【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题6.12 解三角形（重难点题型检测） Word版含解析.docx，共(17)页，868.150 KB，由小赞的店铺上传

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专题6.12解三角形（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝑎=2,𝑏=3,𝐵=30°，则此三角形（）A．有一解B．有两解C．无解D．无法判断有几解【解题思路】根据给定

条件，结合正弦定理计算判断作答.【解答过程】在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎=2,𝑏=3,𝐵=30°，由正弦定理得sin𝐴=𝑎sin𝐵𝑏=2sin30∘3=13，而𝑎<𝑏，有𝐴<𝐵=30∘，即A为锐角，所以此三角形有一解．故选：A.2．（3分）（2022秋·吉林四平·高三

阶段练习）△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别是𝑎,𝑏,𝑐，已知𝑎=3,𝑏=2,cos𝐶=13，则𝑐等于（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】直接由余弦定理求边长𝑐即可.【解答过程】解：因为𝑎=3,𝑏=2,cos𝐶=13又余弦定理得：𝑐2=𝑎2+𝑏2−2�

�𝑏cos𝐶=9+4−2×3×2×13=9，所以𝑐=3.故选：B.3．（3分）（2022·陕西安康·统考三模）已知a，b，c分别为△𝐴𝐵𝐶内角A，B，C的对边，sin𝐶=45,𝑐=4,𝐵=𝜋4，则△𝐴𝐵𝐶的面积为（）A．1B．2C．

1或7D．2或14【解题思路】利用正弦定理求出𝑏，两角和的正弦展开式求出sin𝐴，再利用面积公式计算可得答案.【解答过程】由𝑐sin𝐶=𝑏sin𝐵可得𝑏=5√22，因为sin𝐶=45，所以cos𝐶=−35或35，∴sin𝐴=sin(𝐵+𝐶)=sinπ4cos�

�+cosπ4sin𝐶=√210或7√210，∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑏𝑐sin𝐴=12×4×5√22×√210=1,或𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑏𝑐sin𝐴=12×4×5√22×7√210=7．故选：C

.4．（3分）（2022·云南·模拟预测）在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别为𝑎,𝑏,𝑐，△𝐴𝐵𝐶的面积为12𝑏(𝑏sin𝐵−𝑎sin𝐴−𝑐sin𝐶)，则𝐵=（）A．π6B．5π6C．π3D．2π3【解题思路

】根据三角形面积公式，正弦定理角化边，余弦定理结合即可解决.【解答过程】由题知，△𝐴𝐵𝐶的面积为12𝑏(𝑏sin𝐵−𝑎sin𝐴−𝑐sin𝐶)，所以12𝑎𝑏sin𝐶=12𝑏(

𝑏sin𝐵−𝑎sin𝐴−𝑐sin𝐶)，即𝑎sin𝐶=𝑏sin𝐵−𝑎sin𝐴−𝑐sin𝐶所以由正弦定理得𝑎𝑐=𝑏2−𝑎2−𝑐2，即𝑎2+𝑐2−𝑏2=−𝑎𝑐，所以cos𝐵

=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=−12，因为𝐵∈(0,π)，所以𝐵=2π3．故选：D.5．（3分）（2022秋·陕西渭南·高二期末）在△𝐴𝐵𝐶中，若(𝑎+𝑏+𝑐)(𝑏+𝑐−𝑎)=3𝑏𝑐，且sin𝐴=2sin𝐵cos𝐶，则△𝐴𝐵𝐶是（）.A．直

角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【解题思路】将(𝑎+𝑏+𝑐)(𝑏+𝑐−𝑎)=3𝑏𝑐化简并结合余弦定理可得𝐴的值，再对sin𝐴=2sin𝐵cos𝐶结合正余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.【解答过程】由(𝑎+𝑏+�

�)(𝑏+𝑐−𝑎)=3𝑏𝑐，得(𝑏+𝑐)2−𝑎2=3𝑏𝑐，整理得𝑏2+𝑐2−𝑎2=𝑏𝑐，则cos𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=12，因为𝐴∈(0,π)，所以𝐴=π3，又由sin𝐴=2sin𝐵cos𝐶，得𝑎=2𝑏⋅𝑎2+𝑏2−𝑐22

𝑎𝑏化简得𝑏=𝑐，所以△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，故选：B.6．（3分）（2023·全国·高三对口高考）已知在锐角三角形𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，若sin2𝐴−sin𝐵sin𝐶=0，则sin𝐵−sin𝐶2

sin𝐴的取值范围为（）A．(−12,12)B．[0,14)C．[0,12)D．(−1,1)【解题思路】利用余弦定理、正弦定理求解即可.【解答过程】由正弦定理及sin2𝐴−sin𝐵sin𝐶=0，得𝑎2=𝑏𝑐，根据余弦定理𝑎2=𝑏2+𝑐2−2�

