【文档说明】2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：第八章第七节　双曲线 含答案【高考】.doc，共(7)页，224.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第七节双曲线授课提示：对应学生用书第167页[基础梳理]1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．(2)集合P＝{M

|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|

时，M点不存在．2．双曲线的标准方程与几何性质图形标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)续表性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a，0)，

A2(a，0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实、虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴

长a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．在双曲线的定义中，|MF1|－|MF2|＝2a，表示靠近F2的一支，|MF2|－|MF1|＝2a，表示靠近F1的一支．2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚

半轴长．3．方程x2m－y2n＝1(mn＞0)表示的曲线-2-(1)当m＞0，n＞0时，表示焦点在x轴上的双曲线．(2)当m＜0，n＜0时，则表示焦点在y轴上的双曲线．4．方程的常见设法(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的方程可设为x2a2－y2b2＝

λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y＝±bax，则可设双线曲方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．[四基自测]1．(基础点：双曲线的标准方程)以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()

A．x2－y23＝1B．x23－y2＝1C．x2－y22＝1D.x24－y23＝1答案：A2．(基础点：双曲线的定义)若双曲线E：x29－y216＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于()A．11B．9

C．5D.3答案：B3．(基础点：双曲线的渐近线)双曲线x2－y23＝1的渐近线方程为________．答案：y＝±3x4．(基础点：双曲线的焦距)双曲线x23－y22＝1的焦距为________．答案

：25授课提示：对应学生用书第167页考点一双曲线的定义及应用挖掘1利用定义求双曲线方程/自主练透[例1](1)已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A．x＝0B．x22－y214＝1(x≥2)C

.x22－y214＝1D.x22－y214＝1或x＝0[解析]动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都外切；②动圆M与两圆都内切；③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0；在③的情况

下，设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2.故得|MC1|－|MC2|＝22；在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝22.-3-由③④得|MC1|－|MC2|＝±22.已知|C1C2|＝8，根据双曲

线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，且a＝2，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程为x22－y214＝1.故选D.[答案]D(2)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝

2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x22－y214＝1(x≥2)B．x22－y214＝1(x≤－2)C.x22＋y214＝1(x≥2)D.x22＋y214＝1(x≤－2)[解析]设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋2，|MC

2|＝r－2，所以|MC1|－|MC2|＝22＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点，实轴长为2a＝22的双曲线的右支上，即a＝2，c＝4⇒b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为x22－y2

14＝1(x≥2)．[答案]A挖掘2利用定义求点到焦点的距离/互动探究[例2](1)(2020·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9右焦点F2的直线交双曲线的左支于点P，Q，若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为()A．19B．26C．43D.50[

解析]如图所示，由双曲线的定义可得|PF2|－|PF1|＝2a，①|QF2|－|QF1|＝2a，②①＋②得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a，∴△F2PQ的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝

4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.[答案]B(2)(2020·河南郑州一模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±13x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋6)2＝1上一点，则|MN|＋|MF

2|的最小值为()A．8B．9C．10D.11-4-[解析]由题意知2a＝6，则a＝3，又由ba＝13得b＝1，所以c＝a2＋b2＝10，则F1(－10，0)．根据双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|＝|MF1|＋6，所

以|MN|＋|MF2|＝|MN|＋|MF1|＋6＝|EN|＋|MN|＋|MF1|＋5≥|F1E|＋5＝（10）2＋（－6）2＋5＝9，当且仅当F1，M，N，E共线时取等号，故选B.[答案]B(3)已知双曲线C：x21

6－y2b2＝1(b＞0)，F1、F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l分别交C的左、右支于点A、B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝()A．4B．8C．16D．32[解析]由双曲线定义知|AF2|－|AF1|＝2a，|

BF1|－|BF2|＝2a，由于|AF1|＝|BF1|，所以两式相加可得|AF2|－|BF2|＝4a，而|AB|＝|AF2|－|BF2|，∴|AB|＝4a，由双曲线方程知a＝4，∴|AB|＝16，故选C.[答案]C[破题技法]应用双曲线定义时要注意(1)距离之差的绝对值，不能

漏掉“绝对值”，否则轨迹是一支．(2)2a<|F1F2|，否则轨迹是射线或不存在．(3)求双曲线方程时，注意标准形式的判断及焦点位置，否则x2与y2的系数会错．(4)注意a、b、c的关系易错易混(c>a>0，c

>b>0)．考点二双曲线的方程及性质挖掘1利用双曲线的性质求方程/自主练透[例1](1)经过点(2，1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为()A.x2113－y211＝1B．x22－y2＝1C.y2113－x211＝1D.y211－x2113＝1[解析

