【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020届高三第四次模拟数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(24)页，2.101 MB，由小赞的店铺上传

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2020年高三学年第四次高考模拟考试数学试卷（理工类）一、选择题1.设集合30Axx=−，集合220Bxxx=−−，则AB=（）A.(),2−B.(),3−C.(1,2−D.1,2−【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合A,B，再根据并集

定义求结果.【详解】30(,3)Axx=−=−,220(1,2)Bxxx=−−=−(,3)AB=−U故选：B【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.2.复数z的共轭复数为z，且满足5zz=，则复数z的模是（）A.1B.2C

.5D.5【答案】C【解析】【分析】根据复数、共轭复数和复数模的概念，即可求出结果.【详解】设复数zabi=+，则zabi=−，又5zz=，所以225ab+=，又22zab=+，所以复数z的模为5.故选：C.【点睛】本题主要

考查了复数、共轭复数和复数模的概念，属于基础题.3.已知向量()3,2m=，()4,nx=，若mn⊥，则x=（）A.－6B.83−C.83D.6【答案】A【解析】【分析】由题得3420mnx=+=，解方程即得解.【详解】因为mn⊥，所以3420mnx=+=，所以

6x=−.故选：A.【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，考查数量积的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log1SCWN=+.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传

递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（）附：lg20.3010A.10%B.20%C.50%D

.100%【答案】B【解析】【分析】根据题意，计算出22log4000lg400032lg23.60201.2log1000lg100033+==即可.【详解】当1000SN=时，2log1000CW=，当4000SN=时，2log0004CW=因为22log4000lg400032lg

23.60201.2log1000lg100033+==所以将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了20%故选：B【点睛】本题考查的是对数的运算，掌握对数的运算法则和运算性质是解题的关键，属于

中档题.5.若,xy满足约束条件1215yyxxy−+，则3zxy=−的最大值为（）A.2B.4C.11D.14【答案】C【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合分析得到3zxy=−的最大值.【详解】不等式组对应的可行域是如图所示的ABC区域，由3z

xy=−得3yxz=−，它表示斜率为3，纵截距为z−的直线，当直线经过点C时，纵截距z−最小，此时z最大.联立15yxy=+=得(4,1)C,所以max34111z=−=.故选：C.【点睛】本题主要考查线性规划求最值，

意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6.函数()35sin55xxxxfx−+=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据(0)0f=排除选项,CD，再根据()10f确定答案.【详解】由题得()0000

55xxf−+==+，所以排除选项,CD.由题得()3115sin111055f−+=+，所以选A.故选：A.【点睛】本题主要考查根据函数的解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.一个物

体做变速直线运动，在时刻t的速度为()32vtt=−+（t的单位：h，v的单位：km/h），那么它在01t这段时间内行驶的路程s（单位：km）的值为（）A.23B.74C.53D.2【答案】B【解析】【分析】由速度在给定的时间范围内的定积分可得到答案.【详解】这辆汽车在

01t这段时间内汽车行驶的路程()113400117222444stdttt=−+=−+=−+=，所以这辆汽车在01t这段时间内汽车行驶的路程s为74.故选：B.【点睛】本题考查了定积分在物理中的应用，速度在时间范围内的积分是路程，属于

基础题.8.为了得到函数cos2yx=的图象，只需把函数2sincos66yxx=++的图象（）A.向右平行移动12个单位长度B.向左平行移动12个单位长度C.向左平移移动6个单位长度D.向右平行移动6个单位长度【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式及诱导公

式，将2sincos66yxx=++化简为cos212yx=−，即可判断.【详解】由题意可得，2sincossin2cos2cos2cos266332612yxxxx

xx=++=+=+−=−=−，所以只需把函数2sincos66yxx=++的图象向左平行移动12个单位长度，可得到函数cos2yx=的图象.故选

：B【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及诱导公式、三角函数图象的平移变换，属于基础题.9.已知圆221:0Cxykxy+−−=和圆222:210Cxyky+−−=的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直

线2mxny+=上，则22mn+的最小值为（）A.15B.55C.255D.45【答案】C【解析】【分析】利用两圆的方程作差求得公共弦的方程，得到点M的坐标，进而得到22mn+=，再求得原点到直线22xy+=的距离为，即可求得22mn+的最

