【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第1章 第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词 含解析.doc，共(8)页，272.500 KB，由envi的店铺上传

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全称量词与存在量词、逻辑联结词[考试要求]1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词与存在量词(1)常见的全称量

词有“所有”“每一个”“任何”“任意一个”“一切”等．(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等．2．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．3．命题的否定(1)全称命题的否

定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.提醒：(1)命题的否定与否命题的区别：否命题是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；命题的否定即“非p”，只是否定命题p

的结论．(2)对含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．4．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：pq綈p綈qp或qp且q真真假假真真真假假真真假假真真假真假假假真真假假[常用结论]含有逻辑联结词的命

题真假的判断规律(1)p或q：“有真则真，全假才假”，即p，q中只要有一个真命题，则p或q为真命题，只有p，q都是假命题时，p或q才是假命题．(2)p且q：“有假则假，全真才真”，即p，q中只要有一个假命

题，则p且q为假命题，只有p，q都是真命题时，p且q才是真命题．(3)綈p：綈p与p的真假相反．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．()(2)若命题p且q为假命题，则命题p，q都是假命题．()(3)“全等的三角形面积相等”是全

称命题．()(4)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×二、教材习题衍生1．命题“对任意x∈R，x2＋x≥0”的否定是()A．存在x∈R，x2＋x≤0B．存在x∈R，x2＋x＜0C．对任

意x∈R，x2＋x≤0D．对任意x∈R，x2＋x＜0B[由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．故选B.]2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p或q，p且q中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4B[p和q

显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．]3．下列命题中的假命题是()A．存在x∈R，lgx＝1B．存在x∈R，sinx＝0C．对任意x∈R，x3＞0D．对任意x∈R,2x＞0C[当x＝10时，lg10＝1，则A为

真命题；当x＝0时，sin0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x3≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，对任意x∈R,2x＞0，则D为真命题．故选C.]4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．存在一个实数的平方不是正数[全称命题的否定是特称命题，故应填：存在

一个实数的平方不是正数．]考点一全称命题、特称命题1.全称命题与特称命题的否定(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否结论：对原命题的结论进

行否定．2．全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假全称命题、特称命题的否定[典例1－1](1)命题“对任意x＞0，xx－1＞0”的否定是()A．存在x＜0，xx－1≤0

B．存在x＞0,0≤x≤1C．对任意x＞0，xx－1≤0D．对任意x＜0,0≤x≤1(2)已知命题p：存在m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则綈p为()A．存在m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．对任意m∈R，

f(x)＝2x－mx是减函数C．存在m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．对任意m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数(1)B(2)D[(1)因为xx－1＞0，所以x＜0或x＞1，所以xx－1＞0的否定

是0≤x≤1，所以命题的否定是存在x＞0,0≤x≤1，故选B.(2)由特称命题的否定可得綈p为“对任意m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]点评：(1)xx－1＞0的否定不是xx－1≤0，而是xx－1≤

0或x＝1，可先求出不等式xx－1＞0的解集，再写xx－1＞0的否定．(2)改写量词时自变量的范围不变．全称命题、特称命题的真假判断[典例1－2](1)下列命题中的假命题是()A．对任意x∈R，x2≥0

B．对任意x∈R,2x－1＞0C．存在x∈R，lgx＜1D．存在x∈R，sinx＋cosx＝2(2)下列四个命题：p1：存在x∈(0，＋∞)，12x＜13x；p2：存在x∈(0,1)，log12x＞log13x；p

3：对任意x∈(0，＋∞)，12x＞log12x；p4：对任意x∈0，13，12x＜log13x.其中的真命题是()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，

p4(1)D(2)D[(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lgx＜1，所以C正确；因为sinx＋cosx＝2sinx＋π4，所以－2≤sinx＋cosx≤2，所

以D错误．(2)对于p1，当x∈(0，＋∞)时，总有12x＞13x成立，故p1是假命题；对于p2，当x＝12时，有1＝log1212＝log1313＞log1312成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝

12x与对数函数y＝log12x在(0，＋∞)上的图像，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝12x与对数函数y＝log13x在0，13上的图像可以判断p4是真命题．]点评：因为命题p与綈p的真假性

相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．[跟进训练]1．命题“对任意x∈R，存在n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．对任意x∈R，存在n∈N*，使得n＜x2B．对任意x∈R，对任意n