]法一：设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切可得圆心(0，2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得|k×0－2|k2＋1＝1，解得k＝±3.因为双曲线经过点(2，

1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，将(2，1)代入可得4a2－1b2＝1，由4a2－1b2＝1，ba＝3得a2＝113，b2＝11，故所求双曲线的标准方程为x2113－y211＝1.故选A.法二：设双曲线的方程为

mx2－ny2＝1(mn＞0)，将(2，1)代入方程可得，4m－n＝1①.双曲线的渐近线方程为y＝±mnx，圆x2＋(y－2)2＝1的圆心为(0，2)，半径为1，-5-由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相

切，可得21＋mn＝1，即mn＝3②，由①②可得m＝311，n＝111，所以该双曲线的标准方程为x2113－y211＝1.选A.[答案]A(2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y＝±13x，则双曲线的方程是________．[解析]设双曲线

的方程是y2－x29＝λ.因为双曲线过点(3，2)，所以λ＝2－99＝1.所以双曲线的方程为y2－x29＝1.[答案]y2－x29＝1(3)(2020·成都模拟)设双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一

个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．[解析]法一：椭圆x227＋y236＝1的焦点为(0，3)和(0，－3)，∴双曲线的焦距为2c＝6.由双曲线的定义得（15）2＋（4＋3）2－（

15）2＋12＝8－4＝4＝2a.∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，双曲线方程为y24－x25＝1.法二：设双曲线的方程为x227－λ＋y236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝

0(舍去)．故所求双曲线方程为y24－x25＝1.[答案]y24－x25＝1[破题技法]求双曲线标准方程的方法方法解读题型定义法根据定义求a2和b2，常用到|PF1|－|PF2|＝±2a双曲线上有点到焦点的距离条件性质法利用双曲线的性

质，如渐近线、焦点等已知双曲线的某些性质挖掘2求双曲线的离心率或渐近线方程/互动探究[例2](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，

则C的离心率为()A.2B．3C．2D.5-6-[解析]设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F的坐标为(c，0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|O

P|＝a，|OM|＝|MP|＝c2.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得c22＋c22＝a2，故ca＝2，即e＝2.故选A.[答案]A(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C：x24－y22＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|

PF|，则△PFO的面积为()A.324B．322C．22D.32[解析]双曲线x24－y22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y＝22x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为62，纵坐标为

22×62＝32，即△PFO的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A.[答案]A[破题技法]求离心率的方法方法解法题型直接法直接求a，b，c，利用e＝ca或e＝1＋（ba）2适合易求a、b、c构造法构造a、b、c间的等

式或不等式的齐次关系可能是a、c或a、b的关系挖掘3共焦点的椭圆与双曲线/自主练透[例3](1)已知椭圆C1：x2m2＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：x2n2－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2，分别为C1，C2的离心率，则()A

．m＞n且e1e2＞1B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1D.m＜n且e1e2＜1[解析]设P为椭圆与双曲线在第一象限内的公共点，F1，F2为它们的左、右公共焦点，-7-则|PF1|＋|P

F2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2n，∴m＞n，由结论一得1e21＋1e22＝2，法一：(利用均值不等式)∵e1≠e2，∴2＝1e21＋1e22＞2e1e2，e1e2＞1，故选A.法二：(利用三角换元)由1e21＋1e22＝2，0＜e1＜1，e2＞1，可设1e1＝2cos

θ，1e2＝2sinθ，0＜θ＜π4，则e1e2＝1sin2θ＞1.法三：(利用消元法)∵1e21＋1e22＝2，∴1e22＝2－1e21，1e21e22＝－1e41＋2e21＝－1e21－12＋1，由0＜e1＜1，e2＞1且

1e21＋1e22＝2，得1＜1e21＜2，令t＝1e21，f(t)＝－(t－1)2＋1，则1e21e22＝f(t)，t∈(1，2)，f(t)在(1，2)上单调递减，f(1)＝1，f(2)＝0，故0＜1e21e22＜1，即e1e2＞1.[答案]A(2)已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共

焦点，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是()A.33B．32C．1D.3[解析]由结论二得1e21＋3e22＝4，同(1)的三种方法均可得到e1e2≥32，故选B.[答案]B[破题技法]1.已知椭圆C1：x2a21

＋y2b21＝1(其中a1＞b1＞0)与双曲线C2：x2a22－y2b22＝1(其中a2＞0，b2＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则b22e21＋b21e22＝b21＋b22.2．已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公

共点，且∠F1PF2＝θ，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，则1－cosθe21＋1＋cosθe22＝2.