小值.【详解】由圆221:0Cxykxy+−−=和圆222:210Cxyky+−−=，可得圆1C和2C的公共弦所在的直线方程为(2)(1)0kxyy−+−=，联立2010xyy−=−=，解得21xy==，即点(2,1)M，又因为点M在直线2mxny+=上，即22mn+=，又由原点到直线

22xy+=的距离为22225521d==+，即22mn+的最小值为255.故选：C.【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的应用，直线过定点问题，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查推理与运算能力.10.已

知正方体1111ABCDABCD−的外接球的体积为43，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的体积为（）A.2327B.4327C.16327D.23【答案】C【解析】【分析】先求球的半径，即得正方体棱长，根据三视图还原几何体，再根据正方体以及锥体体积公式

求结果.【详解】设外接球的半径为,R正方体棱长为a，因为正方体1111ABCDABCD−的外接球的体积为43，所以3442132333RRaRa====Q由三视图知几何体为正方体截去两个角（如图）

，其体积为323112163232327aaaa−==故选：C【点睛】本题考查三视图、正方体以及锥体体积、球体积，考查空间想象能力以及基本求解能力，属中档题.11.若实数,ab满足122lglglgabab+=+，则ab的最小值为（）A.2B.22C.3lg2

D.lg2【答案】B【解析】【分析】根据题意可知12abab+=且0,0ab，再利用基本不等式，即可求出结果.【详解】由题意可知0,0ab，因为122lglglgabab+=+，所以12abab+=所以12122ababab=+，所以22ab，当且仅当1212

ababab=+=，即5422ba==时，取等号.故选：B.【点睛】本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题.12.已知函数()2ln21xfxkx=−−，若()3ln2fx恒成立，则实数k的取值范围是（）A.)5,

+B.)8,+C.)10,+D.)3ln11,+【答案】B【解析】【分析】通过参变分离可得ln213ln22++xxk，构造函数()gx，只需求出max()gx即可，利用求导数，判断单调区间，得出()()3max328gxg=−==，进而求出k的取值范围.【详解】()2ln213l

n2=−−xfxkx恒成立，则ln213ln22++xxk，只需maxln213ln2()2++xxk设ln213ln2()2++=xxgx22ln2(ln213ln2)2ln2'()(2)ln2−++=xxxxgx1(ln213ln2)(3)ln222−+

+−−==xxxx当3x−，'()0gx；当3x−，)'(0gx；所以，()()3max328gxg=−==8k故选：B【点睛】本题考查了含参不等式恒成立求参数取值范围问题，构造函数，求函数最值等基本知识，考查数学运算能力和逻辑推理能力，转化的

数学思维，属于中档题.二、填空题13.若1~3,5XB，则()21EX−=______.【答案】15【解析】【分析】()133=55=EX，二项分布的性质可知，(21)2()1−=−EXEX，即可得出结果.【详解】由二项分布的性质可知，()133=55=EX，()31212()

1=21=55−=−−EXEX.故答案为：15【点睛】本题考查了二项分布的性质和应用，考查理解辨析能力和数学运算能力，属于基础题目.14.若锐角满足3cos45+=，则sin24

+=______.【答案】31250【解析】【分析】利用两角和余弦公式化简3cos45+=，两边平方可得sin2的值，利用齐次式化弦为切，求tan的值，进而求出cos2的值，利用两角和的正弦公式，可得

结果.【详解】锐角满足23cos(cossin)425+=−=，32cossin5−=，两边平方可得：181sin225−=，7sin225=2222sincos2ta

n7sin2sincostan125===++，即27tan50tan70−+=，解得tan7=或1tan7=，因为为锐角，cossin0−，04，1tan7=22222222cossin1tan

24cos2cossincossin1tan25−−=−===++22312sin2sin2cos242250+=+=故答案为：31250【点睛】本题主要考查三角恒等变型，两角和的正、余弦公式与二倍角公式，考查数学运算能力和逻辑推理能

力，属于中档题目.15.我国在北宋年间（公元1084年）第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日

用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰.哈三中图书馆中正好有这十本书，现在小张同学从这十本书中任借三本阅读，那么他借到的三本书中书名中恰有一个“算”字的概率为__

