【文档说明】湖南省长沙市南雅中学2024-2025学年高一上学期阶段训练（三）（12月）数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，726.433 KB，由envi的店铺上传

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长沙市南雅中学2024级高一阶段训练（三）数学时长：120分钟总分150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()ln3fxxx=+−的零点所在的区间

为A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,4【答案】C【解析】【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即

可得到零点所在区间．【详解】解：∵f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函数f（1）=-2＜0，f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x-3的零点所在区间为（2，3）故选C．【点

睛】本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．2.下列函数中为奇函数且在(0,)+上单调递增的是（）A.()fxx＝B.()1fxxx=+

C.()3fxx=−D.()fxxx=【答案】D【解析】【分析】利用奇函数及在(0,)+上单调递增，逐项判断即得.【详解】对于A，()||fxx=定义域为R，()||()fxxfx−=−=，()fx偶函数，A不是；对于B，1()fxxx=+定义域为(,0)(0,)−+，而15

()(2)22ff==，即函数()fx在(0,)+上不单调，B不是；对于C，3()fxx=−定义域为R，(1)18(2)ff=−−=，()fx在(0,)+上不递增，C不是；对于D，()||fxxx=定义域为R

，()||()fxxxfx−=−−=−，()fx是奇函数，是当0x时，2()fxx=在(0,)+上单调递增，D是.故选：D3.32log232lg42lg5log883++++=（）A.10B.11C.12D.3【答案】B【解析】【分析】利用对数的运

算和性质，指数幂的运算化简求值即可.【详解】因为2lg42lg5lg4lg5lg4lg25lg1002+=+=+==，322log8log23==，()2232338224===，3log232=，所以32log232lg42lg5log883

234211++++=+++=.故选：B.4.已知集合21log,1,,12xAyyxxByyx====则AB=（）A.1{|0}2yyB.|01yyC.1{|1}2yyD.【答

案】A【解析】【分析】根据对数函数、指数函数性质化简集合A，结合交集的概念即可得解.【详解】2|log,1}0Ayyxxyy===，11,1|022xByyxyy===，所以1{|0}2AyyB=.故选：A.5.命题“xR，()(

)0fxgx”的否定是（）A.xR，()0fx=且()0gx=B.xR，()0fx=或()0gx=C.0xR，()00fx=且()00gx=D.0xR，()00fx=或()00gx=【答案】D【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断.【详解】全称命题的否定是特称命题，原命题

的否定是：0xR，00()()0fxgx=，即()00fx=或()00gx=，故选：D．6.若a＝24080.01，b＝log0.52402，c＝log0.030.02，则（）A.cabB.bacC.abc

D.acb【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质比较即可.【详解】因为函数0.01xy=,0.5logyx=,0.03logyx=都是减函数，所以2048000.010.011a==，0.50.5log2402log10b==，0.030.03log0.02log0

.031c==，所以cab.故选：A.7.已知0,0xy，3193log2log8log4xy−=，则113yx+的最小值是（）A2B.22C.23D.4【答案】D【解析】【分析】首先利用对数的运算性质得到31xy+=，再利用基本不等式求解即可.【详解】因为33319333333lo

g2log8log4log2log2log2log2log2xyxyxy+−=+==，所以31xy+=.因为0,0xy，所以()111133322243333yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=，当且仅当132xy==时取等号．故选：D.8.

已知0.1log2a=，5log2b=，则（）A.0abab+B.0abab+C.0abab+D.0abab+【答案】D【解析】【分析】根据对数函数单调性及对数的运算法则，判断、计算,ab

ab+的符号，作商比较,abab+的大小即可得解.【详解】因为0.15log20,log20ab==，所以0ab，又因为0.15lg2lg2lg2lg2(1lg25)log2log2lg20lg0.1lg52

lg5lg25ab−+=+=+=−+=，所以0ab+<，又因2222211log0.1log5log0.1log25log2.51ababab+=+=+=+=，所以1abab+且0ab，所以abab+，所以0abab+，故选：D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共1

8分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有错误的得0分.9.(多选)下列说法不正确的是（）A.函数()()22log2fxxx=−的单调递减区间为(),1−B.()12222−−−=C.