�𝑐cos𝐴，得𝑎2=(𝑏−𝑐)2+2𝑏𝑐(1−cos𝐴)，令𝑝=sin𝐵−sin𝐶2sin𝐴=𝑏−𝑐2𝑎，所以𝑏−𝑐=2𝑝𝑎，因此𝑎2=4𝑝2𝑎2+2𝑎2(1−cos𝐴)，即4𝑝2=2cos𝐴−1，由题意可知A是锐角，所以0<cos𝐴

<1，因此0≤𝑝2<14，所以−12<𝑝<12．故选:A.7．（3分）（2022春·福建莆田·高一期中）为了测量铁塔𝑂𝑇的高度，小刘同学在地面A处测得塔顶𝑇处的仰角为30°，从A处向正东方向走140米到地面𝐵处，测得

塔顶𝑇处的仰角为60°，若∠𝐴𝑂𝐵=60°，则铁塔𝑂𝑇的高度为()A．20√21米B．25√7米C．20√7米D．25√21米【解题思路】设TO=h，用h表示出AO和BO，在△AOB中利用余弦定理即可求出h．【解答过程】设铁塔𝑂𝑇的高度为ℎ，在R

t△𝐴𝑂𝑇中，∠𝑇𝐴𝑂=30°，𝐴𝑂=ℎtan30°=√3ℎ，在Rt△𝐵𝑂𝑇中，∠𝑇𝐵𝑂=60°，𝐵𝑂=ℎtan60°=√33ℎ，在△𝐴𝑂𝐵中，∠𝐴𝑂𝐵=60°，由余弦定理得，𝐴𝐵2=𝐴𝑂2+𝐵𝑂2−2⋅𝐴𝑂⋅𝐵𝑂⋅cos60°；即

1402=3ℎ2+13ℎ2−2×√3ℎ×√33ℎ×12，化简得ℎ2=37×1402，解得ℎ=140×√37=20√21．故选：A．8．（3分）（2022秋·江西上饶·高三阶段练习）三角形𝐴𝐵𝐶的三边𝑎,𝑏,𝑐所对的

角为𝐴,𝐵,𝐶，1−(sin𝐴−sin𝐵)2=sin𝐴sin𝐵+cos2𝐶，则下列说法不正确的是（）A．𝐶=π3B．若△𝐴𝐵𝐶面积为4√3，则△𝐴𝐵𝐶周长的最小值为12C．当𝑏

=5，𝑐=7时，𝑎=9D．若𝑏=4，𝐵=π4，则△𝐴𝐵𝐶面积为6+2√3【解题思路】对于A，根据正弦定理和余弦定理可求出𝐶=π3；对于B，由△𝐴𝐵𝐶面积为4√3，求出𝑎𝑏=16，

由余弦定理得到𝑐=√(𝑎+𝑏)2−48，再根据基本不等式可求出周长的最小值；对于C，由余弦定理可求出结果；对于D，由正弦定理求出𝑐=2√6，再根据三角形的面积公式可求出结果.【解答过程】对于A，由1−(sin𝐴

−sin𝐵)2=sin𝐴sin𝐵+cos2𝐶，得1−(sin𝐴−sin𝐵)2=sin𝐴sin𝐵+1−sin2𝐶，得sin2𝐴+sin2𝐵−sin2𝐶=sin𝐴sin𝐵，由正弦定理得𝑎2+𝑏2−𝑐2=𝑎𝑏，所以cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏

=12，因为0<𝐶<π，所以𝐶=π3，故A说法正确；对于B，因为△𝐴𝐵𝐶面积为4√3，所以12𝑎𝑏sin𝐶=4√3，所以12𝑎𝑏⋅√32=4√3，所以𝑎𝑏=16，由余弦定理得𝑐2=𝑎2+𝑏2−2

𝑎𝑏cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=𝑎2+𝑏2−16，所以𝑐=√(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏−16=√(𝑎+𝑏)2−48，所以𝑎+𝑏+𝑐=𝑎+𝑏+√(𝑎+𝑏)2−48≥2√𝑎𝑏+√(2√𝑎𝑏)2−48=2×4+√(2×4)2−48=12

，当且仅当𝑎=𝑏=4时，等号成立，故△𝐴𝐵𝐶的周长的最小值为12.故B说法正确；对于C，当𝑏=5，𝑐=7时，由余弦定理得𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝐶，所以49=𝑎2+25−10𝑎⋅12，得𝑎2−5𝑎−24=0，解得𝑎

=8或𝑎=−3（舍），故C说法不正确；对于D，若𝑏=4，𝐵=π4，由正弦定理得𝑐sin𝐶=𝑏sin𝐵，得𝑐=𝑏sin𝐶sin𝐵=4×√32√22=2√6，所以△𝐴𝐵𝐶面积为12𝑏𝑐sin𝐴=1

