【文档说明】北京市和平街第一中学2020-2021学年高二12月月考数学试题 【精准解析】.doc，共(18)页，3.481 MB，由小赞的店铺上传

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和平街一中2020~2021学年度第一学期高二年级数学12月月考试卷共150分，考试时长120分钟.一､选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.过圆22:(1)4Cxy+−=的圆心，且与直线:3210

lxy++=垂直的直线方程是（）A.2330xy−+=B.2330xy−−=C.2330xy++=D.2330xy+−=【答案】A【解析】【分析】先求出直线l的斜率，利用垂直关系可得所求直线的斜率，再利用圆心坐标写出点斜式方程即可求

解.【详解】圆22:(1)4Cxy+−=的圆心为()0,1，由直线:3210lxy++=可得3122yx=−+的斜率为32−，因为所求直线与直线l垂直，所以所求直线的斜率为23，又因为直线过点()0,1，所以所以所求直线的方程为2

13yx−=即2330xy−+=.故选：A2.已知直线1:20laxy++=和直线22:0lxay++=平行，则实数a的值为（）A.1B.–1C.1−和1D.23【答案】B【解析】【分析】由两直线平行可得系数之间的关系，求解不等式组即可得a的值.【详解】因

为直线1:20laxy++=和直线22:0lxay++=平行，所以210220aa−=−解得：1a=−，故选：B.3.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发

展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A.32fB.322fC.1252fD

.1272f【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122，所以1212(2,)nnaannN−+=，又1af=，则

127771281(2)2aaqff===故选D点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1nnaqa+=（*0,qnN）或1nnaqa−=（*0,2,qnnN），数列{}na是等比

数列；（2）等比中项公式法，若数列{}na中，0na且212nnnaaa−−=（*3,nnN），则数列{}na是等比数列.4.已知向量()2,0,1n=为平面的法向量，点()1,2,1A−在内，点()1,2,2P−在外，则点P到平面的距离为（）A.55B.5

C.25D.510【答案】A【解析】【分析】利用点到平面距离公式的向量求法即可求解.【详解】因为()1,2,1A−，()1,2,2P−，所以()2,0,3PA=−，因为平面的法向量为()2,0,1n=，所以点P到平面的距离为22435521PAndn−+===+，故

选：A.5.已知双曲线22:1Cmxny−=的一个焦点为()5,0F−，实轴长为6，则双曲线C的渐近线方程为（）A.43yx=B.34yx=?C.53yx=D.53yx=【答案】A【解析】【分析】利用已知

条件求出双曲线的方程，即可得渐近线方程byxa=，进而可得正确选项.【详解】由双曲线22:1Cmxny−=可得22111xymn−=，所以21am=，21bn=，由题意可得：26a=，所以3a=，即19m=，解得19m=由222111925cabmnn=+=+=+=，解得：

116n=，所以29a=，216b=，所以3a=，4b=，双曲线C的渐近线方程为：43byxxa==，故选：A.6.在等差数列na中，19a=−，51a=−．记12(1,2,)nnTaaan==……，则数列nT（）．A.有最大项，有最小项

B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项【答案】B【解析】【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知

，等差数列的公差511925151aad−−+===−−，则其通项公式为：()()11912211naandnn=+−=−+−=−，注意到123456701aaaaaaa=，且由50T可知()06,iTiiN

，由()117,iiiTaiiNT−=可知数列nT不存在最小项，由于1234569,7,5,3,1,1aaaaaa=−=−=−=−=−=，故数列nT中的正项只有有限项：263T=，46315945T==.故数列nT中存在最大项，且最大项为4T.故选：B.【点睛】本题

主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.7.设na是公比为的等比数列，则“”是“na为递增数列”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D

.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列8.三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则ABCD等于()A.－2B.2C.23−D.2

3【答案】A【解析】试题分析：()····022cos602CDADACABCDABADACABADABAC=−=−=−=−=−考点：平面向量数量积的运算9.如图，抛物线2:4Wyx=与圆()22:1

25Cxy−+=交于AB、两点，点P为劣弧AB上不同于AB、的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则PQC△的周长的取值范围是（）A.()10,12B.()12,14C.()10,14D.()9,11【答案】A【解析】【分析】【详解】设1

