【文档说明】湖北省云学部分重点高中联盟2025届高三上学期10月联考数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，988.922 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-ebc47ac2fad902c8a3845c62351f3a09.html

以下为本文档部分文字说明：

2024年湖北云学部分重点高中联盟高三年级10月联考数学试卷命题学校：孝感高中命题人：柴全中王燕霞张翔李丽珠审题人：褚卫斌考试时间：2024年10月8日15∶00-17∶00时长：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.1.已知集合()2log1Axyx==−∣，集合2xByy−==∣，则AB=（）A.()0,1B.()1,2C.()1,+D.()2,+【答案】C【解析】【分析】根据题意求集合,AB，进而求交集.【详解】由题意可知：()2|log1|10|1Axyxxxxx==−=

−=，|2|0xByyyy−===，所以()1,AB=+.故选：C.2.若tan2,=则sincos2cossin=+（）A.65B.65−C.25D.25−【答案】D【解析】【分析】利用二倍角余弦公式，及齐次式弦化切，从而得到结果.【详解】22sincos2sin

(cossin)sin(cossin)cossincossin−==−++22222sincossintantan242cossin1tan145−−−====−+++，故选：D.3.数列na是公差不为零的等差数列，它的前

n项和为nS，若918S=且346,,aaa成等比数列，则3a=（）A.13B.23C.53D.2【答案】B【解析】【分析】根据等差数列性质可得52a=，再根据等比中项运算可得23d=，即可得结果.【详解】设等差数列na的公差0d

，因为95918Sa==，即52a=，又因为346,,aaa成等比数列，则2436aaa=，即()()()22222ddd−=−+，整理可得23d=，所以32223ad=−=.故选：B.4.已知函数()()π3sin06fxx=+，对任意的x

R，都有()()30fxfx++=成立，则的可能取值是（）A.π4B.π2C.π6D.π3【答案】D【解析】【分析】根据题意分析可知函数()fx的最小正周期6T=，在利用最小正周期公式运算求解.【详解】因为()()30fxfx++=，即()()630fxfx+++=，可得()()

6fxfx+=，可知函数()fx的最小正周期6T=，且0，即2π6=，解得π3=.故选：D.5.对于平面凸四边形ABCD，若()()4,3,1,2ACBD==，则四边形ABCD的面积为（）A.52B.53C.552D.大小不确定【答案】A【解析】【分析】根据向量夹角公式可得直线,ACBD

的夹角的余弦值25cos5=，再结合面积公式运算求解.【详解】因为()()4,3,1,2ACBD==，则5,5,10ACBDACBD===uuuruuuruuuruuur，可得1025cos,555ACBDACBDACBD===

uuuruuuruuuruuuruuuruuur，设直线,ACBD的夹角为π0,2，则25cos5=，可得25sin1cos5=−=，所以四边形ABCD的面积为1155sin552252ABCDSACBD===uuuruuur.故选：A.6.已

知函数()cosfxxax=−在区间π0,6单调递增，则实数a的取值范围是（）A.1,2−−B.3,2−C.1,2+D.3,2−+【答案】A【解析】【分析】求得，分析

可知()0fx对任意π0,6x恒成立，参变分离结合正弦函数有界性分析求解.【详解】因()cosfxxax=−，则()sinfxxa=−−，由题意可得()sin0fxxa=−−对任意π0,6x恒成立，即sinxa−对任意π0,6x

恒成立，为又因为π0,6x，则1sin,02x−−，可得12a−，所以实数a的取值范围是1,2−−.故选：A.7.在平面直角坐标系中，双曲线()2222:10,

0xyCabab−=的左､右焦点分别为12,,FFA为双曲线右支上一点，连接1AF交y轴于点B，若2ABAF=，且12AFAF⊥，则双曲线的离心率为（）A.12+B.22+C.5D.6【答案】B【解析】【分析】设2ABAFm==，可得12

