【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第1章 第5节 一元二次不等式及其解法 含解析.doc，共(9)页，378.000 KB，由envi的店铺上传

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一元二次不等式及其解法[考试要求]1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图．1．一元二次不等式

把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，其一般形式为ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．2．一元二次不等式的解法步骤(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的

不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图像与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．提醒：二次项系数为正的一元二次不等式的解集求法：“大于取两边，小于取中间”．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次

方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0{x|x<x1

或x>x2}{x|x≠x1}R(a>0)的解集ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅提醒：解集的端点是对应方程的根．[常用结论]1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＞0且Δ＜0；(2)不

等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＜0且Δ＜0.2．简单分式不等式(1)f(x)g(x)≥0⇔f(x)g(x)≥0，g(x)≠0；(2)f(x)g(x)＞0⇔f(x)g(x)＞0.3．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤

f(x)能成立⇒a≤f(x)max.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，

＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条

件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×二、教材习题衍生1．不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为()A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜2}C．{x|x＜－2或x＞1}D．{x|x＜－1或x＞2}A[方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为

x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x|－2＜x＜－1}，故选A.]2．已知集合A＝{x|x2－x－6＞0}，则∁RA等于()A．{x|－2＜x＜3}B．{x|－2≤x≤3}C．{x|x＜－2}∪{x|x＞3}D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}B[由x2－x－6＞0得x

＞3或x＜－2，即A＝{x|x＜－2或x＞3}，∴∁RA＝{x|－2≤x≤3}，故选B.]3．关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集为∅，则a的取值范围是________．(9，＋∞)[由题意知，x2－6x＋a＞0的解集为R，则Δ＝(－6)2－4a＜0

，解得a＞9.]4．关于x的不等式－12x2＋2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，则m＝________.1[由题意知，x＝2是方程－12x2＋2x＝mx的一个根，则2m＝－12×22＋2×2＝2，解得m＝1.]考点

一不含参数的一元二次不等式解一元二次不等式的四个步骤1．不等式2x＋3－x2＞0的解集是()A．{x|－1＜x＜3}B．{x|x＞3或x＜－1}C．{x|－3＜x＜1}D．{x|x＞1或x＜－3}A[不等式2x＋3－x2＞0可化为x2－2x－3＜0，即(x－3)(x＋1)＜0，解

得－1＜x＜3，故选A.]2．已知不等式ax2－bx－1>0的解集是x－12<x<－13，则不等式x2－bx－a≥0的解集是()A．{x|2<x<3}B．{x|x≤2或x≥3}C.x13<x<12D.

xx<13或x>12B[∵不等式ax2－bx－1>0的解集是x－12<x<－13，∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－12和x2＝－13，且a<0，∴－12－13＝ba，－12×

－13＝－1a，解得a＝－6，b＝5.则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]3．不等式0＜x2－x－2≤4的解集是()A．{x|－2≤x＜－1}B．{x|2＜x≤3}C．{x|－2≤x≤3}D．{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}D[原不等式等价于

x2－x－2＞0x2－x－2≤4⇔x2－x－2＞0x2－x－6≤0⇔(x－2)(x＋1)＞0(x－3)(x＋2)≤0⇔x＞2或x＜－1－2≤x≤3⇔－2≤x＜－1或2＜x≤3，故选D.]考点二含参数的一元二次不等式解含参不等式的分类讨论依据[典例

1]解关于x的不等式(1)x2＋ax＋1＜0(a∈R)；(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0.[解](1)Δ＝a2－4.①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式无解．②当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2＋ax＋

1＝0的两根为x1＝－a＋a2－42，x2＝－a－a2－42，则原不等式的解集为x－a－a2－42＜x＜－a＋a2－42.综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式无解．当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为x－

a－a2－42＜x＜－a＋a2－42.(2)若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，解得x＞1.若a＜0，原不等式等价于x－1a(x－1)＞0，解得x＜1a或x＞1.若a＞0，原不等式等价于x－1a(x－1)＜0.①当a＝1时，1a＝1，

x－1a(x－1)＜0无解；②当a＞1时，1a＜1，解x－1a(x－1)＜0，得1a＜x＜1；③当0＜a＜1时，1a＞1，解x－1a(x－1)＜0，得1＜x＜1a.综上所述，当a＜0时，解集为xx＜1

a或x＞1；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，解集为x1＜x＜1a；当a＝1时，解集为∅；当a＞1时，解集为x1a＜x＜1.点评：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，

从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．[跟进训练]解关于x的不等式12x2－ax＞a2(a∈R)．[解]原不等式可化为12x2－ax－a

2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.当a＞0时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a＜0时，不等式的

解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.考点三一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题的解法(1)函数法(图像法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．①f(x)＞0在x∈R上恒成立⇔a＞0且Δ＜0；②f(x

)＜0在x∈R上恒成立⇔a＜0且Δ＜0；③当a＞0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立⇔－b2a＜α，f(α)＞0或α≤－b2a≤β，Δ＜0或－b2a＞β，f(β)＞0；f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立⇔f(α)＜0，f(β)＜0；④当a

＜0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立⇔f(α)＞0，f(β)＞0；f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立⇔－b2a＜α，f(α)＜0或α≤－b2a≤β，Δ＜0或－b2a＞β

，f(β)＜0.(2)最值法对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题．a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min.在R上的恒成立问题[典例2－1]若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R

恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[－2,2]C．(－2,2]D．(－∞，－2)C[当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4＜0，对一切x∈R恒成立．当a≠2时，则a－2＜0，Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＜0，即a－2＜0，a2＜4，解得－2＜a＜2.所以实数a的

取值范围是(－2,2]．]点评：本题在求解中常因忽略“a－2＝0”的情形致误，只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况．在给定区间上的恒成立问题[典例2－2](1)若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)

，则a的取值范围是()A．(－∞，－3]B．(－∞，0]C．[1，＋∞)D．(－∞，1](2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0,2]恒有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是()A．1，54B．[－1,1]C．(－∞，1]D．

－∞，54(1)A(2)C[(1)法一：(函数法)令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，得f(－1)＝(－1)2－2×(－1)＋a≤0，f(2)＝22－2×2＋a≤0，解得a≤－3，故选A.法二：(最值法)当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x

＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3，故选A.(2)f(x)＝x2－2ax＋1

对任意x∈(0,2]恒有f(x)≥0成立，即2a≤x＋1x在x∈(0,2]上恒成立．因为x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取最小值2，所以2a≤2，即a≤1.故选C.][母题变迁]若将本例(1)改为“若存在x∈[－1,2]，使得x

2－2x＋a≤0(a为常数)，试求a的取值范围．”[解]由题意知a≤－x2＋2x在x∈[－1,2]时有解．则a≤(－x2＋2x)max，x∈[－1,2]，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，x∈[－1,2]，∴a≤1，即a的取值范围是(－∞，1]．

点评：本例T(2)若用函数法求解有三种情况，较复杂．[跟进训练]1．若不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A．(－3,0)B．[－3,0)C．[－3,0]D．(－3,0]D[当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－38＜0对一切

实数x都成立．则k＜0，Δ＝k2－4×2k×－38＜0，解得－3＜k＜0.综上，满足不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．故选D.]2．(20

21·深圳中学模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为________．12，＋∞[∵满足1<x<4的一切x值，都有f(x)＝ax

2－2x＋2>0恒成立，可知a≠0，∴a>2(x－1)x2＝214－1x－122，满足1<x<4的一切x的值恒成立，∵14<1x<1,214－1x－122∈0，12，实数a的取值范围为12，＋∞

.]