2×4×2√6×sin(π−π3−π4)=4√6⋅sin5π12，因为sin5π12=sin(π4+π6)=sinπ4cosπ6+cosπ4sinπ6=√22×√32+√22×12=√2+√64，所以△𝐴𝐵

𝐶面积为4√6×√2+√64=6+2√3.故D说法正确.故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022秋·河北张家口·高三期中）在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．

𝑏=10,𝐴=45°,𝐶=60°B．𝑏=√15,𝑐=4,𝐵=60°C．𝑎=√3,𝑏=2,𝐴=45°D．𝑎=8,𝑏=4,𝐴=80°【解题思路】对于A，直接判断即可；对于B，sin𝐶=𝑐sin𝐵𝑏=4⋅√32√15=2√5<1，结合𝑏<𝑐即可判断；对于C，sin𝐵

=𝑏sin𝐴𝑎=2⋅√22√3=√2√3，结合√22<√2√3<√32即可判断；对于D，sin𝐵=𝑏sin𝐴𝑎=4⋅sin80°8<12，结合𝑏<𝑎即可判断.【解答过程】对于A，因为𝑏=10,𝐴=45°,𝐶=60°，所以𝐵=75°，所以△𝐴𝐵𝐶只有一解；故A错

误；对于B，因为𝑏=√15,𝑐=4,𝐵=60°，所以由正弦定理得sin𝐶=𝑐sin𝐵𝑏=4⋅√32√15=2√5<1，因为𝑏<𝑐，即𝐵<𝐶，所以𝐶>60°，所以△𝐴𝐵𝐶有两解（60°<

𝐵<90°，或90°<𝐵<120°），故B正确；对于C，因为𝑎=√3,𝑏=2,𝐴=45°，所以由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵，即sin𝐵=𝑏sin𝐴𝑎=2⋅√22√3=√2√3，因为√22<√2√3<√32，所以△𝐴𝐵𝐶有两解（

45°<𝐵<60°，或，120°<𝐵<135°），故C正确；对于D，因为𝑎=8,𝑏=4,𝐴=80°，所以由正弦定理得sin𝐵=𝑏sin𝐴𝑎=4⋅sin80°8<12，由于𝑏<𝑎，故𝐵<80°，所以△𝐴𝐵𝐶只有一解，故

D错误；故选：BC.10．（4分）（2022秋·广东广州·高二阶段练习）△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐.下面四个结论正确的是（）A．𝑎=2，𝐴=30°，则△𝐴𝐵𝐶的外接圆半

径是2B．若𝑎cos𝐴=𝑏sin𝐵，则𝐴=45°C．若𝑎2+𝑏2>𝑐2，则△𝐴𝐵𝐶一定是锐角三角形D．若𝐴<𝐵，则sin𝐴<sin𝐵【解题思路】根据正余弦定理及其应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【解答过程】对A：由正弦定理知𝑎sin𝐴=4=2

𝑅，所以外接圆半径是2，故A正确；对B：由正弦定理及𝑎cos𝐴=𝑏sin𝐵可得，sin𝐴cos𝐴=sin𝐵sin𝐵=1，即tan𝐴=1，由0°<𝐴<180°，知𝐴=45°，故B正确；对C：因为cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏>0，所

以𝐶为锐角，但𝐴,𝐵不确定，故C错误；对D：若𝐴<𝐵，𝑎<𝑏，所以由正弦定理得sin𝐴<sin𝐵，故D正确.、故选：ABD.11．（4分）（2022秋·福建福州·高二期中）三角形𝐴𝐵𝐶的三边𝑎

,𝑏,𝑐所对的角为𝐴,𝐵,𝐶，1−(sin𝐴−sin𝐵)2=sin𝐴sin𝐵+cos2𝐶，则下列说法正确的是（）A．𝐶=π3B．若△𝐴𝐵𝐶面积为4√3，则△𝐴𝐵𝐶周长的最小值为12C．当𝑏=5，𝑐=7时，𝑎=9D

．若𝑏=4，𝐵=π4，则△𝐴𝐵𝐶面积为6+2√3【解题思路】由题意可得sin2𝐶=sin2𝐴+sin2𝐵−sin𝐴sin𝐵，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角𝐶的大小；选项B：由三角形面积

和角𝐶可得𝑎𝑏=16，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的𝑐2=𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏解𝑎即可；选项D：利用正弦定理求𝑐，然后后面积公式求解即可.【解答过程】因为△𝐴𝐵𝐶，由

题意可得1−(sin2𝐴−2sin𝐴sin𝐵+sin2𝐵)=sin𝐴sin𝐵+1−sin2𝐶，整理得sin2𝐶=sin2𝐴+sin2𝐵−sin𝐴sin𝐵，由正弦定理边角互化得𝑐2=𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏，又由余弦定理𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝐶得

cos𝐶=12，所以𝐶=π3，A正确；当𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑏sin𝐶=4√3时，𝑎𝑏=16，所以𝑎+𝑏≥2√𝑎𝑏=8，当且仅当𝑎=𝑏=4时等号成立，所以𝑐2=𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=(𝑎+𝑏)2−3�

