等轴双曲线，其右焦点为()22,0F，渐近线方程为yx=.当点P在渐近线上时，4POF=，又POPF=，则PFO是以OF为斜边的等腰直角三角形，所

以，PFO的外接圆的一条直径为OF，其圆心为线段OF的中点()2,0，半径为2，因此，PFO的外接圆方程为()2222xy−+=，即22220xyx+−=，故选A.【点睛】本题考查三角形外接圆方程的求解，要充分分析三角形的形状，确定三角形外接圆的圆心和半径，

即可得出三角形的外接圆方程，也可以设三角形的外接圆为一般方程，将三角形的三个顶点坐标代入圆的方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.12.若0x，0y，21xy+=，则2xyxy+的最大值为（）A.14B.15C.19D.112【答案】C【解

析】【分析】由21xy+=变形12xy−=，代入式子得到231xxx−+，取3+1xt=，带入化简利用均值不等式得到答案.【详解】1212xxyy−+==，2231xyxxxyx−=++设13+1(14)3txtxt−==原式2545

4541()299999819ttttt−+−==−+−=当4299ttt==即11,33xy==时有最大值为19故答案选C【点睛】本题考查了最大值，利用消元和换元的方法简化了运算，最后利用均值不等式得到答

案，意在考查学生对于不等式知识的灵活运用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某高中三年级甲、乙两班各选出7名学生参加高中数学竞赛，他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如下，其中甲班学生成绩中位数为81，乙班学生成绩

的平均数为86，则xy+=______.【答案】5【解析】【分析】由中位数和平均数的定义可得x，y的值，计算可得结果．【详解】甲班学生成绩的中位数是80+x＝81，得x＝1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）＝598+y，乙班学

生的平均分是86，且总分为86×7＝602，所以y＝4，∴x+y=5．故答案为5．【点睛】本题考查了茎叶图的应用及中位数和平均数的定义，属于基础题．14.已知向量a=（sin2α，1），b=（cosα，1），若a∥b，π02，则=_

_____．【答案】6【解析】【分析】先根据向量平行坐标关系得sin2α−cosα=0，再根据二倍角正弦公式化简得sinα=12，解得结果.【详解】向量a=（sin2α，1），b=（cosα，1），若a∥b，则sin2α−cosα=0

，即2sinαcosα=cosα；又π02，∴cosα≠0，∴sinα=12，∴6=．故答案为6．【点睛】本题考查向量平行坐标关系以及二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属中档题.15.已知公比为整数的等比数列na的前n项和为nS，

且24a=，314S=，若2lognnba=，则数列11nnbb+的前100项和为______．【答案】100101【解析】【分析】根据条件先计算出，2nna=，然后得到nbn=，再利用裂项求和法得到答案

.【详解】公比为整数的等比数列na的前n项和为nS214aaq==，2311114Saaqaq=++=解得2q=或12q=（舍去）12a=，2nna=22loglog2nnnban===11111(

1)1nnbbnnnn+==−++前100项和为11001101101−=故答案为100101【点睛】本题考查了数列的通项公式，前n项和，综合性强，意在考查学生对于数列的方法的灵活运用.16.已知椭

圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，过2F的直线与椭圆交于A、B两点，若1FAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．【答案】63−【解析】分析：设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1

构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=2m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得22ca，开方得答案．详解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1

|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=2m，由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a=2m+2m，即m=2（2﹣2）a，则|AF2|=2a﹣m=（22﹣

2）a，在直角三角形AF1F2中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，即4c2=4（2﹣2）2a2+4（2﹣1）2a2，∴c2=（9﹣62）a2，则e2=22ca=9﹣62=9218−，∴e=63−．故答案为：

63−．点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等

式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必

考题：共60分.17.我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：（单位：吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全布市民用用水

量分布情况，通过袖样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1)……[4,4,5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若该市政府看望使

85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．【答案】（1）0.30；（2）估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准【解析】【分析】（1）利用频率分直方图中的矩形面积的和为1求a即可（2）先大体估计一下x所在的区间，再根据区间0,x的频率之和为0

.85，求解x的值【详解】（1）由直方图，可得(0.080.160.400.520.120.080.04)0.51aa++++++++=，解得0.30a=.（2）因为前6组频率之和为0.080.160.300.400.520.300.50.

