【文档说明】1.1 集合的概念与表示（课堂培优）（解析版）-2021-2022学年高一数学课后培优练（苏教版2019必修第一册）.docx，共(14)页，310.381 KB，由管理员店铺上传

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1.1集合的概念与表示一、单选题1．能够组成集合的是（）A．与2非常数接近的全体实数B．很著名的科学家的全体C．某教室内的全体桌子D．与无理数π相差很小的数【答案】C【分析】由集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性，进行判断即可【解析】解：

A.与2非常接近的数不确定，∴不能构成集合；B.“很著名”，怎么算很著名，不确定，∴不能构成集合；C.某教室内的桌子是确定的，∴可构成集合；D.“相差很小”，怎么算相差很小是不确定的，∴不能构成集合.故选：C.2．集合{|32}xx−N用

列举法表示是（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3，4，5}C．{0，1，2，3，4，5}D．{0，1，2，3，4}【答案】D【分析】解出不等式，确定出不等式的解集中的自然数即得．【解析】由32x−得5x，又xN，所以集合表示为{0,1,2,3,4}．故选：D

．3．下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则－a∉N；③集合{x∈R|x2－2x＋1＝0}含有两个元素；④集合6|xQNx是有限集．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．0【答案】D【分析】①{0}不是空集，可判断不正确

；②若aN，当0a=时，Na−，可判断不正确；；③集合22101{|}AxRxx=−+==，只有1个元素，可判断不正确；④当x为正整数的倒数时，6|xQNx是无限集，可判断不正确．【解析】①{0}是含有一个元素0的集合，不是空集，所以①不正确；②当a＝0时，0∈

N，所以②不正确；③因为由x2－2x＋1＝0，得x1＝x2＝1，所以{x∈R|x2－2x＋1＝0}＝{1}，所以③不正确；④当x为正整数的倒数时，6x∈N，所以6|xQNx是无限集，所以④不正确．故选：D4．已知集合{10}

Axx=„，23a=+，则a与集合A的关系是（）A．aAB．aAC．aA=D．{}aA【答案】A【分析】由已知可得10a，利用集合与元素的关系即可得解【解析】解：{|10}Axx=„，23224a=++=，10a，a

A，故选：A．【点睛】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．5．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1}B．{x|x2＝1}C．{1}D．{y|(y－1)2＝0}【答案】B【解析】{x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.6．下列命题中正确的是（

）①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示.A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．只有②和④【答案】

C【分析】根据集合的概念，集合元素的属性，集合的表示方法判断各选项．【解析】①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合；根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素不能一

一列举，故选：C.【点睛】本题考查集合的概念，集合元素的性质，以及集合的表示法，属于基础题．7．设集合A={2，1-a，a2-a+2}，若4∈A，则a=（）A．-3或-1或2B．-3或-1C．-3或2D．-1

或2【答案】C【解析】若1−a=4，则a=−3，∴a2−a+2=14，∴A={2,4,14}；若a2−a+2=4，则a=2或a=−1，检验集合元素的互异性：a=2时，1−a=−1，∴A={2,−1,4}；a=−1时,1−a=2(舍)，本题选择C选项

.8．已知集合3,2,1,0,1,2A=−−−，21,ByyxxA==−，则集合B中所有元素之和是（）A．10B．13C．14D．15【答案】A【分析】将集合A中所有元素代入21yx=−求得集合B即可求解.【解析】集合3,2,1

,0,1,2A=−−−，21,1,0,3,8BByyxxA===−=−，集合B中所有元素之和为103810−+++=．故选：A．【点睛】本题考查由集合的限定条件求解具体集合，属于基础题.二、多选题9．下列各组中的M，P表示同

一集合的是（）A．M={3，-1}，P={(3，-1)}B．M={(3，1)}，P={(1，3)}C．M={y|y=x-1}，P={t|t=x-1}D．集合M={m|m+1≥5}，P={y|y=x2+2x+5，x∈R}【答案】CD【分析】利用集合相等的定义判断.【解析】在A中，M={3，-1}

是数集，P={(3，-1)}是点集，二者不是同一集合，故错误；在B中，M={(3，1)}，P={(1，3)}表示的不是同一个点的集合，二者不是同一集合，故错误；在C中，M={y|y=x-1}={y|y≥-1}，P={t|t=x-1}=

{t|t≥-1}，二者表示同一集合，故正确；在D中，M={m|m≥4，m∈R}，即M中元素为大于或等于4的所有实数，P={y|y=(x+1)2+4}，y=(x+1)2+4≥4，所以P中元素也为大于或等于4的所有实数，故M，P表示同

一集合，故正确．故选：CD10．(多选)下列说法正确的是（）A．N*中最小的数是1B．若－aN*，则a∈N*C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素【答案】AC【分析】根据常用集合的字母表示

，结合选项，即可容易判断.【解析】N*是正整数集，最小的正整数是1，故A正确；当a＝0时，－aN*，且aN*，故B错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故C正确；由集合元素的互异性知D是错误的．故A、C正确．故选：AC.

