【文档说明】湖南省衡阳市第一中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题+含答案.docx，共(13)页，858.510 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

高一数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量(),4MNaa=+与()5,PQa=−垂直，则非

零实数a=（）A.1B.2C.－1D.－22.“4m=”是“()22()33mfxmmx+=−−是幂函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知集合0,

2,Ma=，2,4Naa=−，MN，则a的可能取值的个数为（）A.1B.2C.3D.44.在正六棱台111111ABCDEFABCDEF−中，2AB=，113AB=，110AA=，则该棱台的体积为（）A.5934B.5932C.5734D.57325.将一组互不相等的数据1x，

2x，…，7x删去中位数（设中位数为m）后，得到一组新数据，则（）A.新数据的平均数一定大于原数据的平均数B.新数据的平均数一定小于原数据的平均数C.新数据的60%分位数一定大于mD.新数据的60%分位数一定小于m6.如图，这是一个古典概

型的样本空间和事件A，B，其中()120n=，()40nA=，()30nB=，()10nAB=，则（）A.1()4PAB=B.1()2PAB=C.A与B互斥D.A与B不相互独立7.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为2

的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为（）A.125B.2C.145D.256158.已知函数()20.2()log1fxxx=−+，设2log3a=，3log2b=，3log2c=，则（）A.()()()fafcfbB

.()()()fafbfcC.()()()fafcfbD.()()()fafbfc二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对

的得2分，有选错的得0分.9.设区间,mn的长度为nm−.已知一元二次不等式5()0(0)xaxaa+−的解集的区间长度为l，则（）A.当1a=时，6l=B.l的最小值为4C.当1a

=时，5l=D.l的最小值为2510.已知点P为平面外一点，则（）A.过点P只能作一个平面与平行B.过点P可以作无数条直线与平行C.过点P只能作一个平面与垂直D.过点P只能作一条直线与垂直1

1.已知函数()2sin()10,2fxx=+−在区间75,66−上只有最小值，没有最大值，直线76x=−和56x=为()fx的图象的两条对称轴，则（）A.2=B.3=−C.将()fx的图象

向左平移56个单位长度得到一个偶函数的图象D.方程1()5fxx=在区间(),0−上有15个实根12.已知O为ABC△的外心，且(1)AOABAC=+−.若向量BA在向量BC上的投影向量为BC，则

cosAOC的值可能为（）A.14−B.18−C.116−D.427三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若复数()21i13iz+=+，则z在复平面内对应的点的坐标为______，iz+=______.（本题第一空3分，第二空2分）

14.从集合18Axx=N中任选一个元素，则该元素是质数的概率为______.15.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如，

正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为3，所以正四面体在各顶点的曲率为233−=.在底面为矩形的四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，2ADPA=，PC与底面ABCD所成的角为6，在四棱锥PABCD−中，顶点B的曲率为____

__.16.明孝陵位于江苏省南京市玄武区紫金山南麓独龙阜玩珠峰下，东毗中山陵，南临梅花山，位于钟山风景名胜区内，其占地面积达170余万平方米，是中国规模最大的帝王陵寝之一.明孝陵景区共有8个门，1号门位于植物园路，4号门在1号门的南偏东5348的492m处，8号门在4号门的东

偏北7548方向，且1号门在8号门的西偏南6318方向，则1号门到8号门的距离约为______m.（结果精确到整数部分，参考数据：取sin680.927=，sin53480.807=，sin12300.216=，sin75480.969

=）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，P为1CC的中点，113AB=，114BC=，115AC=.（1）证明：11AB⊥平面11BBCP.（2）若四棱锥1

11ABBCP−的体积为12，求1BB.18.（12分）已知在ABC△中，5ABC+=，sin()2sinACB−=.（1）求A；（2）设3AC=，D为AB边上一点，且19CD=，求ACD△的面积.19.（12分）为