880.85.+++++=（）而前5组的频率之和为0.080.160.300.400.520.50.730.85.++++=（）所以2.53x.由0.32.50.850.73x−=−（）解得2.9x=.因此，估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月

的用水量不超过标准.【点睛】本题考察了频率分布直方图中各个基本量的计算关系，需熟记的是，频率分布直方图中矩形面积之和为1；在横坐标上需找具体某一点计算符合条件概率值的方法一般为：先通过估算确定具体所在区间，再根据矩形面积为概率值的特点，列出公式进行求解

18.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4tan3A=，1tan3B=，5a=.（1）求tanC；（2）求ABC中的最长边.【答案】（1）3−（2）最长边为15108【解析】【分析】（1）根据tanA和tanB的值计算出tanC.（2）由（1）可得C为钝角，c边最长，进而根据正

弦定理求得c．【详解】（1）因为()tantantantan1tantanABCABAB+=−+=−−41333419+=−=−−.（2）由（1）知C为钝角，所以C为最大角，因为4tan3A=，所以4sin5A

=，又tan3C=−，所以310sin10C=.由正弦定理得：54310510c=，所以15108c=为最大边.【点睛】本题主要考查了同角的三角函数关系及两角和的正切公式和正弦定理的应用，属于基础题．

19.如图，在矩形ABCD中，4AB=，2AD=，E是CD的中点，以AE为折痕将DAE向上折起，D变为D¢，且平面DAE⊥平面ABCE．（1）求证：ADEB⊥；（2）求二面角ABDE−−的大小．【答案】（1）见证明；（2）90°【解析】【分析】（1）利用

EB垂直于'AD所在的平面ADE，从而证得ADEB⊥；（2）找到三条两两互相垂直的直线，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，再分别求出两个面的法向量()10,2,1n=，()21,1,2n=−，最后求法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角的大小.【详解】（1）

证明：∵22AEBE==，4AB=，∴222ABAEBE=+，∴AEEB⊥，∵DAEABCE⊥平面平面，DAEABCEAE=平面平面，EBABCE平面，∴EBADE⊥平面，ADADE平面，∴ADEB⊥.（2）如图建立空间直角坐标系，则()4,2,0A、()0,0

,0C、()0,2,0B、()3,1,2D、()2,0,0E，从而()4,0,0BA=，()3,1,2BD=−，()2,2,0BE=−.设()1111,,nxyz=为平面ABD的法向量，则11111140,320,nBAxnBDxyz==

=−+=令1110,2,1xyz===，所以()10,2,1n=，设()2222,,nxyz=为平面'BDE的法向量，则2222222220,320,nBExynBDxyz=−==−+=，令2211,1,2xyz===，所以()21,1,2n=−，因

此，120nn=，有12nn⊥，即ABDBDE⊥平面平面，故二面角ABDE−−的大小为90.【点睛】证明线线垂直的一般思路：证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面，所以根据题目所给的图形，观察并确定哪一条线垂直于哪一条线所在的平面，是证明的关键.20.已知椭圆2222:1(0)xyCa

bab+=过点()2,0P−,直线l与椭圆C相交于,AB两点(异于点P).当直线l经过原点时,直线,PAPB斜率之积为34−.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线,PAPB斜率之积为14−,求AB的最小值.【答案】(1)22143xy+=.(2)min||3AB=.【解析

】试题分析：(1)设出直线方程,利用直线的斜率公式、点在椭圆上求出椭圆的标准方程;(2)联立直线和椭圆的方程,得到关于y的一元二次方程,利用根与系数的关系、直线的斜率公式和弦长公式进行求解.试题解析：设()()1122AxyBxy直线:lxmyn=+,(1)当l经过原点时,21

21,xxyy=−=−,此时2211112211112244PAPByyyyKKxxxx−−===+−+−−,又2222111221,1444xyybAbx+==−−因为在椭圆上所以,223344bb−=−=所以所以椭圆方程为22143xy+=.(2)由()222

223463120143xmynmymnynxy=++++−=+=,122634mnyym−+=+所以,21231234nyym−=+,由()()1212121211422224PAPByyyyKKxxxx=−==−++++,()()12124220yymyn

myn+++++=,()()()()2212124220myymnyyn++++++=,()()()22222312642203434nmnmmnmnmm−−+++++=++所以,()12nn==−或舍,:1lxmy=+所以,l所以恒过定点()1,0,AB所以=2121myy+−=2

