DOC
【文档说明】2024年高考考前最后一课（通用版）数学 Word版含解析.docx，共(220)页，15.563 MB，由小赞的店铺上传
转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-ea27f7c86dc3e4a7f7f2b2aad3dd4305.html
以下为本文档部分文字说明：
目录基础巩固篇☛1.集合........................................................................................................................................
..............................3☛2.常用逻辑用语............................................................................
.........................................................................4☛3.复数...............................
..............................................................................................................................
.........6☛4.平面向量..............................................................................................................
................................................7☛5.三角函数........................................................
....................................................................................................10☛6.解斜三角
......................................................................................................................................
......................12☛7.数列.................................................................................................
...................................................................13☛8.立体几何.......................................................
.....................................................................................................18☛9.直线和圆............................
..........................................................................................................
......................18☛10.椭圆、双曲线、抛物线...........................................................................................................
.....................20☛11.计数原理...................................................................................
.......................................................................23☛12.统计.................................................
.................................................................................................................25☛13.概率..............
.................................................................................................................................
...................28☛14.初等函数.............................................................................................................
.............................................30☛15.函数与导数.......................................................
...............................................................................................32☛16.参考
答案..............................................................................................................................................
.............85多选题专攻篇☛1.函数与导数.......................................................................................................................
.................................34☛2.三角函数与解三角形...................................................................................
....................................................37☛3.空间向量与立体几何...........................................................................
............................................................40☛4.平面解析几何......................................................................
.............................................................................43☛5.统计概率................
.............................................................................................................................
...............46命题猜想篇☛1.简单几何体的表面积和体积...................................................................................................
..........................49☛2.抽象函数......................................................................................
.......................................................................56☛3.数列创新问题.............................................
........................................................................................................61考前技巧篇☛1.2024年高考数学考前冲剌
备忘录.....................................................................................................................70☛2.高考数学
核心考点解题方法与策略..................................................................................................................76☛3
.高考数学临场解题策略....................................................................................................................................81☛4.多
选题的特点及解题策略...................................................................................................
..............................84☛5.高考数学阅卷和答题卡的注意事项............................................................
....................................................89☛6.高考数学解答题结题模型.............................................................
.....................................................................93考前考后心理篇☛1.考前考生需要做哪些准备....................................
..............................................................................................97☛2.高考前一天需要做哪些准备...................................
...........................................................................................99☛3.考后需要注意哪些事项？.........................
.......................................................................................................100终极押题篇☛2024年新高考数学冲刺押
题1卷（22题型）.................................................................................................102☛202
4年新高考数学冲刺押题2卷（19题型）.................................................................................................108☛2024年新高考数学冲刺押题1卷（解析）......
................................................................................................113☛2024年新高考数学冲刺押
题2卷（解析）......................................................................................................128基础巩固篇1、集合★★★★★新高考考情：考卷题号详细
知识点20201交集的概念及运算；202111交集的概念及运算；202122交集的概念及运算；补集的概念及运算；202211交集的概念及运算；202221交集的概念及运算；公式法解绝对值不等式；202311交集的概念及运算；解不含参数的一元二次不等式；202322根据集合的包含关系求参数；此考点
在每年的考试中均占据重要地位，第一题的掌握尤为关键。从考查内容来看，主要涉及交并补运算，常与解不等式等知识点相结合。虽然新定义的运算也可能出现，但其难度通常不高。综合历年经验，预计命题小组对集合部分的考题进行大幅度调整的可能性较小。因此，考生应重点掌握交并补运算的基础知识，并熟悉其
与其他知识点的交汇点，以确保在考试中能够稳定得分。此外，排除法（特殊法）也是解决此类问题优选方法。常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、点集（直线、圆
、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是x还是y。2024高考预测：1．已知集合22,3,4,5,6,8120ABxxx==−+,则()RAB=ð（）A．2,3,4,5B．2,3,4,5,6
C．3,4,5D．3,4,5,62．已知集合32,Axxnn==−N，6,7,10,11B=，则集合AB的元素个数为（）A．1B．2C．3D．43．已知集合2Z230Axxx=−−∣，则集合A的子集个数为（）
A．3B．4C．8D．164．已知集合0,1,2A=，2,NxxaaA==，则集合AN等于（）A．0；B．0,1；C．1,2；D．0,2．5．设全集IR=，集合2|log,2Ayyxx==，{|1}Bxyx
==−，则A．ABB．ABA=C．AB=D．()IABð6．若集合2135,516AxaxaBxx=+−=,则能使AB成立的所有a组成的集合为（）A．27aaB．67aaC．7aaD．6aa7．已知集合220Mxxx=
−和()ln11Nxx=+，则（）A．NMB．MNC．()e1,MN=−+D．()(),0e1,MN=−−+8．已知集合|2=+Axaxa，()2ln6|Bxyxx==+−，且AB，则（）A．12a−B．12a−C．21a−D．2
1a−9．若全集U=R，|1Axx=，|1Bxx=，则（）A．ABB．UAB=ðC．UBAðD．AB=R10．已知集合21,3,Aa=，{1,2}Ba=+，ABA=，则实数a的值为（）
A．{2}B．{1,2}−C．{1,2}D．{0,2}2、常用逻辑用语★★新高考考情：考卷题号详细知识点202317充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列；求等差数列前n项和；显然，近年来这板块考察的比较少，分析
发现地方考卷考得比较多，全国卷考得少，新高考才出现了一次，很显然这一考点不是一个热门考点，但我觉得依然需要大家引起足够得重视，尤其是“充要条件”和“全称与特称”。2024年要注意“全称量词与特称量词”
。“充要条件”的判断要先区分清楚条件和结论，充分性“条件⇒结论”，必要性“结论⇒条件”。要注意“三角与充要条件”结合的考题2024高考预测：1．设a，Rb，则“0ab”是11ab的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知0a且1a，“函数()xfxa=为增函数”是“函数()1agxx−=在()0,+上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设命题p：Rx，(x－1)(x+2)>0，则p为（）A．0Rx，()()00120xx−+B
．0Rx，00102xx−+C．Rx，()()120xx−+D．0Rx，00102xx−+或02x=−4．下列说法正确的是（）A．“ab”是“22ambm”的充要条件B．“,4kxk=Z
”是“tan1x=”的必要不充分条件C．命题“0001,2xxx+R”的否定形式是“1,2xxx+R”D．“1xy=”是“lglg0xy+=”的充分不必要条件5．“10b=”是“直线0xyb++=与圆
()()22:115Cxy++−=相切”的（）A．充分条件B．必要条件C．既是充分条件又是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件6．设xR，则“250xx−”是“|1|1x−”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条
件D．既不充分也不必要条件7．命题“21,2,0xxa−”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．4aB．4aC．5aD．5a8．若命题“()21,3,2130aaxaxa−−−+−”为假命题，则实数x的取值范围为
（）A．1,4−B．50,3C．51,0,43−D．)51,0,43−9．已知向量()()3,3,,2abx==−，则“2x”是“a与b的夹角为钝角”的（）A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．在等比数列na中，已知20200a，则“20212024aa”是“20222023aa”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3、复数★★★★★新
高考考情：考卷题号详细知识点20202复数代数形式的乘法运算；202112复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算；202121在各象限内点对应复数的特征；复数的除法运算；202212共轭复数的概念及计算；202222复数代数形式的乘法运算；202312复数
的除法运算；共轭复数的概念及计算；202321在各象限内点对应复数的特征；复数代数形式的乘法运算；每年一题，稳得不得了，我觉得这也是送分题之一，但九省联考，不再是以选择题的方式来考，而是放在了填空题的位置。说明考试题型由可能会变，但我认为不管怎么变，这仍然是一道送分题，大家
要细心，确保拿下。考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等.无法直接计算时可以先设z=a+bi。重要提示：不管考察的是什么问题，一定要
先把复数转化为标准模式z=a+bi！2024高考预测：1．设1iz=+，则2iz−=（）A．iB．i−C．1D．1−2．在复平面内，复数11i−的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若复数34iz=−，则zz=（）A．34i55+B．34i55−C．34
i55−+D．34i55−−4．在复平面内，复数12,zz对应的点关于直线0xy−=对称，若11iz=−，则12zz−=（）A．2B．2C．22D．45．已知i为复数单位，3i2i1ia+=+−，则1iza=+的模为（）A．2B．1C．2D．46．设复数z满足1i1zz+=−−，则z=（
）A．iB．22C．1D．27．若复数3i2ia++是纯虚数，则实数=a（）A．32−B．32C．23−D．238．若复数2iiza+=+的实部与虚部相等，则实数a的值为（）A．-3B．-1C．1D．39．（多选
）已知复数12,zz，下列命题正确的是（）A．1212zzzz=B．若12=zz，则12zz=C．2111zzz=D．若2211zz=，则1z为实数10．（多选）已知复数,zw均不为0，则（）A．22||zz=B．22||zzzz=C．zzww−=−D．zzww=4、平面向量★★★★
★新高考考情：考卷题号详细知识点2020`3向量加法的法则；向量减法的法则；2021110数量积的坐标表示；坐标计算向量的模；2021215数量积的运算律；202213用基底表示向量；202224平面向量线性运算的坐标表示；向量夹角的坐标表示；10数量积的坐
标表示；202313平面向量线性运算的坐标表示；向量垂直的坐标表示；利用向量垂直求参数；2023213数量积的运算律；17三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；数量积的运算律；向量每年一题或两题，单选题4题，多选题2题，填空题2题，解答题1题，覆盖了所有的题
型。考察的比较基础,难度不大,很少与其它知识交汇,重点考查向量的基本运算。数量积问题有坐标按照坐标算1212abxxyy=+，没有坐标按照模运算cosabab=；可以建系的建系（直角三角形、等腰、等边、
矩形、正方形、直角梯形等）、投影向量问题考的可能性不大.几何运算注意利用三角形法则和平行四边形法则转化（注意用好作图法）；单位向量要看清，模为1；向量夹角为锐角，数量积大于0且向量不能同向（夹角为0）；向量夹角为钝角，数量积小于0且不能反向（夹角为π）
；两个向量不共线才可以作为基底；多个向量和差带模先平方后开方.2024高考预测：1．已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，且20ACCB+=，则OC=（）A．2OAOB−B．2OAOB−+C．2133OAOB−D．1233OAOB−+2．已知公
比为q的等比数列na中，1232343,24aaaaaa==，平面向量(1,)aq=，(2,3)bq=，则下列c与2ab+共线的是（）A．(1,4)c=B．(1,5)c=C．(5,2)c=D．(2,5)c=3．对于平面内n个起点相同的单位向量()*1,2,,,2,iainnkk==N，若每个
向量与其相邻向量的夹角均为2πn，则1a与2naa++的位置关系为（）A．垂直B．反向平行C．同向平行D．无法确定4．如图所示，边长为2的正三角形ABC中，若BDBAAC=+（[0,1]），AEACCB=+（[0,1]），则关于DEAB的说法正
确的是（）A．当12=时，DEAB取到最大值B．当0=或1时，DEAB取到最小值C．[0,1]，使得0DEAB=D．[0,1]，DEAB为定值5．已知平行四边形ABCD，若点M是边BC的三等分点（靠近点B处），点N是边AB的中点，直线
BD与MN相交于点H，则BHBD=（）A．23B．25C．15D．146．已知点G为三角形ABC的重心，且GAGBGAGB+=−，当C取最大值时，cosC=（）A．45B．35C．25D．157．已知向量(3,4),(2,1)mntt==−，则下列结论正确的是（）A．当1t=时，||41mn+=
B．当2t−时，向量m与向量n的夹角为锐角C．存在0t，使得mn∥D．若mn⊥，则2t=−8．已知O是坐标原点，平面向量aOA=，bOB=，cOC=，且a是单位向量，2ab=，12ac=，则下列结论正确的是（）A
．cac=−B．若A，B，C三点共线，则2133abc=+C．若向量ba−与ca−垂直，则2bca+−的最小值为1D．向量ba−与b的夹角正切值的最大值为249．大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴
趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的DEF也为正三角形．若D为BE的中点，①DEF与ABC的面积比为；②设ADABAC=+，则+=．10．已知平面向量()12,mmm=，()12,nnn=，设||1m=，||3n=r，3mn=−，则m与n的夹角
为，当120nm+时，1212nnmm+=+5、三角函数★★★★★新高考考情：考卷题号详细知识点202011由图象确定正（余）弦型函数解析式；16三角函数在生活中的应用；202114求sinx型三角函数的单调性；6正、余弦齐次式的计算；二倍角的正弦公式；给值求值型问题；10逆用和、差角的余弦公
式化简、求值；二倍角的余弦公式；202216由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）；202226用和、差角的余弦公式化简、求值；9求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；利用正弦函数的对称性求参数；求sinx型三角函数的单调性；202316给值求值型问题；余弦定理解三角形；8用和、
差角的正弦公式化简、求值；二倍角的余弦公式；给值求值型问题；15余弦函数图象的应用；202327半角公式；二倍角的余弦公式；16特殊角的三角函数值；由图象确定正（余）弦型函数解析式；几乎每年至少一小题．题目难度不大，主要考察公式熟
练运用、平移、图像性质（重点+难点）、化简求值（热点+几乎年年考）、基本属于“送分题”．小心平移伸缩问题．最担心ω和φ问题（这是热点也是难点，注意用好数形结合）.三角函数的定义式:会巧妙利用定义求解sin、cos、tan,特别要注意正负;熟练诱导公
式、两角和与差公式、倍角公式、辅助角公式,符号问题太重要;牢记sin、cos、tan的图像性质;注意利用整体思想解决问题。出现3,,,,2222−等的时候记着用诱导公式,其他角的形式用两角和与差公式展开或合并;22sin,cosaa用降幂公式的较多;巧妙选择倍角公式进行凑角和
转化;巧妙选择两角和与差公式进行凑角和转化。2024高考预测：1．已知为锐角，且3cos63+=，则tan3−=（）A．22−B．2−C．2D．222．已知函数()π2cos13fxx=−+，（0）的图象在区间()0,2π内至多存在3
条对称轴，则的取值范围是（）A．50,3B．25,33C．75,63D．5,3+3．在ABC中，2133ADABAC=+，BAD=，2CAD=，则下列各式一定
成立的是（）A．sincossinBC=B．sincossinCB=C．sinsinsinBC=D．sinsinsinCB=4．如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心O到水面的距离为1m，筒车的半径是3m，盛水筒的初始位置为00,POP与水平正方向的夹角为6．若筒车以角速度2rad/m
in沿逆时针方向转动，t为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点1P所需的时间（单位：min），则（）A．1cos2t=B．2sin2t=C．261cos26t+=−D．322sin26t+=−5．已知为第一象限角.3sincos3−=，则tan2=（）A．223B．255C．2
