【文档说明】福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题（解析版）.docx，共(19)页，781.748 KB，由envi的店铺上传

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福建省厦门第一中学2023-2024学年度第一学期期末模拟考试高一年数学试卷本试卷共4页，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致.2．回答选择题时，选出答案后

用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效.3．考试结束，考生只须将答题卡交回.一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40

分.每小题只有一个正确答案.1.已知集合2340,{ln(1)}MxxxNxyx=−−==−∣∣，则MN=（）A.(1,4)B.[1,4)C.(1,4)−D.[1,4)−【答案】A【解析】【分析】首先化简集合，然后求出交集即可.详解】234014Mxxxxx=−−=−∣

∣，{ln(1)}{1}Nxyxxx==−=∣∣，14MNxx=.故选：A2.“1cos2=−”是“2π3=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据“1cos2

=−”与“2π3=”的互相推出情况判断属于何种条件.【【详解】当1cos2=−时，此时可取4π3，所以不一定能得到2π3=，当2π3=时，此时2π1coscos32==−，所以“1cos2=−”是“2π

3=”的必要不充分条件，故选：B.3.已知扇形的面积为24cm，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm【答案】A【解析】【分析】根据题意设出扇形的弧长、半径和圆心角，通过扇形的面积可求出扇形半径，然后

利用弧长公式即得.【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为，所以扇形的面积22112422Srr===，得2r=（cm），由224lr===（cm）故选：A4.设320.30.233log,log,222ab

c−===，则（）A.abcB.acbC.cabD.cba【答案】D【解析】【分析】根据中间量“0”确定c最大，再对,ab取倒数，结合对数函数单调性即可得到,ab大小关系，则得到三者大小关系.【详解】0

.30.33loglog102a==，3021220c−==，0.20.23loglog102b==，320.301loga=，32100lg2o.b=，因为对数函数32logyx=在()0,+上单调递增，则110ab，所以ab，所以cba.故选：

D.5.已知函数()sin()fxAx=+(0A，0，0)的部分图象如图所示，则()fx的解析式是（）A.()2sin6fxx=+B.()2sin3fxx=+C.()2sin26fxx=+D.2

n2)3(sifxx=+【答案】D【解析】分析】结合图象，依次求得,,A的值.【详解】由图象可知2A=，2,,22362TT=−−====，所以()()2sin2fxx=+，依题意0，则2333

−−，2sin0,0,6333f−=−+=−+==，所以2n2)3(sifxx=+.故选：D.【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sinfx

Axb=++或的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A、()()maxmin:2fxfxbA−=，()()maxmin2fxfxb+=；（2）求出函数的最小正周期T，进而得出2T=；（3）取特殊点代

入函数可求得的值.6.锐角ABC中，若21sincoscos2AAA=−，则A=（）【A.π12B.π8C.π6D.π4【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式结合()20,πA即可化简求解.【详解】由题意211cos2sin2sinco

scos222AAAAA==−=，而()20,πA，所以cos2sin20AA=，所以ππtan21,2,48AAA===.故选：B.7.定义在R上的函数()fx为奇函数，且(1)fx+为偶函数，当[0,1]x时，()21xfx=−，则(3)(8)ff+=（）A.1−B.0C.

1D.2【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及已知条件，求得()fx的周期；再根据函数的周期性，结合奇偶性即可求得函数值.【详解】因为()fx为奇函数，所以()()fxfx−=−，因为(1)fx+为偶函数，所以(1)(1)f

xfx+=−，即(2)()fxfx+=−，从而(2)()fxfx+=−，得(4)(2)()fxfxfx+=−+=，所以()fx以4为周期的周期函数，()0(8)(420)0210fff=+==−=，()()()()1321

1211fff=+=−=−−=−，所以(3)(8)1ff+=−．故选：A8.已知函数4()(0)fxxxx=+，记该函数在区间[1,](1)ttt−上的最大值与最小值的差值为()gt，则()gt的最小值为（）A.172−B.