了研究网民的上网习惯，某机构随机抽取了年龄在10岁到60岁的网民进行问卷调查，按年龄分为5组，即)10,20，)20,30，)30,40，)40,50，50,60，并绘制出频率分布直方图，如图所示.（

1）若按分层抽样的方法，从上述网民中抽取n人做采访，其中年龄在)30,40中被抽取的人数为7，求n；（2）若各区间的值以该区间的中点值作代表，求上述网民年龄的方差的估计值.20.（12分）某高校的入学面试中有A，B，C三道题目，

规则如下：第一环节，面试者先从三道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第二环节；第二环节，该面试者从剩下的两道题目中随机抽取一道，若答对抽到的题目，则面试通过，若没答对抽到的题目，则进入第三环节；第三环节，若该面试者答对剩下的一道题目，则面试通过，若没有答

对剩下的题目，则面试失败.假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，李明答对A，B，C题的概率依次是12，13，14.（1）求李明第一环节抽中A题，且第一环节通过面试的概率；（2）求李明第二环节或第三环节通过面试的概率.21.

（12分）已知函数4()lgfxx=，2()log(1)gxax=+.（1）若函数1()ygx=−在1,2内只有一个零点，求a的取值范围.（2）设函数()x的最大值、最小值分别为M，m，记()

DxMm=−.设2a=，函数2()()logxgxx=−，当11,xt，21,1010t时，()2()DxDft恒成立，求1t的取值范围.22.（12分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，且

2AD=，2PA=，22PD=，60PAB=.（1）设平面PAB平面PCDl=，证明：lCD∥.（2）E是线段PA上的点，且(0)PAEA=，二面角EBDA−−的正切值为63，求的值.高一数学考试参考答案1.A因为向量(),4MNaa=+与()5

,PQa=−垂直，所以()540MNPQaaa=−++=，则非零实数1a=.2.A若()()2233mfxmmx+=−−是幂函数，则2331mm−−=，解得4m=或1m=−，故“4m=”是“()()2233mfxmmx+=−

−是幂函数”的充分不必要条件.3.B因为MN，所以2aM或4aM−，则0a=，1，2，4，经检验当0a=或2a=时，不满足集合中元素的互异性，所以a的可能取值为1，4，共2个.4.D设上、下底面的中心分别为M，N，如图，过A作1APAN⊥，垂足为P，则()

210323APMN==−−=，故该棱台的体积()13VSSSSh=++下下上上22221333326362636334444=++127357363933322=++=.5.C当原数据的平均数为m时，新数据

的平均数等于原数据的平均数.不妨设127xxx，则4mx=，则新数据为1x，2x，3x，5x，6x，7x，因为60.63.6=，所以新数据的60%分位数为5x，因为54xx，所以新数据的60%分位数一定大于m.6.B由题意得

()10112012PAB==.因为()()()()60nABnAnBnAB=+−=，所以()6011202PAB==，A与B不互斥.因为()4011203PA==，()3011204PB==，所以()(

)()PABPAPB=，所以A与B相互独立.7.A由题意得该圆锥的母线长为4，设圆锥的底面半径为R，高为h，由242R=，得1R=，则2215hlR=−=，所以该圆锥的表面积为25RRl+

=.如图，圆锥PO内切球的半径等于PAB△内切圆的半径，设PAB△的内切圆为圆O，其半径为r，由PABPAOPBOABOSSSS=++△△△△，得11112154422222rrr=++，得155r

=，故能制作的零件表面积的最大值为21245r=.8.A因为()()20.2log1fxxx=−+，所以()()1fxfx=−，且()fx在1,2+上单调递减.因为2log31a=，31log212b=，33log22log31bc+=

=，0c，所以()()()fafcfb.9.AD因为一元二次不等式()()500xaxaa+−的解集为5,aa−，所以()55laaaa=−−=+.当1a=时，6l=.因为0a，所以525laa=+（

当且仅当5a=时，等号成立），所以l的最小值为25.10.ABD过点P只能作一个平面与平行，过点P可以作无数条直线与平行，过点P只能作一条直线与垂直，过点P可以作无数个平面与垂直.11.BCD依题