23−D．255−6．若函数()()π2sin,03fxx=−>，π0,2x的值域为3,2−，则的取值范围是（）A．5,43B．510,63C．55
,63D．510,337．已知2sinsin3−=，2coscos1−=，则()cos22−=（）A．18−B．154C．14D．78−8．已知点G为三角形ABC的重心，且GAGBGAGB+=−，当C取最大值时，c
osC=（）A．45B．35C．25D．159．函数()sin(2)fxx=+的图象向左平移π3个单位得到函数()gx的图象，若函数()gx是偶函数，则tan=．10．在ABC中，26BC=，22ABC
SABAC=△，则ABC外接圆半径为.6、解斜三角★★★★★新高考考情：考卷题号详细知识点202017正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；20201119正弦定理边角互化的应用；几何图形中的计算；2021218正弦
定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；2022118正弦定理边角互化的应用；2022218正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；2023117用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理解三角形；
三角形面积公式及其应用；2023217三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；之前6道大题时，新高考每年解斜三角都会有一道题。但今年新高考大题如果真的调整为5道解答题得话，解三角出大题的概率必然会降低，但这又是一个很重要的考
点，因此出小题几率将会增大。余弦定理、正弦定理、面积公式要熟记；对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角互化，如果是化成角的话，下一步按三角→两角→一角进行；如果转化成边，就努力往余弦定理靠。如判断三角形的形状等，利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或角的关系是解三角形的常规思路。三角
形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等都体现了三角函数知识与三角形知识的交汇。2024高考预测：1．在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin:sin:sin2:4:5ABC=，则cosB=（）A．1320B．3740C．516−D．182．在
ABC中，内角,,ABC所对应的边分别是,,abc，若3a=，13b=，60B=，则c=（）A．1B．2C．3D．43．钝角三角形ABC的面积是12，AB=1，BC=2，则AC=A．5B．5C．2D．14．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，60A=，且ABC的面积
为3，若6bc+=，则=a（）A．26B．5C．30D．275．ABC中，“AB”是“sinsinAB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在ABC中，26a=，2bc=，1cos4A=−，则ABCS=（）A．3152B．
4C．15D．2157．设在ABC中,角,ABC，所对的边分别为,abc，,若coscossinbCcBaA+=,则ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定8．ABC的内角A
BC，，的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为2224abc+−，则C=A．π2B．π3C．π4D．π69．在ABC中，7AB=，1AC=，M为BC的中点，60MAC=，则AM=.10．在ABC中，26BC=，22ABCSABAC=△，则ABC外接圆半
径为.7、数列★★★★★新高考考情：考卷题号详细知识点202015求等差数列前n项和；18写出等比数列的通项公式；求等比数列前n项和；2021116错位相减法求和；数与式中的归纳推理；17由递推数列研究数列
的有关性质；利用定义求等差数列通项公式；求等差数列前n项和；2021212求等比数列前n项和；数列新定义；17等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和；解不含参数的一元二次不等式；2022117裂项相消法
求和；累乘法求数列通项；利用an与sn关系求通项或项；利用等差数列通项公式求数列中的项；202223等差数列通项公式的基本量计算；17等差数列通项公式的基本量计算；等比数列通项公式的基本量计算；数列不等式能成立（有解）问题；22利用导数研究不等式恒成立问题；裂项相消法求
和；含参分类讨论求函数的单调区间；202317充要条件的证明；判断等差数列；由递推关系证明数列是等差数列；求等差数列前n项和；20等差数列通项公式的基本量计算；利用等差数列的性质计算；等差数列前n项和的基本量计算；202328等比数列前
n项和的基本量计算；等比数列片段和性质及应用；18利用定义求等差数列通项公式；等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和；分组（并项）法求和；新高考对数列的考察，这几年基本上是以一大一小的形式出现。今年新高考题量改为19题之后，数列有没有可能削弱。我有一种大胆的猜想，2024年高考第19题压
抽题，有可能考察与数列有关内容，当然这不影响小题的考察。如果大题有数列，那小题很可能会是一道多选题，和其他内容组合而成。等差等比用通项公式和前n项公式，等比问题学会作比值化简；累加法、累乘法、构造法求通项，裂项相消、错位相减、分组求和求前n项和要掌握
类型特点。特别注意Sn和an的关系,11,1,2nnnSnaSSn−==−,两个方向都可以转化;分组求和、裂项相消法和错位相减法要看清通项的形式;1,,,nnadqaS，等基本量的求解很重要,多解问题要多次验证进行取舍。2024高考预测：1
．《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶
酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山.问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？（）A．18B．4716C．238D．31162．已知等差数列na满足47580,4aaaa+=+=−，则下列命题：①na是递减数列；②使0nS成立的n的最大值是9；③当5n=时，nS取得最大值；④60a=，
其中正确的是（）A．①②B．①③C．①④D．①②③3．已知等比数列na，对任意Nn，10nnaa+，nS是数列na的前n项和，若存在一个常数0M，使得nN，nSM；下列结论中正确的是（）A．na是递减
数列B．na是递增数列C．1nnSaD．一定存在0NN，当0nN时，1100na4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若1nnaa+−是公差不为零的等差数列，则称数列
na为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，L，则第40层放小球的个数为（）A．1640B．1560C．820D．7805．已知1a，2a
，3a，4a，5a成等比数列，且1和4为其中的两项，则5a的最小值为（）A．－64B．－8C．164D．186．已知各项均为正数的数列na满足()1sin0π2nnnaa+=＜，且数列na的前
n项积为nT，则下列结论错误的是（）A．若π2=，则1001T=B．若π6=，则1916aa=C．存在及正整数k，使得2121kkaa+−＞D．若na为等比数列，则41sina=7．毕达哥拉斯
学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1,5,12,22
,，总结规律并以此类推下去，第8个图形对应的点数为，若这些数构成一个数列，记为数列na，则322112321aaaa++++=．8．88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列．若中音A（左起第49个键）的频率为440Hz，钢琴上
最低音的频率为27.5Hz，则左起第61个键的音的频率为Hz．9．对于数列na，由1nnnbaa+=−作通项得到的数列nb，称nb为数列na的差分数列，已知数列nb为数列na的差分数列，且nb是以1为首项以2为
公差的等差数列，则105aa−=．10．如图，已知在扇形OAB中，半径2OAOB==，3AOB=，圆1O内切于扇形OAB（圆1O和OA、OB、弧AB均相切），作圆2O与圆1O、OA、OB相切，再作圆3O与圆2O、OA、OB相切，以此类推．设圆1O、圆2
O……的面积依次为1S，2S……，那么1210SSS=+++．8、立体几何★★★★★新高考考情：考卷题号详细知识点202013锥体体积的有关计算；202113圆锥中截面的有关计算；202124球的表面积的有关计算；5棱台的结构特征和分类；台体体积的有关计算；10求异面直线所成的角；证明线面垂直
；线面垂直证明线线垂直；202214台体体积的有关计算；8锥体体积的有关计算；球的体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；9求异面直线所成的角；求线面角；202227球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；11锥体体积的有关计算；证明线面垂直；2023
112正棱锥及其有关计算；多面体与球体内切外接问题；14台体体积的有关计算202329圆锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算；二面角的概念及辨析；由二面角大小求线段长度或距离；14正棱台及其有关计算；锥体体积
的有关计算；台体体积的有关计算；新课标卷的小题主要集中在几何体的表面积和体积问题上，这一点是明确且不容忽视的。对于考生而言，必须对此给予特别的关注。深入理解并熟练掌握空间几何体的结构特征是解答这类问题的关键，这包括能够准确计算长度、表面积和体积等。在实践中，常采用的方法包括分割法、补体法、还台为
锥法以及等积变换法等，这些方法在处理不规则几何体体积计算时尤为有效。此外，球与几何体的切接问题也是高考中的重要考点，通常作为客观题中的难点出现。这类问题主要考察几何体的外接球，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力。在选择
题和填空题中，图形通常不会直接给出，这就要求考生不仅要具备解题所需的数学技能，还需要有读题画图的能力。总的来说，对于空间几何体的表面积和体积问题，考生需要深入理解其结构特征，掌握相关计算方法，并具备空间想象能力和精确的计算技巧，才能顺利应对各
种考查。2024高考预测：1．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，异面直线1AD与1DC所成的角为（）A．π6B．π4C．π3D．π22．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（）A．384π
B．392πC．398πD．404π3．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（）A．10B．15C．4D．54．三棱锥A
BCD−中，AC⊥平面BCD，BDCD⊥．若3AB=，1BD=，则该三棱锥体积的最大值为（）A．2B．43C．1D．235．已知正四棱锥PABCD−各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（）A．9π
B．36πC．4πD．4π36．设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为1V、2V和3V，则（）A．123VVVB．213VVVC．312VVVD．321VVV7．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为
1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为35，则原圆锥的母线长为（）A．2B．5C．4D．258．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，
其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为．9．四棱锥PABCD−各顶点都在球心O为的球面上，且PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，2,22PAADAB===，设,MN分别
是,PDCD的中点，则平面AMN截球O所得截面的面积为.10．已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球O的直径相等，则圆锥MM的体积与球O的体积的比值是，圆锥MM的表面积与球O的表面积的比值是．9、直线和圆★★★★★新高考考情：考卷题号涉及知识点202010二元二次方程表示的曲线与
圆的关系2021111切线长；直线与圆的位置关系求距离的最值；202123已知点到直线距离求参数；11点与圆的位置关系求参数；判断直线与圆的位置关系；16两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题；直线的点斜式方程及辨析；2022114判断圆与圆的位置关系；圆的公切
线方程；202223已知斜率求参数；10已知两点求斜率；15求点关于直线的对称点；直线关于直线对称问题；由直线与圆的位置关系求参数；16根据弦长求参数；由弦中点求弦方程或斜率；直线的考察基本上没有单独成题，而是作为一个条件或者一个选项出现在某一道题当中。我们熟悉
掌握基本知识即可。直线与圆的位置关系这几年出现的次数显著增加，值得我们重视。直线与圆相交的弦长问题要结合点线距离和勾股定理（垂径定理）。2024高考预测：1．已知圆1C的半径为3，圆2C的半径为7，若两圆相交，则两圆的圆
心距可能是（）A．0B．4C．8D．122．若与y轴相切的圆C与直线3:3lyx=也相切，且圆C经过点()23P,，则圆C的直径为（）A．2B．2或143C．74D．74或1633．已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在
每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是（）A．8B．9C．10D．1004．已知动直线l的方程为()2212330axaya−+−−=，aR，()3,1P，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段P
Q长度的取值范围为（）A．(0,5B．1,5C．)5,+D．(0,35．已知两条直线1:2320lxy−+=，2:3230lxy−+=，有一动圆（圆心和半径都在变动）与12,ll都相交，并且12,ll被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（）
A．()22165yx−−=B．()22165xy−−=C．()22165yx−+=D．()22165xy+−=6．在平面直角坐标系xOy中，已知()30M，，302N，，动点()Qxy，满足2QMQN=，直线l：()()()2141100mxmymm+−−+−=与动点Q
的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当ABC面积最大时，直线l的方程为（）A．yx=B．yx=−C．1yx=−+D．122yx=−7．求圆的切点弦方程可利用“同构”思想．如“已知圆22:1Oxy+=，过()2,2P−−作圆O的两条切
线，切点记为A，B，求直线AB方程”，部分解答如下：设()11,Axy，()22,Bxy，由0PAOA=，化简可得221111220xyxy+++=，又因为22111xy+=，所以112210xy++=，同理可得222210xy++=，…．则直线AB的方程为．8．圆22
:4Oxy+=，(3,4)P，过P作圆O的切线PM，PN，过P作斜率为1的直线l与圆O交于点Q（Q在PMN内），线段MN上有一点D使180DQNPQM+=，则D的坐标为．9．已知曲线21:1Cyx=−与曲线22:2Cyx=−，长度为1的线段AB的两端点A、B分别在曲线1C、2
C上沿顺时针方向运动，若点A从点()1,0−开始运动，点B到达点()2,0时停止运动，则线段AB所扫过的区域的面积为.10．已知点()()1122,,,AxyBxy，定义()()221221ABdxyxy=−+−为,AB的“镜像距离”.若点,AB在曲线()ln
2yxa=−+上，且ABd的最小值为2，则实数a的值为.10、椭圆、双曲线、抛物线★★★★★新高考考情：考卷题号涉及知识点202010判断方程是否表示椭圆；双曲线定义的理解；14求直线与抛物线相交所得弦的弦长；202115椭圆定义及辨析；14根据抛物线方程求焦点或准线；根据抛物线
上的点求标准方程；202123根据抛物线方程求焦点或准线；13由双曲线的离心率求参数的取值范围；根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程；2022111根据抛物线方程求焦点或准线；判断直线与抛物线的位置关系；求直线与抛物线相交所得弦的弦长；16椭圆中焦点三角形的周长问题；根据离心率求椭圆的标准
方程；2022210抛物线定义的理解；求直线与抛物线的交点坐标；16根据弦长求参数；由弦中点求弦方程或斜率；202315求椭圆的离心率或离心率的取值范围；由椭圆的离心率求参数的取值范围；16利用定义解决双曲线中焦点三角形
问题；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；202325根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；椭圆中三角形（四边形）的面积；求椭圆中的参数及范围；10抛物线定义的理解；根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
；求直线与抛物线的交点坐标；与抛物线焦点弦有关的几何性质；圆锥曲线，每年一大两小，椭圆、双曲线、抛物线都考了个遍！太稳定了！太重要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系。数形结合很重要。椭圆的定义、标准方程、通经22ba、勾股定理、余弦定理、设而不
求、点差法22012122212120yyyyybbkxxaxxax-+==-=--+、焦点三角形面积12212tan2FPFFPFSb=；双曲线的定义、标准方程、通经22ba、勾股定理、余弦定理、设
而不求、点差法22012122212120yyyyybbkxxaxxax-+===-+、焦点到渐近线距离b、渐近线斜率、相似三角形、焦点三角形面积12212tan2FPFbSFPF=；折线和差最值要考虑用定义进行转化；求离心率问题得到a,c的二次方程后可以等式两边同
时除2a化简为e的二次方程.抛物线的定义、标准方程、通经2p、勾股定理、余弦定理、设而不求、点差法12121202p2yypkxxyyy-===-+、相似三角形、重心结论（0,12AFBFCFF++=为重心，：）、
焦点弦的三种求法()()2212121222sinpABxxyyxxp=−+−=++=（最常用后边两种，要注意开口方向）、焦半径比值（A点在第一象限）1+cos1cosAFBF=−；开口向上或向下的抛物线中切线问题可求导，求斜率；以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；过点A作1AA垂直于准
线，过点B作1BB垂直于准线，以11AB为直径的圆与抛物线的弦AB相切；以AF为直径的圆与y轴相切；2024高考预测：1．已知抛物线C：22(0),ypxpF=为抛物线C的焦点，P为抛物线C上的动点（不含原点），F的
半径为2p，若P与F外切，则（）A．P与直线0x=相切B．P与直线0y=相切C．P与直线2px=−相切D．P与直线2py=−相切2．已知点()5,0A−、()5,0B，动点(),Pmn满足：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为1625−，则224m
n+的取值范围为（）A．16,100B．25,100C．)16,100D．()25,1003．下列结论正确的是（）A.若方程22158xykk+=−−表示椭圆，则实数k的取值范围是()5,8；B.双曲线221515yx−=与椭
圆221925yx+=的焦点相同．C.M是双曲线221412xy−=上一点，点1F，2F分别是双曲线左右焦点，若15MF=，则29MF=或1．D.直线ykx=与椭圆C：22221xyab+=交于P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q不重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为
13−，则椭圆C的离心率为63．4．已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在x轴上，过点()2,0的直线交C于,PQ两点，且OPOQ⊥，线段PQ的中点为M，则直线MF的斜率的最大值为（）A．66B．12C．22D．15．已知()0
023231,,1,,,33ABPxy−−为椭圆22:132xyC+=上不同的三点，直线:2lx=，直线PA交l于点M，直线PB交l于点N，若PABPMNSS=△△，则0x=（）A．0B．54C．53
D．36．已知直线:(0)lykxk=与双曲线22:14xCy−=交于P，Q两点，QHx⊥轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（）A．1122k−且0kB．2=PTkkC．PTQTkk为定值D．22
+PQQTkk的最小值为27．勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，若椭圆C的一个焦点把长轴分成长度分别为,mn的两段，且,,10mn恰好为一组勾股数，则C的一个标准方程为.(写出满足条件的一个即可)8．十九世纪初，我国数学家董祐诚在研究椭圆求周长时曾说：“椭圆求周旧
无其术，秀水朱先生鸿为言圆柱斜剖成椭圆，是可以勾股形求之．”也就是说可以通过斜截圆柱法得到椭圆．若用一个与圆柱底面成60°的平面截该圆柱，则截得的椭圆的离心率为．9．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行．已知抛
物线2:4Cyx=的焦点为F，直线:5ly=，点P，Q分别是C，l上的动点，若Q在某个位置时，P仅存在唯一的位置使得PFPQ=，则满足条件的所有PQ的值为．10．设ABC是面积为1的等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点P在ABC所在的平
面内，记PCD与PAB的面积分别为1S，2S，且121SS−=．当||10PB=，且||||PAPB时，||PA=；记PAPBa−=，则实数a的取值范围为．11、计数原理★★★★★新高考考情：年份题号详细知识点20206
分组分配问题；202118独立事件的判断；202215实际问题中的组合计数问题；202225元素（位置）有限制的排列问题；相邻问题的排列问题；13两个二项式乘积展开式的系数问题；2023113分类加法计数原理；实际问题中的组合计数问题；20
2323分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题；通过对上表分析，我们发现这几年，这以内容考察得很散，几乎所有的基本知识点都考了个遍，没有发现侧重哪点，往年的二项式定理出现较多，而新高考这几年只出现了一次。排列组合考题的难度不大，无需投入过多时间（无底洞），注意掌握好基
本题型，处理好分配问题，排列问题，以及掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通项问题”出现较多。赋值法不要忘记。2024高考预测：1．为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结
束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（）种．A．40B．24C．20D．122．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中
国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）A．120种B．180种C．240种
D．300种3．2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学
校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）A．50B．36C．26D．144．“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具
有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（）A．100个B．125个C．225个D．250个5．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一
种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）A．48B．32C．24D．166．已知函数()0133551111CCCCCC35kknnnnnnnnfxxxxxxkn=+++++++（k，n为正奇数），()fx是()fx的导函数
，则()()10ff+=（）A．2nB．12n−C．21n+D．121n−+7．在233nxx−+的二项展开式中，533rnrnrnx−−C称为二项展开式的第1r+项，其中r=0，1，2，3，……，n．下列关于233nxx−+的命题中，不正确的一项是
（）A．若8n=，则二项展开式中系数最大的项是1426383xC．B．已知0x，若9n=，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x的取值范围是35403x．C．若10n=，则二项展开式中的常数项是44103C．D．若2
7n=，则二项展开式中x的幂指数是负数的项一共有12项．8．有7名运动员（5男2女）参加,,ABC三个集训营集训，其中A集训营安排5人，B集训营与C集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为（）A．18B．22C．30D．369．为推进体育教
学改革和发展，提升体育教学质量中丰富学校体育教学内容，某市根据各学校工作实际，在4所学校设立兼职教练岗位．现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学，要求每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，
则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为（）A．96B．120C．144D．24010．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛
的方案种数有（）A．48B．54C．60D．7212、统计★★★★新高考考情：年份题号详细知识点20209根据折线统计图解决实际问题；202119众数、平均数、中位数的比较；计算几个数据的极差、方差、标准差；202129计算几个数的众数、中位数、平均
数；计算几个数据的极差、方差、标准差；202215实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率；13两个二项式乘积展开式的系数问题；202319计算几个数的中位数、平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；13分类加法计数原理；实际问题中的组合计数问题；202323抽样比、样本总量
、各层总数、总体容量的计算；分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题；近年来，统计小题在考试中频繁出现，今年再次出现此类题目的概率极高。考察的内容涵盖了多个方面，如频率分布表、直方图、抽样方法、样本平均数、中位数、众数、百位数、方差、标准差、散点图、回归分析、独立性检验等。此
外，还包括正相关、负相关、完全相关、相关系数、样本中心点以及频率分布直方图和频数分布表中的平均数和中位数等概念。虽然考察的内容较多，但考试难度并不大，主要考察学生对相关考点的基本理解。因此，希望同学们能够充分掌握这些基本概念，以免在考试时因不熟悉基本概念而失分。
2024高考预测：1．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（）A．7.6B．7.8C．8D．8.22．已知变量x，y之间的
线性回归方程为ˆ21yx=+，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，x2468y58.213m则下列说法正确的是（）A．17m=B．变量y与x是负相关关系C．该回归直线必过点(5,11)D．x增加1个单位，y一定增加2个单位3．为调查某地区中学生每
天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（）A．0.96B．0.94C．0.79D．0.754．样本数据1
6，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（）A．14B．16C．18D．205．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A．93B．93
.5C．94D．94.56．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（）A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为12,xx和2212,ss，且已知12xx=，则总体方差()2221212sss=+B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关
系数r越接近于1C．已知随机变量X服从正态分布()2,N，若()()151PXPX−+=厖，则2=D．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,,40,50m；乙组：24,,33,44,48,52n，若这两组数据的第30百分位数､第5
0百分位数都分别对应相等，则67mn+=7．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），高三二班：36.1，36
.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n，37.1（单位：℃）若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则nm−为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.38．2023年10月31日，神舟十六号
载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则（）A．88,90xy==B．83,90xy==
C．83,85xy==D．88,85xy==9．下图为2012年─2021年我国电子信息制造业企业和工业企业利润总额增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（）A．2012年─2021年电子信息制造业企业利润总额逐年递增B．2012年─2021年工业企业利润总额逐年递增C．2012年─20
17年电子信息制造业企业利润总额均较上一年实现增长，且其增速均快于当年工业企业利润总额增速D．2012年─2021年工业企业利润总额增速的均值大于电子信息制造业企业利润总额增速的均值10．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平
均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（）A．3.5B．4C．4.5D．513、概率小题★★★新高考考情：年份题量题号难度详细知识点20221350.85实际问题中的组合计数问题；计算古典概型问题的概率；200.65独立性检验解决实
际问题；计算条件概率；202223130.94指定区间的概率；190.65利用对立事件的概率公式求概率；计算条件概率；202313210.65求离散型随机变量的均值；利用全概率公式求概率；202323120.65
利用互斥事件的概率公式求概率；独立重复试验的概率问题；这几年概率题出现的频率很高，几乎每年都有一题．主要考古典概型（与排列组合相结合）和条件概率、相互独立事件的概率、全概率公式，难度不算大，相信大家能拿得下来。概率题近年来在数学考试
中频繁出现，凸显了概率论的重要性及对学生逻辑思维和问题解决能力的重视。概率题主要涉及古典概型、条件概率、相互独立事件的概率和全概率公式等。古典概型要求确定样本空间和满足条件的事件数，进而计算概率。条件概率涉及在某一事件
已发生的条件下，另一事件发生的概率。相互独立事件的概率是指多个事件互不影响，计算时可将各事件概率相乘。全概率公式用于计算某事件在所有可能原因下的总概率，体现概率的加法原理。难度不算大，相信同学们一定能拿得下来.2024高
考预测：1．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x，则这6个点数的中位数为4的概率为（）A．16B．13C．12D．232．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件
4表示“骰子向上的点数小于3”则（）A．事件1与事件3互斥B．事件1与事件2互为对立事件C．事件2与事件3互斥D．事件3与事件4互为对立事件3．在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教
育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为（）A．19B．49C．13D．8274．“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的
人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位
游客选择的景点不同”，则()PBA=（）A．79B．89C．911D．10115．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以1A，2A分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是
（）A．1A，2A互斥B．()157PBA=C．()217PAB=D．()1321PB=6．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用123,,AAA分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B
表示乙袋取出的球是白球，则（）A．123,,AAA两两不互斥B．()213PBA=C．3A与B是相互独立事件D．1()3PB=7．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.7和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试
结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（）A．1529B．78C．58D．17298．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取
出另外两只不是同一双的概率为（）A．25B．45C．815D．899．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,ABC三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A小区的概率
为（）A．193243B．100243C．23D．5910．教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则（）A．甲学校没有女大学生的
概率为521B．甲学校至少有两名女大学生的概率为2542C．每所学校都有男大学生的概率为67D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为1714、函数的概念与基本初等函数★★★★★新高考考情：年
份题号详细知识点20207对数型复合函数的单调性；8函数奇偶性的应用；根据函数的单调性解不等式；2021113由奇偶性求参数；202127比较对数式的大小；8函数奇偶性的应用；函数的周期性的定义与求解；14函数奇
偶性的定义与判断；基本初等函数的导数公式；202217比较指数幂的大小；用导数判断或证明已知函数的单调性；比较对数式的大小；12抽象函数的奇偶性；函数对称性的应用；函数与导函数图象之间的关系；202228函数奇偶性的应用；由抽象函数的周期性求函数值；9求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；利用正弦函数的对称性求参数；求sinx型三角函数的单调性；202314根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性；已知二次函数单调区间求参数值或范围；10对数的运算性质的应用
；对数函数模型的应用（2）；由对数函数的单调性解不等式；11函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析；15根据函数零点的个数求参数范围；余弦函数图象的应用；202324函数奇偶性的应用；由奇偶性求参数；6由函数的单调区间求参数；11
根据二次函数零点的分布求参数的范围；根据极值求参数；主要考查：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、平移、零点等，分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数已经不是值得同学们“恐惧”的了吧？零点问题数形结合很重要，抽象函数要重视。牢记周期性和对称性的结论；注意单调性和奇偶性的关
系；学会用特殊点巧解；隐藏性质：奇函数在原点处有定义时，()00f=；常见奇偶函数的特殊形式（总结过的）；比较大小单调性和中间变量相结合，构造函数是底线。图像选择四部曲：定义域奇偶性特殊点单调性（求导数），特殊点最关键。1．已知()fx为奇函数，且0x时，()exfx=，则
()ef=（）A．eeB．e-eC．-eeD．-e-e2．若()()()()1Rfxxxxaa=++为奇函数，则a的值为（）A．-1B．0C．1D．-1或13．函数2()log(1)fxx=−的定义域是（）A．(,1)−B．(
0,)+C．(0,1)D．(,0]−4．下列函数中最小值为4的是（）A．224yxx=++B．4sinsinyxx=+C．2y22xx−=+D．4lnlnyxx=+5．函数()2ln2xxfxx−+＝的图象大数为（）A．B．C．D．6．函数2()ln(2
8)fxxx=−−的单调递增区间是A．(,2)−−B．(,1)−C．(1,)+D．(4,)+7．已知函数(),0()23,0xaxfxaxax=−+，满足对任意x1≠x2，都有()()1212fxfxxx−−0成立，则a的取值范围是（）A．a∈(0,1)B．a∈[34,1)
C．a∈(0,13]D．a∈[34,2)8．已知函数()fx的定义域为R，()exyfx=+是偶函数，()3exyfx=−是奇函数，则()fx的最小值为（）A．eB．22C．23D．2e9．已知函数()2(1),0,lg,0,xxfxxx+=若函数()()gxfxb=−有四个不同的
零点，则实数b的取值范围为（）A．(0,1B．0,1C．()0,1D．()1,+10．已知函数()fx的定义域为R，x，yR，(1)(1)()()fxfyfxyfxy++=+−−，若(0)0f，则(2024)f=（）A．2
−B．4−C．2D．415、函数与导数★★★★新高考考情：年份题号详细知识点202117求过一点的切线方程；利用导数研究函数图象及性质；15由导数求函数的最值（不含参）；202217比较指数幂的大小；用导数判断或证明已知函数的单调性；比较对数式的大小；8由导数求函数的最值（不含参）；10求在
曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究函数的零点；求已知函数的极值点；12函数与导函数图象之间的关系；15求过一点的切线方程；求某点处的导数值；202229求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；14求过一点的切线方程；202314根据函
数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性；已知二次函数单调区间求参数值或范围；11函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析；2023211根据二次函数零点的分布求参数的范围；根据极值求参数；6由函数的单调区间求参数；这几年的新高考试卷中
，导数出现在小题已经是一种常态，而且一出就是两题或者更多，有单独成题，也有出现在多选题中的一个选项。考察的面很广，初等函数求导、简单复合函数的求导、切线方程、单调性、极值点、零点等都有考察。其中重点考察了切线方程，利用导
数研究函数的单调性。2024高考预测：1．已知函数()12e1xfxax−=++的图象在1x=处的切线与直线310xy+−=垂直，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．42．已知0m，0n，直线11eyxm=++与曲线ln2
yxn=−+相切，则11mn+的最小值是（）A．16B．12C．8D．43．若点P是曲线2lnyxx=−上任意一点，则点P到直线:40lxy+−=距离的最小值为（）A．22B．2C．22D．424．设0a，若a为函数()()()2fxaxaxb=−−的极大值点，则
（）A．abB．abC．2abaD．2aba5．设150a=，112lnsincos100100b=+，651ln550c=，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．abcB．acbC．b<c<aD．bac6．已知直线ykxt=+与函数()()sin0y
AxA=+0,的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为1k和2k，且12kk，则（）A．1273kkB．125733kkC．127553kkD．1275kk7．已知()fx是
定义在R上的偶函数，()fx是()fx的导函数，当0x时，()20fxx−，且()13f=，则()22fxx+的解集是（）A．()()1,01,−+B．()(),11,−−+C．()()1,00,1−UD．()(),10,
1−−8．已知ln22a=，1eb=，2ln39c=，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．acbC．bacD．bca9．（多选）已知函数()322fxxaxx=−−，下列命题正确的是（）A．若1x=是函数()f
x的极值点，则12a=B．若1x=是函数()fx的极值点，则()fx在0,2x上的最小值为32−C．若()fx在()1,2上单调递减，则52aD．若()2lnxxfx在1,2x上恒成立，则1a−10．（多选）已知函数()s
inlnfxxx=+，将()fx的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列nx，对于正整数n，则下列说法中正确的有（）A．()1ππnnxn−B．1πnnxx+−C．(21)π2nnx−−为递减数
列D．()2(41)π1ln2nnfx−−+多选题专攻篇多选题专题训练1--函数与导数年份题号难度系数详细知识点2020-2120.65基本（均值）不等式的应用2022-1100.65求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数研究函数的零点；求已知函数的极值点；20
22-1120.40抽象函数的奇偶性；函数对称性的应用；函数与导函数图象之间的关系；2022-290.85求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；利用正弦函数的对称性求参数；求sinx型三角函数的单调性；2023-110
0.65对数的运算性质的应用；对数函数模型的应用（2）；由对数函数的单调性解不等式；2023-1110.65函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析；2023-2110.65根据二次函数零点的分布求参数的范围；根据极值求参数；1．设()fx是定义域为R的奇函数，且(22π
)yfx=+的图象关于直线π2x=−对称，若0πx时，()π()eecosxxfxx−=−，则（）A．(π)fx+为偶函数B．()fx在ππ,2−−上单调递减C．()fx在区间[0,2023π]上有4046个零点D．2023π1(π)1ekfk==−2．
已知函数()1212xxfx−=+，()()2lg1gxxx=+−，则（）A．函数()fx为偶函数B．函数()gx为奇函数C．函数()()()Fxfxgx=+在区间1,1−上的最大值与最小值之和为0D．设()()()Fxfxgx=+，则()()210FaFa+−−的解集为()1,+3
．已知定义在R上的偶函数()fx，满足()()22fxfx+−=，则下列结论正确的是（）A．()fx的图象关于1x=对称B．()()4fxfx+=C．若函数()fx在区间0,1上单调递增，则()fx在区间2021,2022上单调递增D．若函数()fx在区间(
)0,1上的解析式为()ln1fxx=+，则()fx在区间()2,3上的解析式为()()ln11fxx=−+4．已知函数()322fxxaxx=−−，下列命题正确的是（）A．若1x=是函数()fx的极值点，则12a=B．
若1x=是函数()fx的极值点，则()fx在0,2x上的最小值为32−C．若()fx在()1,2上单调递减，则52aD．若()2lnxxfx在1,2x上恒成立，则1a−5．e是自然对数的底数，,mnR，已知elnlnmmnnnm++，
则下列结论一定正确的是（）A．若0m，则0mn−B．若0m，则e0mn−C．若0m，则ln0mn+D．若0m，则e2mn+6．已知函数()21e12xfxx=−−，对于任意的实数a，b，下列结论一定成立的有（）A．若0ab+，则()()0fafb+B．若0ab+，则()()0
fafb−−C．若()()0fafb+，则0ab+D．若()()0fafb+，则0ab+7．已知,Rab，e是自然对数的底，若elnbbaa+=+，则ab的取值可以是（）A．1B．2C．3D．48．已知定义在R上的单调递增的函数()fx满足：任意xR，有
()()112fxfx−++=，()()224fxfx++−=，则（）A．当xZ时，()fxx=B．任意xR，()()fxfx−=−C．存在非零实数T，使得任意xR，()()fxTfx+=D．存在非零实数c，使得任意xR，()1fxcx−9．已知定义在R上的函数()fx，对于给定集
合A，若12,Rxx，当12xxA−时都有()()12fxfxA−，则称()fx是“A封闭”函数.则下列命题正确的是（）A．()2fxx=是“1,1−封闭”函数B．定义在R上的函数()fx都是“
0封闭”函数C．若()fx是“1封闭”函数，则()fx一定是“k封闭”函数()*NkD．若()fx是“,ab封闭”函数()*,Nab，则()fx不一定是“ab封闭”函数10．定义：在区间I上，若函数
()yfx=是减函数，且()yxfx=是增函数，则称()yfx=在区间I上是“弱减函数”.根据定义可得（）A．()1fxx=在()0,+上是“弱减函数”B．()exxfx=在()1,2上是“弱减函数”C．若()lnxfxx=在(),m+上
是“弱减函数”，则emD．若()2cosfxxkx=+在0,2上是“弱减函数”，则213k多选题专题训练2--三角函数与解三角形知识模块题号难度系数详细知识点2020110.65由图象确定正（余）弦型函数解析式；20211100.85逆用和、差角的余弦公式化简、求值
；二倍角的余弦公式；数量积的坐标表示；坐标计算向量的模；2022290.85求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；利用正弦函数的对称性求参数；求sinx型三角函数的单调性；1．已知函数()()5πsin
0,21π,8fxxx=+=是()fx的一个极值点，π9x=是与其相邻的一个零点，则（）A．2=B．π3=−C．直线11π18x=是函数()fx的对称轴D．π03f=2．已知函数()22cossinfxxx=−，则（）A．()cos2fxx=B．()
fx的最小正周期为πC．()fx在π0,3上单调递减D．()fx在ππ,36−上单调递增3．已知函数()π2sin24fxx=+，下列结论中正确的有（）A．若()()12f
xfx=，则12xx−是π的整数倍B．函数()fx的图象可由函数()π2sin6gxx=−的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移5π12单位得到C．函数()fx的图象关于点3π,08对称D．函数()yfx=在ππ,48−上单调递增4．
已知()()coscos3sinfxxxx=+，下列结论正确的是（）A．()fx的最小正周期为2πB．把()fx的图象向左平移π6个单位长度，得到的图象关于y轴对称C．若()fx在区间π,6m−上的最大值是32，则m的最小值为π3D．若125π6xx+=，则()(
)121fxfx+=5．已知函数ππ()sincos63fxxx=+−，则以下说法中正确的是（）A．()fx的最小正周期为2πB．()fx的值域为0,1C．π12fx+为奇
函数D．若()fx在区间0,a上单调，则a的最大值为π36．（多选）函数()()sinfxAx=+（0A，0，π2）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数()yfx=的周期是2πB．函数()yfx=的图象
关于直线5π12x=−对称C．函数()yfx=在5ππ,6−−上单调递减D．该函数的图象可由2cosyx=的图象向左平行移动π6个单位长度得到7．关于函数()1sinsinfxxx=+，下列选项正确的有（）A．()fx为偶函数B．()
fx在区间π,π2上单调递增C．()fx的最小值为2D．()fx在区间()π,4π−上有两个零点8．已知函数()sin3cosfxxx=+，则下列结论正确的为（）A．()fx的最小正周期为πB．()fx的图象关于π2x=对称C．()fx的最小值为
1−D．()fx在区间π,π2上单调递增9．已知()()()πcos2,cos,3fxxgxxhx=−=是()fx的导函数（）A．()hx是由()gx图象上的点横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到
的曲线向左平移π12得到的B．()fx是由()gx图象上的点横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6得到的C．()hx的对称中心坐标是ππ,0,Z26kk+D．42yx=−+是()hx的一条切线方程.10．若函数()()2sin
cossin1fxxxx=−−（0）的最小正周期为π，则（）A．π08f−=B．()fx在ππ,42上单调递减C．()2fx=−在5π0,2内有5个零点D．()fx在ππ,44−上的值域为1,2
−多选题专题训练3--空间向量与立体几何1．设m，n为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A．若//m，//n，则//mnB．若m⊥，n⊥，则//mnC．若//m，m，则//D．若m⊥，n⊥，mn⊥，则⊥2．已知正方体1111A
BCDABCD−，则（）A．直线1BC与1DA所成的角为90B．直线1BC与1CA所成的角为90C．直线1BC与平面11BBDD所成的角为45D．直线1BC与平面ABCD所成的角为453．如图，在矩形
AEFC中，AE23=，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（）A．三棱锥−PABC的体积为423B．直线PA与直线BC所成角的
余弦值为36C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为13D．三棱锥−PABC外接球的半径为2224．已知平面平面l=，B，D是l上两点，直线AB且ABlB=，直线CD且CDlD=．下列结论中，错误的有（）A．若ABl⊥，CDl⊥，且A
BCD=，则ABCD是平行四边形B．若M是AB中点，N是CD中点，则MNAC∥C．若⊥，ABl⊥，ACl⊥，则CD在上的射影是BDD．直线AB，CD所成角的大小与二面角l−−的大小相等年份题号难度系数详细知识点20211120.15求空间向量的数量积；空间向
量的坐标表示；20212100.85求异面直线所成的角；证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直；2022190.85求异面直线所成的角；求线面角；20222110.65锥体体积的有关计算；证明线面垂直；20231120.40正棱锥及其有关计算；多面体与球体内切外接问题；2023290.65圆
锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算；二面角的概念及辨析；由二面角大小求线段长度或距离；5．如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，,2FBEDABEDFB==∥，记三棱锥EACD−，FABC−，FACE−的体积分别为123,,VVV，则（）A．322VV=B．31VV=
C．312VVV=+D．3123VV=6．如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P为棱1BB的中点，Q为正方形11BBCC内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()A．若1DQ∥平面1APD，则动点Q的轨迹是一条线段B．存在Q点，使得