∈N*，使得n＜x2C．存在x∈R，存在n∈N*，使得n＜x2D．存在x∈R，对任意n∈N*，使得n＜x2D[改写量词为：存在x∈R，对任意n∈N*，否定结论为：n＜x2，故选D.]2．在下列给出的四个命题

中，为真命题的是()A．对任意a∈R，存在b∈Q，a2＋b2＝0B．对任意n∈Z，存在m∈Z，nm＝mC．对任意n∈Z，存在m∈Z，n＞m2D．对任意a∈R，存在b∈Q，a2＋b2＝1B[对于A：当a＝2时，a2＋b2＝0不成立，故A错误；对于B：当m＝0时

，nm＝m恒成立，故B正确；对于C：当n＝－1时，n＞m2不成立，故C错误；对于D：当a＝2时，a2＋b2＝1不成立，故D错误．]考点二含有逻辑联结词的命题判断含有逻辑联结词命题真假的三个步骤[典例2](1)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p表示“甲

的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p或q表示()A．甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米B．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米C．甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米D．甲、乙两人

中至少有一人的试跳成绩超过2米(2)已知命题p：存在x∈R，使得lgcosx＞0；命题q：对任意x＜0,3x＞0，则下列命题为真命题的是()A．p且qB．p或(綈q)C．(綈p)且(綈q)D．p或q(1)D(2)D[(1)p或q表示甲的试跳成绩超过2米或乙的试跳成绩超过2米．即甲、乙两人中至少有一

人的试跳成绩超过2米，故选D.(2)由－1≤cosx≤1，得lgcosx≤0，所以命题p为假命题．当x∈R时，3x＞0，故命题q为真命题．所以p或q为真命题，p且q为假命题，p或(綈q)为假命题，(綈p)且(綈q)为假

命题，故选D.][跟进训练]1．“a2＋b2≠0”的含义为()A．a和b都不为0B．a和b至少有一个为0C．a和b至少有一个不为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0C[a2＋b2＝0⇔a＝0且b＝0，因此a2＋b2

≠0⇔a≠0或b≠0，故选C.]2．已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；命题q：存在x∈R，|x＋1|≤x，则()A．(綈p)或q为真命题B．p且(綈q)为假命题C．p且q为真命题D．p或q为真命题D[由a＞b⇔2a＞2b知，命题p是真命题，对x∈R，都有|x＋1

|＞x，因此命题q是假命题，从而p或q为真命题，故选D.]考点三根据命题的真假求参数的取值范围1.根据复合命题的真假求参数的步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据给出的

复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．2．根据全(特)称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程

或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．[典例3]已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：对任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]由p或q为假命题知p、q均为假命题，则綈p为真命题，即对任意x∈R，mx2＋1＞0为真命题，则有m≥0，

当q为真命题时，有Δ＝m2－4＜0，即－2＜m＜2，因此由p，q均为假命题得m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[母题变迁]1．在本例条件下，若p且q为真，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有

m＜0；当q是真命题时，有－2＜m＜2，由m＜0，－2＜m＜2，可得－2＜m＜0.所以实数m的取值范围为(－2,0)．2．在本例条件下，若p且q为假，p或q为真，求实数m的取值范围．[解]若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．当p真q假时

m＜0，m≥2或m≤－2，所以m≤－2；当p假q真时m≥0，－2＜m＜2，所以0≤m＜2.所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．点评：(1)当p是全称(特称)命题且为假命题时，要转化为綈p为真命题去处理，无非转化为恒成立或能成立问题．(2)对于“p且q为假，p或q为真

”，建议先分别求出p，q为真的参数范围，再分p真q假，p假q真讨论．[跟进训练]1．若命题“存在x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________．[－3，3][命题“存在x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，即“对任意x∈R,3x2＋

2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤3.]2．已知p：x2＋2x－3＞0；q：13－x＞1.若綈q且p为真，则x的取值范围是________．(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)[由綈q且p为真知p真，q假，当p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解

得x＞1或x＜－3，而q为真命题时，由13－x＞1解得2＜x＜3.则p真q假时有x＞1或x＜－3x≥3或x≤2，解得x≥3或1＜x≤2或x＜－3.所以x的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．]