AFam=+，12BFa=，根据直角三角形三角比可得22cmaa=−，再利用勾股定理列式求解.【详解】设20ABAFm==，则12AFam=+，12BFa=，因为1212,BOFFAFAF⊥⊥，则1112121cosAFOFAFFFFBF==，即222a

mcca+=，整理可得22cmaa=−，则21cAFa=，又因为2221212AFAFFF+=，即()2222222ccacaa+−=，整理可得42420ee−+=，解得222e=+或222e=−（舍去），所以双曲线的离心率

为22e=+.故选：B.8.已知函数()1lnfxxaxx=−−有两个极值点12,xx，则()12fxx+的取值范围是（）A.30,ln24−B.3ln2,2−+C.30,

2ln22−D.3ln2,4−+【答案】D【解析】【分析】求导，分析可知2110xxa−+=有两个不相等的正根12,xx，根据二次方程根的分布解得102a，可得()212ln1fxxa

a+=−−，构建()21ln1,02gaaaa=−−，利用导数求值域即可.【详解】由题意可知：()fx的定义域为()0,+，且()22111axxafxaxxx−+=−+=−，由题意可知：20axxa−+=有两个不相等的正根12,xx，显然

0a，即2110xxa−+=有两个不相等的正根12,xx，则212121Δ401010axxaxx=−+==，解得102a，可得()212111lnln1fxxfaaaaaaa+==−−=−−，令()21ln1,02gaaa

a=−−，则()212120agaaaa−=−=，可知()ga在10,2内单调递减，则()13ln224gag=−，且当a趋近于0时，()ga趋近于+，即()ga值域为3ln2,4−+，所以()12fxx+的取值范围是3ln2,4−+

.故选：D.【点睛】关键点点睛：利用韦达定理可得()2121ln1fxxfaaa+==−−，进而构建函数求值域.的二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得

部分分，有选错的得0分.9.已知事件,AB发生的概率分别为()()11,23PAPB==，则下列说法正确的是（）A.若A与B互斥，则()23PAB+=B.若A与B相互独立，则()23PAB+=C.若()13PAB=，则A与B相互独立D.若B发生时A一定发生，

则()16PAB=【答案】BC【解析】【分析】选项A，利用互斥事件的概率公式，即可求解；选项B，利用()()()()PABPAPBPAB+=+−，求得()23PAB+=，即可求解；选项C，利用相互独立的判断方法()()()PAPBPAB

=，即可求解；选项D，由题知()()PABPB=，即可求解.【详解】对于选项A，因为A与B互斥，则()115()()236PABPAPB+=+=+=，所以选项A错误，对于选项B，A与B相互独立，则()11112()()()23233PABPAPBPAB+=+

−=+−=，所以选项B正确，对于选项C，因为()()12,23PAPB==，所以()()1()3PAPBPAB==，由相互独立的定义知A与B相互独立，所以选项C正确，对于选项D，因为B发生时A一定发生

，所以BA，则()1()3PABPB==，所以选项D错误，故选：BC.10.已知abc，且20abc++=，则（）A.0,0acB.2caac+−C.0ac+D.21acab+−+【答案】ABD【解析】【分析】对于A：结合题意

利用反证法分析判断；对于C：根据题意结合不等式性质分析判断；对于B：根据0ac，()20ac+，结合不等式性质分析判断；对于D：根据题意分析可知()2acab+−+，0ab+，即可得结果.【详解】对于A：因为abc，且20abc++=，若0c，

则0abc，则20abc++，不合题意，所以0c；若0a，则0abc，则20abc++，不合题意，所以0a；综上所述：0,0ac，故A正确；对于C：因为abc，则abac++，可得(

)22abcac+++，即()02ac+，可得0ac+，故C错误；对于B：由选项AC可知：0ac，且0ac+，得()20ac+，即222acac+−，且0ac，所以2caac+−，故B正确；对于D：因为()()()22

0acababccc+++=+++=，可得()2acab+−+，又因为()()20abcabac++=+++=，可得()0abac+=−+，所以21acab+−+，故D正确；故选：ABD.11.设,是锐角