1DQ⊥平面1APDC．当且仅当Q点落在棱1CC上某点处时，三棱锥1QAPD−的体积最大D．若162DQ=，那么Q点的轨迹长度为247．如图，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是边长为4的正方形，CGm=
，点M为CG的中点，点P为底面EFGH上的动点，则（）A．当4m=时，存在点P满足8PAPM+=B．当4m=时，存在唯一的点P满足2APM=C．当4m=时，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为22D．当433m=时，满足2APM=的点P轨迹长度为8398．下
图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的AB，AC，BD，CD都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，MNOB⊥，KNOB⊥．记AOB=
，AOC=，BOD=，COD=，则（）A．sinsincos=B．coscoscos=C．sinsincos=D．coscoscoscos=9．三棱锥SABC−中，平面SAB⊥平面ABC，390SABA
BCBAC===，2SAAC==，则（）A．SABC⊥B．三棱锥SABC−的外接球的表面积为83C．点A到平面SBC的距离为36D．二面角SBCA−−的正切值为23310．在正三棱柱111ABCABC-中，11ABA
A==，点P满足1BPBCBB=+，其中0,1，0,1，则（）A．当1=时，1ABP△的周长为定值B．当1=时，三棱锥1PABC−的体积为定值C．当12=时，有且仅有一个点P，使得1APBP⊥D．当12=时，有且仅有一个点P，使得1AB⊥平面1ABP多选题专题训
练4--平面解析几何知识模块题量题号难度系数详细知识点20203100.65二元二次方程表示的曲线与圆的关系；判断方程是否表示椭圆；双曲线定义的理解；20211110.65切线长；直线与圆的位置关系求距离的最值
；20212110.85点与圆的位置关系求参数；判断直线与圆的位置关系；202214110.65根据抛物线方程求焦点或准线；判断直线与抛物线的位置关系；求直线与抛物线相交所得弦的弦长；20222100.65数量积的坐标表示；已知两点求斜率；抛物
线定义的理解；求直线与抛物线的交点坐标；20232100.65抛物线定义的理解；根据焦点或准线写出抛物线的标准方程；求直线与抛物线的交点坐标；与抛物线焦点弦有关的几何性质；1．已知直线2:0laxbyr+−=与圆222:Cxyr+=，点(,)Aab，则下列说法正确的是（）A
．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切2．已知22:60Cxyx+−=，则下述正确的是（）A．圆C的半径3r=B．点()1,22在圆C的内部C．直线:330lxy+
+=与圆C相切D．圆()22:14Cxy++=与圆C相交3．已知实数x，y满足方程224240xyxy+−−+=，则下列说法正确的是（）A．yx的最大值为43B．yx的最小值为0C．22xy+的最大值为51+D．xy＋的最大值为32+4．已知曲线22:1C
mxny+=.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为nC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为myxn=−D．若m=0，n>0，则C是两条直线5．双曲线C的两个焦点为12,FF，以C的实轴为直径的圆记为
D，过1F作D的切线与C交于M，N两点，且123cos5FNF=，则C的离心率为（）A．52B．32C．132D．1726．已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cypxp=焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点(,0)Mp，若||||AFAM=，则（）A．直线AB的斜
率为26B．||||OBOF=C．||4||ABOFD．180OAMOBM+7．过椭圆2212516xy+=的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，1F，2F是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则
下列说法正确的是（）A．2PQF周长的最小值为18B．四边形12PFQF可能为矩形C．若直线PA斜率的取值范围是28,55，则直线PB斜率的取值范围是82,55−−D．1PFPB的最小值为-18．已
知O为坐标原点，点(1,1)A在抛物线2:2(0)Cxpyp=上，过点(0,1)B−的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为1y=−B．直线AB与C相切C．2|OPOQOAD．2||||||BPBQBA9．平面内到两定点
距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy中，(2,0)M−，(2,0)N，动点P满足||||5PMPN=，则下列结论正确的是（）A．点P的横坐标的取值范围
是5,5−B．OP的取值范围是1,3C．PMN面积的最大值为52D．PMPN+的取值范围是25,510．已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，抛物线C上存在n个点1P，2P，L，nP（2n且*Nn）满足1223112nnnPFPPFPP
FPPFPn−=====，则下列结论中正确的是（）A．2n=时，12112PFPF+=B．3n=时，123PFPFPF++的最小值为9C．4n=时，13241114PFPFPFPF+=++D．4n=时，1234PFPFPFPF++
+的最小值为8多选题专题训练5--统计板块年份题号难度系数详细知识点202090.85根据折线统计图解决实际问题；2021190.94平均数、中位数、极差、标准差；2021290.85中位数、平均数、极差、标准差；2023190.65计算几个数的中位数；计算几个数的平均数；计算几个数
据的极差、方差、标准差；20232120.65利用互斥事件的概率公式求概率；独立事件的乘法公式；独立重复试验的概率问题；1．有一组样本数据1x，2x，…，nx，由这组数据得到新样本数据1y，2y，…，ny，其中iiyxc=+(1,2,,),inc=为非零常数，则（）A．两
组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同2．已知离散型随机变量X服从二项分布(),Bnp，其中N,01np，记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有（）A．1ab
+=B．12p=时，ab=C．102p时，a随着n的增大而增大D．112p时，a随着n的增大而减小3．在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科学生视力达标率结果得到下表：甲校理科生甲校文科生乙校理科生乙校文科生达标率60%70%65%75%定义总达标率为
理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中正确的有（）A．乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校B．两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率C．若甲校理科生和文科生达标人
数相同，则甲校总达标率为65%D．甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率4．下列命题中，正确的命题的序号为（）A．已知随机变量X服从二项分布(),Bnp，若()()30,20EXDX==，则23p=B．将一
组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C．设随机变量服从正态分布()0,1N，若(1)Pp=，则1(10)2Pp−=−D．某人在10次射击中，击中目标的次数为(),10,0.8XXB，则当8X=
时概率最大5．某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（）A．频率分布直方图中a的值为0.07B．这100名学生中体重低于60kg的人
数为60C．据此可以估计该校学生体重的第78百分位数约为62D．据此可以估计该校学生体重的平均数约为62.56．已知事件A，B满足()0.5PA=，()0.2PB=，则（）A．若BA，则()0.5PAB=B．若A与B互斥，则()0.7PAB+=C．若A与B相互独立，则()0.9P
AB=D．若()|0.2PBA=，则A与B相互独立7．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数
分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（）A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B．该零件是次品的概率为0.03C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D．如果该零件是次品，那么它不是第
3台车床加工出来的概率为138．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（）A．所有不同分派方案共34种B．若每家企业至少分派1名医生，则所
有不同分派方案共36种C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种D．若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：x1234
5y0.50.811.21.5假设经验回归方程为ˆˆ0.28ybx=+，则（）A．ˆ0.24b=B．当8x=时，y的预测值为2.2C．样本数据y的40%分位数为0.8D．去掉样本点()3,1后，x与y的样本相关系数r
不变10．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,,n，且1()0(1,2,,),1niiiPXipinp=====，定义X的信息熵21()logniiiHXpp==−.（）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着1p的增大而增大C．若1(1,2
,,)ipinn==，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,,m，且21()(1,2,,)jmjPYjppjm+−==+=，则H(X)≤H(Y)命题猜想篇1.简单几何体的表面积和体积
新课标卷中的小题基本上都是关于几何体的表面积体积问题，从不避讳，不怕重复，需要考生特别注意。空间几何体表面积和体积的考查实质要明确空间几何体的结构特征，并能进一步度量和计算长度、表面积、体积等。为此，考前特意为大家准备了这一微专题，希望能唤起大家对相应问题的解决方法。解
答空间几何体表面积与体积问题的基本方法(1)空间几何体表面积的求法①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(2)空间几何体体积问题的常见类型及解题策略①直接利用公式进行求解．②用转换法
、分割法、补形法等方法进行求解．考向1棱柱、棱锥、棱台的表面积Ⅰ、棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和Ⅱ、棱柱表面积：底面积侧面积表面
积SSS+=；其中侧面为平行四边形，底面为多边形Ⅲ、棱锥表面积：底面积侧面积表面积SSS+=，其中侧面为三角形，底面为多边形Ⅳ、棱台的表面积：底面积侧面积表面积SSS+=，其中侧面为梯形，底面为多边形，(
)高下底上底梯形+=SSS211.正多面体统称为柏拉图体．若连接某正方体的相邻面的中心，可以得到一个新的体积为的柏拉图体．则（）A．是正六面体B．正方体的边长为2C．与正方体的表面积之比是D．平面与相交所得截面的面积是【答案】A【解析】对于
A，如图，是各棱长均相等的正八面体，所以A错误；1111ABCDABCD−43ΩΩ1111ABCDABCD−Ω1111ABCDABCD−3611ACCAΩ2Ω对于B，设正方体的边长为a，是正八面体，且是底面是对角线长为的正方形，上下两
个四棱锥的高都为，则的体积为，所以，所以B正确；对于C，正方体的表面积是，的各个侧面的棱长都为等边三角形，所以的表面积是，所以，所以C正确；对于D，如图平面与相交所得截面，分别是的中点，且相等，，四边形是菱形，，其面积为，所以D正确．故选：BCD.2．已知正三棱台的上底面边长为2，下
底面边长为4，高为153，则正三棱台的侧面积1S与底面面积之和2S的大小关系为（）A．12SSB．12SSC．12SS=D．以上都不是【答案】A【解析】由题，正三棱台侧棱2215222333333
l=+−=，正三棱台侧面为等腰梯形，侧面高()2242322h−=−=，()14223922S+==，211234235322S=+=，12SS
故选：A考向2棱柱、棱锥、棱台的体积Ⅰ、柱体的体积公式：V棱柱=Sh．Ⅱ、锥体的体积公式：13VSh=棱锥．1111ABCDABCD−ΩNGMHa2aΩ31114232263aaaa==2a=1111ABCDABCD−62224=Ω2Ω13822
4322=433246=11ACCAΩEQFPPQ、HMNG、EQQFFPPE、、、////EQFPQFPE、EQFP22==EFPQ，12222=Ⅲ、台体的体积公式1()3VhSSSS=++棱台．3．如图，在正方体1111ABCDAB
CD−中，E是11AB的中点，平面ACE将正方体分成体积分别为1V，2V（12VV）的两部分，则12VV=【答案】717【解析】取11BC的中点H，连CH，因为//AC平面1111DCBA，故AC平行于平面ACE与面1111DCBA
的交线，又,EH分别为1111,ABBC的中点，易知11////EHACAC，即平面ACE平面1111ABCDEH=，故平面ACE分正方体为两部分，设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，1111111117()(22)233223EBHABCEBHABCEBHABCVVSSSSBB−==+
+=++=，故1277371783VV==−,故答案为：717.4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增
加的水量约为（）（，棱台体积公式，其中，分别为棱台的上下底的面积，是棱台的高）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积1485m．2140.0km1575m．2180.0km1485m．1575m．72.65()13VhSSSS=++SS
h931.010m931.210m931.410m931.610m157.5148.59MN=−=．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．考向3圆柱、圆锥、圆台的表面积Ⅰ、圆柱的表面积①圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长
l，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长l（也是高），由此可得S圆柱侧=Cl=2πrl．②圆柱的表面积：2222()Srrlrrl=+=+圆柱表．Ⅱ、圆锥的表面积①圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图
是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为l，由此可得它的侧面积是12SClrl==圆锥侧．②圆锥的表面积：S圆锥表2rrl=+．Ⅲ、圆台的表面积①圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开
图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为l，那么这个扇形的面积为()rrl+，即圆台的侧面积为S圆台侧=()rrl+．②圆台的表面积：22()Srrrlrl=+++圆台表．5．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面
圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（）A．384πB．392πC．398πD．404π【答案】AV262140.014010S==kmm262180.018010S==kmm()()661211914010180101401801033VhSSSS=++=++()()679933
3206071096182.65101.437101.410(m)=++=【解析】设圆锥的半径为r，母线长为l，则8r=，由题意知，π2π3rl=，解得：48l=，所以圆锥的侧面积为π848π=38
4πrl=.故选：A.6．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（）A．10B．15C．4D．5【答案】D【
解析】大圆柱表面积为2215π10215π750π+=小圆柱侧面积为102πr，上下底面积为22πr所以加工后物件的表面积为2750π20π2πrr+−，当=5r时表面积最大.故选：D7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆
心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A．5B．22C．10D．5104【答案】C【解析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆锥底面圆半径为2r，则11222SrlrS
rlr===甲乙，所以122rr=，又12222rrll+=，则121rrl+=，所以1221,33rlrl==，所以甲圆锥的高2214593hlll=−=，乙圆锥的高22212293hlll=−=，所以2211222214539310
1122393rhllVVrhll===甲乙.故选：C.考向4圆柱、圆锥、圆台的体积Ⅰ、圆柱的体积公式圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．Ⅱ、圆锥的体积公式圆锥的体积：如果圆锥的底面积
是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．Ⅲ、圆台的体积公式圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是．8．如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为100π，则该圆台的体积为（）
A．175π3B．75πC．238π3D．259π3【答案】D【解析】因为圆台外接球的表面积24π100πSr==，所以球的半径=5r，设圆台的上､下底面圆心分别为21,OO，在上､下底面圆周上分别取点,AB，连接2121,,,,,OOOOOAOB
OAOB，如图，因为圆台上､下底面的半径分别为3和4，所以4OBOA==，123OBOA==，所以22113OOOBOB=−=，22224OOOAOA=−=,所以127OO=，所以圆台体积()1259π9π16π12π733V=++=.故选
：D.13VSh=圆锥213Vrh=圆锥2211()()33VhSSSShrrrr=++=++圆台9．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），已知该扇环的面积为9π，两段圆弧,DEAC所在圆的半径分别为3和6，则该圆台的体积为（）A．142π3B．8
2π3C．102π3D．2π3【答案】A【解析】圆台的侧面展开图是一扇环，设该扇环的圆心角为，则其面积为221127639π222S=−==，解得2π3=，所以扇环的两个圆弧长分别为2π3=2π3和2π
6=4π3，设圆台上下底面的半径分别为12,rr，高为h，所以12π=2πr，解得11r=，24π=2πr，解得22r=，作出圆台的轴截面，如图所示：图中121,2ODrOAr====，633AD=−=，过点D向AP作垂线，垂足为T，则211ATrr=−=，所以圆台的高2223122
hADAT=−=−=，则上底面面积21π1=πS=，22π2=4πS=，由圆台的体积计算公式可得：121211142π()7π22333VSSSSh=++==.故选：A.10．已知正四棱台1111A
BCDABCD−的上､下底面边长分别为1和2，且11BBDD⊥，则该棱台的体积为（）A．722B．726C．76D．72【答案】B【解析】对正四棱台1111ABCDABCD−，连接11,DBDB，取11,
DBDB中点分别为,OH，连接1,OHDH，如下所示：因为1111ABCDABCD−为正四棱台，则四边形1111,ABCDABCD均为正方形，且OH垂直于上下底面，11DDBB=，易知11DB//BH，112DBBH==，故四边形11DBBH为平行四边形，则1BB//1DH，且11B
BDH=，因为11DDBB⊥，则11DDDH⊥，又111DDBBDH==，且122DHDB==，由22211DDDHDH+=，即2122DH=，解得11DH=；由OH⊥面1111ABCD，1DO面1111ABCD，则1OHDO⊥；
则22221122122OHDHDO=−=−=，又正方形1111ABCD的面积为1，正方形ABCD的面积为4，故正四棱台1111ABCDABCD−的体积()12721414326V=++=.故选：B.2
.每年必考的抽象函数抽象函数问题是考查学生数学抽象素养的有效载体，这几年，新高考数学试卷中每年都出现了抽象函数问题，题目常涉及到函数的基本性质(奇偶性、周期性、对称性、单调性等)、函数图像、不等式、复合函数、导函数等基本内容，同时还蕴含着数形结合、函数与方程、化归等数学思想.由于抽象函数
仅仅给出函数某种性质或满足某种关系，学生在解决此类问题时，常常感到束手无策、不知所措.因此，在考前我们有必要把这种抽象函数概括总结清楚。一、近几年抽象函数考情分析年份题号详细知识点类型2020-18函数奇偶性的应用；根据函数的单调性解不等式；函数的
基本性质相互转化2020-28函数奇偶性的应用；根据函数的单调性解不等式；抽象函数与不等式的综合性问题2021-28函数奇偶性的应用；函数的周期性的定义与求解；常规赋值法与图像法2022-112抽象函数的奇偶性；函数对称性的应用；常规赋值法与图像法函数与导函数图象之间
的关系；2023-111函数奇偶性的定义与判断；函数极值点的辨析；抽象函数与导数的综合性问题二、常见函数运算法则可构造特殊函数模型模型1：一次函数模型若𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)+𝑏,则可构造𝑓(𝑥)=𝑘𝑥−𝑏.当𝑓(𝑥+𝑦)
=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)时，可构造𝑓(𝑥)=𝑘𝑥.模型2：二次函数模型若𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)+2𝑎𝑥𝑦−𝑐,则可构造𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐.模型3：指数函数模型若𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)或()()()
fxfxyfy−=,则可构造𝑓(𝑥)=𝑎𝑥(𝑎>0且𝑎≠1）.模型4：对数函数模型若𝑓(𝑥𝑦)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)(𝑥𝑦≠0)或()()()xffxfyy=−则可构造𝑓(𝑥)=log𝑎𝑥(𝑎>0且𝑎≠1）.模型5：余弦函数模型若𝑓(𝑥+𝑦)+𝑓(
𝑥−𝑦)=2𝑓(𝑥)𝑓(𝑦),则可构造𝑓(𝑥)=cos𝜔𝑥.模型6：正切函数模型若𝑓(𝑥±𝑦)=𝑓(𝑥)±𝑓(𝑦)1∓𝑓(𝑥)𝑓(𝑦),则可构造𝑓(𝑥)=ta
n𝜔𝑥.可以看出，如果能够根据抽象函数的运算性质找到函数模型，把抽象函数问题具体化，就能够很容易地破解此类问题.三、解题分析1．已知函数()fx的定义域为R，()2fx+为偶函数，()21fx+为奇函数，则（）A．102f−=B．()10f−=C．()20f
=D．()40f=【答案】B【解析】函数的基本性质相互转化因为函数()2fx+为偶函数，则()()22fxfx+=−，可得()()31fxfx+=−，因为函数()21fx+为奇函数，则()()1221fxfx−=−+，所以，()()11fxfx−=
−+，所以，()()()311fxfxfx+=−+=−，即()()4fxfx=+，故函数()fx是以4为周期的周期函数，因为函数()()21Fxfx=+为奇函数，则()()010Ff==，故()()110ff−=−=，其它三个选项未知.故选：B.2.已知函数()fx的定义域为R，且(
)()()(),(1)1fxyfxyfxfyf++−==，则221()kfk==（）A．3−B．2−C．0D．1【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质因为()()()()fxyfxyfxfy++−=，令1,0xy==可得，()()()2110fff=，所以()02f=，令0x=可得，()()(
)2fyfyfy+−=，即()()fyfy=−，所以函数()fx为偶函数，令1y=得，()()()()()111fxfxfxffx++−==，即有()()()21fxfxfx++=+，从而可知()()21fxfx+=−−，()()1
4fxfx−=−−，故()()24fxfx+=−，即()()6fxfx=+，所以函数()fx的一个周期为6．因为()()()210121fff=−=−=−，()()()321112fff=−=−−=−，()()()4221fff=−==−，()()()5111fff=−==，()()
602ff==，所以一个周期内的()()()1260fff+++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213kfkffff==+++=−−−=−．故选：A．[方法二]：构造特殊函数由()()()()fxyfxyfxfy++−=，联想
到余弦函数和差化积公式()()coscos2coscosxyxyxy++−=，可设()cosfxax=，则由方法一中()()02,11ff==知2,cos1aa==，解得1cos2=，取3=，所以()2co
s3fxx=，则()()()()2cos2cos4coscos333333fxyfxyxyxyxyfxfy++−=++−==，所以()2cos3fxx=符合条件，因此()fx的周期263T==，()()02,11ff
==，且()()()()()21,32,41,51,62fffff=−=−=−==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0ffffff+++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213kfkffff==+++=−−−=−．故选：A．3.