意可得257266T==−−=，=，A错误.由()5262kk+=+Z，2，得3=−，B正确.所以()2sin13fxx=−−，将()fx的图象向左平移56个单位长度得到()52sin163gxx=+−−2sin

12cos12xx=+−=−的图象，且()gx为偶函数，C正确.令135x=−，得15x=−，在同一直角坐标系中，作出()fx与15yx=在()15,0−上的图象，如下图所示.由图可知，()fx与15yx=在()15,0−上的图象共有15个交点，则方程()15

fxx=在(),0−上有15个实根，D正确.12.BCD因为()1AOABAC=+−，所以COCB=.又因为O为ABC△的外心，所以ABC△为直角三角形且ABAC⊥，O为斜边BC的中点，过A作BC的垂线AQ，垂足为Q.因为BA在BC上的投影向量为BC，

所以OA在BC上的投影向量为1122OQBQBOBCBCBC=−=−=−.当12=时，cos0AOC=，cos0AOC=；当112时，如图1，12cos2112BCOQAOCOA

BC−===−；当102时，如图2，12coscos2112BCOQAOCAOQOABC−=−=−==−.所以2211cos2248AOC=−=−−，因为()0,1，所以当14=时，c

osAOC取得最小值，且最小值为18−.当0=时，220−=，当1=时，221−=.故cosAOC的取值范围是1,18−.13.31,55；1()()21i2i13i2i31

i13i13i1055z+−====+++，34ii155z+=+=.14.718A中的元素为0，1，2，…，17，共18个，质数有2，3，5，7，11，13，17，共7个，故所求概率为718.15.34如图

，连接AC，因为PA⊥底面ABCD，所以PCA为PC与底面ABCD所成的角，则6PCA=，所以3ACPA=.又2ADPA=，在矩形ABCD中，22CDACADPA=−=，则ABCDPA==，所以4PBA=.因为PA⊥底面ABCD，所以PABC⊥，又ABBC⊥，ABPAA=，所以BC

⊥平面PAB，所以BCPB⊥，所以顶点B的曲率为322244−+=.16.2112记1号门的位置为A，4号门的位置为B，8号门的位置为C，则根据条件可得()180905348754868B−−+==，()()9063189075481230C

=−−−=.由sinsinABACCB=，得492sin684920.9272111.52112msin12300.216AC===.17.（1）证明：∵222111111ABBCAC+=，∴111

1ABBC⊥.……2分又1BB⊥平面111ABC，∴111BBAB⊥.……3分∵1111BCBBB=，∴11AB⊥平面11BBCP.……5分（2）解：∵1BB⊥平面111ABC，∴111BBBC⊥.……6分∵11//BBCC，∴四边形11BBCP为梯形.……7分设1CPx=，则112BB

CCx==，由（1）知()111111111261232ABBCPVABxxBCx−=+==，……9分解得2x=，则124BBx==.……10分18.解：（1）在ABC△中，ABC++=，因为5ABC+=，所以6C=，……1分由()sin2sinACB−=，得5sin2s

in66AA−=−，……2分即3113sincos2cossin2222AAAA−=+，……4分则sintan3cosAAA==−，……5分因为()0,A，所以23A=.……6分（2）

在ACD△中，由余弦定理得2222cosCDACADACADA=+−，……8分即21993ADAD=++，解得2AD=（5AD=−舍去），……10分所以ACD△的面积为11333sin322222ACADA==.……12分19.解：（1）由()1010.0

200.0250.0150.00510a=−+++，解得0.035a=，则72010na==.……4分（2）若各区间的值以该区间的中点值作代表，则上述网民年龄的平均值的估计值为150.2250.25350.35450.15550.