三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的有（）A.sinsin1+B.tantan1C.coscos2+D.()1tantan22−−【答案】ACD【解析】【分析】由题意可得：π02，且π2+，ππ42，利用诱导公式结合三角

恒等变换以及正弦函数的有界性逐项分析判断.【详解】因为,是锐角三角形的两个内角，且，可得：π02，且π2+，ππ42，对于选项A：因为π2−，且ππ022−，则πsins

incos2−=，可得πsinsinsincos2sin4++=+，因为ππ42，则ππ3π244+，可得2πsin124+，所以πsinsin2sin1

4++，故A正确；对于选项B：因为()tantantan01tantan++=−，且tan,tan0，即tantan0+，则1tantan0−，即tantan1，故B错误；对于选项C：因为π2−，则πcoscossin2

−=，则πcoscoscossin2sin4++=+，由选项A可知：2πsin124+，所以πcoscos2sin24++，故C正确；对于选项D

：因为()2tan12tan21tan2−−=−−，又因为π02−，则π024−，可得0tan12−，即201tan12−−，所以()2tan12tantan

221tan2−−−=−−，故D正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：根据锐角三角形分析,满足的条件和范围，这是解题的关键和基础.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z满足2iizz=−+，则z=__________.【答案】102【解析

】【分析】先利用复数运算法则求出z，进而求出模长.【详解】由已知条件可知2iizz=−+，可得到()()2iizz=−+，化简整理可得i122izzz=−+++，()1i12iz−=−−，所以13i2z−=，所以2232

11022z=+=.故答案为：10213.若()ππsin3sin63fxaxx=+++是偶函数，则实数a的值为__________.【答案】3−【解析】【分析】由函数()fx偶函数，则π

π66ff−=，代入计算并验证即可求出a.【详解】函数()fx是偶函数，则ππ66ff−=,πππ3ππππππ3sinsin3sinsin36632666633ffaa−=−+===+++=+

,化简可得3a=−.当3a=−时，则()ππ3sin3sin63fxxx=−+++ππππ3sincoscossin3sincoscossin6633xxxx=−+++是31133sincos3sincos

3cos2222xxxxx−+++=所以()3cosfxx=，则()()()3cos3cosxxfxfx−===−，所以函数()fx是偶函数，则3a=−.故答案为：3−14.在如图所示的直角梯形ABCD中，AB∥,1,2,.CDABBCCDABB

CP===⊥为梯形ABCD内一动点，且1AP=，若APABAD=+，则2+的最大值为__________.【答案】54##1.25【解析】【分析】建系，设()cos,sinP，根据向量的坐标运算用表示,，利用辅助角公式结合正弦函数最值求最值.【详解】如图，以A为坐

标原点，建立平面直角坐标系，则()()()0,0,1,0,1,2ABD−−，且1AP=，可知点P在标准单位圆上，可设()1πcos,sin,0,tan,πα22P=−−，可得()()()cos,sin,1,0,1,2APABAD===−−，若(),2APABAD=+

=−−，可得cos2sin−=−=，解得1cossin21sin2=−=−，则()1135cossinsincossincos22444+=−−=−=+，其中43πcos,sin,0,552

==，当且仅当2π+=，即2π=−，34sinsin,coscos55=−=−==时，()cos1+=，此时为第四象限角，符合题意，2+取到最大值54故答案为：54.【点睛】关键点点

睛：对于向量中的动点问题，常常建系，利用向量的坐标运算运算求解，可以简化复杂的线性运算推导.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列na的前n项和为2,1n

Sa=且()*12nnSSnn+=+N.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足()2log1nnba=+，数列nb的前n项和为nT.求2341111nTTTT++++.【答案】（1）121nna−=−（2）121n−【解析】【分析】（1）根据题意先求得1nnaS

n+=+，110Sa==，利用构造法求得21nnSn++=，即可得结果；（2）由（1）可得1nbn=−，即可得()12nnnT−=，利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】因为12nnSSn+=+，可得1nnaSn+=+令1n=，可得2111aS=+=，即110Sa==，