已知函数()fx的定义域为R，()()()22fxyyfxxfy=+，则（）．A．()00f=B．()10f=C．()fx是偶函数D．0x=为()fx的极小值点【答案】ABC【解析】[方法一]：赋值加性质因为22()()()fxyyf
xxfy=+，对于A，令0xy==，(0)0(0)0(0)0fff=+=，故A正确.对于B，令1xy==，(1)1(1)1(1)fff=+，则(1)0f=，故B正确.对于C，令1xy==−，(1)(1)(1)2(1)ffff=−+−=−
，则(1)0f−=，令21,()()(1)()yfxfxxffx=−−=+−=，又函数()fx的定义域为R，所以()fx为偶函数，故C正确，对于D，不妨令()0fx=，显然符合题设条件，此时()fx无极值，故D错误.[方法二]：构造特殊函数因为22()()()fxyyfxxfy=+，
对于A，令0xy==，(0)0(0)0(0)0fff=+=，故A正确.对于B，令1xy==，(1)1(1)1(1)fff=+，则(1)0f=，故B正确.对于C，令1xy==−，(1)(1)(1)2(1)ffff=−+−=−，则(1)
0f−=，令21,()()(1)()yfxfxxffx=−−=+−=，又函数()fx的定义域为R，所以()fx为偶函数，故C正确，对于D，当220xy时，对22()()()fxyyfxxfy=+两边同时除以22xy，得到2222()()()fxyfxfyxyxy=+，故可以设2()ln(0)
fxxxx=，则2ln,0()0,0xxxfxx==，当0x肘，2()lnfxxx=，则()212ln(2ln1)xxxxxfxx=+=+，令()0fx，得120ex−；令()0fx¢>，得12ex−；故()fx在120,e−
上单调递减，在12e,−+上单调递增，因为()fx为偶函数，所以()fx在12,0e−−上单调递增，在12,e−−上单调递减，显然，此时0x=是()fx的极大值，故D错误.故选：ABC.四、考前训练1.（多选）已知𝑓(𝑥)是定义
在𝑅上的不恒为零的函数，对于任意𝑎，𝑏∈𝑅都满足𝑓(𝑎𝑏)=𝑎𝑓(𝑏)+𝑏𝑓(𝑎)，则下述正确的是()A.𝑓(0)=0B.𝑓(1)=1C.𝑓(𝑥)是奇函数D.若𝑓(2)=2，则𝑓(−12)=12【答案】𝐴𝐶𝐷【解析】对𝑎，𝑏取特殊值代入已知表
达式即可求解令𝑎=𝑏=0，则𝑓(0)=0𝑓(0)+0𝑓(0)=0，故A正确;令𝑎=𝑏=1，则𝑓(1)=1𝑓(1)+1𝑓(1)=2𝑓(1)，则𝑓(1)=0，故B错误;令𝑎=𝑏
=−1，则𝑓(1)=−𝑓(−1)−𝑓(−1)=−2𝑓(−1)，所以𝑓(−1)=0，又令𝑎=−1，𝑏=𝑥，则𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)+𝑥𝑓(−1)=−𝑓(𝑥)+0=−𝑓(𝑥
)，所以𝑓(𝑥)是奇函数，故C正确;令𝑎=2，𝑏=−12，则𝑓(−1)=𝑓[2×(−12)]=2𝑓(−12)−12𝑓(2)=2𝑓(−12)−1=0，所以𝑓(−12)=12，故D正确;2.（多
选）已知𝑓(𝑥)是定义域为𝑅的奇函数，且𝑓(𝑥)在区间(0,+∞)内单调递减，𝑓(−3)=0，则()A.𝑓(3)=0B.𝑓(𝑥)在𝑅上单调递减C.𝑓(0)=0D.𝑓(𝑥)≥0的解集为(−∞,−3]∪[0,3]【答案】ACD【解析】因为𝑓(
𝑥)为定义在𝑅上的奇函数，所以𝑓(3)=−𝑓(−3)=0，𝑓(0)=0，𝐴，𝐶项正确；𝑓(𝑥)的图像大致如下图所示，由图得，𝐵项错误，𝐷项正确．3.已知函数𝑓(𝑥)对任意𝑥∈𝑅都有𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥)−𝑓(2)，若𝑦=𝑓(𝑥+1)的图
象关于直线𝑥=−1对称，且对任意的，𝑥1,𝑥2∈[0,2]，当𝑥1≠𝑥2时，都有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥2−𝑥1<0，则下列结论正确的是()A.1𝑓(−3)<1𝑓(4)<1𝑓(112)B.1𝑓(−3)<1𝑓(112)<1𝑓
(4)C.1𝑓(112)<1𝑓(−3)<1𝑓(4)D.1𝑓(4)<1𝑓(112)<1𝑓(−3)【答案】C【解析】因为𝑓(𝑥)是定义在实数集𝑅上的函数，且𝑦=𝑓(𝑥+1)的图象关于直线𝑥=−1对称，则函数𝑦=𝑓(𝑥
)的图象关于𝑥=0对称，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)是偶函数，又对任意𝑥∈𝑅都有𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥)−𝑓(2)，令𝑥=−2，则𝑓(2)=𝑓(−2)−𝑓(2)=𝑓(2)−𝑓(2)=0，所以对任意𝑥∈𝑅都有𝑓(𝑥+4)=𝑓(𝑥)，即得函数𝑦=𝑓(
𝑥)是以4为周期的偶函数，所以𝑓(−3)=𝑓(−3+4)=𝑓(1)，𝑓(4)=𝑓(0)，𝑓(112)=𝑓(112−4)=𝑓(32)，因为对任意的𝑥1，𝑥2∈[0,2]，当𝑥1≠𝑥2时，𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥2−𝑥1<0，𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1
−𝑥2>0，则当𝑥∈[0,2]时，𝑦=𝑓(𝑥)为增函数，因为0<1<32<2，所以𝑓(0)<𝑓(1)<𝑓(32)<𝑓(2)=0，即得𝑓(4)<𝑓(−3)<𝑓(112)<0，所以1𝑓(112)<1𝑓(−3)<1�
�(4)．3.新定义创新问题题型特点2024年九省联考的压轴题目展现了命题的创新性，全面检验了学生的数学学习能力和应用能力，对考生的数学素养提出了较高要求。此次联考对各参与省份的高考命题工作具有显著的指导意义，凸显了创新在高考中的重要地位与亮点。高考命题的创新主
要体现在四个方面：试题题型的创新设计、试题内容的创新呈现、命题理念的更新以及问题解答方法的创新探索。经多重分析，我认为今年数列类出创新题的可能性比较大，这类创新题目通常安排在压轴题的位置，难度较高，对考生的
区分度也十分明显。数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应
用到“旧”性质上，创造性的解决问题.突破策略创新能力的培养对于考生而言是一个长期且持续的过程，无法在短期内一蹴而就。因此，在日常的训练中，我们必须有意识地加强对特定题型的练习。为了助力考生更好地应对创新能力解答题，我们特别挑选了三类题目：新定义
型、知识交汇型和创新型。这些题目旨在帮助不同水平的考生进行有针对性的练习，从而实现在这类解答题上的突破。典例分析1．记集合|nSa=无穷数列na中存在有限项不为零，*nN，对任意naS，设变换()112nnnfaaaxax−=++++，xR．定义运算：若,nna
bS，则nnabS，()()()nnnnfabfafb=．(1)若nnnabm=，用12341234,,,,,,,aaaabbbb表示4m；(2)证明：()()nnnnnna
bcabc=；(3)若()()211,110010,100nnnannn++=+，2031,150020,500nnnbn−=，nnnda
b=，证明：20012d．【解析】（1）因为()()()nnnnfabfafb=()()232312341234aaxaxaxbbxbxbx=++++++()314233241ababababx=+++++，且()231234nfmmmxmxmx=+++
+，所以，由nnnabm=可得33414233241()mxababababx=+++，所以414233241mabababab=+++.（2）因为({}{})({})({})nnnnfabfafb=，所以({})({
})({})({}{})({})nnnnnnfafbfcfabfc==(({}{}){})nnnfabc又因为()()()()()()nnnnnnfafbfcfafbfc=({})({}{})n
nnfafbc=({}({}{}))nnnfabc=所以(({}{}){})({}({}{}))nnnnnnfabfcfabfc=，所以()()nnnnnnabcabc=.（3）对于{},{}nnabS，因为111121212()()nnn
nnnaaxaxbbxbxddxdx−−−++++++++=++++，所以1112111121()()()nnknknnnknknnndxabxaxbxaxbxaxb−−−−−−+−−=+++++，所以1211121nnnknknndababababab−+−−=++
++++，所以11nnnnknkkabdab+−===，220010020010010020020120120120121110111(1)1(1)2kkkkkkkkkkkkkkkdababababkk−
−−−+=====++==+==+，所以10020021121121kkdkk+==+−+，()100100212111112212kkkkkkk+++===+−+10211021210122=−.2．已知数
列na为有穷数列，且*naN，若数列na满足如下两个性质，则称数列na为m的k增数列：①123naaaam++++=；②对于1ijn，使得ijaa的正整数对(),ij有k个.(1)写出所有4的1增数列；(2)当5n
=时，若存在m的6增数列，求m的最小值；(3)若存在100的k增数列，求k的最大值.【解析】（1）由题意得124naaa+++=，且对于14ij，使得ijaa的正整数对(),ij有1个，由于1214++=或134+=，故所
有4的1增数列有数列1，2，1和数列1，3.（2）当5n=时，存在m的6增数列，即14523aaaaam++++=，且对于15ij，使得ijaa的正整数对(),ij有6个，所以数列na的各项中必有不同的项，所以6m
且*Nm.若6m=，满足要求的数列na中有四项为1，一项为2，所以4k，不符合题意，所以6m.若7m=，满足要求的数列na中有三项为1，两项为2，此时数列为1,1,1,2,2，满足要求的正整数对(),ij分别为()()()()()()1,4,2,4
,3,4,1,5,2,5,3,5，符合m的6增数列，所以当5n=时，若存在m的6增数列，m的最小值为7.（3）若数列na中的每一项都相等，则0k=，若0k，所以数列na中存在大于1的项，若首项11a，将1a拆分成1a个1后k变大，所以此时k不是最大值，所以11a=.当2,3,
,in=时，若1iiaa+，交换ia，1ia+的顺序后k变为1k+，所以此时k不是最大值，所以1iiaa+.若10,1iiaa+−，所以12iiaa++，所以将1ia+改为11ia+−，并在数列首位前添加一项1，所以k的值变大，
所以此时k不是最大值，所以10,1iiaa+−.若数列na中存在相邻的两项2ia=，13ia+，设此时na中有x项为2，将1ia+改为2，并在数列首位前添加12ia+−个1后，k的值至少变为1k+，所以此时k不是最大值，所以数列na的各项只能为1或2，所以数列na为1
，1，…，1，2，2，…，2的形式.设其中有x项为1，有y项为2，因为存在100的k增数列，所以2100xy+=，所以()()22100221002251250kxyyyyyy==−=−+=−−+，所以，当且仅当50
x=，25y=时，k取最大值为1250.3．已知实数0q，定义数列na如下：如果2012222,0,1kkinxxxxx=++++，0,1,2,,ik=，则2012knkaxxqxqxq=++
++．(1)求7a和8a（用q表示）；(2)令12nnba−=，证明：211nniiba−==；(3)若12q，证明：对于任意正整数n，存在正整数m，使得1nmnaaa+．【解析】（1）因为27122=++，所以271aqq=++；因为3
82=，所以38aq=；（2）由数列na定义得：112nnnbaq−−==；所以2111nniibqqq−==++++．而21211222nn−−=++++，所以121211nnniiaqqqb−−==++
++=；（3）当12q，由（2）可知，112nnaq−−=无上界，故对任意na，存在ma，使得mnaa．设m是满足mnaa的最小正整数．下面证明1mnaa+．①若1m−是偶数，设2121222,0,1,1,2,,kkimxxxxik−=+++=
，则2121222kkmxxx=++++，于是212111kmkmaxqxqxqa−=++++=+．因为1nmaa−，所以111mmnaaa−=++．②若1m−是奇数，设2221122222llklkmxx++−=+++++++，则()()(
)()12221111111llllmmaaqqqqqqqqqqq+−−=−++++=−++++−+++++．所以111mmnaaa−++．综上所述，对于任意正整数n，存在正整数m，使得1nmnaaa+．4．若有穷数列12,,,naaa（n是正整数），满足1iniaa−+=（
Ni，且)1in，就称该数列为“S数列”.(1)已知数列nb是项数为7的S数列，且1234,,,bbbb成等比数列，132,8bb==，试写出nb的每一项；(2)已知nc是项数为()2
11kk+的S数列，且1221,,,kkkccc+++构成首项为100，公差为4−的等差数列，数列nc的前21k+项和为21kS+，则当k为何值时，21kS+取到最大值？最大值为多少？(3)对于给定的正整数1m，试写
出所有项数不超过2m的S数列，使得21,1,2,2,2m−成为数列中的连续项；当1500m时，试求这些S数列的前2024项和2024S.【解析】（1）设nb的公比为q，则2223128,4bbqqq====，解得2q=，当2q=时
，数列nb为2,4,8,16,8,4,2；当2q=−时，数列nb为2,4,8,16,8,4,2−−−；综上，数列nb为2,4,8,16,8,4,2或2,4,8,16,8,4,2−−−.（2）解法一：因为1221,,,kkkccc+++构成首项为100，
公差为4−的等差数列，所以21121221kkkkkScccccc++++=+++++()122112kkkkcccc++++=++−()()()12100141002kkk+=++−−24196100kk=−++249425
012k=−−+，又*N,1kk，所以当24k=或25k=时，21kS+取得最大值2500.解法二：当该S数列恰为4,8,,96,100,96,,8,4或0,4,8,,96,100,96,,8,4,0时取得最大值，此时24k=或25k=，
所以当24k=或25时，()2149624210025002kS++=+=.（3）依题意，所有可能的“S数列”是：①221221,2,2,,2,2,2,,2,2,1mmm−−−；②221122,,,11,,2,2,2222,,2,,2mmmm−−−−；③1222212,2,,22,1,2,2,
22,,,mmmm−−−−④1222212,2,,22,1,1,2,2,2,2,,mmmm−−−−对于①，当2024m时，202422023202420241212222112S−=++++==−−；当15002023m时，()()21222025
2024122222mmmmS−−−−=+++++++()220252024212121212mmm−−−−=+−−1220252221mmm−−=+−−；对于②，当2024m时，2024202421S=−；当15002023m时，()()211
22202420241222222mmmmmS−−−−−=++++++++()220242024212121212mmm−−−−=+−−122024221mm+−=−−；对于③，当2024m时，1220242024222mmmS−−−+++=()2024
202420242122212mmm−−−==−−；当15002023m时，()()1220242024222122mmmS−−−=+++++++()20242025212122231212mmmm−−−
−=+=+−−−；对于④，当2024m时，1220242024222mmmS−−−+++=()2024202420242122212mmm−−−==−−；当15002023m时，()()12202320242
221122mmmS−−−=++++++++2024202411212212222mmmm−−=−+−−+−=−；5．定义两个n维向量(),1,2,,,,iiiinaxxx=，(),1,2,,,,jjjjnaxxx=的数量积(),1,1,2,2,,
,Nijijijinjnaaxxxxxxij+=+++，2iiiaaa=，记,ikx为ia的第k个分量（kn且+Nk）.如三维向量()12,1,5a=，其中1a的第2分量1,21a=.若由n维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为
元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素ia，ja，满足22ijaaT==（T为常数）且1ijaa=.则称A为T的完美n维向量集.(1)求2的完美3维向量集；(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；(3)若存在A为T的完美n维
向量集，求证：A的所有元素的第k分量和kST=.【解析】（1）由题意知，集合A中含有3个元素ia（1,2,3i=），且每个元素中含有三个分量，因为2221232aaa===，所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0.所以1
(1,1,0)a=，2(1,1,0)a=，3(0,1,1)a=，又1213231aaaaaa===，所以2的完美3维向量集为{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}A=.（2）依题意，完美4维向量集B含有4个元素ib（1,2,3,4i=），且每个元素中含有四个分量，{
0,1,2,3,4}T，（i）当0T=时，{(0,0,0,0)}ib，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；（ii）当1T=时，{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)
}ib，不满足条件③，舍去；（iii）当2T=时，{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}ib，因为(1,1,0,0)(0,0,1,1)0=，故(1,1,0,0)与(0,0,1
,1)至多有一个在B中，同理：(1,0,1,0)与(0,1,0,1)至多有一个在B中，(1,0,0,1)与(0,1,1,0)至多有一个在B中，故集合B中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去；（iv）当3T=时，{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)}ib
，不满足条件③，舍去；（v）当4T=时，{(1,1,1,1)}ib，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；综上所述，不存在完美4维向量集.（3）依题意，T的完美n维向量集C含有n个元素ic（1,2,,in=），且每个元素中含有n个分量，因为2icT=，所以每个元素中有T个分量为1，其余分量为0，所
以12nSSSnT+++=（*），由（2）知，0,1,Tn，故2Tn，假设存在k，使得1kTSn+，不妨设11TSn+.（i）当1Sn=时，如下图，由条件③知，0iS=或1iS=（1i），此时
12(1)212nSSSnnnnnT++++−=−，与（*）矛盾，不合题意.（ii）当11TSn+时，如下图，记1,2,,kkknkSxxx=+++（1,2,,kn=），不妨设1,12,11,11Txxx+===，,10nx=，,2,3,11nnnTxxx+==
=，下面研究1c，2c，3c，L，1Tc+的前1T+个分量中所有含1的个数.一方面，考虑1c，2c，3c，L，1Tc+中任意两个向量的数量积为1，故1,jx，2,jx，L，1,Tjx+（2,3,,1jT=+）中至多有1个1，故1c，2c，
3c，L，1Tc+的前1T+个分量中，所有含1的个数至多有(1)(21)TTT++=+个1（**）.另一方面，考虑11ncc=（1,2,,1iT=+），故1c，2c，3c，L，1Tc+的前1T+个分量中，含有(1)(1)(22)TTT+++
=+个1，与（**）矛盾，不合题意.故对任意kn且Nk+，kST，由（*）可得kST=.6．三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：123123123aaabbbccc=123231312321213132abcabcabcabcabcabc++−−−.
若111222abxzijyxyzk=，则称ab为空间向量a与b的叉乘，其中()111111,,axiyjzkxyz=++R，()222222,,bxiyjzkxyz=++R，,,ijk为单位正交基底.以O为坐标原点，分
别以,,ijk的方向为x轴､y轴､z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知,AB是空间直角坐标系中异于O的不同两点.(1)①若()()0,2,1,1,3,2AB−，求OAOB；②证明：0OAOBOBOA+=.(2)记AOB的面积为AOBS，证明：12AOBSOAOB
=；(3)问：2()OAOB的几何意义表示以AOB为底面､OAOB为高的三棱锥体积的多少倍？【解析】（1）①解：因为()()0,2,1,1,3,2AB−，则()0214020321,1,2132ijkOAOBijkiijk==−++−−=−+
=−−.②证明：设()()111222,,,,,AxyzBxyz，则121212212121OAOByzizxjxykxykzxjyzi=++−−−()122112211221,,yzyzzxzxxyxy=−−−，2x2x与1x互换，2y与1y互换，2z与1
z互换，可得()211221122112,,OBOAyzyzzxzxxyxy=−−−，故()0,0,00OAOBOBOA+==.（2）证明：因为2222()sin1cos1||OAOBAOBAOBOAOB=−=−222||||()||||OAOBOAOBOAOB−=.故2221
1sin||()22AOBSOAOBAOBOAOBOAOB==−，故要证12AOBSOAOB=，只需证222||()OAOBOAOBOAOB=−，即证2222||||()OAOBOAOBOAOB=−.由（1）()()111222,,,,,OAxyz
OBxyz==，()122112211221,,OAOByzyzzxzxxyxy=−−−故()()()2222122112211221||OAOByzyzzxzxxyxy=−+−+−，又22222222111
222|,|OAxyzOBxyz=++=++，()22121212()OAOBxxyyzz=++则2222||||()OAOBOAOBOAOB=−成立，故12AOBSOAOB=.（3）由（2）12AOBSOAOB=，得22()||OAOBOAOB=
1222AOBOAOBOAOBSOAOB==，故21()63AOBOAOBSOAOB=，故2()OAOB的几何意义表示：以AOB为底面､OAOB为高的三棱锥体积的6倍.考前技巧篇1.