1(,)Pxy，22(,)Qxy.由题意得圆()22:125Cxy−+=的圆心为(1,0)C，半径为5.∵抛物线2:4Wyx=∴抛物线的准线方程为1x=−，焦点为(1,0)C由抛物线的定义可得21QCx=+，则PQC△的周长为21211()56QCPQPCx

xxx++=++−+=+.联立抛物线与圆的方程，得4x=或6−（舍去），故1(4,6)x.∴16(10,12)x+，即PQC△的周长的取值范围是(10,12).故选A.10.笛卡尔、牛顿都研究过方程(1)

(2)(3)xxxxy−−−=，关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于y轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A.②③B.①④C.③D.③④【答案】C【解析】【分析】

以﹣x代x，以﹣x代x，﹣y代y，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x，得到()()()123xxxxy+++=，方程改变，不关于y轴对称；以﹣x代x，﹣y代y，得到(

)()()123xxxxy+++=−，方程改变，不关于原点对称；当x0,y0时，()()()1230,?0,xxxxy−−−显然方程不成立，∴该曲线不经过第三象限；令x1=−,易得12y=，即()1,12−适合题意，同理可得()()()1,02,03,0，，适合题意，∴该曲线上有且只有三个点的

横、纵坐标都是整数是错误的，故选：C【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.已知圆22:680Cxyxym+−−+=，其中mR.如果圆C与

圆221xy+=相外切，则m的值为_____.【答案】9【解析】【分析】分别求出两个圆的圆心和半径，利用圆心距等于半径之和列方程即可求解.【详解】由圆22:680Cxyxym+−−+=可得：()()223425xym−+−=−，所以圆心()3,4C，半径125rm=−，由圆221xy+=可得圆心

()0,0，半径1r=，因为两圆向外切，所以()()223040125m−+−=+−，整理可得：254m−=，解得：9m=，故答案为：9.12.已知双曲线过点(4,3)，且渐近线方程为12yx=，则该双曲线的标准方程为________________

____.【答案】2214xy−=【解析】【分析】【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为224xy−=.点(4,3)M为该双曲线上的点，16124=−=.该双曲线的方程为：2244xy−=，即2214xy−=.故本题正确答案是2214xy−=.13.已知等差数列{}na的公差为2

，若1a，3a，4a成等比数列，则2a=_______；数列{}na的前n项和的最小值为_____．【答案】(1).6−(2).20−【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a2，再由等差数列的求和公式，结合二

次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{an}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d），化为a1d＝﹣4d2，解得a1＝﹣8，a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{an}的前n项和S

n＝na112+n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n92−）2814−，当n＝4或5时，Sn取得最小值﹣20．故答案为：﹣6，﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算

能力，属于中档题．14.已知P是以1F､2F为焦点的椭圆22221(0)xyabab+=上的一点，若120PFPF=，121tan2FPF=，则此椭圆的离心率为_____.【答案】53【解析】【分

析】由题意，焦点三角形12PFF为直角三角形，利用椭圆定义，121tan2FPF=，以及勾股定理可得离心率.【详解】由120PFPF=，得1290FPF=，又121tan2FPF=，2112PFPF=，即122PFPF=，又椭圆定

义得122PFPFa+=，即223PFa=，2221212FFPFPF=+，即22242433caa=+，整理得2259ca=，即53cea==，故答案为：53.【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正

弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．15.已知两点()1,0A−，()10B,，若直线0xya−+=上存在点(),Pxy满足90APB=，则实数a的取值范围是______.【

答案】22a−【解析】【分析】首先利用垂直关系求出点(),Pxy的轨迹方程，再利用点(),Pxy在直线上可得直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径列不等式即可求解.【详解】因为直线0xya−+=上存在点(),Px

y满足90APB=，所以APBP⊥，即APBP⊥，()1,APxy=+，()1,BPxy=−，所以()()2110APBPxxy=+−+=，整理可得：221xy+=，由题意可得：直线0xya−+=与圆221

xy+=有交点，所以圆心()0,0到直线0xya−+=的距离22111ad=+，解得：22a−，故答案为：22a−【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何

量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,xy的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程

；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是

可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹的方程.16.在正方体1AC中，E是棱1C

C的中点，F是侧面11BCCB内的动点，且1AF与平面1DAE的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是_________(只填序号).①点F的轨迹是一条线段②1AF与BE是异面直线③1AF与1DE不可能平行④三棱锥1FABD−的体积为定值【答案】①②④