【点睛】本题考查常用集合的表示，以及互异性的应用，属综合简单题.11．（多选）已知,,xyz为非零实数，代数式xyzxyzxyzxyz+++的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（）A．0MB．2MC．4M-?D．4MÎ【答案】CD【分析

】讨论,,xyz三个数的正负性，可求出xyzxyzxyzxyz+++能取得的值，进而可求出集合M，从而可选出答案.【解析】根据题意，分4种情况讨论：①当,,xyz全部为负数时，则xyz也为负数，则4xyzxyzxyzxyz+++=−；②当,,xyz中只有一个负数时，则xyz为负数，则0xyz

xyzxyzxyz+++=；③当,,xyz中有两个负数时，则xyz为正数，则0xyzxyzxyzxyz+++=；④当,,xyz全部为正数时，则xyz也为正数，则4xyzxyzxyzxyz+++=.则4,0,4M=−.分析选项可得CD符合.故选：CD.【点睛】本题考查了对含有绝对值

符号的式子的化简，考查了集合元素的特点，考查分类讨论思想，属于基础题.12．对于二元一次方程组的解1,1,xy=−=用集合表示正确的为A．()1,1−B．1,1−C．()1,1−D．()1,1xxyy=−

=【答案】AD【分析】根据解集为有序实对，可利用列举法和描述法分别表示出来得到结果.【解析】方程组的解集为有序数对，列举法表示为()1,1−，描述法表示为()1,1xxyy=−=

或()(),1,1xy−.故选AD【点睛】本题考查方程组解集的集合表示，易错点是忽略可用列举法和描述法表示集合，造成结论缺失.三、填空题13．由大于3−且小于11的偶数组成的集合用描述法表示为____【答案】|2xxn=,且16,nnZ−【分析】根据

偶数的定义，结合描述法表示集合的方法可得答案.【解析】解：根据描述法的定义可知：大于3−且小于11的偶数组成的集合为：|2xxn=,且16,nnZ−故答案为：|2xxn=,且16,nnZ−14．已知集合A={x|2x=a}，当A为非空集合时a的取值范围是_

_______.【答案】a≥0【分析】由题意只需方程2xa=有解即可.【解析】解析要使集合A为非空集合，则方程2xa=有解，故只须a≥0.故答案为：a≥015．已知集合A={x，yx，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则x2017+y2018=______．【答案】-1【分析】利用集合相等

的定义列出方程组，求出x，y，由此能求出结果．【解析】∵集合A={x，yx，1}，B={x2，x+y，0}，A=B，∴2011yxx==，解得x=-1，y=0，则x2017+y2018=（-1）2017+02018=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查代数式求和，考查集合相等的性

质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．16．设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果1kA−，1kA+，那么称k是A的一个“孤立元”.给定1,2,3,4,5,6,7,8S=，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的

集合共有______个.【答案】6【分析】由题意可知，不含“孤立元”的3个元素的集合中，集合中的3个元素一定是连续的3个自然数，列举出符合条件的集合，即可得出结果.【解析】由题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数，故这样的集合有：

1,2,3、2,3,4、3,4,5、4,5,6、5,6,7、6,7,8，共6个.故答案为：6.【点睛】本题考查集合中的新定义，列举出符合条件的集合是解题的关键，属于中等题.四、解答题17．把下列集合用另一种方法表示出来：（1）{2,4,6,8,1

0}；（2）{|37}xNx；【答案】（1）{|2,xxkkZ=且15k}；（2）{4,5,6}.【分析】（1）根据集合中的元素都是偶数用描述法进行表示即可；（2）用列举法表示即可.【解析】（1）因为集合中的元素都是偶数，所以{2,4,6,8,10}={|2,xxkkZ=且1

5k}；（2）{|37}xNx={4,5,6}.18．用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）24的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．【答案

】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．【分析】（1）集合有无限个元素，利用描述法求解；（2）集合中元素较少，利用列举法求解；（3）集合有无限个元素，利用描述法求解；（4）集合中元素较少，利用列举法求解；【解析】（1

）用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}．（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．（3）用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}．（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，

21，102，120，210，201}．19．集合A是由形如()3,mnmn+ZZ的数构成的，试分别判断3a=−，133b=−，()2123c=−与集合A的关系.【答案】aA，bA，cAÎ【分析】考