2024年高考数学考前冲剌备忘录为了帮助同学们回忆和巩固基础知识，老师通过对近几年高考考点的梳理，提出以下99问，希望对同学们根据问题，回顾相关基础知识，以防遗漏。1.集合的表示方法有三种：列举法、描述法和图示法.你能正确地表示集合吗?2.集合的元素具有确定性、无序性和互
异性.求解集合问题时，你会抓住集合的元素进行分析吗?3.对于含有n个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2212122nnnn,,,−−−.4.数轴、坐标系和韦恩图是进行集合运算的有力工具.求解集合问题时，你能正确地运用这些工具吗?5.充分条件、必
要条件和充要条件的概念你记住了吗？你会正确地进行判断吗？会从集合的角度来理解它们吗?6.什么是全称量词命题?什么是存在量词命题?你会正确地对这两类命题进行否定吗?7.不等式有哪些基本性质?你能正确地应用不等式的意义和基本性质进行大小比较吗？8.—元二次函数的图象、元二次方程的根和一元二次
不等式的解集之间存在着怎样的关系?9.基本不等式指的是哪几个不等式?它们有哪些应用?应用时要注意什么问题?10.利用重要不等式求函数的最值时，你会全面考虑“一正，二定，三相等”的条件是否具备吗?11.不等式
恒成立问题有哪几种处理方法?12.求解关于二元函数的条件最值问题的某本思想是什么？你能运用不等式的知识解决这类问题吗?13.两个函数是同一函数的条件是什么?14.研究函数问题必须遵循定义域优先的原则.15.关于函数的奇偶性，有如下结论：(1)若()fx是奇函
数，且()0f有意义，则()00f=;(2)若()fx是偶函数，则()()()fxfxfx−==.16.函数的单调性在解题中有广泛的应用，如比较大小、求函数的值域和最值、求参数的取值范围等.17.函数周期性的定义是什么?运用这一定义能
解决哪些相关问题?18.关于函数图象的对称性有哪些重要结论?19.求二次函数在给定区间上的值域或最值的方法是什么?要注意哪些问题?20.你还记得分段函数吗？分段函数有哪些问题？你会解吗？21.在运用对数的运算法则进行对数式的恒等变形时，若底数不
同怎么办?22.指数式与对数式之间存在着怎样的关系?23.在求解有关底数中含有参数的指数函数或对数函数问题时，你会根据底数的不同范围进行分类讨论吗?24.指数式、对数式比较大小的基本方法有哪些？你能熟悉运用吗？25.幂函数ayx=在第一象限内的图象有何特征?26.什么是函数的
零点?函数的零点有什么性质?你能正确地运用函数零点的性质解决有关方程的根的分布问题吗?27.用二分法求方程的近似解的基本思想是什么?你会用二分法求方程的近似解吗?28.你熟悉三角函数的定义吗？你能根据已知sin、tan、cos中的一个，快速求出另外两个吗？29.你能熟练地运用诱
导公式、同角三角函数基本关系式求解三角函数的相关问题吗?30.求解有关三角函数的值域和最值问题时，你能正确地运用正、余弦函数的相界性吗?31.你能迅速地画出正弦、余弦和正切函数的草图吗?你能由这些图象分别得到函数()sinyA
x=+,()cosyAx=+和()tanyAx=+(其中0,0A)的图象吗?32.你能正确地写出函数()sinyAx=+(其中0,0A)的单调区间，对称中心的坐标，对称轴方程及其取得最值时的x值的集合吗?33.你会根据函数()sinyAx=+(其中0,0A
)的图像确定参数,,A的值吗？34.函数()sinyAx=+,()cosyAx=+为奇函数、偶函数的条件分别是什么?你能将形如sincosyaxbx=+的函数式化为一个角的三角函数形式吗?记得老师为什么一直强调前c
os后sin吗？35.形如()sinyAx=+,()cosyAx=+和()tanyAx=+(其中0,0A)的函数的最小正周期分别是什么？有关周期函数的重要结论有哪些？求三角函数最小正周期的常
用方法是什么?36.你对三角恒等变换中的基本规则还知道多少?解决三角函数的相关问题时，你会抓住角的特征灵活地运用变角法处理吗?37.和差公式可以正用，逆用、变用，求解三角函数的相关问题时，你会正确运用吗?38.你发现没有，诱导公式、二倍角公式实际
上都是和差公式的特殊情况？三角公式那么多，其实找到本质根本不需要记那么多。39.已知三角函数值求角时，你记得判定角的范围吗?40.正弦定理、余弦定理的内容是什么?你能灵活地运用它们解斜三角形吗?什么情况下需要对解的个数进行讨
论?41.关于三角形中的三角函数，有哪些重要结论?研究三角形中的三角函数问题时，怎样应用正、余弦定理进行边角关系的互化？42.你还记得如何用作图法向量的线性运算问题吗？43.单位向量，平行向量，相等向量，相反向量以及直线的方向向量等概念你清楚吗?直线
的方向向量和直线的斜率有什么关系?你会求与已知向量共线的单位向量吗?44.两向量的夹角是怎样定义的?它的取值范围是什么？怎样求两向量的夹角？两向量的夹角为钝角的充要条件是什么?45.向量共线的充要条件是什么?向量垂直的充要条件是什么？你会用向量法证明垂直、平行和
共线以及判断三角形的形状吗?46.关于平面向量，有许多重要结论，例如：(1)ababab−+;(2)向量PA,PB,PC中三终点A,B,C共线存在实数,，使得PAPBPC=+且1+=……这些结论在解题中十分有用，
你还知道多少？你会运用这些结论吗?47.数列na的前n项和nS,与通项na之间具有怎样的关系?运用这一关系求数列的通项时要注意什么?48.判断一个数列是等差数列或等比数列的依据是什么?判断时要特别注意什么问题?49.求等差数列na的前n项和n
S的最大值的常用方法有哪些?你能灵活运用吗？50.运用等比数列na的前n项和公式求和时要注意什么?51.等差数列和等比数列有许多重要性质，你还记得了多少？会用吗?52.特殊数列求和有哪些方法?具有怎样的特征的数列可用错位相减法求其前n项的和?53.复数为实数，虚数，纯虚数的充要条件分别是什么
?54.两个复数相等的充要条件是什么？它在解决复数问题时可以发挥怎样的作用？55.复数的模与共轭复数有哪些性质？你会运用这些性质解决复数的相关问题吗?56.在进行复数的运算时，你会运用虚数单位的幂的周期性吗?57.复数及其运算的几何意义是什么?你
会运用它们来解决复数的相关问题吗?58.导数是怎样定义的?它的几何意义和物理意义分别是什么?59.怎样利用导数求曲线的切线?解题时要注意什么问题?60.()000fxf(x)xx==是在处取得极值的什么条件?极值和最值有什么联系和区别?怎样运用导数求函数的极值和最值?61.怎样
利用导数研究函数的单调性?已知函数的单调性确定参数的取值范围时，要注意些什么?62.平均数、众数、中位数、百位数的概念你还分清吗？63.什么是抽样方法?常用的抽样方法有哪些?你能根据实际情况进行合理选择吗?64.期望，方差和标准差的概念，公式和性质你还清楚吗?你能正确地进行计算吗?65.
频率与频数之间有什么关系？你会画频率分布直方图吗？你能根据样本的频率分布直方图对总体作出估计吗？66.样本的期望值、方差和标准差分别反映了样本数据的什么特征?你能根据样本的期望值、方差和标准差对总体的情况进行估计吗?67.什么是随机事件的概率？它的取值区间是什么？概率和频率的联系与区别你清楚吗?
68.什么是古典概型？古其概型的主要特征是什么？你会求古典概型中事件的概率吗?69.什么是几何概型?几何概型与古典概型之间有什么联系和区别？求解几何概型问题的基本步骤是什么？70.什么是互斥事件？你会求互斥事件的概率吗？71.什么是对立事件?你会灵活地
运用对立事件的概率公式求解些复杂的概率问题吗？72.什么是条件概率？你知道怎么利用全概率公式、贝叶斯公式吗？73.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的概念你熟悉吗？什么时候用？分组分配问题那么重要，你搞清楚了吗？74.排列、组
合的定义是什么？排列数、组合数的运算公式还记得吗？75.二项式定理是什么？还记得二项式展开式中项系数的特别的求法吗？还记得利用赋值法求二项式展开式的系数之和问题吗？76.棱柱、棱锥，棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念你还清楚吗?77.你能画出常见的多面体或旋转体的侧面展开图吗?你能由几何
体的侧面展开图想象出与之对应的几何体的直观图吗?78.柱、锥、台、球的表面积和体积公式你还记得多少?你能熟练地运用它们进行相应的计算吗?台体表面积和体积你记得了吗？这个可能是热点哦。79.平面有哪些基本性质?这些基本性质有哪些应用?80.空间中两条直线有哪几种位置关系?你能正
确地进行判断吗?81.立体几何中，平行关系可以进行以下转化：直线//直线⇔直线//平面⇔平面//平面之间的转化，这些转化各自的依据是什么?82.立体几何中，垂直关系可以进行以下转化：直线⊥直线⇔直线⊥平面⇔平面⊥平面之间的转化，这些转化各自的依据
是什么?83.空间的三种角(异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角及其平面角)的概念你清楚吗?它们的取值范围分别是什么”你熟悉用哪种方法来求呢？84.空间中的距离（点到面，线到面，面到面的距离），你会求吗？
有哪些方法？85.立体几何中，解答题的解题过程通常分为：“作”、“证”、“算”、“答”四个部分，你是否经常忽略“证”这一重要环节?86.什么是直线的斜率?直线的斜率与倾斜角有什么关系”你会求直线的斜率吗?87.在用
点斜式，斜截式求直线的方程时，你是否注意到直线的斜率不存在的情形？88.对于不重合的两条直线12l,l,它们互相平行的充要条件是什么?垂直呢?89.点到直线的距离和两条平行直线间的距离你会求吗?90.方程22
0AxBxyCyDxEyF+++++=表示圆的充要条件是什么”你会求圆的方程吗?91.点和圆的位置关系怎么判断？当点在圆上、圆外时，怎么求过该点的切线的方程?当点在圆外时，切线长及切点弦所在直线的方程如何求？92
.直线和圆有哪几种位置关系?如何判定?当直线和圆相交时，怎样求弦长?93.圆锥曲线的定义，你熟记了吗?94.求椭圆、双曲线，抛物线的标准方程时，要先定位，再定量。95.离心率的大小与圆锥曲线的形状有何关系?椭圆和双曲线的离心率的取值范围分别是什么?96.双曲线的渐近线方程是什么?如
何求？焦点到渐近线的距离是多少？97.椭圆和双曲线的通径公式、焦半径公式、焦三角面积公式，还记得多少？98.抛物焦点弦的性质那么多，你记得了几个？99.直线与圆锥曲线的位置关系问题，你记得基本的研究方法吗？2.高考数学核心考点解题方法与策略一、历年高考数学试卷的启发1.试卷
上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向；2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。当然，我们也要考虑结论的独立性；3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键。二、解题策略选择1.先易后
难是所有科目应该遵循的原则，而表现在数学试卷上显得更为重要。一般来说，选择题的后两题和填空题的后一题是比较男的题目，22和23是二选一的题目，相对比较容易，解答题的20和21题是难题（一般是入口容易，拿高分难，所以也不能完全放弃，应该是争取多拿分）
。当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，有的难题却可能是自己的容易题。所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考1-2分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答。2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选
择项也是已知条件，利用选择项之间的关系可能使你的答案更准确。要十分重视第一印象.心理学表明，考生在接触试题时大脑皮层处于高度兴奋状态，对新事物的反应灵敏，容易迅速做出决定.经验表明，第一感觉的正确率在80％以上.因此，不要轻易改动第一次做出的选择.在检查的时候，同学们
不要按照第一次答题的角度去考虑，应该从另外一个角度去思考，没有充分、足够的理由不要推翻第一次的选择.切记不要“小题大做”。注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答
题卷上。多写不会扣分，写了就可能得分。（1）直接法直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接所给出的选项“
对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．由于填空题和选择题相比，缺少选择项的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择
、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运算过程，快速准确得到结果.直接法具体操作起来就是要熟悉试题所要考查的知识点，从而能快速找到相应的定理、性质、公式等进行求解，比如，数列试题，很明显能看到是等差数列还是等比数列或
是两者的综合，如果是等差数列或等比数列，那就快速将等差数列或等比数列的定义、性质（若，则或）、通项公式（或）、前n项和公式（等差数列、，等比数列）等搬出来看是否适用；如果不能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件
进行化简或转化了，也可快速进入状态.（2）排除法排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的
结论。具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除。比如，可以把一些简单的数代入，符合条件的话就排除不含这个数的范围选项，不符合条件的话就排除含这个数的范围选项，即：如果有两个选项A（）、B（），你就可以选取1这个数看是否符合题意，如果1符合题意，你就
排除B，如果1不符合题意，你就排除A，这样就能快速找到正确选项，当然，选取数据时要考虑选项的特征，而不能选取所有选项都含有或都不含有的数；也可以根据各个选项对熟悉的知识点进行论证再排除，比如，四个选项当中有四个知识点，你就可以把熟悉掌
握的知识点进行论证，看是否符合题意即可快速而且正确找到选项，而不会因为某个知识点不会或模棱两可得到错误选项。而历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解决部分高考选择试题从而
节省时间的有效方法。那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你已经求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除.所以，我们要熟练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而
提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足的时间！（3）特例法特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，收到事半功倍的效果。特例法也就是我们常说的特殊值验证法，有时也用特殊数值、特殊图形、特殊位置代替题设中普遍条件
，得出特殊结论，再对各选项进行检验，从而做出正确的选择。特别是对于一些比较棘手的高考选择题或填空题，若能注意到其特殊情况，从特殊性入手，也许就可以简捷快速地解决问题。常用的特例有特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角
、特殊位置等。特例法是解答选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的mnpq+=+mnpqaaaa+=+mnpqaaaa=1(1)naand=+−11nnaaq−=1(1)2nnndSna−=+1()2nnaanS+=1(1)1nnaqSq−=−1a
1a一般情况必须满足我们取值的特殊情况，从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论。比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比数列的情形；某个三角形，可以考虑直角三角形或等边三角形；椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点等，但考虑的前提是一定要满足这
种情况适合题中所有条件。特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但使用时一定要注意：（1）取特例尽可能简单，有利于计算和推理；（2）若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，
或改用其他方法求解；（3）当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解答本类选择、
填空题的最佳策略。近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右，所以要想快速准确地赢得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！（4）估算法估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算，是一种快速解决数学问题的方法，也是一种高效率得出正确结论的捷径。对于高考数学某
些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别又是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的
估计，便能作出正确的判断，这就是估算法。当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次，所以我们要学会灵活运用。而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某
个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论.（5）数形结合法数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数
”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过程复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图象或者构造适当的几何
图形，再利用图示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征进行直观分析，从而得出结论.比如：①在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。②借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征
紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。③处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。④有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般
借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。⑤线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。（一定要严格按我的方法做）⑥数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整
数n的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。⑦解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。⑧立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的
性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算。著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽
象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所以，我们一定要学好并应用好数形结合的方法。三、解题思想方法1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”；2.如果在方程或是不等式中出现
超越式，优先选择数形结合的思想方法；3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；4.选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法；5.求参数的取值范
围时，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的
最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择根与系数的关系公式法；使用根与系数的关系时必须先考虑是否为二次方程及根的判别
式；8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系
等式即可；10.求三角函数的周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；11.数列的题目与和有关，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特
殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；12.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的
计算注意系数，而三角形面积的计算注意系数；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；13.导数的常规题目一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或者前一问中找到突破口
，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；14.概率与统计的解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；15.遇到复杂的式子可以用换
元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，若式子为勾股定理型的，可使用三角换元来完成；16.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范围或是
不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；17.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先考虑使用定义；18.与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；19.关于中心对称问题
，只需使用中点坐标公式即可，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。四、每分必争1.答题时间共120分钟，而你要答分数为150分的考卷，算一算就知道，每分钟应该解答1分多的题目，所以每1分钟的时间都是重要的。试卷发到手中首先完成必要的检查（是否有印刷不清
楚的地方）与填涂，之后剩下的时间就马上看试卷中可能使用到的公式，做到心中有数。用心计算简单的题目，必要时动一动笔也不是不行（你是写名字或是写一个字母没有人去区分）。2.在分数上也是每分必争。你得到89分与得到90分，虽然只差1分，但是有本质的不同，一个是不合格一个是合格。高考中，
你得509分与得510分，虽然只差1分，但是它决定你是否可以上一本线，关系到你的一生。所以，在答卷的时候要精益求精。对选择题的每一个选项进行评估，看与你选的相似的那个是不是更准确？多选题不要当“单选题”做，至少选两个选项
。填空题的范围书写是不是集合形式，是不是少或多了一个端点？是不是有一个解应该舍去而没舍？1312解答题的步骤是不是按照公式、代数、结果的格式完成的，应用题是不是设、列、画（线性归化）、解、答？根据已知条件你还能联想到什么？把它写在考卷上，也许它就是你需要的关键的1分，为什么