1C.13D.174−【答案】D【解析】【分析】根据4()(0)fxxxx=+的单调区间，分12t、3t、11722t+和11732t+讨论即可.【详解】因为4()(0)fxxxx=+在(0,2单调递减，在()

2,+单调递增，若102tt−，即12t时，则()fx在[1,]tt−上单调递减，所以4()(1)()1(1)gtftfttt=−−=−−，此时()gt的最小值为1．若12t−，即3t，则()fx在[1,]tt−上单

调递增，所以4()()(1)1(1)gtftfttt=−−=−−，此时()gt的最小值为13．若2t且(1)()ftft−，即11722t+，则()fx在[1,2]t−上单调递减，在[2,]t上单调递增，所以4()(1)(2)51gtft

ftt=−−=−+−，此时()gt的最小值为174−．若3t且()(1)ftft−，即11732t+，则()fx在[1,2]t−上单调递减，在[2,]t上单调递增，所以4()()(2)4gtftftt=−=+−，此时()gt的最小值为174−．综上，()gt的最小

值为174−．故选：D二、多选题：本大题4小题，全选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分.9.下列函数中，在定义域内既为奇函数又为增函数的是（）A.3yx=B.eexxy−=−C()2ln1yx=−D.|sin|yx=【答案】AB.【解析】【分析】由函数奇偶性的定

义判断CD不符合题意，再结合幂函数指数函数单调性即可判断AB满足题意.【详解】对于AB，()3yhxx==、()eexxyux−==−在定义域R内，满足()()()()3,eexxxhxhxuuxx−=−=−−−−==−，所以它们都是奇函数，结合幂函数、指数函数单调性可知它们都是定义域内的增

函数，故AB正确；而对于CD，若()()2ln1yfxx==−，()|sin|ygxx==，则在相应的定义域内有()()()(),fxfxgxgx−=−=，故()()2ln1yfxx==−，()|sin|ygxx==不是奇函数.故选：AB.10.已知0,1,1cd

baabcd+=+=−，则（）A.112aB.acbd−−C.acbdD.10bc−+【答案】AD【解析】【分析】B选项，根据同号可加性得到acbd−−；ACD选项，根据题目条件得到1110122cdba−−，进而判断ACD

.【详解】B选项，因为0cdba，所以cd−−，根据同号可加性可得acbd−−，B错误．A选项，因为1ab+=，0ba，所以01baa=−，解得112a，A正确；CD选项，因为1cd+=−，0cd，所以10dd−−，解得102d−，同理可得11

10122cdba−−，取2112,,,3333cdba=−=−==，则41,99acbd=−=−，acbd，C错误；由不等式性质可得10bc−+，D正确．故选：AD11.聚点是实数集的重要拓扑概念

，其定义是：ER，Rt，若0，存在异于t的0Ex，使得00tx−，则称t为集合E的“聚点”，集合E的所有元素与E的聚点组成的集合称为E的“闭包”，下列说法中正确的是（）A.整数集没有聚点B.区间(3

,4)的闭包是[3,4]C.*2|,N1nxxnn+=+的聚点为0D.有理数集Q的闭包是R【答案】ABD【解析】【分析】利用集合聚点的新定义，集合的表示及元素的性质逐项判断.【详解】对于A，根据定义，0，tR，若

存在0Zx，使得0tx−，所以，0txt−+，当001txt−+时，这样的0x不存在，所以不存在符合不等式且异于t的0x，故整数集无聚点，故A正确；对于B，若0，对于3,4t，因为max,3

min,4tt−+，所以存在异于t的0x，使得03max,3min,44txt−+，故00tx−，故t为集合E的“聚点”，即区间(3,4)的闭包是[3,4]，B正确；对于C，因为**21|,N|1,N11nxxnxxnnn+===+