“58x−”是“5x”的充分不必要条件D.函数()4fxxx=+没有最小值【答案】AC【解析】【分析】根据定义域即可判断A；根据指数幂的运算可判断B；根据必要条件的定义可判断C；使用反证法即可判断D.的【详解】对于A，当𝑥=0时，有

220xx−=，所以()()22log2fxxx=−的定义域不包含0，从而(),1−不可能是单调递减区间，故A错误；对于B，有()()12111222221122222−−−−−====

−，故B正确；对于C，因为当5x时，一定有55x−，从而58x−.所以“58x−”是“5x”的必要条件，故C错误；对于D，假设𝑓(𝑥)有最小值m，则()fxm恒成

立，但()()()()41111fmmmmmm−+=−+−−+−+，矛盾，所以函数()fx没有最小值，故D正确.故选：AC.10.已知函数()()22log13fxxx=+−+.则下列说法正确的是（）A.()()116ff+−=B.函数()fx的图象关于点()0,3对称C

.函数()fx在定义域上单调递增D.若实数a，b满足()()6fafb+，则0ab+<【答案】ABD【解析】【分析】利用函数解析式，求解可得()()116ff+−=，即可判断A，利用()()6fxfx−+=可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性

可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D.【详解】对于A选项，()()()()()222211log1113log11136ff+−=+−++−+++=故A正确；对于B选项，对任意的xR，210xxxx++−，所以函数()()2ln13

fxxx=+−+的定义域为R，()22()()ln(1)3ln(1)3fxfxxxxx−+=−+++++−+22ln(1)66xx=+−+=，所以函数()fx的图象关于点()0,3对称，故B正确；对于C选项，对于函数()()2ln1hxxx=+−

，该函数的定义域为R，()()()()()2222ln1ln1ln10hxhxxxxxxx−+=++++−=+−=，即()()hxhx−=−，所以函数()hx为奇函数，当0x时，内层函数22111uxxxx=+−=+

+为减函数，外层函数lnyu=为增函数，所以函数()hx在)0,+上为减函数，故函数()hx在(,0−上也为减函数，因为函数()hx在R上连续，故函数()hx在R上为减函数，又因为函数3yx=+在R上为增函数，故函数()fx在R上为减函数

，故C不正确；对于D选项，因为实数a，b满足()()6fafb+，则()()()6fafbfb−=−，因为()fx在定义域上单调递减，可得ab−，即0ab+<，故D正确.故选：ABD.11.已知函数()fx的定义域为

R，且()()()2fxyfxfyxy+=−++，则下列选项正确的是（）A.()00f=B.()39f=C.()2yfxxx=−+是奇函数D.()2yfxx=−是偶函数【答案】ABC【解析】【分析】运用赋值法，结合奇偶函数得定义判断即可.【详解】对于A选项，令0xy==，

则()()020ff=，即()00f=，A正确；对于B选项，令0y=，则()()fxfx=−，令yx=−，则()()220fxfxx−+−−=，则()2fxx=，故()39f=.B正确；对于C选项，()2

yfxxxx=−+=是奇函数，C正确；对于D选项，()222yfxxxx=−=−是非奇非偶函数，D不正确.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点(),8m在幂函数()()1nfxmx=−的图象上，则()fx=_____【答案】3x【解析】【分析】先根

据幂函数的定义求m的值，在根据点在幂函数的图象上求n的值.【详解】由于()()1nfxmx=−为幂函数，所以11m−=，则2m=，所以()nfxx=．又点()2,8在函数()nfxx=的图象上，所以82n=3n=，故()3fxx=.故答案为：3x13.已知函数

()1133xfxm=−−，若函数()fx有两个零点，则m的范围是_____【答案】1,03−【解析】【分析】将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求解即可.【详解】若

函数()fx有两个零点，则()11303xfxm=−−=，即1133xm=+有两个实数解，则函数13xy=与函数13ym=+的图象有两个交点，作出13xy=图象如下：由图象知，当0131m+，即1

03m−时，函数13xy=与函数13ym=+的图象有两个交点，即函数()fx有两个零点，所以m范围是1,03−.的故答案为：1,03−.14.已知函数()()2210fxxxx=−，若实数a满足()()

313loglog22fafaf+=，则实数a的值是________．【答案】9或19【解析】【分析】先判断函数为偶函数，利用对数的运算法则进行化简求解即可．【详解】∵()()2210fxxxx=−，且()()()()