不去做呢？3.答题的时间紧张是所有同学的感觉，想让它变成宽松的方法只有一个，那就是学会放弃，准确地判断把该放弃的放弃，就为你多得1分提供了前提。4.冷静一下，表面是耽误了时间，其实是为自己赢得了机会，可能创造出奇迹。在头脑混乱的时候，不妨停下来，喝口水，深吸一口气，再慢慢呼出，就在呼出的同
时，你就会得到灵感。5.题目分析受挫，很可能是一个重要的已知条件被你忽略，所以重新读题，仔细读题才能有所发现，不能停留在某一固定的思维层面不变。联想你做过的类似的题目的解题方法，把不熟悉的转化为你熟悉的也许就是成功。6.高考只是人生的重要考试之一
，其实人生是由每一分钟组成的。把握好人生的每一分钟才能真正把握人生。高考就是平常的模拟考试罢了，其实真正的高考是在你生活的每一分钟里。3.高考数学临场解题策略高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔，这就使得临场发挥显得尤为重要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练和心理辅导，已成为高考
数学的重要内容之一，正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防各种心理障碍造成的不合理丢分和计算失误及笔误，而且能运用科学的检索方法，建立神经联系，挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩。一、调整大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于
“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而稳定情绪、增强信心，减轻压力、轻装上阵，使思
维单一化、数学化，以平稳自信、积极主动的心态准备应考。二、“内紧外松”，集中注意力，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒
愉快，放得开，这叫外松。三、沉着应战，确保旗开得胜，以振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有
一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。四、“六先六后”，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之
后便是发挥临场解题能力的黄金时间了。这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。1.先易后难。即先做简单题，再做综合题。应根据自己的实际情况，果断跳过“啃”不动的题目，从易到难，也要
注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。2.先熟后生。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定。对全卷整
体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较透彻、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中、高档题目的目的。3.先同后异。即先做同科同类
型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。高考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力。4
.先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在解答大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基础。5.先点后面。近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走
一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面。6.先高后低。即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分
”，以增加在时间不足前提下的得分。五、一“慢”一“快”，相得益彰有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。应该说，审题要
慢，解答要快。审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。而思路一旦形成，则可尽量快速完成。六、确保运算准确，立足一次成功数学高考需要在120分钟时间内完成
22道题，时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算(关键步骤，力求准确，宁慢勿快)，立足一次成功。解题速度是建立在解题准确度基础上的，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答。所以，在以快为上的
前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也毫无意义。七、讲求规范书写，力争既对又全考试的又一个特点是以卷面为唯一依据。这就要求不但会而且要对，对
且全，全而规范。会而不对，令人惋惜;对而不全，得分不高;表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷非智力因素失分的一大方面。因为字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬、“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环
效应”。“书写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理。八、面对难题，讲究策略，争取得分会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分，下面有两种常用方法：1.缺步解答。对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步
骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等，都能得分。还有像完成数学归纳法的第一步
，分类讨论，反证法的简单情形等，都能得分。而且可望在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，获得解题成功。2.跳步解答。当解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结
论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找其他途径;如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节。若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底;另外，若题目有两问，第一问做不上，可
以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答。也许后来由于解题的正迁移对中间步骤想起来了，或在时间允许的情况下，经努力而攻下了中间难点，可在相应题尾补上。九、考前寄语①难易分明，决不耗时；②慎于审题，决不懊悔；③必求规范，决不失分；④细心运算，决不犯错；⑤提防陷阱，决不上当；⑥愿慢求对，决不快错
；⑦遇新不慌，决不急躁；⑧奋力拼杀，决不落伍.4.新高考数学多项选择题的解题策略与技巧新高考改革取消文理科，对统考科目设新要求。2020年山东、海南采用新课程标准，依据《新课标考试纲要》命制试题。2022年，广西也开始实行新高考改革，2024年是新高考改革的第一
年高考，试题中多出多选题题型，考查容量大、知识面宽，解题思路广，数学思想丰富。本文通过对近年高考多项选择题进行研究，把握多选题命题特点，对多项选择题的解题方法进行了反思，掌握解答技巧。一、多选题的考查性质和特点多选题作为新高考改革中的一种重要题型，充分体现了对“四基”“四能”及核
心素养的考查。这种题型主要侧重于学生的基础知识和基本技能的测试，通过合适的试题情境和相应的题目背景，能够实现对同一情境下多个结论的判断和选择。多选题并不是简单地将知识点拼凑在一起进行考查，而是更加注重考查学生在知识储备和技能掌握方面的综合运用能力
。其主要特点表现为：题目设计灵活多样，能够有效地测试学生的思维能力、分析能力、判断能力和综合运用知识的能力；同时，多选题还能够引导学生更加注重知识之间的联系和贯通，从而提高学生的综合素质和未来发展潜力。（1）无需解题过程多选题与单选题类似，都要求
学生从提供的选项中选择正确答案。不同之处在于，多选题需要学生选择多个正确答案，而不是仅选择一个。同样，多选题也不需要学生具体书写解题过程，只要选择出正确的答案，就能得到相应的分数。（2）分值灵活新高考的选择题由8个单选题和4个多选题组成，每
题5分，共计60分。在多选题中，考生需全选对才能获得5分的满分，若只选对部分答案，只获得2分的得分，而如果考生有选错或未选的选项，该题将被判为0分。今年九省联考多选题的付分方式也有所改变，多选题为3题，每题6分，共计18分；
考生全选对获得6分的满分，如果正确选项是两个的话，选一个正确的3分，全对，得6分；如果正确选项是3个的话，选一个正确的2分，选两个且正确的4分。（3）考查知识内容多样化新高考中的多选题涉及多个知识点，需要考生具备较为全面的数学素养。在解答多选题时，学生需要排除并验证每个选项的正确
性，这不仅增加了对知识点的考查，同时对考生的能力也提出了更高的要求，从而提高了试题的难度。（4）考查策略需选择多选题允许学生利用已选答案作为已知条件进行推断，从而减少对每个选项的重复计算。这种解题思路的多样性和灵活性
可以节省学生的时间，提高解题效率。（5）考查创新思维多选题鼓励学生运用创新思维和创造性解决问题的能力，题目可以是新的，也可以是旧的，但是解决问题的方法和思路需要有创新性。多个选项的数学问题可以涵盖多种不同的数学思想方法，这对学生的思维方式与能力提升均有显著的助益。（6）能更好地区分学生的能力层次
多选题不仅测试学生对数学知识的掌握程度，同时亦对其综合素质进行考察，这些素质包括时间管控、心理素质以及应变能力等。多选题采用的多级得分模式对提高低水平学生的得分具有积极作用，同时也有助于区分出高水平的考生。因此，这种方法能够更为精准地评估不
同能力层次的考生，从而有助于选拔优秀人才。二、数学多选题的基本类型数学多项选择题的设计方案，根据其选择支的差异化特性，可以大致划分以下六种基本类型：1.条件缺失型：此类题目是一种常见的数学问题类型，其特点是在生成干扰
选项时会故意省略某些易于遗漏的条件。这种题型旨在测试学生的细心程度和考虑问题的全面性。在解决这类问题时，学生需要仔细审题，并尽可能将所有已知条件和限定条件都考虑到。否则，如果忽略了某个重要条件，就可能会得出错误的答案。因此，在面对条件缺失型题目时，学生需要保持高度
警觉，并对每个条件进行认真分析和推理。2.实际背景忽视型：这种类型题目是一种非常具有挑战性的题目类型，它通过仔细地模拟学生在计算过程中可能出现的错误和失误，构造出具有较强迷惑性的干扰选项。这种类型的题目在提升试题的针对性和区
分度方面具有显著的效果，因为它能够有效地测试学生对于基本计算技能的掌握程度，同时也能检测学生对于题目背后实际应用背景的理解程度。在模拟这种题目时，需要注意细节和精度，确保干扰选项的构造符合实际情况，并具有一定的迷惑性。这样才能使题目更加具有挑战性和区分度，从而有效地测试学生的实际水平
。3.概念混淆型：此题型是一种常见的数学测试题型，旨在考查学生对于数学相关概念、性质的理解和掌握程度。这种类型的题目通常会设计一些干扰选项，以混淆学生的判断，让学生在进行选择时容易产生困惑和犹豫。在设计概念混淆型题目时，出题者通常会选择一些学生容易混淆的概念或者性质作为考点，例如
相似三角形和全等三角形、函数和方程等等。4.题意误解型：这种题目是一种常见的干扰选项，通常是由于考生在考试过程中读题不严谨、审题不细致，导致对题目要求和意图产生误解，从而得出了错误的结论而设计的。这种干扰选项通常会利用考生对题目中某些关键词汇或细节的理解不足，或者利用考生对
题目背景和知识点的掌握不全面等漏洞进行设计。5.推理错误型：这种类型题目是一种常见的逻辑推理题目，其特点在于题目中给出了不完整或不合逻辑的推理过程，而干扰选项则通常是由这个不正确的推理过程所产生的不正确结果。在解决这类题目时，需要考生认真阅读题目，
理解推理过程，并从中找出推理错误，从而排除干扰选项，找到正确答案。常见的推理错误包括：偷换概念、前提不足、因果倒置、非黑即白等。6.思维定势型：这种类型题目是一种较为常见的题目类型，通常会以某种形式隐藏在看似熟悉的条件和相似的形式中。这些题目通常会利用人们习惯性的思维方
式，通过巧妙地伪装和误导性的信息，来引发错误的类比和联想。在这种类型题目中，干扰选项往往是设计来诱使答题者陷入思维定势，从而忽略题目中的关键细节或隐含条件。对于这种题目，关键是要保持清醒的头脑，仔细阅读题目并审慎分析，以便突破思
维定势的束缚，找到正确的答案。三、多选题解题方法与技巧多选题通常要求考生从四个选项中选择两个或以上正确答案，但所有选项都正确的极少出现。这类题目考查知识面广，要求考生对数学基础有深刻理解并全面掌握。考生面对多选题需熟悉并掌握几种解题策略，因为从四个选项中选一个答案转变为选多个答
案，更具挑战性。2.1求解对照法（直接法）这种方法为同学们所熟知，解题时，首先要完整读取题目信息，既需阅读题干，亦需阅读四个选项。对关键的字眼应予以仔细辨识，以免出现误解或遗漏，从而造成不必要的失分。在理解题目条件的基础上，应迅速联想到相关的概念、公式、定理以及常见的思想方法。同时
，还需找出题目中的隐含条件，深入理解题目的真实含义。由于高考的题量较大，若所有选择题均采用直接求解对照法（即直接法）进行解答，时间上将无法充分保障，甚至有些题目在短时间内可能无法得以妥善解决。因此，我们需要掌握并运用其他的方法进行解题。2.2特值检验法根据题干或选项的要求，为变量赋予特定值，是帮
助选择正确答案的有力手段。此外，这种方法亦可用来识别错误答案。特别是针对多选题，答案往往含有多个正确选项，此时考生可通过预先设定特殊值，将其代入选项中进行检验。若某些选项与预设值不符，则可直接排除，从而缩小了答题的范围，有效节约了解题时间。2.3逆推代入法将选项中给出的答案，代入题干逐
一去验证是否满足题设条件，用时注意，考虑全面，避免遗漏。如求取值范围的问题可用这种方法，不但能节省繁杂的计算过程，而且可争取到更多的考试时间。2.4排除法排除法指的是可以通过排除错误选项，节省推导和计算时间.在多项选择题中，尤其是当你确定其中两个选项为错误时，则另外两个肯定
是正确选项（至少存在两个正确选项）。经过对近年高考试题进行深入分析和研究，我们发现一个较为显著的模式：在四道多选题中，至少有两道的正确选项数量仅为两个。2.5逻辑分析法逻辑解析法：该方法通过剖析四个选项之间的逻辑联系，以否定
错误选项，从而挑选出正确选项。举个例子，在多选题中，如存在两对内容互相对立的选项，我们应从两对对立选项中各自挑选一个选项作为正确答案。比如在ABCD四个待选答案中，AB和CD两组选项互相对立。此时，我们应从AB和CD两组中各选择
一个答案。另外，如果存在两对内容相近或相似的选项，且这两对选项内容对立，那么其中一对相近或相似的选项应该是正确答案。比如在ABCD四个待选答案中，AB和CD的内容相近且对立。如果判断A项正确，则AB两组都正确；如果判断C项正确，则CD两组都正确。2.6宁缺毋滥法也称为“逃避策略”，源于中国古
代兵法的三十六计“走为上”，是在有充分把握时的首选策略。有把握的选项应当被毫不犹豫地选择；而对于没有把握的选项，应坚决地放弃。猜对的概率最高仅为50%，若不幸猜错，本题将被判定为0分。在面对多项选择题时，应明确强烈的审慎原则，首先选出
2个最有信心的选项，只有在确信还有其他正确选项时，才能继续筛选。否则，拒绝选择，以防止错误答案的出现。这样，才能保障基本得分。因此，在处理选项时，我们应坚持宁缺毋滥，这与单项选择题的处理方式存在显著差异。总之，新高考中数学多项选择题的引入与设置，为数学知识的教学与考查提供了更多的平台，同时也为
不同水平的学生提供了更多得分的机会，更加准确地评估和区分了学生不同层次的数学基础和能力水平。此外，不同类型的数学多项选择题和相应的解题策略也相继出现，这些策略在应用时并不是孤立的，而是相互交织和融合的。因此，学生在
解题时需要综合考虑，并巧妙地运用这些策略。教师在教学过程中应着重巩固基础，注重概念讲解，平日教学中要灌输学生数形结合、分类讨论等解题方法。5.高考数学阅卷和答题卡确注意事项一、扫描1.如果不使用规定的2B铅笔，可能识别被误判为“空选”，造成失
分。2.答题要规范，否则若无法辨认，容易误判或不给分。3.作图未使用规定铅笔，或下笔太轻，会造成扫描看不清楚，请慎重。4.语言表述需简明扼要，勿超出答题区域。二、阅卷1.主观题和客观题一般客观题为选择题，由电脑自动阅卷完成；主观题为填空题、解
答题，划分区域后，由人工网上阅卷完成。改卷中存在争议的部分，往往都是主观题部分。2.正评和仲裁每次考试，一般每道题由两位老师独立评分，即为正评。评卷前会在系统内设定一个允许误差，一般是2分，若两位老师评分不超过允许误差，则得分按均值计算；若评分超过允许误差，则试
卷提交到第三位老师进行仲裁，作为最终结果。3.评卷误差的产生评卷误差的产生，主要有两个原因：一是解题过程的规范性，二是书写的规范性。由于解题过程的不规范，其实是方法掌握得不够全面，各题迥异不具代表性，这里主要展示一些书写规范性
的问题。①潦草的字迹，无法辨认，或容易引起歧义。②解答题未化简到最终结果可能会多扣分;③填空题以下情况全扣;④千万别和阅卷老师开玩笑，情节严重者，本题即使有部分正确依然0分处理。建议同学们要注意平时作业和考试中的书写，一定要非常规范，养成良好的习惯，这样在高考中就会很
自然地书写规范，考出自己满意的成绩！三、阅卷教师希望看到的是能够减轻阅读量的卷面，具体包括以下6点：1.卷面清洁，这是最基本的要求；2.书写工整，字迹清晰；3.在规定的答题区域答题，否则做无用功；4.表述是要根据分值思考要点，尽量细分
，用分号或①②③④等符号清楚表述；5.语言要简洁，答中要害；6.语言表述要规范，尽量用专业术语。如果卷面做到了以上6点，在“可给分可不给分的情况时，从宽给分”的高考评分原则下，将无形中增加了多得分的砝码
。四、以下是网上阅卷中发现的考生答题不规范的典型情况：1.字迹潦草问题一：字迹潦草、字迹过淡的情况不少。高考阅卷是在计算机中阅读扫描后的考生答题卡，没有平时纸质阅卷那么清晰易认，加上高考阅卷时间短、任务重，因此字迹
不清楚的试卷是不受阅卷老师欢迎的。【应对】书写差的学生应加强书法练习，不仅每个字要力争书写工整、大方，而且整个卷面要做到干净、清洁；答题卡答题范围设置是假定用三号字书写两倍正确答案字数的大小，考生无需担心字写大了书写空间不够；考试时统一要求学生使用配套的0.5mm考试专用水芯笔，避免笔迹过淡或
过浓导致扫描不清晰。2.题号填涂与作答不符问题二：试卷中有选考题，要求考生除了答出所选题目的答案外，还要在答题卡中将相应的选择题号涂黑，而部分考生出现答题内容与所涂题号不一致的情况，这样做，该题0分。例如，考生涂的是9题题号，答的却是10题的内容，只能得零分。【应对】答选考题时，一定要头脑清醒，
选定要答的题目一定要涂对题号，否则白费了工夫，还不得分。3.超出规定区域答题问题三：部分学生还没想好便匆忙答题，以至于格式没安排好，超出了该题预留的答题位置。在网上阅卷中，超出规定区域的答案无效。【应对】答大题时，想好了再动笔，先答什么，后
答什么，要有条理，不能写了半天还没入主题，重要的东西没地方写了，再东找点地方，西找点地方写，结果不得分。4.答案分块问题四：有的学生答案布局不合理，内容分成了几块。“分块”现象容易导致阅卷老师漏阅得分点，造成赋分过少的现象。【应对】高考试题
中的非选择题一般是一个要点2分。因此，书写答案前先确定需要书写的要点个数，规划好答案的整体布局，在书写前对答案打好草稿，然后从左上角往右下角书写，这样就不会出现图示的“分块”现象；备考过程中加强对高考非选择题答案的揣摩，分析答案要点有几
个，答案依据在哪，为什么只答这几个要点等。做到答题时条理分明，避免书写之后又补充答案的现象。5.答案不分层次问题五：不少考生答一道大题时，没有层次，一口气写了一大段，让阅卷老师很难查找知识点。【应对】
对于一道需要答出很多采分点的大题，考生作答时要尽可能做到有层次，这样能让阅卷老师感觉到该考生思路是清晰的，便于得高分。6.作图不规范问题六：部分学生在答题卡上作图不清晰，要不过淡，要不就东一条线、西一条线，擦又没擦干净，显得很脏，
这让阅卷老师很难辨识清楚。【应对】作图题要本着清晰、干净的原则，该用尺子的地方一定要用尺子，线条要重些，但又不能让其看起来显得很脏。7.出现删除符号问题七：部分考生匆忙答题，答错了一段，便用删除符号大面积删掉。【应对】很多学生感觉答题出现错误时，往往使用删除符号划掉
部分字词，这是一个极其错误的思维定势。高考阅卷有一个“采点得分”原则，即只看对的答案。只要不是同一句话中前后矛盾，那么即使是错误的答案也不会影响考生应得分数。因此，在不允许“打补丁”的前提下，已经书写的答案就不要使
用删除符号。解决方案：1.如果答案中已经用数字标注①、②、③等，则无需进行修改。2.如果没有使用数字标注的习惯，则在认为要删除的答案前后标上句号，使其与别的答案存在并列关系。五、数学阅卷中给考生在考试中发挥提
几点意见：1.发挥最大潜能，让考分达到最大值，忽略其他一切与考试无关的东西。2.立体几何第1问一般较为简单，用一般知识即可解决，不必用空间向量求解，但第2问一般都要建坐标系用向量求解。3.由于每道大题答题框面积有限，故答题只能写必要关键步骤，有些课本上没有的常规结论直接使用。4.如果
将前面的过程写得过细，必然会导致后面拥挤，关键的内容没有写上。5.大家知道，大题不能留空白，“会而不对”的题将涉及的知识套上去，必要时用“瑕疵”法求解。6.大胆使用归纳、类比，赋值法。7.熟知高考数学解答题的评分标准：解答题评分的大思想“踩点给分”，
先由评卷全体老师把该题可能有的解法都解出来，每种解法，细化步骤，讨论哪一步给多少分，直到评卷组长通过为止。6.解答题解题模型概率条统计考前心理篇1.考前考生需要做哪些准备一年一度的高考即将来临，又是千千
万万学子寒窗苦读12年，怀揣大学梦，共挤独木桥的夏季，在离高考只剩下半个月的时间，高三的学生们该如何做好高考前的准备呢？这里不仅有文化课的准备，还有心态的准备，需要做到劳逸结合，保持好心态，保持好身体，高考才能正常发挥。现在就为正在努力备考的学生们分享一下高考
前的准备工作。知识准备1.不做题海战术。距离高考时间越来越近，这时不能够再把时间花在题海战术上，可能有些同学说，如果不保持每天的做题量，锻炼自己的做题速度跟准确度，很难保证在考场上有正常的发挥。其实，我们应该把更多的时间分配到各科的基础
复习当中，然后在每天复习完之后，适当选择一些题目出来练习，建议按照规定的时间完成每一道题目，也能达到考场中的那种紧张感。2.注重课本基础知识点的复习。这时已经不是做难题做偏题的时候，在这么短的时间，想要有一个突破性的提高，基本已经很难，同学们应该把更多的精力放在课本基础知识
点的掌握与复习当中，高考面向的是所有学生，试题大部分偏向于基础，而少部分的难题作为中高层学生的拉分机会。当然，题目难，得分也难；题目易，失分也容易，考场更需要胆大心细，做到易题不丢分，难题争得分。3.分析自己的优势弱势环节。复习时，要客观理清自己的优势科目、弱势科目。如果理科是弱势，那么这时再强
化做题基本已经来不及了，反而应该多看看课本上的基础性原理跟公式的应用，保证基础题目能够得分，而且是尽量拿满分，减少失误；如果弱势在于文科，那么在接下来的时间里面，还有机会进行一小段的提高，比如可以多花一些时间背诵名人警句，多看看优秀作文，多背背英
语单词，听一听听力，培养自己的语感，一直持续到高考该科目的结束，相信会有一个不错的效果。4.翻阅错题本。在复习时，将以前做过的试卷或者收集起来的错题本拿出来，多看看里面经常会犯错，而且容易忽略的基础性错误，避免在高考时又在同样的地方摔倒，尽量做到会做的题目，就拿满
分，不会做的题目，分析一下哪些步骤会做，争取拿分，特别是理科题，不要因为是难题就完全放弃，而是在考试的时候，看哪些步骤会，就写上去，题目是按步骤给分，多争取一个步骤，就多争取一分，就相当于为上理想大学多向前迈进了一步。5.适当做题，掌握技巧。在临近高考
前，会发现越来越多的模拟题，特别是各个地方传来的所谓高考热点，这时候自己要有所针对性地做一些相应的模拟题，但切记过多，一个星期在规定的时间内完整做完2到3套模拟题即可，关键在于保持自己的作战心态，从做题中给自己一个宏观上的分析，可以
找出自己在做题过程中所遇到的问题，避免在考场上的重现，提高自己的应试能力，做到知己知彼。心理调整1.给自己积极的心理暗示。每天早上起床，面对着镜子微笑，提升自信心，保持良好的心态，就算跟同学打招呼，也露出自信的微笑，一定要相信自己，只要努力付出了，就无怨无悔。高考只是学习