�𝑏≥16，即𝑐≥4，所以𝑎+𝑏+𝑐≥12，B正确；由当𝑏=5，𝑐=7时，{𝑐2=𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏7−5<𝑎<5+7，解得𝑎=8，C错误；由𝐶=π3，𝐵=π4得𝐴=5π12，由正弦定理得�

�sin𝐶=𝑏sin𝐵解得𝑐=2√6，又因为sin5π12=sin(π4+π6)=sinπ4cosπ6+sinπ6cosπ4=√22×√32+12×√22=√6+√24，所以𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑏𝑐sin�

�=12×4×2√6×√6+√24=6+2√3，D正确；故选：ABD.12．（4分）（2022·全国·高一专题练习）花戏楼是我市著名的旅游景点，位于毫州城北关，涡水南岸，是国家级点文物保护单位.花戏楼始于清顺治十三年(公元1656年)，是一座演戏的舞台，因戏楼

遍布戏文，彩绘鲜丽，俗称花戏楼.它的正门前有两根铁旗杆，每根重12000斤，旗杆高16米多，直插碧空白云间，是花戏楼景点的一绝.我校数学兴趣小组为了测量旗杆AB的高度，选取与旗杆底部(点B)在同一水平面内的两

点C与D(B，C，D不在同一直线上)，如图，兴趣小组可以测量的数据有：CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出旗杆AB的高度的是（）A．CD，∠ACB，∠BCD，∠BDCB．CD，∠ACB，∠ACD

，∠BCDC．CD，∠ACB，∠ACD，∠ADCD．CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC【解题思路】根据正弦定理和余弦定理分析与𝐴𝐵相关的三角形是否可解，从而可得正确的选项．【解答过程】对于A，在△𝐵𝐶𝐷，因为已知𝐶𝐷,∠𝐵𝐶𝐷,

∠𝐵𝐷𝐶，故由正弦定理可解三角形△𝐵𝐶𝐷，从而求出𝐶𝐵，而在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，因为已知∠𝐴𝐶𝐵，故可求𝐴𝐵的高度，故A正确．对于B，知道𝐶𝐷,∠𝐴𝐶𝐵,∠𝐴𝐶𝐷,∠𝐵𝐶𝐷，则𝐴𝐵可沿𝐶𝐵变化，故不可求𝐴𝐵的

高度，故B错误．对于C，在△𝐴𝐶𝐷，因为已知𝐶𝐷,∠𝐴𝐶𝐷,∠𝐴𝐷𝐶，故由正弦定理可解三角形△𝐴𝐶𝐷，从而求出𝐶𝐴，而在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，因为已知∠𝐴𝐶𝐵，故可求𝐴𝐵的高度

，故C正确．对于D，如图所示，设∠𝐴𝐶𝐵=𝛼，∠𝐵𝐶𝐷=𝛽，∠𝐴𝐷𝐶=𝛾，𝐴𝐵=ℎ，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，𝐴𝐶=ℎsin𝛼,𝐵𝐶=ℎtan𝛼，在△𝐵𝐶𝐷中，�

�𝐷2=𝐶𝐷2+ℎ2tan2𝛼−2𝐶𝐷×ℎtan𝛼×cos𝛽，在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐵中，𝐴𝐷2=ℎ2+𝐵𝐷2=ℎ2+𝐶𝐷2+ℎ2tan2𝛼−2𝐶𝐷×ℎtan𝛼×cos𝛽①，在△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐶2=𝐴𝐷2+𝐶𝐷2−2𝐴𝐷×𝐶𝐷×cos�

�，即ℎ2sin2𝛼=𝐴𝐷2+𝐶𝐷2−2𝐴𝐷×𝐶𝐷cos𝛾②，由①②可构建关于ℎ的方程，故可求𝐴𝐵的高度，故D正确．故选：ACD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·高一课时练习）在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎=𝑥,𝑏=3

,𝐵=30°，若该三角形有两解，则x的取值范围是(3,6)．【解题思路】利用正弦定理列出关系式，将𝑎，𝑏，sin𝐵的值代入表示出sin𝐴，根据𝐵的度数确定出𝐴的范围，要使三角形有两解确定出𝐴的具体范围，利用正弦函数的值域求出𝑥的范围即可【解答过程】解：由𝑎sin𝐴=

𝑏sin𝐵可得sin𝐴=𝑎sin𝐵𝑏=𝑥6因为𝐵=30°，所以0°<𝐴<150°要使三角形有两解，所以30°<𝐴<150°且𝐴≠90°,所以12<sin𝐴<1，即12<𝑥6<1，解得3<𝑥<6，故答案为：(3,6).14．（4分）（2021秋·陕西咸阳·高二期中）如图