____.【答案】512【解析】【分析】先确定含有“算”字的书，结合组合数分别求出基本事件总数、恰含有一个“算”字的基本事件数，利用古典概型概率计算公式即可求解.【详解】根据题意可知，这十本书中共有五

本有一个“算”字，所以小张同学从这十本书中任借三本阅读共有310C种情况，他借到的三本书中书名中恰有一个“算”字共有1255CC种情况，故概率为1255310512CCC=.故答案为：512【点睛】本题主要考查古典概型及组合数，属于基础题.16.经过原点的直线交椭圆()

222210xyabab+=于,PQ两点（点P在第一象限），若点P关于x轴的对称点称为M，且13PAPM=，直线QA与椭圆交于点B，且满足BPPQ⊥，则直线BP和BQ的斜率之积为______，椭圆的离心率为______.【答案】(1).23−(2).33【解析】【分析】设,PB的坐

标，由题意可得,QM的坐标，再由向量的关系求出A的坐标，求出PQ，PB，QB的斜率表达式；又,PB在椭圆上，将,PB的坐标代入椭圆的方程，化简可得22PBQBkkba=−，又B在直线AQ上，可得221PBQAbakk−=，进而求出PB的斜率，再由BPPQ⊥可求出直线BP和BQ的

斜率之积，进而求出离心率．【详解】设()Pmn,，(),Bst，则(),Qmn−−，(),Mmn−因为13PAPM=，所以,3nAm所以PQ斜率为PQnkm=，PB斜率为PBtnksm−=−，QB斜率为QBtnksm+=+又

()Pmn,，(),Bst在椭圆()222210xyabab+=上，所以2222222222bbnbmtbsaa=−=−，；所以2222222222222222PBQBbbbsbmatntntnkksmsbs

msmaam−−−−+−===−+=−−−,所以2222221132PBQBQAbbbmaaakkkn−−−===，又BPPQ⊥，所以22312BPPQkbmnanmk−==−,所以2223ba−=−，所以2

222211331cbaa−=−==，所以33ca=，所以椭圆的离心率为33.【点睛】本题考查了椭圆的离心率、椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题.三、解答题17.已知各项均为正数的数列na，其前n项和为nS，满足22nnn

aaS+=.（1）求数列na的通项公式；（2）若112nannnbaa+=+，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）nan=；（2）11211nnTn+−−+=.【解析】【分析】（1）利用()12nnnaSSn−=−把递推关系转化为()112nnaan−−=，再利用等差数

列的通项公式可求na的通项；（2）利用等比数列的求和公式与裂项求和法可求nb的前n项和nT.【详解】解：（1）当1n=时，11a=，当2n时，()()221112nnnnnnnaSSaaaa−−−=−=+−+，∴()()1110nnnnaa

aa−−+−−=，∵0na，∴11nnaa−−=，∴na是以11a=为首项，1d=为公差的等差数列，∴nan=.（2）由（1）的nan=，则()1112211nnnbnnnn=+=+−++，()122111111222122

3121211121121+1nnnnnTbbbnnnn+=+++=++++−+−++−+−=+−−+=−−∴11211nnTn+−−+=.【点睛】数列的通项na与前n项和nS的关系式11,1,2nnnSnaSSn−==−，我们常利用这个关系式实现na与nS之间的相互转化.

而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列或等比数列的通项，则用公式直接求和；如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通

项的符号有规律的出现，则用并项求和法;中档题.18.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，2PAPD==，且PAPD⊥，点N为BC中点.（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）直线

PB和平面PAD所成的角为45，求二面角APNB−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）155.【解析】【分析】（1）可证PA⊥平面PCD，从而得到平面PAB⊥平面PCD.（2）设O为AD中点，连结PO，ON，可以证明POAD⊥、PO⊥ON、ONOD⊥，建

立如图所示的空间直角坐标系后可求给定的二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，CD平面ABCD，CDAD⊥，∴CD⊥平面PAD，∵PA平面PAD，∴CDPA⊥又∴PDPA⊥，∴PDCDD=，∴PA

