【文档说明】北京市海淀区2023届高三二模数学答案.pdf，共(10)页，772.773 KB，由小赞的店铺上传

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高三数学参考答案第1页（共9页）海淀区2022—2023学年第二学期期末练习高三数学参考答案一、选择题题目12345678910答案BAADBDCCCD二、填空题（11）2（12）22142xy−=（13）8；37（14）(,1)(0,1)−−；12[

,)82（15）②③④三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）由()sincoscos(2)44446=++fa221sin2262=−=a得2a=.所以

，()2sincoscos(2)6=++fxxxxsin2cos2cossin2sin66=+−xxx13sin2cos222=+xxsin(2)3=+x所以，()fx的最小正周期2==T

.（Ⅱ）由222232kxk−++得1212kxk−+()kZ，高三数学参考答案第2页（共9页）所以()sin(2)3fxx=+的单调递增区间为[,]1212kk−+

()kZ.当0k=时，()fx的单调递增区间为[,]1212−，当1k=时，()fx的单调递增区间为[,]1212，所以()fx在[0,]上的单调递增区间为[0,]12，[,]12.（17）（本小题1

4分）解：（Ⅰ）由题意知，男女比例为16∶9，则1210516189a+++=，故5a=.估计A学院学生5月跑步里程在[0,30)中的男生人数为5100010050=人.（Ⅱ）X的取值范围是{1,2,3}.()()(

)1252372152373537511,3572042,3571023.357CCPXCCCPXCCPXC============因此X的分布列为X123P17472714215()1237777EX=++=

.（Ⅲ）存在满足条件的，且的最大值为19.设B学院女生人数为x，则男生人数为x,则594559451Bxxxxx++==++，而506404036023210005Ax+==.依题意，ABxx

，得232594551++，解得19，所以的最大值为19.高三数学参考答案第3页（共9页）（18）（本小题13分）（Ⅰ）取PC中点M，连接,FMBM.在PCD△中，,MF分别为,PCPD的中点，所以MFDC

，1=2MFDC.在菱形ABCD中，因为ABDC，12BEDC=，所以BEMF，=BEMF.所以四边形BEMF为平行四边形，因此EFBM.又因为EF平面PBC，BM平面PBC，所以EF平面PBC.（Ⅱ）选

择条件①:DEPC⊥因为PD⊥平面ABCD，,DEDC平面ABCD，所以PDDE⊥，PDDC⊥.又因为DEPC⊥，PDPCP=所以DE⊥平面PCD，又DC平面PCD所以DEDC⊥所以建立如图空间直角坐标系Dxyz−．又因为ABDC，DEAB⊥.又E为AB中点，

所以ADDB=，即ADB△为正三角形.因为23AD=，所以3DE=.设(0,0,)(0)Ftt，(3,0,0)E，(0,23,0)C.(3,0,)EFt=−,(3,23,0)EC=−.平面FCD的法向量为1(1,0,0)=n.设平面EFC的法向量为2(,,)xyz=n，则220,

0.EFEC==nn得30,3230.xtzxy−+=−+=取2xt=，则3yt=，6z=.所以2(2,3,6)tt=n.由题意，二面角EFCD−−的大小为45°zxyMECABDPF高三数学参考答案第4页（共9页）所以121212|cos,|||||||

=nnnnnn2222||23436ttt==++解得6t=（舍负）.因为F是PD的中点，所以PD的长为12.经检验符合题意.选择条件②：因为PD⊥平面ABCD，,,DBDCDE平面ABCD，所以PDDB⊥，PDD

C⊥，PDDE⊥.又因为222PBPDBD=+，222PCPDDC=+，且PBPC=所以BDDC=，在菱形ABCD中，ABBDAD==，即ADB△为正三角形.又因为E为AB中点，所以DEDC⊥建立如图空间直角坐标系Dxyz−．又因为A

BDC，DEAB⊥.因为ADB△为正三角形.且23AD=，所以3DE=.设(0,0,)(0)Ftt，(3,0,0)E，(0,23,0)C.(3,0,)EFt=−,(3,23,0)EC=−.平面FCD的法

向量为1(1,0,0)=n.设平面EFC的法向量为2(,,)xyz=n，则220,0.EFEC==nn得30,3230.xtzxy−+=−+=取2xt=，则3yt=，6z=.所以2(2,3,6)tt=n.由题意，二面角EFCD−−的大小为45°

所以121212|cos,|||||||=nnnnnn2222||23436ttt==++zxyMECABDPF高三数学参考答案第5页（共9页）解得6t=（舍负）.因为F是PD的中点，所以PD的长为12.经检验符合题

意.19.（本小题15分）解：（Ⅰ）由直线1AB的方程为330xy−+=，可得1(3,0),(0,1)AB−.所以，3,1ab==，由222abc=+得，2c=.椭圆E的方程为2213xy+=，离心率2633cea===.（Ⅱ）依题意，设

00(,)Pxy（000,0xy），则00(,)Mxy−.且由P是椭圆上一点，可得220013xy+=.直线1AB的方程为313yx=+，由0313xy+=得，03(1)xy=−.所以00(3(1),)Qyy−.直线2