，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔𝑃的南偏西75∘距塔68nmile的𝑀处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的𝑁处，则这只船的航行速度为21nmile/h.（结果精确到整数，参考数据：√6≈2.45

）【解题思路】由图可知，利用正弦定理可求出𝑀𝑁的长，根据航行时长为4小时，即可求得这只船的航行速度.【解答过程】如下图所示：根据题意可知，𝑀𝑃=68，且∠𝑀𝑃𝑁=75∘+45∘=120∘，∠𝑃𝑁𝑀=45∘；则在△𝑀𝑃

𝑁中，有正弦定理可知𝑀𝑃sin45∘=𝑀𝑁sin120∘.所以𝑀𝑁=√62𝑀𝑃=34√6，即上午10时到下午2时这只船在4小时内航行了34√6nmile；所以，航行速度为𝑀𝑁4=17√62≈20.825nmile/h；又结果精确

到整数，即航行速度为21nmile/h.故答案为：21.15．（4分）（2022秋·甘肃兰州·高三阶段练习）在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a＝4，3𝑏cos𝐴−𝑎cos𝐶=𝑐cos𝐴，点D在线段BC上，2𝐵𝐷=𝐷𝐶，过点D作𝐷𝐸⊥�

�𝐵，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶，垂足分别是E，F，则△𝐷𝐸𝐹面积的最大值是64√281.【解题思路】先由3𝑏cos𝐴−𝑎cos𝐶=𝑐cos𝐴结合正弦定理求得cos𝐴，sin𝐴，再由余弦定理可得𝑏2+

𝑐2−23𝑏𝑐=16，结合不等式𝑏2+𝑐2≥2𝑏𝑐证得𝑏𝑐≤12，又由2𝐵𝐷=𝐷𝐶得𝑆△𝐴𝐶𝐷=2𝑆△𝐴𝐵𝐷=23𝑆△𝐴𝐵𝐶，从而求得𝐷𝐸，𝐷𝐹，由此得△𝐷𝐸𝐹面积的关于𝑏

,𝑐的表达式，进而求得其最大值．【解答过程】因为3𝑏cos𝐴−𝑎cos𝐶=𝑐cos𝐴，所以由正弦定理得3sin𝐵cos𝐴−sin𝐴cos𝐶=sin𝐶cos𝐴，则3sin𝐵cos𝐴=sin𝐶cos𝐴+sin𝐴cos𝐶=sin(𝐴+𝐶)=sin(

π−𝐵)=sin𝐵，因为0<𝐵<π，所以sin𝐵>0，所以cos𝐴=13，则sin𝐴=2√23，由余弦定理可得𝑎2=𝑏2+𝑐2−2𝑏𝑐cos𝐴，即𝑎2=𝑏2+𝑐2−23𝑏𝑐=16，因为𝑏2+𝑐2≥2𝑏𝑐，所以2𝑏𝑐−23𝑏𝑐

≤16，则𝑏𝑐≤12，当且仅当𝑐=𝑏=2√3时，等号成立，连结𝐴𝐷，因为2𝐵𝐷=𝐷𝐶，所以𝑆△𝐴𝐶𝐷=2𝑆△𝐴𝐵𝐷=23𝑆△𝐴𝐵𝐶，所以12𝑏⋅𝐷𝐹=2×12𝑐×𝐷𝐸=23

×12𝑏𝑐×2√23，则𝐷𝐸=2√29𝑏，𝐷𝐹=4√29𝑐，则𝑆△𝐷𝐸𝐹=12𝐷𝐸⋅𝐷𝐹⋅sin∠𝐸𝐷𝐹=12𝐷𝐸⋅𝐷𝐹⋅sin𝐴=16√2243𝑏𝑐≤64√28

1．故答案为：64√281..16．（4分）（2022秋·山东青岛·高三阶段练习）已知在锐角△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若𝑏2=𝑎(𝑎+𝑐)，则𝑎sin𝐴𝑏cos𝐴−𝑎cos𝐵的取值范围是(12,√22)．【解题思路】根据余弦定理及正弦

定理的边换角得到𝐵=2𝐴，再将问题的分式利用正弦定理进行边换角，转化求sin𝐴的范围，再求出𝐴的范围，则得到sin𝐴的范围.【解答过程】因为𝑏2=𝑎(𝑎+𝑐),则𝑏2=𝑎2+𝑎𝑐=𝑎2+𝑐2-2𝑎�

�cos𝐵,即𝑎=𝑐-2𝑎cos𝐵,则sin𝐴=sin𝐶-2sin𝐴cos𝐵,即sin𝐴=sin𝐴cos𝐵+cos𝐴sin𝐵-2sin𝐴cos𝐵即sin𝐴=-sin𝐴cos𝐵+cos𝐴sin𝐵,即sin𝐴=sin(𝐵-𝐴),