⊥平面PCD，∵PA平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）设O为AD中点，连结PO，ON，又2,PAPDPAPD==⊥，故POAD⊥且2PO=，22AD=.∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PO平面PAD，∴PO⊥平面ABCD

.∵ON平面ABCD，∴PO⊥ON，又,ON为矩形ABCD的对边的中点，故ONOD⊥.以O为坐标原点，分别以,,ONODOP为,,xyz轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,2,0A−，()0,0,2P.设(),2,0Ba−，其中0a，则(),2,2PBa=−−.又平面PAD的法

向量为()1,0,0k=，所以22=24aa+，故2a=，所以()2,2,0B−，所以()2,0,0N，()2,2,0C.故()2,0,2PN=−，()0,2,2PA=−−，()0,22,0BC=，设平面PAN的法向量为(),,mxyz=故

00mPAmPN==即220220yzxz+=−=，令2y=，∴()1,2,2m=−−.设平面PBN的法向量为(),,nxyz=故00nBCnPN==即220220xzy−==，令2z=，∴()1,0,2n=r，∴315cos,553m

n−==−，因为二面角APNB−−为锐角，故其余弦值为155.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及线面角、二面角的计算，后者常借助空间向量（即直线的方向向量和平面的法向量）的夹角来帮助计算.19.已知某种新型病毒的传染能力很强，给人们生产和生活带来很大的影响，所以创新研发

疫苗成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上这种新型冠状病毒的疫苗A的研发费用x（百万元）和销量y（万盒）的统计数据如下：研发费用x（百万元）236101314销量y（万盒）1122.544.5（

1）根据上表中的数据，建立y关于x的线性回归方程ybxa=+$$$（用分数表示）；（2）根据所求的回归方程，估计当研发费用为1600万元时，销售量为多少？参考公式：()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−

，aybx=−$$.【答案】（1）3729130130yx=+；（2）销售量为47769盒.【解析】【分析】（1）根据表中的数据和题中所给参考公式可计算出()xy，，利用最小二乘法求b的值，代入aybx=−$$，可得a，进而求出回归方程3729130130yx=+.（2）将16x=，

代入回归方程即可.【详解】（1）23610131486+++++==x，1+1+2+2.5+4+4.5=2.56=y，61157iiixy==，6120xy=，621514iix==，2384nx=37130=b2

9130=−=aybx，3729130130yx=+（2）当16x=时，代入回归方程621130y=（万盒）47769（盒）当研发费用为16000000时，销售量为47769盒.【点睛】本题考查了线性回归方程，最小二乘法等基本知识，考查了数学运算能力、数据分析能力和逻辑推理能力

，属于一般题目.20.已知圆M经过点()0,1与直线1y=−相切，圆心M的轨迹为曲线C，过点()0,2N做直线与曲线C交于不同两点,AB，三角形OAB的垂心为点H.（1）求曲线C的方程；（2）求证：点H在一条定直线上，并求出这条直线的方程.【答案】（1）24xy=；（2）证明见解析

.【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，得到圆心M表示以()0,1F为焦点，以1y=−为准线的抛物线，即可求得圆心M的轨迹方程；（2）设()()2211224,4,4,4AttBtt，由,,ABN三

点共线，求得12tt的值，再求得过点A与直线OB垂直和点B与直线OA垂直的直线方程，联立方程组，求得2y=−，即可得到结论.【详解】（1）圆M经过点()0,1F与直线1y=−相切，则圆心M满足到点()0,1F与到直线1y=−的距离相等，根据抛物线的定义，可得圆心M表示以()0,1F为焦点

，以1y=−为准线的抛物线，其中2p=，所以圆心M的轨迹方程为24xy=.（2）设()2114,4Att，()2224,4Btt，由,,ABN三点共线，则221212424244tttt−−=，整理得1212tt=−，过点A与直线OB垂直

的直线为()2221144ytxtt−=−−，同理过点B与直线OA垂直的直线为()2112144ytxtt−=−−，两条垂线联立方程组()()22212112144144ytxttytxtt−=−−−=−−，解得12442ytt=−−=，所以垂心在直线2y=−.【点睛】本题主要

考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.21.已知函数()xfxeax=+的图象与直线()221yexe=+−相切.（1）求实数a的值；（2）若存在实数k满足()0fk且10fk，求证：1lnxexkk