PB的方程为0011yyxx+=−，令03(1)xy=−，得20200003()3(1)331113xyyxxx−−=−=−=−−.即003(3(1),1)3Nyx−−−.所以000000003133333333(1)33MNMNM

Nyxyyxykxxxyxy−++−−+====−−−−+.即直线MN的倾斜角是π6，所以π3MNQ=.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）对()fx求导得ln()2xxfxxx=+.可得(1)1f=.又可知(1)0f=，xyONQMAB1B2P高三数学参考答案第

6页（共9页）所以曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为10xy−−=.（Ⅱ）因为0x，所以0x.由此可知，要证lnxxx，只需证lnxx，即证ln0xx−.令()lnhxxx=−，求导得112()22xhxxxx−=−=.令'()0,hx

=解得4x=.可知,()xhx与()hx的变化情况如下表：x(0,4)4(4,)+()hx+0−()hx极大值所以()(4)ln420hxh=−.所以ln0xx−恒成立.即原不等式成立.（Ⅲ）2()ln()gx

xxaxx=+−，因为1x，所以2ln0,0xxxx−.所以当0a时，()0gx在(1,)+上恒成立，符合题意.当0a时，ln'()(21)2xxgxaxxx=++−.令()()txgx=

，则ln111ln2()220224xxxxxtxaaxxxxx−=−+=−+在(1,)+上恒成立.所以()()txgx=在(1,)+上单调递减.(1)1ga=+.①当(1)10ga=+即1a−时，()0gx在(1,)+

上恒成立.所以()gx在(1,)+上单调递减.所以()(1)0gxg=在(1,)+上恒成立，符合题意.②当(1)10ga=+即10a−时，高三数学参考答案第7页（共9页）因为1x且由（Ⅱ）知lnxx，所以ln'()(

21)2xxgxaxxx=++−11(21)1(21)22xaxaxxx++−++−.所以11'(1)02gaa−−，所以存在01(1,1)xa−使得0'()0gx=，因此,'()xgx与()gx的变化情况如下表：x0(

1,)x0x0(,)x+'()gx+0−()gx极大值所以0()(1)0gxg=.由（Ⅱ）中lnxxx，可以得22()ln()()(1)gxxxaxxxaxxxaxa=+−+−=+−.令11xa=−，得1(1)0ga−.所以()gx在区间(1,)+上存在零点，不合

题意，舍去.综上，a的取值范围是(,1][0,)−−+.（21）（本小题15分）解:（Ⅰ）依题意，15a=，112nnnnnaaaaa++=，为奇数，，为偶数，所以2345663421aaaaa=====，，，，.从而6m=．（Ⅱ）依题意，112nnnnnaaaaa+−=

，为奇数，，为偶数，11a．下面证明对于任意的正整数1k，当1ak=时，均存在数列{}na为1P−数列．高三数学参考答案第8页（共9页）12a=时，21a=，2m=符合题意．反证，假设存在正整数1k，当1ak=时，不存

在数列{}na为1P−数列，设此时k的最小值为M（3M），即12,3,4,,1aM=−时存在1P−数列，1aM=时不存在1P−数列．（1）当M为奇数时，因为存在以1M−为首项的1P−数列12,,,ma

aa，所以12,,,,mMaaa就是首项为M的1P−数列，与假设矛盾．（2）当M为偶数时，因为存在以2M为首项的1P−数列12,,,maaa，所以12,,,,mMaaa就是首项为M的1P−数列，与假设矛盾．综上，1a的所有可能取值为全体大于1的正整数．

（Ⅲ）依题意，112nnnnnaaaaa++=，为奇数，，为偶数,1ma=，12ma−=，24ma−=，….（1）先证明2d=符合题意，即212log2am+．当2m=时，显然成立．当3m时，对任意3ia，21

,1,224iiiiaaaa+++．故212iiaa++，即222(2)iiaa+−−．（i）当21(1,2,)mtt=+=时，有11222(2)2ttmaa−−−−=，1212222mta−+=+．所以122122log22log(2)21m

amm−++=+．（ii）当22(1,2,)mtt=+=时，有12222(2)2ttmaa−−−−=，1222222mta−+=+，1212121maa−−=+．所以122122log22log(2)2mam−++=．（2）再证明2d．高三

数学参考答案第9页（共9页）对任意的偶数2(2,3,)mtt==，令122211,3,,1222,4,,21.mnmnnnmanmnm−−−+=−=+=−=，，，，，（i）先验证{}na为1P数列：当1,

3,,3nm=−时，1221mnna−−=+为奇数，(1)21221mnnnaa−++=+=+，符合②．当2,4,,2nm=−时，222mnna−=+为偶数，(1)1211212mnnnaa−+−+=+=，符合②．当1nm=−时，121mmaa−==，，符合②．又{}na符合①，所以{}

na为1P数列．（ii）下面证明2d不符合题意．假设2d．因为2(2,3,)mtt==，112221222log2log(21)22log(12)mmdmam−−−=−+=−+．即2(2,3,)mtt==，12222log(

21)dm−−−，矛盾．综上，d的最小值为2．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com