又△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形,则-π2<𝐵-𝐴<π2,即𝐴=𝐵-𝐴,即𝐵=2𝐴,𝑎sin𝐴𝑏cos𝐴-𝑎cos𝐵=sin2𝐴sin𝐵cos𝐴-sin𝐴cos𝐵=sin2𝐴sin(𝐵-𝐴)=

sin𝐴，又{0<𝐴<π20<2𝐴<π20<π-3𝐴<π2，即π6<𝐴<π4，即sin𝐴∈(12,√22),即𝑎sin𝐴𝑏cos𝐴-𝑎cos𝐵的取值范围是(12,√22),故答案为：(12,√22).四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2023·高一

课时练习）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴=𝛼(0<𝛼<π2)，𝑏=𝑚．分别根据下列条件，求边长a的取值范围．(1)△𝐴𝐵𝐶有一解；(2)△𝐴𝐵𝐶有两解；(3)△𝐴𝐵𝐶无解．【解题思路】（1

）根据正弦定理，得到sin𝐵=𝑚sin𝛼𝑎.分𝑎<𝑏、𝑎=𝑏、𝑎>𝑏讨论，即可得出；（2）由已知可得sin𝛼<𝑚sin𝛼𝑎<1，求解不等式即可得出结果；（3）由已知可得sin𝐵>1，求解不等式即可得出结果.【解答过程】（1）

由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵可得，sin𝐵=𝑏sin𝐴𝑎=𝑚sin𝛼𝑎.（ⅰ）当𝑎<𝑏，即𝑎<𝑚时，sin𝐵=𝑚sin𝛼𝑎>sin𝐴.①若sin𝐵>1，即𝑚sin𝛼𝑎>

1，则𝐵不存在，△𝐴𝐵𝐶无解，此时𝑎<𝑚sin𝛼；②若sin𝐵=1，即𝑚sin𝛼𝑎=1，𝐵=π2，△𝐴𝐵𝐶有一解，此时𝑎=𝑚sin𝛼；③若sin𝐵<1，即𝑚sin𝛼𝑎<1，因为sin𝐵>sin𝐴，此时𝐵可能是

锐角或钝角，即此时△𝐴𝐵𝐶有两解，此时𝑎>𝑚sin𝛼，即𝑚sin𝛼<𝑎<𝑚.综上所述，当𝑎=𝑚sin𝛼时，△𝐴𝐵𝐶有一解；（ⅱ）当𝑎=𝑏，即𝑎=𝑚时，sin𝐵=𝑚sin𝛼𝑎=sin𝐴，△𝐴𝐵𝐶有一解；（ⅲ）当𝑎>𝑏，即𝑎

>𝑚时，sin𝐵=𝑚sin𝛼𝑎<sin𝐴，此时𝐵只能是锐角，△𝐴𝐵𝐶有一解.综上所述，△𝐴𝐵𝐶有一解时，边长a的取值范围是𝑎=𝑚sin𝛼或𝑎≥𝑚.（2）由（1）知，△𝐴𝐵𝐶有两解，应满足sin𝐴<sin𝐵<1，由sin𝐵=𝑚sin𝛼𝑎

，即sin𝛼<𝑚sin𝛼𝑎<1，解得𝑚sin𝛼<𝑎<𝑚.（3）由（1）知，△𝐴𝐵𝐶无解，应满足sin𝐵>1，即𝑚sin𝛼𝑎>1，解得𝑎<𝑚sin𝛼.18．（6分）（2022秋·江苏南通·高三阶

段练习）在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐，点𝐷在边𝐵𝐶上，且𝐴𝐷=3，𝐵𝐷=2,𝐶𝐷=1.(1)若𝐵=2π3，求𝑐；(2)若𝑐=4，求𝑏.【解题思路】（1）在△𝐴𝐵𝐷中，由余弦定理可求出结果；（2）在△𝐴

𝐵𝐷中，由余弦定理求出cos𝐵，在△𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理求出𝑏即可得解.【解答过程】（1）在△𝐴𝐵𝐷中，由余弦定理得𝐴𝐷2=𝐴𝐵2+𝐵𝐷2−2𝐴𝐵⋅𝐵𝐷⋅cos

𝐵，所以9=𝑐2+4−2𝑐⋅2⋅(−12)，即𝑐2+2𝑐−5=0，解得𝑐=√6−1或𝑐=−√6−1（舍）.（2）在△𝐴𝐵𝐷中，由余弦定理得𝐴𝐷2=𝐴𝐵2+𝐵𝐷2−2𝐴𝐵⋅𝐵𝐷⋅cos𝐵，所以9=16+4−2⋅4⋅2⋅cos�

�，所以cos𝐵=1116.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2−2𝐴𝐵⋅𝐵𝐶⋅cos𝐵=16+9−2×4×3×1116=172.所以𝑏=√342.19．（8分）（2023·全国·模拟预测）已知△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对的边分别为a，b