++，所以对于0，都存在11n+，使得101n+，所01x−，故*2|,N1nxxnn+=+的聚点为1，故C错误；对于D，对于0，Rt，都存在0,22x

tt−+，使得()0002txtx−，所以t为集合Q的“聚点”，所以有理数集Q的闭包是R，D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解聚点定义.12.已知函数()1ln,02,0xxxfxx+=

，若存在四个不同的值1234,,,xxxx，使得()()()()1234fxfxfxfx===()1234xxxx，则下列结论正确的是（）A.121x−−B.1201xxC.34exx=D.34exx+【答案】ABD【解析】【分析】由()fx的图象，

求出特殊点，结合条件逐一比较分析判断.【详解】当0x=时，()02f=，当=1x−时，()11f−=，当1x=时，()10f=，由图像可知，11x−，此时()1111122xfx+=，解得121x−−，故A对；因为

()12xfx+=关于=1x−对称，所以122xx+=−，又210x−，221212120122xxxxxx+−−==，故B对；由31ln2x−，得213eex−−，由41ln2x，得24

eex，由34lnlnxx−=，得341xx=，故C错；344411eeexxxx+=++，故D对.故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数ayx=是奇函数，且在(0,)+上单调递减，则实数a的值

可以是___________．【答案】1−（答案不唯一）【解析】【详解】举例1a=−，则1yx−=，根据反比例函数的性质知其为奇函数，且在(0,)+上单调递减，满足题意.故答案为：1−（答案不唯一）.14.130.001lg5lg2−++=__________．【答案】11【解析】【

分析】根据分数指数幂运算、对数的运算性质求解出结果.【详解】原式()13130.1lg100.1110111−−=+=+=+=，故答案为：11.15.已知,满足π2πππ32π120,,sin,cos333

65313−−−=−+=，则sin()+=___________．【答案】6365−【解析】【分析】首先结合平方关系、角的范围得π2π5cos,sin653134−=+=，再由诱

导公式以及两角和的余弦公式即可得解.【详解】因为π2ππ0,333−−，所以π266πππ2π,03−−−+，又因为π32π12sin,cos65313−=−+=，所以π2π5cos,

sin653134−=+=，所以ππ2πsin()coscos263+=−++=−−++π2ππ2π3541263sinsincoscos636351351365

=−+−−+=−−=−.故答案为：6365−.的16.已知函数()222()1log1,e1xfxxxx=−−+−+R．点()()000,0Pxyx是单位圆上的动点，若不等式()()00002110fmxyfx

ym−−++++恒成立，则实数m的范围为___________．【答案】5,8−−【解析】【分析】由题意首先得()fx在R上是奇函数和增函数，将不等式等价转换为()000022mxyxy−+，通过三角换元等即可求得不等号右边的最小值，由此即可得解.【详解】由题意()()2

2222e1()1log1log1,e1e1xxxfxxxxxx−=−−+−=−+−++R，所以()()()2222e1e1()log1log1e1e1xxxxfxfxxxxx−−−−+−=−+−+−++++2e11elog

10e1e1xxxx=+−=+−−+，所以()fx在R上是奇函数，且()2222212()1log1log1,e1e11xxfxxxxxx=−+=−++++++−R是增函数，由()()00002110fmxyfxym−

−++++，得()()()000000000012121,121fxymfmxyfmxyxymmxy+++−−−=−+++++−++，()000022mxyxy−+，因为()()000,0Pxyx是单位圆上的动点，设00ππcos,sin22xy

==−，则()000022sincos(sincos)xyxy−+=−+，令πsincos2sin4t=+=+，则12t−≤，且()221552sincossincos1244ttt−+=−−=−−−，所以552,48mm−

−．故答案为：5,8−−.【点睛】关键点睛：关键是首先得出函数()fx的单调性以及奇偶性，从而可将原题等价转换为()000022mxyxy−+，从而即可顺利得解.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答

过程填写在答题卡的相应位置.17.己知集合{(3)(2)0}Axxx=−+∣，集合{2321}Bxaxa=−+∣．（1）当2a=时，求AB；（2）若ABA=，求a的取值范围．【答案】（1）13ABxx=（2）112a≤