【解析】【分析】对于①，证明点F是线段MN上的动点．所以①正确；对于②，1AF与BE是异面直线，所以②正确；对于③，1AF与1DE可能平行，所以③错误；对于④，F到平面1ADE的距离是定值，三棱锥1FADE−的体积为定值，所

以④正确.【详解】对于①，设平面1ADE与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取1BB、11BC的中点M、N，连接AM、MN、AN，则11//AMDEQ，1AM平面1DAE，1DE平面1DAE，1//A

M平面1DAE．同理可得//MN平面1DAE，1AM、MN是平面1AMN内的相交直线平面1//AMN平面1DAE，由此结合1//AF平面1DAE，可得直线1AF平面1AMN，即点F是线段MN上的动点．所以①正确；对于②，平面1//AMN平面1DAE，BE和平面1DAE相交，1AF

与BE是异面直线，所以②正确．对于③，由①知，平面1//AMN平面1DAE，1AF与1DE可能平行，所以③错误．对于④，因为//MNEG，则F到平面1ADE的距离是定值，三棱锥1FADE−的体积为定值，所以④正确；故答案为：①②④【

点睛】方法点睛：空间几何体的体积的求解常用的方法有：（1）规则的公式法；（2）不规则的割补法；（3）复杂的转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解.三､解答题：本大题共5小题，共70分.17.已知{}na是等比数列，13a=，424a=．数列{}nb满足11

b=，48b=−，且{}nnab+是等差数列．（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）求数列{}nb的前n项和．【答案】（1）132(1,2,)nnan−==L；1432(1,2,)nnbnn−=

−=；（2）222323nnn+−+.【解析】【分析】（1）首项求出na，然后求出nnab+，然后可得nb；（2）分别算出数列{4}n、1{32}n−的前n项和即可.【详解】（1）设等比数列{}na的公比为q，由题意得341

8aqa==，解得2q=．所以11132(1,2,)nnnaaqn−−===．设等差数列{}nnab+的公差为d，由题意得4411()()1644413ababd+−+−===−．所以11()(1)4nnababndn+=+

+−=．从而1432(1,2,)nnbnn−=−=．（2）由（1）知1432(1,2,)nnbnn−=−=．数列{4}n的前n项和为()1442(1)2nnnnn−+=+；数列1{32}n−的前n项和为()3123(21)12nn−=−−．所以，数列{}nb的前n项

和为222323nnn+−+．18.已知数列na的前n项和为nS，且()*43nnSan=−N.（1）证明：数列na是等比数列；（2）若数列nb满足()*1nnnbabn+=+N，且12b=，求数列

nb的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）14313n−−【解析】【分析】（1）当1n=时可计算出11a=，当2n时，计算1nnnaSS−=−即可得na与1na−的关系，利用等比数列的定义即可证明；（2）由（1）可得1143n

nnbb−+−=，再利用累加法即可求解.【详解】（1）当1n=时，11143aSa==−，解得：11a=，当2n时，()114343nnnnnaaaSS−−=−−=−−，即134nnaa−=，可得143nnaa−=，所以数列na是首项11a=，公比为

43的等比数列.（2）由（1）知143nna−=，所以1143nnnbb−+−=，可得02143bb−=13243bb−=24343bb−=1243nnnbb−−−=，以上1n−个式子累加

可得：0123214444433333nnbb−−=+++++111411344313343313nnn−−−−==−−=−

−，因为12b=，所以11443323133nnnb−−=−+=−【点睛】方法点睛：由数列前n项和求通项公式时，一般根据11,2,1nnnSSnaan−−==求解，注意检验1

a是否满足()2nan.19.已知圆C的圆心在直线30xy−=上，且与y轴相切于点(0，1).(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线l：0xym−+=交于A，B两点，分别连接圆心C与A，B两点，若CACB⊥，求m的值.