222211fxxxfxxx−=−−=−=−∴()()2210fxxxx=−为偶函数，∵2yx=在(0,+∞)是单调增函数，21yx=在(0,+∞)是单调减函数，故()221fxxx=−在(0,+∞)是单调递增

.∵()()313loglog22fafaf+=∴()()()33loglog22fafaf+−=∴()()3log2faf=，即3log2a=3log2a=，∴9a=或19故答案为：9a=

或19四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()()()ln1ln1fxaxx=++−的图象经过点()3,3ln2．()gx与exy=互为反函数.（1）求a的值及()fx的定义域，并判

断()fx的奇偶性；（2）求关于x的不等式()()fxgx的解集．【答案】（1）1a=，定义域为()1,+，()fx为非奇非偶函数（2）1512xx+}【解析】【分析】（1）将点()3,3ln2代入解析式中

计算即可得a，结合对数定义即可得其定义域，由定义域即可得其非奇非偶；（2）结合对数函数单调性及定义域计算即可得.【小问1详解】由题意可得()ln31ln23ln2a++=，即()ln312ln2ln4a+==，所以314a+=，即

1a=，则()()()ln1ln1fxxx=++−，则有1010xx+−，解得1x，故()fx的定义域为()1,+，()fx为非奇非偶函数；【小问2详解】由（1）可得()()()()2ln1ln1ln1fxxxx=++−=−，1x，由()gx与exy=互为反函数，可得()lngx

x=，不等式()()fxgx可化为()2ln1lnxx−，因为lnyx=在()0,+上是增函数，所以2011xxx−，即2210101xxxx−−−，解得1512x+，故该不等式解集为1512xx+.

16.已知函数223yaxax=−−（1）若1a=，求不等式2230axax−−的解集；（2）若关于x方程2230axax−−=有两个不等的正实数根1x与2x，求a的取值范围和2212xx+的取值范围.【答案】（1）1xx−或3x的（2）(),3−−，()2,4【解析】【分析】（1）

由题意得2230xx−−，求解即可；（2）利用一元二次方程的根的判别式和韦达定理，即可求解.【小问1详解】当1a=时，不等式为2230xx−−，解得1x−或3x，所以不等式的解集为1xx−或3x；【小问2详解】因为关于x的方程223

0axax−−=有两个不等的正实数根1x与2x，所以212120Δ41202030aaaxxxxa=++==−，解得3a−，所以a的取值范围为(),3−−；因为()2221

21212624xxxxxxa+=+−=+，因为3a−，所以1103a−，所以6244a+，所以2212xx+的取值范围为()2,4.17.某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：/Lmg）与时间t（单位：h）间的关系为0ekt

PP−=，其中0P，k是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物，请解决下列问题：（1）10h后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）？（参考数据：lg20.301，lg30.477）【答案】（1）10h后还剩下81%的污染物（2）33h【解析】【分析

】（1）根据0t=时0PP=得到5t=时()0110%PP=−，然后将5t=代入0ektPP−=中得到()500110%kPP−−=e，解得1ln0.95k=−，即可得到500.9tPP=，然后将10t=代入求P即可；（2）令050

%PP=，然后列方程求t即可.【小问1详解】由0ektPP−=可知，当0t=时，0PP=；当5t=时，()0110%PP=−，于是有()500110%kPP−−=e，解得1ln0.95k=−，那么500.9tPP

=.所以，当10t=时，00.81PP=，即10h后还剩下81%的污染物.【小问2详解】当050%PP=时，有5000.50.9tPP=，解得0.90.9lg2lg25log0.55log25533lg0.92lg3lg10t==−=−=−−，即污染减少50%大约需要花33h.1

8.已知函数()231xfxa=−+，()()2gxfxa=−（1）若函数()fx为奇函数，求a的值；（2）设()()()2hxgxagxa=−−.（i）函数()hx在1,2−上恒有()0hx

，求a的取值范围；（ii）若4a=，则是否存在实数,mn,使得函数()hx的定义域为,mn，值域为3,3mn.若存在，求出3m和3n的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a=（2）（i）829a；（ii）353233mn−==或3233mn=