22121134mmm+++=2134143344m−=+,当0m=时,AB的最小值为3,当直线的斜率为零时,不合题意,综上,min||3AB=.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该

问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知2()2ln(2)(1)()(1)

fxxxgxkx=+−+=+，.（1）求()fx的单调区间；（2）当2k=时，求证：对于1x−，()()fxgx恒成立；（3）若存在01x−，使得当0(1,)xx−时，恒有()()fxgx成立，试求k的取值范围.【答

案】（1）单调减区间为35(2,)2−+−，单调增区间为35(,)2−++；（2）详见解析；（3）(,2)−.【解析】【详解】试题分析：（1）对函数()fx求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数()fx的单调区间.（2）构造

函数()()()hxfxgx=−，利用导数求得函数()hx在()1,−+上递减，且()10h−=，则()0hx，故原不等式成立.（3）同（2）构造函数()()()hxfxgx=−，对k分成2,2,2kkk=三类，讨论函数()hx的单调性、极值和最值，由此求得k的

取值范围.试题解析：（1）()()2'212fxxx=−++()2231(2)2xxxx−++=−+，当()'0fx时，2310++xx.解得352x−+．当()'0fx时，解得3522x−+−．所以()fx单调减区间为352,2−+−，单

调增区间为35,2−++．（2）设()()()hxfxgx=−()()()22ln211(1)xxkxx=+−+−+−，当2k=时，由题意，当()1,x−+时，()0hx恒成立．()()223122'xxxhx−++=−+(

)()2312xxx−++=+，∴当1x−时，()'0hx恒成立，()hx单调递减．又()10h−=，∴当()1,x−+时，()()10hxh−=恒成立，即()()0fxgx−．∴对于1x−，()()fxgx恒成

立．（3）因为()()223'12xxkxhx−++=−+()226222xkxkx++++=−+．由（2）知，当2k=时，()()fxgx恒成立，即对于1x−，()()()22ln2121xxx+−++，不存在满足条件的0x；当2k时，对于1x−，10x+，此时()()211xk

x++．∴()()()()22ln21211xxxkx+−+++，即()()fxgx恒成立，不存在满足条件的0x；当2k时，令()()()22622txxkxk=−−+−+，可知()tx与()'hx符号相同，当()0,xx+时，()0tx，()'0hx，()hx单

调递减．∴当()01,xx−时，()()10hxh−=，即()()0fxgx−恒成立．综上，k的取值范围为(),2−．点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，这是导数问题的基本题型，也是基

本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计

分.22.已知直线l的参数方程是22{2422xtyt==+（t是参数），以坐标原点为原点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos4=+.（1）判断直线l与曲线C的位置关系；（2）过直线l上的点作

曲线C的切线，求切线长的最小值.【答案】（1）相离；（2）42.【解析】【详解】试题分析：（1）利用加减消元法消去t，可得直线的方程为42yx=+.将圆的极坐标方程展开后两边成立，转化为直角坐标方程为2222220xyxy+−+=.利用圆心到直线

的距离判断出直线和圆相离.（2）利用直线的参数方程，得到直线上任意一点的坐标，利用勾股定理求出切线长，最后利用配方法求得最小值.试题解析：（1）由直线l的参数方程消去参数t得l的方程为42yx=+.4cos22cos2

2sin4=+=−，222cos22sin=−，曲线C的直角坐标方程为2222220xyxy+−+=，即()()22224xy−++=.圆心()2,2−到直线l的距离为2242622d++==，直

线l与圆C的相离.（2）直线l上的点向圆C引切线，则切线长为222222242222tt−+++−()2284843242ttt=++=++．即切线长的最小值为42.23.已知函数4(2)1fxxx=−++.（1）解不等式()9fx

；（2）若不等式()2fxxa+的解集为2,|30ABxxx=−，且满足BA，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ）[2,4]−；（Ⅱ）5a.【解析】【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求

出B，根据集合的包含关系求出a的范围即可．【详解】（Ⅰ）()9fx可化为2419xx−++，即>2,339xx−或12,59xx−−或<1,339,xx−−+解得2<4x或12x−，或2

<1x−−；不等式的解集为2,4−．（Ⅱ）易知()0,3B=；所以BA，又241<2xxxa−+++在()0,3x恒成立；24<1xxa−+−在()0,3x恒成立；1<24<1xaxxa−−+−+−在()0,3x恒成立；()()>30,

305>350,35axxaaaxxa−−+在恒成立在恒成立．【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．