虑abc、、是否可以写成()3,mnmn+ZZ的形式，若可以则是属于关系，反之则是不属于关系.【解析】∵()3013a=−=+−，而0，1−Z，aA，∵1331362633b+===+−∴bA；∵()()21231343c=−=+−，而1

3，4−Z，∴cAÎ.【点睛】本题考查元素与集合关系的判定，难度一般.当集合是一个特殊的数集时，判断元素是否属于集合，则需要考虑是否能通过一定的化简手段将元素能写成特殊数集的形式.20．（1）用描述法表示下图中

阴影部分(含边界)的点构成的集合；（2）用列举法表示集合A＝{x∈N|910x−∈N}.【答案】（1）{(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}；（2）A＝{1，7，9}.【分析】（1）用(x，y)表示点的坐标，写出,xy的范围即可；（2）由10x−是9的正约数可得

．【解析】解：（1）阴影部分的点P(x，y)的横坐标x的取值范围为－1≤x≤3，纵坐标y的取值范围为0≤y≤3.故阴影部分的点构成的集合为{(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}.（2）因为x∈N，910x−∈N，当x＝1时，910x−＝1；当x＝7时，910x−＝3；当x＝9

时，910x−＝9.所以A＝{1，7，9}.【点睛】本题考查集合的表示法：描述法和列举法．属于基础题．21．已知集合2320,,AxaxxxRaR=−+=.（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并求

集合A；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围【答案】（1）9,8+；（2）当0a=时，23A=；当98a=时，43A=；（3）90,8+.【分析】（1

）方程ax2﹣3x+2＝0无解，则0a，根据判别式即可求解；（2）分a＝0和a≠0讨论即可；（3）综合（1）（2）即可得出结论.【解析】（1）若A是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解此时0,a＝9-8a＜0即a98＞所以a的取值范围为9,8+

（2）若A中只有一个元素则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a≠0，此时＝9﹣8a＝0，解得：a98=∴a＝0或a98=当0a=时，23A=；当98a=时，43A=

（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是90,8+.22．数集A满足条件：若a∈A，则11a−∈A(a≠1)．(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其

他所有元素；(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．【答案】（1）－1,12；（2）12,23−；（3）见解析.【分析】（1）根据条件进行递推即可得到A中其他所有元素；（2）不妨设3x=，求出A中其他所有元素

；（3）根据（1）（2）的元素特点得到结论并证明.【解析】(1)2∈A，则112−∈A，即－1∈A，则111+∈A，即12∈A，则1112−∈A，即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，12.(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为12,23−.(3)分析以上结果可

以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，11,1aaa−−，且三个数的乘积为－1.证明如下：若a∈A，a≠1，则有11a−∈A且11a−≠1，所以又有1111a−−＝1aa−∈A且1aa−≠1，进而有111aa−−＝a∈A.又因为a≠11a−(因为若a

＝11a−，则a2－a＋1＝0，而方程a2－a＋1＝0无解)，同理11a−≠1aa−，a≠1aa−.又因为a·11a−·1aa−＝－1，所以A中只能有3个元素，它们分别是a，11a−，1aa−，且三个数的乘积为－1.【点睛】该题考查的是有关集合的综合题，涉及到的知识点有集合中元素的确定，对

集合中元素的特征的判定，属于中档题目.23．已知由实数构成的集合A满足：若xA，且1x、0，则11xAx+−．（1）求证：当2A时，A中还有3个元素；（2）设、0均不属于A，问：非空集合A中至少有几个元素？【

答案】（1）A中还有3个元素是：113,,23−−.证明见解析；（2）至少有4个.【分析】（1）令2x=，代入11xx+−中计算，再根据xA，则11xAx+−进行计算即可，注意集合中的元素是互异的；（2）当1x、0时，由xA

，则11xAx+−，进行计算即可，注意集合中的元素是互异的.【解析】（1）若令2xA=，则1123112xAx++==−−−，此时即有3xA=−，则()()13111132xAx+−+==−−−−，即12xA=

−，则1111211312xAx+−+==−−−，即13xA=，则111321113xAx++==−−（出现重复元素2，停止计算），综上，当2A时，A中还有3个元素是：

113,,23−−.（2）当1x、0时，由xA，所以11xAx+−，所以1111=111xxAxxx++−−+−−，所以111111xxAxx+−−=+−−，所以111111xxxAxx−++=−−+（出现重复元素

x，停止计算），所以，非空集合A中至少有4个元素.【点睛】本题考查学生阅读信息题的能力，同时考查学生的“整体意识”，即把11xx+−的计算结果也看成是x.在计算过程中要注意集合元素的互异性，有重复元素出现时即停止计算.