=【解析】【分析】（1）由奇函数定义可得答案；（2）（i）令3xt=，可将问题转化为求二次函数最小值的问题，解不等式计算可得结果；（ii）可将()hx转化为()214Httt+−−=，通过讨论3m，3n与2的大小关系，

结合题意可得答案.【小问1详解】()fx定义域为R，且为奇函数，所以()00f=，可得1a=，经检验当1a=时，()fx为奇函数，所以1a=.【小问2详解】（i）易知()()()2231231xxgxfxaaa===−+−−−+，()()2231xg

x=−+，则()()()23131xxhxaa=−+++−，即()2331xxhxa=−+−，令3xt=，由1,2x−，则1213,3,93t−=，即()210Pttat=−+−，即21att

+，可得1att?恒成立，令()1ttt=+，根据对勾函数的性质可知()t在1,13单调递减，在1,9上单调递增，()111011821,3339992,39==+=+==，可得829a.法二：易知()21Pttat=−+−为开口朝下

的二次函数，当1,93t时，需满足11111110,103939819PPaa=−+=−+−−，解得829a.（ii）令,333,mnxtt=，令,33nmqp

==，则,tpq，()214Httt+−−=，对称轴为2t=，故()Ht在,pq上的值域为,pq.①当02pq时，()Ht单调递增，此时()()HppHqq==，即方程变为241ttt−+−=在(0,2有两个不同根，解得352t

=，其中3522t+=，故舍去②当2pq时，()Ht先增后减，所以()23Hq==，因此()()32HqHp==，故()2Hpp=，可得352p−=，故3532mp−==，33nq==，③2pq时，()Ht单调递减，此时()()HqpHpq==

，即224141ppqqqp−+−=−+−=，两式相减可得()()50pqpq−+−=因为pq，所以50pq+−=，即5pq+=，代入可解得32mp==，32nq==；综上所述，353233mn−==或3233mn==.19.已知函数()yfx=，若对于其定义域

D中任意给定的实数x，都有()11fxfx+=，就称函数()yfx=满足性质Q.（1）若函数()()()()22,00,1xfxxx=−++是否满足性质Q？请说明理由.（2）若()yfx=满足性质Q，()fx在定义域()0,+上单调，且()12fx对()0,

1x都成立，解关于x的不等式()2102faxxax+−−（a0）；（3）在（2）的条件下，已知()120,xx+，，12xx，若()()121fxfx+=，证明：122xx+.【答案】（1）满足性质Q，理由见解析（2）答案见解析（3）证明见解

析【解析】【分析】（1）通过验证函数()fx在定义域上是否满足()11fxfx+=，即可判断；（2）由函数()fx满足性质Q，求得()1f的值，由函数在()0,1x的不等式得到函数单调性，从而

将函数值不等式转化为自变量的不等式，通过分类讨论来解答含参二次不等式，求得解集；（3）由（2）得到函数()fx满足()1111fxfx+=且()()121fxfx+=，从而得到211xx=，再由基本不等式求得122xx+，得证.【小问1详解】当()221xfxx=+时，2221

11111xfxxx==++()11fxfx+=，所以()221xfxx=+满足性质Q.【小问2详解】若()yfx=满足性质Q，1x=时，()1111ff+=得到()112

f=，()fx在()0,+上单调，()yfx=在()0,1x时恒有()()112fxf=，所以()fx在()0,+上是单调减函数，()2102faxxax+−−得到()212faxxax+−

，即()()21faxxaxf+−，所以21axxax+−，即()2110axax+−−，即()()110xax−+，①当11a−=时，即1a=−时，不等式为2(10)x−，不等式解集为；②当10a−时，11a−，不等式解集为11,a−；③当1a−时

，11a−，不等式解集为1,1a−；【小问3详解】）已知()12,0,xx+，12xx，若()()121fxfx+=，()1111fxfx+=，()211fxfx

=，∵()fx在()0,+上是单调函数，211xx=，121xx=，∵121222xxxx+=，当且仅当1211xxx==，即11x=时，取等号，又∵12xx，∴122xx+.【点睛】方法点睛，本题对函数的性质做

了新的定义，我们要验证函数是否满足这个性质就得严格按照定义进行证明；同理在已知函数满足这个性质的时候，定义中的等量关系就是我们去解题的关键.所以在解决这类题目的时候应该认真阅读定义，并灵活运算相关知识进行运用.