0531++++=，……8分方差的估计值为()()()()()222220.215310.2525310.3535310.1545310.055531124−+−+−+−+−=.…12分20

.解：（1）设事件D为李明第一环节抽中A题，且第一环节通过面试.由题意得李明第一环节抽到每道题目的概率均为13，……2分所以()111326PD==.……4分（2）方法一：设事件E为李明第一环节通过面试，则()1111

111332333436PE=++=.……7分设事件F为李明面试失败，李明答题情况如下：A题错B题错C题错，A题错C题错B题错，B题错A题错C题错，B题错C题错A题错，C题错A题错B题错，C题错B题错A题错.所以()11123

16322344PF==.……10分故李明第二环节或第三环节通过面试的概率为()()7118PEPF−−=.……12分方法二：设事件E为李明第二环节通过面试，李明答题情况如下：A题错B题对，A题

错C题对，B题错A题对，B题错C题对，C题错A题对，C题错B题对.所以()11111121213131173223243234424372PE=+++++=.……7分设事件F为李明第三环节通过面试，李

明答题情况如下：A题错B题错C题对，B题错A题错C题对，A题错C题错B题对，C题错A题错B题对，B题错C题错A题对，C题错B题错A题对.所以()11121131321112223223424343272PF=++=.……10分故李明第二环节或第三环节通过面试的概率

为()()718PEPF+=.……12分21.解：（1）依题意可得方程()21log10ax−+=在1,2内只有一个实数解，……1分即1ax=在1,2内只有一个实数解，……2分则11,12ax=，……4分所

以a的取值范围为1,12.……5分（2）因为()1lg4fxx=，所以当21,1010t时，()211,44ft−，……6分则()2111442Dft=−−=.……7分因

为2a=，所以()()222211logloglog2xxgxxxx+=−==+在11,t上为减函数，……8分所以()x在11,t上的最大值为()21log3=，最小值为()1211log2tt=+，……9分所以当11,xt时，(

)12221131log3log2log21tDxtt=−+=+，……10分由()()2DxDft，得12131log212tt+，即113221tt+，……11分解得1432t+，故1t的取值范围为()432,++.……

12分22.（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以ABCD∥.……1分因为AB平面PAB，CD平面PAB，所以CD∥平面PAB.……3分由平面PAB平面PCDl=，CD平面PCD，得lCD∥.……5分（2）解：法一：取AB的中点O，连接PO，交BE于点F，过点O

作OH垂直于BD，垂足为H，连接HF.由底面ABCD是正方形，且2AD=，2PA=，60PAB=，得PAB△是等边三角形，所以POAB⊥.……6分因为2AD=，2PA=，22PD=，所以ADPA⊥，……7分因为ABPAA=，所以AD⊥平面PAB，所以ADPO⊥.因为ABADA=，所

以PO⊥平面ABCD，所以FOBD⊥.……8分因为OFOHO=，所以BD⊥平面OFH，所以BDFH⊥，……9分所以OHF为二面角EBDA−−的平面角.……10分因为BOH△与BDA△相似，所以BOOHBDAD=

，即1222OH=，22OH=.因为6tan3OFOHFOH==，所以33OF=.……11分因为3PO=，所以F为PAB△的中心，所以E为PA的中点，所以2=.……12分法二：取AB的中点O，连接PO，过点E作EG垂

直于AB，垂足为G.过点G作GH垂直于BD，垂足为H，连接HE.由底面ABCD是正方形，且2AD=，2PA=，60PAB=，得PAB△是等边三角形，所以POAB⊥.……6分因为2AD=，2PA=，22PD=，所以ADPA⊥，……7分因为ABPAA=，所以AD⊥平面PAB，所以

ADPO⊥.因为ABADA=，所以PO⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD.……8分因为EGGHG=，所以BD⊥平面EGH，所以BDEH⊥，……9分所以EHG为二面角EBDA−−的平面角.……10分由EGPO

∥，得EAEGGAPAPOOA==，13EGPO==，11GAOA==，12BG=−，221222GHBG==−，……11分由6tan3EGEHGGH==，解得2=.……12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiang

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