−−.【答案】（1）1a=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义化简得出00200xxxeee−−=，解出02x=，即可确定a的值；（2）令1mkk=+，构造函数()()lnxJxexm=−−，利用导数得出()minJx，证明()min0Jx，即可得出结论

.【详解】解：（1）设切点为()00,xy，()xfxea=+则021xeae+=+，()022001xeaxexe+=+−消a得00200xxxeee−−=，令()2xxhxxeee=−−，得()xhxxe=当0x时，()0xhxxe=所以()hx在区间()0

,+?单调递增，且()20h=又因为当0x时，()0hx，所以02x=，得1a=.（2）由已知0kek+，110kek+因为函数()xfxex=+为增函数，且1211022fe−−=−所以12k−，112k−，即122k−−令()111()22mkkkkkk

=+=−−+−−=−−−，（当且仅当1k=−时，取等号）即2m−.令()()lnxJxexm=−−()1xJxexm=−−，因为()Jx在(),m+为单调递增函数()0kJkek=+，1

110kJekk=+，()1010Jm=+.所以存在1x，使得()10Jx=，且1xk，11xk，10x，即1102x−()10Jxxx，()10Jxmxx即函数()Jx在()1,mx为单调递减函

数，在()1,x+上是单调递增函数所以()()()111minlnxJxJxexm==−−又因为()11lnxxm=−−，所以()111min1()()02xJxexfxf=+=−所以原不等式1lnxexkk−−成立.【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用以及利

用导数证明不等式，属于中档题.22.在直角坐标系中，直线l的参数方程为33,212xtyt=−+=（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin=，若直线l与曲线C交于,AB两点.（1）若()3,0P−，求PAPB

+；（2）若点M是曲线C上不同于,AB的动点，求MAB△面积的最大值.【答案】（1）5；（2）39134+.【解析】【分析】（1）将圆的极坐标方程化为直角方程，再利用直线参数方程中参数的几何意义可求PAPB+的值

.（2）先求出直线的普通方程，再分别求出AB的长及圆心到直线的距离，从而可求MAB△面积的最大值.【详解】解：（1）设1122,31313,3,2222AttttA−++−，因为2:4sin4sinC

==，，所以224xyy+=，将33212xtyt=−+=（t为参数）代入224xyy+=得到2530tt−+=，2512130=−=,故12,tt是该方程的两个正根，又12125PAPBtttt+=+=+=.（2）直线AB的直角方程为313yx=+即330xy−+=.又(

)22:24Cxy+−=，故圆心坐标为()0,2，圆心到直线的距离为3324d==，故M到AB的距离的最大值为322+.故324134AB=−=，故MABS的最大值为1339213224AB+=

+.【点睛】本题考查圆的极坐标方程与直角方程的互化、直线的参数方程与直角方程的互化，注意非直角方程下的最值问题，一般需转化到直角方程下去讨论求解.23.已知函数()3fxxk=+，()1fx的解集为113xx−−.（1

）若存在x，使()31fxxa++成立，求实数a的取值范围；（2）如果对于,xy满足214xy−+，713y−，求证：()9fx.【答案】（1）1a；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据()1fx，

得到1133kkx+−+−，再由()1fx的解集为113xx−−，由113k+−=−求解，然后将存在x，使()31fxxa++成立，转化为3132xxa+++成立，利用绝对值三角不等式求解.（2）将()32fxx=+，利用绝对值三角不等式转化为()313

121212323=−+++−+++fxxyyxyy，再根据713y−求解.【详解】（1）因为()1fx，所以131xk−+，所以1133kkx+−+−，又()1fx的解集为113xx−−.所以113k+−

=−，解得2k=，此时1133k−+=−，所以2k=.因为存在x，使()31fxxa++成立，所以3132xxa+++成立，因为()313231321xxxx++++−+=，当13x=−时等号成立，所以1a.（2）由（1）知()32fxx=+，34313

13222121232323xxxyyxyy+=+=−+++−+++，因为713y−，所以14233y−+，于是123y+，所以()()31321429232fxxyy−++++=.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及解集的应用，不等式有解

，不等式证明和绝对值三角不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.