≤【解析】【分析】（1）解出集合A中的不等式，将2a=代入集合B中不等式，求两个集合的交集；（2）由ABA=得集合A和集合B之间的关系，求出参数的取值范围.【小问1详解】{(3)(2)0}23Axxxxx=−+=−∣，当2a=时，{15}Bx

x=∣，所以13ABxx=.【小问2详解】因为ABA=，所以BA，显然集合B非空，所以232213aa−−+，得112a≤≤.18.已知函数()322xmfxx−=+的图像过点

()1,1．（1）求实数m的值；（2）判断()fx在区间(),1−−上的单调性，并用定义证明；【答案】（1）1m=−（2）()fx在区间(),1−−上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）将()1,1代入解析式，

得到m的值；（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.【小问1详解】将点()1,1代入函数()322xmfxx−=+中，可得3122m−=+，解得1m=−．【小问2详解】单调递增，证明如下．由（1）可得

()()()3123131222121xxfxxxx+−+===−+++，任取()12,1xx−−，则()()121231312121fxfxxx−=−−−++()()12

2112111111xxxxxx−=−=++++，因为()12,1xx−−，则120xx−，110x+，210x+，即()()12110xx++，所以()()1212011xxxx−++，即()()12fxfx，所以()fx在区间(),1−−上单调递增．19.已知函数()s

in(0)fxx=在ππ,34−上单调递增．（1）求的取值范围：（2）当取最大值时，将()fx的图象向左平移π9个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到()gx的图象，求()gx在ππ,32−内的值域．【答案】（1）302（2）

260,4+【解析】【分析】（1）由题设条件，列出不等式,32πππ4π2−−，求解即可.（2）根据函数图像平移变换，写出函数1π()sin26gxx=+，再结合区间和三角函数性质求出值域.

小问1详解】由ππ,34x−，得ππ,34x−，又函数()sin(0)fxx=在ππ,34−上单调递增，所以,32πππ4π2−−，解得32因为0，所以302．【小问2详解】由（1）知的最大值为32，此时3()sin2

fxx=，根据题意，31π1π()sinsin23926gxxx=+=+，当ππ,32x−时，1πππ02664x++．所以ππ260()sin644gx++=，故值域为260,4+．20.5G技术的

价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：2log1PCWN=+，其中：C（单位：bit/s）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，(W单位；Hz）是信道的带宽，(P单位：dB）是平均信号功率，N（单位：dB）是平均噪

声功率，PN叫做信噪比.（1）根据香农公式，如果不改变带宽W，那么将信噪比PN从1023提升到多少时，信道容量C能提升10%?（2）已知信号功率12PPP=+，证明：122221log1log1log1PPPWWWNNNP+=++++

；（3）现有3个并行的信道123,,XXX，它们的信号功率分别为()123123,,PPPPPP，这3个信道上已【经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）【答案】（1

）2047（2）证明见解析（3）把那一小份分配到信道1X上能获得最大的信道容量【解析】【分析】（1）先把1023PN=时，C算出来10W，再令()10110%CW=+，解得PN；（2）利用对数运算化简即

可证明；（3）由（2）可知当12PPP=+时，122221log1log1log1PPPWWWNNNP+++++，随着P的增大C也会增大，可是增加的速度会越来越慢，即得．【小问1详解】当10

23PN=时，2log102410WCW==，令()2log110110%PWWN+=+，得2log111PWWN+=，解得：11212047PN=−=，所以若不改变带宽W，将信噪比从1023提

升到2047时，信道容量C能提升10%.【小问2详解】证明：右边12221log1log1PPWWNNP=++++1221log11PPWNNP=+++1212211log1PPP

PWNNPNNP=+++++()()1121221log1PNPPNPPWNNP+++=++()()()11221log1PNPPWNNP++=++()122log1PPW

