【文档说明】《中考数学特训营》必考考点09 圆（解析版） .doc，共(26)页，658.343 KB，由管理员店铺上传

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１【十大必考考点特训】特训09——圆题量﹕20题；分值﹕选择3分×10+填空4分×5+解答50，合计100分；推荐时间﹕50分钟一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，合计30分）1.(2019甘肃省)如图，AB是⊙O的直径，点C、

D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°【答案】C【解析】∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝12∠BOC＝27°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角

相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2.(2019广东省广州市)平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（）A．0条B．1条C．2条D．无数条２【答案】C【解析】∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，∵过圆外

一点可以作圆的2条切线，故选：C．【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键．3.(2019广西贺州市)如图，在△ABC中，O是AB边上

的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝3OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2C．3D．4【答案】A【解析】∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，∴∠ADO＝90°，∵AD＝3OD，３∴tanA＝ODAD=33,∴∠A＝30°，∵

BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠C＝∠ADO＝90°，∴∠ABC＝60°，BC＝12AB＝6，AC＝3BC＝63，∴∠CBD＝30°，∴CD＝33BC＝33×6＝23；故选：A．【

点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出OD∥BC是解题的关键．4.(2019江苏省无锡市)如图，

PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若40P=，则B的度数为()４A．20B．25C．40D．50【答案】B【解析】连接AO，∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，又∵∠P=

40°∴∠AOP=50°又∵∠AOP是等腰三角形AOB的外角，∴∠B=12∠AOP=25°故选B【点评】此题主要考查了圆的切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理的推论及外角概念

．综合性较强，考查的知识点较多．5.(2019山东省菏泽市)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BDB．AD⊥OCC．△CEF

≌△BEDD．AF＝FD５【答案】C【解析】∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥B

D，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的

性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．6.(2019云南省)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（）６A．4B．6.25C．7.5D

．9【答案】A【解析】∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，∴AB2+CA2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F∴OF⊥AB，OE⊥AC，∴四边形OFAE为正方形，设OE＝r，则AE＝AF＝x，∵△ABC的内

切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，∴5﹣r+12﹣r＝13，∴r＝5+12-132＝2，∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2×2＝4．故选：A．【点评】７本题考查了三角形的内切圆和内心：三角

形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．7.(2019浙江省嘉兴市)如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为

（）A．2B．3C．2D．【答案】B【解析】连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC＝1，∴AP＝OAtan60°＝1×3＝3，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定

理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：８圆的切线垂直于过切点的半径．8.(2019浙江省宁波市)如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧

面和底面，则AB的长为（）A．3.5cmB．4cmC．4.5cmD．5cm【答案】B【解析】设AB＝x，则DE＝6﹣x，根据题意，得90πx180＝π（6﹣x），解得x＝4．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质

，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．9.(2019四川省遂宁市)如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为（）A．4π﹣8B．2πC

．4πD．8π﹣8９【答案】A【解析】∵∠A＝45°，∴∠BOC＝2∠A＝90°，∴阴影部分的面积＝S扇形BOC﹣S△BOC＝90π×42360－12×4×4＝4π﹣8，故选：A．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，扇形的面积的

计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．10.(2019广西玉林市)如图，在RtABC中，90C=，4AC=，3BC=，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是(

)A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OPBC⊥垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OPOF−，4AC=Q，3BC=，5AB=90OPB=Q，//OPAC１０Q点O是AB的三等分

点，210533OB==，23OPOBACAB==，83OP=，⊙O与AC相切于点D，ODAC⊥，//ODBC，13ODOQBCAB==，1OD=，MN最小值为85133OPOF−=−=，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过

圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值1013133=+=，MN长的最大值与最小值的和是6．故选：B．【点评】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点MN取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．１１二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分）11

.(2019江苏省常州市)如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．【答案】30°【解析】∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝12∠BOC＝30°．故答案为30．【点评】本题考查了圆周角定理：在

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．12.(2019江苏省连云港市)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接A

P交BD于点T，则APAT的最大值是．【答案】3【解析】如图，１２过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，∴APAT=AEAB∵AB＝4，∴AE＝AB+BE＝4+BE，∴APAT=1+BE4∴BE最大时，APAT

最大，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，∵BD是⊙C的切线，∴∠GME＝90°，在Rt△BCD中，BD＝BC2+CD2=5，∵∠BHC＝∠BC

D＝90°，∠CBH＝∠DBC，∴△BHC∽△BCD，∴BHBC=CHDC=BCBD∴BH3=CH4=35∴BH＝95，CH＝125，∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，１３∴△BHG∽△B

AD，∴HGAD=BGBD=BHAB∴HG3=BG5=954∴HG＝2720，BG＝94，在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG×35＝35EG，而BE＝GE﹣BG＝GE﹣94，∴GE最大时，BE最大，∴GM最大时，BE最大，∵GM＝HG+

HM＝2720+HM，即：HM最大时，BE最大，延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝245，∴GP'＝HP'+HG＝1234，过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，∴BE最大时，点E落在点F处，即：BE最大＝BF，在Rt△G