，c，且𝑐sin𝐵=𝑏sin𝐶2．(1)求C；(2)若点D在CB的延长线上，CB＝BD，AD＝l，求𝑎+𝑏的取值范围．【解题思路】（1）由正弦定理得到cos𝐶2=12，结合𝐶2∈(0,π2)，求出𝐶=2π3；（2）设∠𝐶𝐴𝐷=𝛼，则𝛼∈(0,π3)，由正弦定理得到�

�=2sin(π3−𝛼)√3,𝑎=sin𝛼√3，从而表达出𝑎+𝑏=cos𝛼∈(12,1).【解答过程】（1）𝑐sin𝐵=𝑏sin𝐶2，由正弦定理得：sin𝐶sin𝐵=sin𝐵sin

𝐶2，因为𝐵∈(0,π)，所以sin𝐵≠0，故sin𝐶=sin𝐶2，即2sin𝐶2cos𝐶2=sin𝐶2，因为𝐶2∈(0,π2)，所以sin𝐶2≠0，故cos𝐶2=12，因为𝐶2∈(0,π2)，所以𝐶2=π3，故𝐶=2π

3（2）在△𝐴𝐶𝐷中，𝐶𝐷=2𝑎，设∠𝐶𝐴𝐷=𝛼，则𝛼∈(0,π3)，由正弦定理得：𝐴𝐶sin𝐷=𝐶𝐷sin∠𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐷sin𝐶，即𝑏sin(π−2π3−𝛼)=2𝑎sin𝛼=1sin2π3，解得：𝑏=2sin(π3−𝛼

)√3,𝑎=sin𝛼√3，故𝑎+𝑏=2sin(π3−𝛼)√3+sin𝛼√3=√3cos𝛼√3=cos𝛼，因为𝛼∈(0,π3)，所以𝑎+𝑏=cos𝛼∈(12,1)，𝑎+𝑏的取值范

围是(12,1).20．（8分）（2022春·河北唐山·高一阶段练习）在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且满足𝐴=45∘，sin𝐵=45．(1)求cosC的值；(2)若𝐵𝐶=10，D是AB的中点，求CD的长．【解题思路】(

1)讨论𝐵，结合同角三角函数基本关系求cos𝐵，再由两角和差余弦公式求cos𝐶的值；(2)讨论𝐵，利用正弦定理解△𝐴𝐵𝐶可求𝐴𝐵，再由余弦定理解△𝐵𝐶𝐷即可求得CD的长.【解答过程】（1）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴=45°，sin�

�=45，当𝐵∈(0,π2)时，cos𝐵=√1−sin2𝐵=35，cos𝐶=−cos(𝐴+𝐵)=−cos𝐴cos𝐵+sin𝐴sin𝐵=√210；当𝐵∈(π2,π)时，cos𝐵=−√1−sin2𝐵=−35，cos𝐶=−cos(𝐴+𝐵

)=−cos𝐴cos𝐵+sin𝐴sin𝐵=7√210；（2）由(1)当𝐵∈(0,π2)时，cos∠𝐴𝐶𝐵=√210，因为𝐶∈(0,π)，所以sin∠𝐴𝐶𝐵=7√210，在△𝐴𝐵𝐶中，由正弦定理可得𝐴𝐵sin∠�

�𝐶𝐵=𝐵𝐶sin𝐴，又sin𝐴=√22，𝐵𝐶=10，sin∠𝐴𝐶𝐵=7√210，所以𝐴𝐵=14，在△𝐵𝐶𝐷中，由余弦定理可得𝐶𝐷2=𝐵𝐷2+𝐵𝐶2−2𝐵𝐷⋅𝐵𝐶⋅cos𝐵，又𝐵𝐷=12𝐴𝐵=7，𝐵𝐶=1

0，cos𝐵=35，所以𝐶𝐷2=𝐵𝐷2+𝐵𝐶2−2𝐵𝐷⋅𝐵𝐶⋅cos𝐵，所以𝐶𝐷=√65，由(1)当𝐵∈(π2,π)时，cos∠𝐴𝐶𝐵=7√210，因为𝐶∈(0,π)，所以sin∠𝐴𝐶𝐵=√21

0，在△𝐴𝐵𝐶中，由正弦定理可得𝐴𝐵sin∠𝐴𝐶𝐵=𝐵𝐶sin𝐴，又sin𝐴=√22，𝐵𝐶=10，sin∠𝐴𝐶𝐵=√210，所以𝐴𝐵=2，在△𝐵𝐶𝐷中，由余弦定理可得𝐶𝐷2=𝐵𝐷2+𝐵𝐶2−2𝐵𝐷⋅𝐵𝐶⋅

cos𝐵，又𝐵𝐷=12𝐴𝐵=1，𝐵𝐶=10，cos𝐵=−35，所以𝐶𝐷=√113.21．（8分）（2022秋·陕西渭南·高二期末）设锐角三角形𝐴𝐵𝐶的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知𝑎(sin𝐴−sin𝐶)=𝑏si

n𝐵−𝑐sin𝐶.(1)求角B的大小；(2)若𝑏(sin𝐴+sin𝐶)sin𝐵=8，𝑏=4，求△𝐴𝐵𝐶的面积.【解题思路】（1）由正弦定理化弦为边，再由余弦定理即可得解；（2）根据正弦定理统一为边，