【答案】(1)22(3)(1)9xy−+−=；(2)1或5−.【解析】【分析】（1）设圆心坐标为C(a，b)，则3ab=，再由已知可得,br，由此可得圆心坐标与半径，则圆的方程可求；（2）由CA⊥CB，CACBr==，可得△ABC为等腰直角三角

形，求出圆心C到直线l的距离d．再由点到直线的距离公式列式求解m值．【详解】(1)设圆心坐标为C(a，b)，则3ab=，∵圆与y轴相切于点(0，1)，则1b=，0ra=−，∴圆C的圆心坐标为(3，1)，半径3r=.则圆的方程为22(3)(1)9xy−+−=；(2)∵

CA⊥CB，CACBr==，∴ΔABC为等腰直角三角形，∵CACBr===3，∴圆心C到直线l的距离322d=.则313222md−+==，解得m=1或-5.【点睛】本题考查直线方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查

计算能力，是基础题．20.在四棱锥PABCD−中，PAD△为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，//ABCD，ABAD⊥，224CDABAD===．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAD；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CD上是

否存在点M，使得AM⊥平面PBE?若存在，求出DMDC的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）64；（Ⅲ）在棱CD上存在点M满足题意，14DMDC=．【解析】【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理可证得CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理证得结论；（Ⅱ）取BC中点E，可证得,,PE

DEEF两两互相垂直，由此以E为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果；（Ⅲ）假设存在点(),1,0Mm满足题意，由线面垂直的性质可知AMPB⊥，AMPE⊥，由此得到00AMPBAMEP==，

解出m后即可得到结果.【详解】（Ⅰ）//ABCDQ，ABAD⊥，CDAD⊥，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD底面ABCDAD=，CD平面ABCD，CD\^平面PAD，又CD平面PCD，平面PCD⊥平面PAD.（Ⅱ）取BC中点F，连接EF，,EF分别为,ADBC中点，//E

FCD，EF⊥平面PAD；PADQV为等边三角形，E为AD中点，PEAD⊥∴，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD底面ABCDAD=，PE平面PAD，PE⊥平面ABCD，则以E为坐标原点，,,EFDEPE所在直线为,

,xyz轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，则()0,0,3P，()0,1,0D，()4,1,0C，()2,1,0B−，()2,1,3PB→=−−，()0,1,3PD→=−，()4,0,0DC→=，

设平面PCD的法向量(),,nxyz→=，则3040nPDyznDCx=−===，令1z=，则0x=，3y=，()0,3,1n→=，设直线PB与平面PCD所成角为，236sin4222PBnPBn→→→→===.即

直线PB与平面PCD所成角的正弦值为64.（Ⅲ）假设在棱CD上存在点M，使得AM⊥平面PBE，则AMPB⊥，AMPE⊥，设(),1,0Mm，又()0,1,0A−，(),2,0AMm→=，()2,1,3PB→=−−，()0,0,3EP→=，2200AMPBmAMEP=−==，

解得：1m=，即1DM=，在棱CD上存在点M，使得AM⊥平面PBE，此时14DMDC=.【点睛】本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、空间向量法求解线面角和存在性问题；利用空间向量法求解存在性问题的关键是首先假设存在，采用待定系数法的方式得到所

求点所满足的方程，解方程求得系数即可.21.已知椭圆22:142xyC+=的焦点分别为12,FF.（1）求以线段12FF为直径的圆的方程；（2）过点()4,0P任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.

在x轴上是否存在点Q，使得180PQMPQN+=？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）222xy+=；（1）Q()1,0.【解析】【分析】（1）求得椭圆的焦点坐标，进而得到线段12FF的中点坐标，12FF，再写出圆的方程.（2）假设存在(),0QQ

x，设直线方程为4xmy=+，与椭圆方程联立，根据180PQMPQN+=，由0MQNQkk+=，结合韦达定理求解.【详解】（1）椭圆22:142xyC+=的焦点为()()122,0,2,0FF−,所以线

段12FF的中点为()0,0，1222FF=，所以以线段12FF为直径的圆的方程是222xy+=；（2）假设存在(),0QQx，设直线方程为4xmy=+，由221424xyxmy+==+得()2228120mymy+++=，设()

()1122,,,MxyNxy，则12122281222myyyymm+=−=++，因为180PQMPQN+=，所以0MQNQkk+=，即12120QQyyxxxx+=−−，所以()()121212240Qmyyyyxyy++−+=，即222812

3220222Qmxmmmmm−+=+++，解得1Qx=，所以在x轴上存在点Q()1,0，使得180PQMPQN+=.【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的

解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．