P'F中，FG＝GP'sin∠F=GP'sin∠ABD=123435＝414，∴BF＝FG﹣BG＝8，１４∴APAT最大值为1+84＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了矩形的性质，圆的切线的性质，相似三角形的性质，构造出相似三角形是解本题的关键．13.(2

019内蒙古包头市)如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，90CAB=，若6BD=，4AB=，ABCCBD=，则弦BC的长为．【答案】26【解析】连接CD、OC，如图：ACQ与⊙O相切于点C，ACOC⊥，90CAB=Q，AC

AB⊥，//OCAB，ABCOCB=，１５OBOC=Q，OCBCBO=，ABCCBO=，BDQ是⊙O的直径，90BCDCAB==，ABCCBD∽，ABBCBCBD=，24624BCABBD

===，2426BC==；故答案为：26．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键．14.(2019四川省宜宾市)如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60

°，AC＝23，则⊙O的面积是．１６【答案】16π【解析】∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝23，∴圆的半径为4，∴⊙O的面积是16π，故答案为：16π．【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，

难度不大．15.(2019四川省广元市)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是．１７【答案】6+33【解析】过O作OM⊥AC

于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，∴OP＝OA＝6，∴OM＝32OA＝32×6＝33，∴PM＝OP+OM

＝6+33，∴则点P到AC距离的最大值是6+33，故答案为：6+33．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分）16.(2019广西南宁市)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙

O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠BAD＝∠CBD；（2）若∠AEB＝125°，求»BD的长（结果保留π）．１８【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC

，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD；（2）解：连接OD，∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°，∵AB为⊙O直径，∴∠ACE＝90°，∴∠CAE＝35°，∴∠DAB＝∠CAE＝35°，∴∠BOD＝2∠BAD＝70°，∴弧BD的长＝70π×3180=

76π．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键．17.(2019四川省广安市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，AD交BC１９于点D，ED⊥AD交AB于点E，△A

DE的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径r及∠3的正切值．【解析】（1）证明：∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∵AE是⊙O的直径，∴AE的中点是圆心O，连接OD，则OA＝OD，∴∠1＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠2＝∠1

＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠BDO＝∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝BC2+AB2=82+62=10，∵OD∥AC，２０∴△BDO∽△BCA，∴ODAC=OBAB即r6=10-r10

，∴r＝154，在Rt△BDO中，BD＝OB2-OD2=(10-r)2-r2=5，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3，在Rt△ACD中，tan∠2＝CDAC=36=12，∵∠3＝∠2，∴tan∠3＝tan∠2＝12

．【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．18.(2019内蒙古赤峰市)如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若

⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．２１【解析】（1）证明：∵点C、D为半圆O的三等分点，∴»»»ADCDBC==，∴∠BOC＝∠A，∴OC∥AD，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∴CE为⊙O的切线；（2）解：连接O

D，OC，∵»»»ADCDBC==，∴∠COD＝13×180°＝60°，∵CD∥AB，∴S△ACD＝S△COD，∴图中阴影部分的面积＝S扇形COD＝60π×22360=23π.２２【点评】本题考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．19.(20

19山东省枣庄市)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长．【解析】（1）证明：连接OC．∵CB＝CD，C

O＝CO，OB＝OD，∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r．２３在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（4﹣r）2＝r2+22，∴r＝1.

5，∵tan∠E＝,OBEB=CDDE∴1.52=CD4∴CD＝BC＝3，在Rt△ABC中，AC＝AB2+BC2=32+32=32．∴圆的半径为1.5，AC的长为32．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中

考常考题型．20.(2019四川省广元市)如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tanB＝12，求PA的长；

（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．２４【解析】（1）证明：连接OD，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°，∵OA⊥CD∴CE＝DE∴PC＝PD∴∠PDC＝∠PCD∵OC＝OD∴∠ODC＝∠OCD，∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OC

D＝90°，∴PD是⊙O的切线．（2）如图2，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tanB＝ACBC=12设AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得：m2+（2m）2＝102，解得：m＝25，２５AC＝25，BC＝45，∵CE×AB＝AC×BC，即10CE＝25×45，∴CE＝4

，BE＝8，AE＝2在Rt△OCE中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5，∴CE＝OC2-OE2=52-32=4∵OCOP=cos∠COP=OEOC∴OP×OE＝OC×OC，即3OP＝5×5，∴OP＝253，PA＝OP﹣OA＝253﹣5＝103．

（3）AB2＝4OE•OP如图2，∵PC切⊙O于C，∴∠OCP＝∠OEC＝90°，∴△OCE∽△OPC∴OEOC=OCOP即OC2＝OE•OP∵OC＝12AB∴(12AB)2=OE·OP即AB2＝4OE•OP．２６【点评】本题是一道圆的综合题，

考查了圆的性质﹣垂径定理，圆的切线判定和性质，勾股定理，相似三角形性质，三角函数值等，要求学生能熟练运用所学知识解答本题，形成数学解题能力．