由12nnSSn+=+可得()()11121nnSnSn++++=++，且11120S++=，可知数列1nSn++是以首项为2，公比为2的等比数列，则11222nnnSn−==++，可得21nnSn=−+，即121nna+=−，则121,2nnan−=−，且1

0a=符合上式，所以121nna−=−.【小问2详解】由（1）可得：()122log1log21nnnban−=+==−，则()111nnbbnn+−=−−=，可知{𝑏𝑛}是以首项10b=，公差为1的等差数列，可得()()0112

2nnnnnT+−−==，当2n时，则()1211211nTnnnn==−−−，所以234111111111121212231nTTTTnnn++++=−+−++−=−−.16.在ABC中，

三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.设向量()2,cosmacC=−，(),cosnbB=，且mn∥.（1）求角B大小；（2）设D是边AC上的一点，使得ABD△的面积是DBC△面积的2倍，且sinsin14ABDDBCac+=，求线段BD的长.【答案】（1）π3（2）23【解析】

【分析】(1)根据向量共线的坐标表示可得()2coscosacBbC−=，结合正弦定理边角互化以及三角恒等变换运算求解；(2)根据面积相等关系可得sinsin32ABDDBCBDac+=，

再结合题中关系的sinsin14ABDDBCac+=，两式联立即可得结果.【小问1详解】∵mn∥，∴()2coscosacBbC−=.由正弦定理，得2sincossincossincos2sincossinABCBBCABA−=

=.在三角形ABC中，0πA，所以sin0A，∴12cos1cos2BB==，所以π3B=.【小问2详解】∵2ABDDBCSS=∴2ADDC=.∵ABDDBCABCSSS+=，∴111sinsinsin222cBDABDaBDDBCacB+=.两边同时除以ac，又π3B=，∴

sinsin32ABDDBCBDac+=.又sinsin14ABDDBCac+=，∴23BD=.17.已知,ab为实数，函数()e1xfxaxb=−+−（其中e2.71828=是自然对数的底数）.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若对任意的()R,0xfx恒

成立，求ab+的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）11e−【解析】【分析】（1）对()fx求导，得到()exfxa=−，再分0a和0a两种情况，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；（2）根据条件，利用（1）中结果得到ln1abaa++，构造函数()ln1gxxx=

+，利用导数与函数单调性间的关系，求出()ln1gxxx=+的单调区间，进而求出()ln1gxxx=+的最小值，即可求解.【小问1详解】易知Rx，因为()e1xfxaxb=−+−，所以()exfxa=−，当0a时，()e0xfxa=−恒成立，此时()fx在R上单调递增，当0a时，由

()e0xfxa=−=，得到lnxa=，当lnxa时，()0fx，当lnxa时，()0fx，即()fx区间(,ln)a−上单调递减，在区间(ln,)a+上单调递增，综上，0a时，()fx在R上单调递增，0a时，()fx的减区间为(,ln)a−，增区间为(ln,)a+.【

小问2详解】因为当0a时，x→−时，()fx→−，由（1）知，要使对任意的()R,0xfx恒成立，则0a，且()lnlneln10afaaab=−+−恒成立，即ln10aaab−+−恒成立，得到ln1baaa−+，所以ln1ln1abaa

aaaa++−+=+，令()ln1gxxx=+，则()ln1gxx=+，由()ln10gxx+==，得到1ex=，当10ex时，()0gx，1ex时，()0gx，所以()ln1gxxx=+在区间1(0,)e上单调递减，在区间1(,)

e+上单调递增，在所以1111()()ln11eeeegxg=+=−，故ab+的最小值为11e−.18.如图，在四棱锥PABCD−中，2,1,ADACBCAPPA====⊥底面ABCD，90CADACB==，平面PBC与平面PAD的交线为l.（1）求证：l⊥平面PAC；

（2）设M为PCD△内一动点，且79MCMD=−，求线段PM长度的最小值；（3）在（2）的条件下，当线段PM的长最小时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）223（3）23015【解析】【