N+=+2log1PWN=+=左边，所以，原式成立；【小问3详解】分配到信道1X上能获得最大的信道容量.理由：由（2）可知当12PPP=+时，12222log1log1log1PPPWWWNNN++++

，随着P的增大C也会增大，但增加的速度会越来越慢，所以把那一小份分配到信道1X上能获得最大的信道容量.21.已知函数()()()log230,1afxxaa=−−．（1）证明函数()fx的图象过定点；（2）设

mR，且4m，讨论函数()fx在4,m上的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）计算出()3f的值，即可证得结论成立；（2）对参数a、m的取值进行分类讨论，分析函数()fx在4,m上的单调性，

即可得出函数()fx在4,m上的最小值.【小问1详解】证明：因为()3log133af=−=，故函数()fx的图象过定点()3,3.【小问2详解】当01a时，由()log230ax−−，可得302xa−，即322xa

+，由()log230ax−−，可得32xa−，即32xa+，即()()()33log23,223log2,2aaxxafxxxa−−+=−−+，因为3223a+，所以()34,2,ma++，所以，函数()fx在4,m上单调递

增，则()()min43log2afxf==−；当1a时，由()log230ax−−可得32xa−，即32xa+，由()log230ax−−可得302xa−，即322xa+，所以()()()333log2,22log23,2aaxxafxxxa−−+=−−+

，若312a，则324a+，此时，函数()fx在4,m上单调递增，则()()min4log23afxf==−；若32a，则324a+，当32ma+时，函数()fx在4,m上单调递减，此时，()()()mi

n3log2afxfmm==−−；当32ma+时，函数()fx在)34,2a+上单调递减，在(32,am+上单调递增，则()()3min20fxfa=+=.综上所述，()fx在4,m上的最小值为()()3min33333log2,01log23,123log2,2,20,2,2

aaaaafxmamaama−−=−−++.【点睛】思路点睛：本题考查含参函数在闭区间上的最值问题，对于这类问题，要注意对参数的取值进行分类讨论，并分析函数在区间上的单调性，再结合单调性求解.2

2.已知函数()()3log31xfxmx=++是偶函数．（1）求m的值；（2）设函数()()311log322xgxaaxfx=−+−（Ra），若()gx有唯一零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）12−（2）0a或1046a=−−【解析】【分析】（1）根据偶函数

性质()()fxfx−=代入即可求解；（2）令3xt=，转化为关于t的一元二次函数，对a分类讨论即可求解.【小问1详解】依题意，因为()fx的定义域为R的偶函数，所以()()fxfx−=，所以()()33log

31log31xxmxmx−++=+−，所以()()333313log31loglog31log33xxxxxmxmxmx+++=−=+−−所以3log3xmxxmxmx−−=−=−所以()210mx+=，即12m=−．【小问2详解】由（1）知()()31log3

12xfxx=+−所以()()()333111log3log3log31222xxxgxaaxfxaax=−+−=−−++，令()0gx=，()333131log3=log31log23xxxxaax+−+−=，即1313=23xxxaa+−，整

理得()21313102xxaa−+−=，其中1302xa−，所以0a，令3xt=，则得211102atat−+−=，①当0a时，1302x−，即12t，所以方程211102atat−+−=在区间1,2

+上有唯一解，则方程对应的二次函数()21112mtatat=−+−，恒有()010m=−，13022m=−，13602maa+=，所以当0a时，方程211102atat−+−

=在区间1,2+上有唯一解．②当0a时，1302x−，即102t，方程211102atat−+−=在区间10,2上有唯一解，因为方程对应的二次函数()21112mtatat=−+−的开口向下，恒有()010

m=−，13022m=−，所以满足恒有2114021112022aaaa=++=+，解得1046a=−−综上所述，当0a或1046a=−−时，()gx有唯一零

点．【点睛】方法点睛：（1）利用偶函数的性质()()fxfx−=代入原函数即可求解参数；（2）通过换元思想可以将复杂的函数转化为常见的函数模型，换元时一定要注意先求元的范围.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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