再由余弦定理求出𝑎𝑐，再由面积公式求解即可.【解答过程】（1）由正弦定理得，𝑎(𝑎−𝑐)=𝑏2−𝑐2，整理得𝑎2+𝑐2−𝑏2=𝑎𝑐，由余弦定理得cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐，则cos𝐵=

12，又0<𝐵<π，∴𝐵=π3.（2）由正弦定理得𝑏(𝑎+𝑐)𝑏=8，整理得𝑎+𝑐=8，由余弦定理得𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐cos𝐵=(𝑎+𝑐)2−2𝑎𝑐−2𝑎𝑐cos𝐵，则16=64−3𝑎𝑐，解得𝑎𝑐=16.∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=12�

�𝑐sin𝐵=12×16×√32=4√3.22．（8分）（2022春·福建三明·高一阶段练习）三明如意湖湿地公园是以水为主题的公园，分生态净化区、生态保育区、生态科普区三个区域，具有生态观光、休闲娱乐多种功能．欲在该

公园内搭建一个平面凸四边形ABCD的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中𝐷𝐶=8百米，𝐷𝐴=4百米，△ABC为正三角形，建成后△BCD将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，△ABD将作为科普宣教湿地功能利用、弘扬湿地文化的区域．(1)当∠𝐴�

�𝐶=π3时，求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD的面积；(2)求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD的面积的最大值．【解题思路】（1）由余弦定理求得𝐴𝐶=4√3，由正弦定理求得∠𝐴𝐶𝐷=π6，利用三角形面积公式求得答案；（2）设

∠𝐴𝐷𝐶=𝜃(0<𝜃<π)，∠𝐴𝐶𝐷=𝛼，由余弦定理表示出cos𝛼=𝐴𝐶2+4816𝐴𝐶，再由正弦定理表示出sin𝛼=4sin𝜃𝐴𝐶，从而表示出三角形面积公式，结合三角恒等变换

和三角函数性质，求得答案.【解答过程】（1）在△ACD中，由余弦定理知，𝐴𝐶2=𝐴𝐷2+𝐶𝐷2−2𝐴𝐷⋅𝐶𝐷⋅cosπ3=16+64−2×4×8×12=48，∴𝐴𝐶=4√3，由正弦定理知，𝐴𝐶sin∠𝐴𝐷𝐶=𝐴

𝐷sin∠𝐴𝐶𝐷，即4√3sin𝜋3=4sin∠𝐴𝐶𝐷，∴sin∠𝐴𝐶𝐷=12，∵∠𝐴𝐷𝐶=π3，∴∠𝐴𝐶𝐷∈(0,2π3),𝐴𝐶>𝐴𝐷，∴∠𝐴𝐶𝐷=π6，而∠𝐴𝐶𝐵=π3,∴∠𝐵𝐶𝐷=π2，∴𝑆Δ𝐵𝐶𝐷=1

2𝐶𝐷⋅𝐵𝐶=12𝐶𝐷⋅𝐴𝐶=12×8×4√3=16√3，∴△BCD的面积为16√3（百米）⬚2;（2）不妨设∠𝐴𝐷𝐶=𝜃(0<𝜃<π)，∠𝐴𝐶𝐷=𝛼，在△ADC中，由余弦定理知，𝐴𝐶2=𝐴𝐷2+𝐶𝐷2−2�

�𝐷⋅𝐶𝐷⋅cos𝜃=80−64cos𝜃，𝐴𝐷2=𝐴𝐶2+𝐶𝐷2−2𝐴𝐶⋅𝐶𝐷⋅cos𝛼，∴cos𝛼=𝐴𝐶2+4816𝐴𝐶，由正弦定理知，𝐴𝐶sin∠𝐴𝐷𝐶=𝐴𝐷sin∠𝐴𝐶𝐷，即𝐴𝐶s

in𝜃=4sin𝛼，∴sin𝛼=4sin𝜃𝐴𝐶，∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=12𝐶𝐷⋅𝐵𝐶sin(∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐴𝐶𝐵)=12×8×𝐴𝐶sin(𝛼+π3)=2𝐴𝐶⋅(sin𝛼+√3cos�

�)=2𝐴𝐶⋅(4sin𝜃𝐴𝐶+√3⋅𝐴𝐶2+4816𝐴𝐶)=8sin𝜃−8√3cos𝜃+16√3=16sin(𝜃−𝜋3)+16√3≤16+16√3，当且仅当𝜃−π3=π2，即𝜃=5π6时，等号成立，故△BCD的面积的是大

值为16+16√3(百米)⬚2．