分析】（1）根据线面平行的性质定理得到//BCl，再由线面垂直的判定定理得到⊥BC平面PAC，即可求解；（2）取CD的中点N，连接MN，由平面向量的数量积运算得得23MN=，当,,PMN三点共线时，等号成立

，此时PM取得最小值，即可求解；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量和AM的方向向量，利用线面角的向量法，即可求解.【小问1详解】因为90CADACB==，所以//ADBC，而AD平面PAD，BC平面PAD，得//BC平面PAD，由BC平面PBC

，平面PBC平面PADl=，得//BCl，因为PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC⊥，而ACBC⊥，,,PAACAPAAC=平面PAC，得⊥BC平面PAC，由//BCl，得l⊥平面PAC．【小问2详解】如图所示：取CD的中点N，连接MN，则(

)()()()22MCMDMNNCMNNDMNNDMNNDMNND=++=−+=−，而()()221122122NDCD==+=，得2719MN−=−，得23MN=，而()22123PCPD==+=，由PNCD⊥，得()22312PN=−=，由PNNMPM−，当,,P

MN三点共线时，等号成立，此时PM取得最小值，则线段PM长度的最小值为：222233−=．【小问3详解】当线段PM的长最小时，23PMPN=，以A为坐标原点，,,ACADAP分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图

所示：()()()()()220,0,0,0,0,12,0,0,2,2,0,0,2,0,,,022APCBDN−，，()22222210,0,1,,1,,3322333AMAPPMAPPN=+=+=+−=，(2,2,1)P

B=−−，(2,0,1)PC=−，设平面PBC的一个法向量为(,,)nxyz=，由00PBnPCn==，得到22020xyzxz−−=−=，取1x=，得到0,2yz==，即(1,0

,2)n=，设AM与平面PBC所成角为，则222303sincos<,15533AMnAMnAMn====．19.在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X的所有取值为()()*1

,2,3,,,innPXip==N，定义信息熵：()12211(),,,log,1,1,2,,nnnniiiiiHXHppppppin====−==（1）若2n=，且12pp=，求随机变量X的信息熵；（2）若121111,,

2,2,3,,222kknnppppkn+=+===，求随机变量X的信息熵；（3）设X和Y是两个独立的随机变量，求证：()()()HXYHXHY=+.【答案】（1）1（2）21111l23222(222)ognnnHnX

+++−−+=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接代入公式求解.（2）利用错位相减求和即可求解.（3）分别求出()HX和()HY，由11niip==，11mjjq==，111nm

ijijpq===，利用公式进行证明即可.【小问1详解】若2n=，则随机变量X的取值为1或2，又121pp+=，故1212pp==，()111222222221111()logloglogloglog12222iiiHXpppppp==−+−−+===，所以随机变量X的信息

熵为1.【小问2详解】由题意，当2k时，222221222kkknnkpp−−−+===，22222112loglog222kknknknknkpp−+−+−+−+==−，而12121111loglog2222nnpp=++，222211111

log22()ll2g2oognnniiiniiiHXpppp==++−=−−==122122221111log2222nnnnnn−+++−−+++，令2121222nnnn

nS−−=+++，则311212222nnnnnS+−=+++，两式相减得2134211121111111322222222224242nnnnnnnnnS++++=−++++=+++−−=−，所以3222nnnS+=−

，则21111l23222(222)ognnnHnX+++−−+=.【小问3详解】由题意，()1221(),,,lognnniiiHXHppppp===−，()1221(),,,logmmjjjmHqYHqqqq===−，而且11niip==，11mjjq==，11

1nmijijpq===所以()()111212121,,,,,,,,,,mnmmnnmHXYHpqpqpqpqpqpqpq=()()2221111logloglognmn

mijijijijijijpqpqpqpq=====−=−+221111loglognmnmijiijjijijpqppqq=====−−221111loglogmnnmjiiijjjiijqpppqq=====−−

2211loglognmiijjijppqq===−−()()()()1212,,,,,,mnnmqYHpppHqqHXH=+=+.