之旅的一个驿站，考得好与不好只是暂时的一个经历而已，重要的是在这12年的学习中，培养的思考能力与学习能力，以后的人生之路还很长很长。2.不跟学习成绩好的攀比。五指伸出有长短，每个人都有每个人的优缺点，有长处也有短处，而且每个人的学习方法不同、天赋不同、后天成长也不同，根本就不存在可比性，每天只要
跟自己比就好，是否今天又发现了自己存在丢分的环节，是否又发现了自己可以在哪些环节上进行加分，只有不断地剖析挖掘自己，自然而然就能够更加客观地看待这次高考。3.放松心情，别给自己太大压力。高考几乎是每个人都会经历的一次考试，当然心态看个人，主要靠自己调
整，越是临近高考，越是要跟学长、老师或者家人进行心理上的沟通，把心中的烦闷跟他们讲，把遇到的心理压力释放出来。作为过来人，他们会给出当年高考是怎么一步步走过来的，这样有了一个借鉴性的经验，自然心情就会舒畅很多，切忌什么事情都往自己身上推，对自己过不去，就是对自己的未来过不去，多多沟通交流，才能不
断解惑释压。4.劳逸结合。在临近高考，学生切忌整天除了睡觉的时间，其余都花在课本上面。每天给自己定好一个复习计划，看完书就到外面走走、散散步、跑跑步、聊聊天或者打打球，让大脑休息一下，持续地看书做题，有时会让大脑处于一个紊乱状态，可能有一些题目其实并不难，但却总是
解不出。不知道同学们自己有没有发现，当过了一两天之后，这些所谓的难题再拿出来做，会有一种豁然开朗的感觉，这就是需要劳逸结合的目的所在。而且通过适当的运动，还可以增强体质，保持一个健康的体魄，避免高考时身体不适，导致发挥
失常，那才是前功尽弃，得不偿失。2.高考前一天需要做哪些准备高考对于考生和考生家长都是一次很重要的考试，考试中如果发生一点差错，就可能会对考生造成影响，那在考前应该做好哪些准备工作，让我们有备无患呢？1.考场踩点。在高考前
，考生最好能够去考场踩点，以便在高考当天迅速找到考场，避免因考场找不到而造成的心理焦虑，我们去踩点时要注意考场在哪栋楼、哪一层、哪个教室，座位大约在哪，洗手间在教学楼的哪个位置，从我们的住处到考场需要多长时间，
要使用什么交通工具，等等。2.准备好考试用品。最重要的准考证、身份证，文具(包括签字笔、2B铅笔、橡皮、三角板、直尺、圆规等)，手表，着装，水和雨具。这些可以统一放在一个文件袋中，方便寻找。3.调整作息时间。为
了在高考时，能够有更好的发挥，在考前一天，复习的强度不宜过大，休息好大脑才能在考试时充分发挥。4.记清考试规则。在考前一定要记住高考的规则，不要带考试禁止的东西进入考场，考号、姓名要写在规定处，不要带草稿纸等出考场。
考号姓名以及答题卡涂写方式可以在平常的模拟考试中演练。5.调整心态，积极面对高考。有一个良好的心态，对于高考无比重要，很多考生会因为高考的巨大压力寝食难安，在考前，考生可以通过自我暗示、与人沟通、转移注意力等方式调整自己，让自己带着最佳心态进入考场！3.考后需要注意哪些事项？高考之后，有许多事
项需要考生们注意。以下是一些建议：1.放松和调整：高考结束之后，大家往往会感受到一种前所未有的解脱，这是完全可以理解的。在此阶段，适当调整作息、放松身心，有助于从高度紧张的高考状态中逐步恢复。然而，亦需警惕过度放纵，始终保持健康的生活方式。2.志愿填报：高考结束
之后，紧接着的紧要事务即为志愿填报。学生需依据自身兴趣与职业发展规划，挑选适宜的专业与院校。在进行志愿填报时，务必全面了解各校及专业之特色，以免草率决策。3.保护个人信息：高考结束后，学生的个人信息可能会被一些不法分子利用。因此，建议学生保护好自己的个人信息，如姓名、身份证号、
准考证号等，避免泄露给陌生人。4.规划未来：高考仅为人生旅程中的一站，考生需深思熟虑未来规划，涵盖欲攻读的专业、拟从事的职业以及期望的生活方式等。可与家人、师长、友人等沟通交流，汲取他们的建议和意见，从而作出独立决策。5.保持联
系：高考结束后，你可能会与一些同学分开，但这并不意味着你们要失去联系。你可以通过社交媒体、电话、邮件等方式保持联系，分享彼此的生活和学习经历。6.培养兴趣爱好：高考之后，你有更多的时间和精力去培养自己的兴趣爱好。这不仅可以让你更加充实和快乐，
还可以帮助你发展自己的才能和技能。7.注意身心健康：在高考之后，你可能会有一些压力和焦虑，这是正常的。你需要注意自己的身心健康，保持积极的心态和情绪。你可以通过运动、阅读、旅游等方式来缓解压力，保持身心健康。总之，高考之后是一个新的开始，你
需要为自己制定一个合理的计划，为未来的学习和生活做好准备。同时，也要注意自己的身心健康，保持积极的心态和情绪。或许这才是高考的实质：尽管它无法预定你的未来，但它却见证了你青春年华中最美好的时光。【终极押题篇】确认过眼神，这
就是你想要做的题！2024年新高考数学终极押题卷（22题型）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔
，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只将答题卡交回.第I卷（选择题)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合2{|0}Axxx=−=，集合{|13}BxNx+=−，则下列结论正确的是A．()1ABB．()1ABC．AB=D．ABB=2．已知复数cosicos2z=+(02,i为虚数单位)的实部与虚部互为相反数,则a的取值集合为A
．24,,33B．5,33C．11,,66D．5,,333．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有三名选手各比赛两场
之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场.则上述三名选手之间比赛的场数为（）A．0B．1C．2D．34．已知圆锥1SO的顶点和底面圆周均在球O的球面上，且该圆锥的高为8.母线12SA=，点B在SA上，且2SBBA=，
则过点B的平面被该球O截得的截面面积的最小值为（）A．27B．32C．45D．815．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九
章算术》时，结合创新，给出下面问题：现有100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得
奖品，则获得奖品的人数至少为（）A．70B．75C．80D．856．冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1
亿个该细菌大约需要（参考数据：lg20.3）（）A．3小时B．4小时C．5小时D．6小时7．如图，在△ABC中，120BAC=，2AB=，1AC=，D是边BC上一点，2DCBD=，则ADBC=（）A．23B．74−C．52D．83−8．设函数
22()ln(1)2fxxx=+++，则关于x的不等式(1)(2)fxfx+的解集为（）A．11,3−B．1,13−C．()()1,1,3−−+D．()1,1,3−−+
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列命题正确的有（）A．若方程22230xymxy++−+=表示圆，则m的取值范围是()()22−−+，，
B．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430xy−=和x轴都相切，则该圆的标准方程是()()22211xy−+−=C．已知点()Pxy，在圆C：2266140xyxy+−−+=上，yx的最大值为1D．已知圆2212610Cxyxy+−−−=：和2221
012450Cxyxy+−−+=：，圆1C和圆2C的公共弦长为2710．已知函数()()sinfxAx=+（0A，0，π2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．()π2cos23fxx
=−B．满足()1fx的x的取值范围为ππ,π3kk+（kZ）C．将函数()fx的图象向右平移π12个单位长度，得到的图象的一条对称轴π3x=D．函数()fx与()2cos2gxx=−的图象关于直线π3x
=对称11．已知实数,Rab+，且21ab+=，则下列结论正确的是（）A．ab的最大值为18B．22ab+的最小值为25C．11ab+的最小值为6D．1021ba−−12．已知互不相等的三个实数a，b，c都大于1，且满足lglglglgaaaccb
=，则a，b，c的大小关系可能是（）A．abcB．b<c<aC．acbD．bac三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线C：24yx=的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点(4,0)P，则||||+=AFBF.14．已知xR，
x表示小于x的最大整数，xxx=−，令Mx0x100,1x==，则M中元素之和为.15．夏季为旅游旺季，青岛某酒店工作人员为了适时为游客准备食物，调整投入，减少浪费，他们统计了每个月的游客人数，发现每年各个
月份的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，游客人数基本相同；②游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约200人；③2月份的游客约为60人，随后逐月递增直到8月份达到最多.则用一个正弦型三角函数描述一年中游客人数与月份之间的关系为；需准备不少于210人的
食物的月份数为.16．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，以A为球心，22为半径的球面与平面1111DCBA的交线长为.四、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC所对的边，且满足π1sincos64AA+=．(1)求角A的大小；(2)试从条件①②③中选出两个作为已知，使得ABC存在且唯一，并以此为依据求ABC的面积．
（注：只需写出一个选定方案即可）条件①：3=cb；条件②：π4B=；条件③：2a=．18．（12分）为了保障幼儿园儿童的人身安全，甲、乙两省计划若干时间内两省共新购1000辆校车．其中，甲省采取的新购方案是
：本月新购校车10辆，以后每个月的新购量比上一个月增加50%；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，以后每个月比上一个月多新购m辆．（1）求经过n个月，两省新购校车的总数()Sn；（2）若两省计划
在3个月内完成新购目标，求m的最小值．19．（12分）共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，有点类似于在租车行业里的短时间的租车．它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订车．某市为了了解不同年龄的人对共享
汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的体验者，让他们根据体验效果进行评分．附：回归直线ˆˆˆybxa=+的斜率()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，相关系数()()(
)()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，独立性检验中的()()()()()22nadbcKabacbdcd−=++++，其中nabcd=+++．临界值表：()20PKk0.0500.0100.0010k3.8416.63510.828(1)设消
费者的年龄为x，对共享汽车的体验评分为y．若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为1.515ˆyx=+，且年龄x的方差为29xs=，评分y的方差为225ys=．求y与x的相关系数r，并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当0.75r时，认为相关性强
，否则认为相关性弱）．(2)现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将22列联表补充完整并判断是否有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关．好评差评合计青年16中老
年12合计4410020．（12分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面,2ABCDPAADAB==，点M是PD的中点.(1)证明：AMPC⊥；(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上（异于点P，)C，且ONOA=，求直线
AN与平面ACM所成角的正弦值.21．（12分）已知函数()2exfxxx=−，()()lne1Rxgxtxxt=−+.(1)当1t=时，求证：()gx在()0,+上单调递减；(2)当1x时，()()0fxgx+，求t的取值范围.22．（12分）已知椭圆C：22221(0)xyabab
+=的左、右焦点分别为12,FF，椭圆上一点2(1,)2Q满足12||||22QFQF+=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与轴分别交
于G、H两点，证明：||||OGOH为定值．确认过眼神，这就是你想要做的题！2024年新高考数学终极押题卷（19题型）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的
答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中
，只有一项是符合题目要求的。1．若()()24ii1ia+=++（其中R,ia为虚数单位），则=a（）A．1B．2C．3D．42．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．3logyx=B．3yxx=+C．3xy=D．1y
x=−3．将函数sin23yx=+向右平移6个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A．sin26yx=+B．cos2yx=C．sin23yx=−D．sin2yx=4．椭圆22124xy+=的离心率是（）A．2B．3C．22D．325
．已知0x=是函数()()2fxxxa=−的极小值点，则a的取值范围为（）A．(),0−B．3,2−C．()0,+D．3,2+6．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技
创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气
科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（）A．2540πB．449πC．562πD．561π7．某单位为了
了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程ˆ2=−+yxa，预测当气温为4−℃时，用电量度数为A．68B．67C．65D．648．已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若/
/ab，b，则//aB．若a，b，//ab，则//C．若//，//a，则//aD．若a=，b=，c=，//ab，则//bc二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分
。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．若集合M和N关系的Venn图如图所示，则,MN可能是（）A．0,2,4,6,4MN==B．21,{1}MxxNxx==−∣∣C．lg
,e5xMxyxNyy====+∣∣D．()()22,,,MxyxyNxyyx====∣∣10．已知ABC内角,,ABC的对边分别为,,,abcO为ABC的重心，1cos,25AAO==，则（）A．1144AOAB
AC=+B．3ABACC．ABC的面积的最大值为36D．a的最小值为2511．已知函数()4fx+是定义在R上的奇函数，函数()2gx+是定义在R上的偶函数，且满足()()()21gxxfx=−−，()(
)3426gg=+=，则（）A．()fx的图象关于点()1,0对称B．()fx是周期为3的周期函数C．()10f=D．()202618ifi==三、填空题12．M是双曲线221412xy−=上一点，点1F，2
F分别是双曲线左右焦点，若15MF=，则2MF=.13．已知向量()2,5a=r，()cos,sin2b=，且//abrr．则sin的值为.14．由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有种.四、解答题15．如图，在直三棱
柱111ABCABC-中，π2ABC=，11AA=，2ABBC==，点E、M分别为BC、AE的中点.(1)求二面角1ACEC−−的余弦值；(2)若点G满足12CGGM=，求直线1AB与直线CG所成角的正弦值.16．某校为了丰富学生课
余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢篮球不喜欢篮球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值0.001=的2独立性检验，能否据此推断该校学
生喜欢篮球与性别有关？(2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为34，这名女生投进的概率为23，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数X的分布列和数学期望．附：()()(
)()()22nadbcabcdacbd−=++++0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82817．已知函数2()fxaxxlnx=−−，其中aR．（1）若1
a=，求函数的极值（2）是否存在实数a，使得函数()yfx=在(0,1)内单调？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．18．设,AB为曲线2:4Cyx=上两点，A与B的横坐标之和为4.（1）若A与B的纵坐标之和为4,求直线AB的方程.（2）证明：线段AB的垂直平分线过定点
.19．在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，
比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量
的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用Sh、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1Sh的信息，而掷m次就为m位.更一般地，你需要用2logn位来表示一
个可以取n个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推
翻.设随机变量所有取值为1,2,,n，定义的信息熵21()logniiiHPP==−，（11niiP==，1,2,,in=）.(1)若2n=，试探索的信息熵关于1P的解析式，并求其最大值；(2)若12112nPP−==，12kkPP+=（2,3,,kn=），求此时
的信息熵.2024年新高考数学终极押题卷（22题型）解析版一、单选题1．已知集合2{|0}Axxx=−=，集合{|13}BxNx+=−，则下列结论正确的是A．()1ABB．()1ABC．AB=D．ABB=【答案】B【解析】由
题意得0,1,1,21,0,1,2ABABAB====，结合各选项知B正确．2．已知复数cosicos2z=+(02,i为虚数单位)的实部与虚部互为相反数,则a的取值集合为A．24,,33B．5,33C．11
,,66D．5,,33【答案】D【解析】依题意有coscos20+=,即22coscos10+−=,cos1=−或1cos2=,又02,=或
3=或53=.3．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有三名选手各比赛两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场.则上述三名选手之间比赛的场数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】设一共有n个选手，故总场次()()2
33466502nnnCxx−−−+−=+−=，其中x为上述3名选手之间比赛的场数，则()()34442nnx−−=−，经验证，当13n=时，1x=.4．已知圆锥1SO的顶点和底面圆周均在球O的球面上，且该圆锥的高为8.
母线12SA=，点B在SA上，且2SBBA=，则过点B的平面被该球O截得的截面面积的最小值为（）A．27B．32C．45D．81【答案】B【解析】如图,球的球心为O，半径为R，则18SO=，OAR=，221145AOSASO=−=，所以22211OAOO
AO=+，即()()222845RR=−+，解得9R=，取SA的中点N，12SA=，2SBBA=，则2BN=，所以2235ONRAN=−=，227OBONBN=+=，过点B的平面被该球O截，若截面面积最小，则OB垂直于截面，此时截面圆半径为2242rROB=−=，所以截面面积的最小
值为232r=.5．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问题：现有
100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得奖品，则获得奖品的人数至少为（）A．70B．75C．80D．85【答案】B【解析】由题意知，一共回答了500
道题，其中回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．由于答对3道题以上（包括3道题）的人可以获得奖品，即答错3道题及以上的人没有奖品，故最多会有75325=人没有奖品，故获得奖品的人数至少为75．6．冬季是流行病的高发季节，
大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：lg20.3）（）A．3小时B．4小时C．5
小时D．6小时【答案】C【解析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要x分钟，则231210000x=，两边同时取对数得，lg2lg10000423x==，所以42392306.7lg20.3x=，所以大约需要306.7560小时.7．如图，在△A
BC中，120BAC=，2AB=，1AC=，D是边BC上一点，2DCBD=，则ADBC=（）A．23B．74−C．52D．83−【答案】D【解析】由2DCBD=可得，13BDBC=1121()3333ADABBDABBCABACABABAC=+=+=+−=+BCACAB=−2221211
()()33333ADBCABACACABABACABAC=+−=−++211184112()33323=−++−=−8．设函数22()ln(1)2fxxx=+++，则关于x的不等式(1)(2)fxf
x+的解集为（）A．11,3−B．1,13−C．()()1,1,3−−+D．()1,1,3−−+【答案】B【解析】()fx的定义域为R，且()()()2222()ln(1
)2ln(1)2fxxxxxfx−=−++−+=+++=，所以()fx是偶函数，易知()fx在[0,)+上是增函数，所以不等式(1)(2)fxfx+即为(1)(2)fxfx+，则102012xxxx+
+，解得113−x，所以不等式(1)(2)fxfx+的解集为1,13−二、多选题9．下列命题正确的有（）A．若方程22230xymxy++−+=表示圆，则m的取值范围是()()22−−+，，B．若圆C的半径为1，圆
心在第一象限，且与直线430xy−=和x轴都相切，则该圆的标准方程是()()22211xy−+−=C．已知点()Pxy，在圆C：2266140xyxy+−−+=上，yx的最大值为1D．已知圆2212610Cxyxy+−−−=：
和2221012450Cxyxy+−−+=：，圆1C和圆2C的公共弦长为27【答案】BD【解析】若方程22230xymxy++−+=表示圆，则()222430m+−−，即28m，解得22m或22m−，故选项A不正确；设圆心(),1Ca()0a，
则圆心到直线430xy−=的距离为2243431543aa−−==+，解得2a=，即圆心为()2,1C，所以圆的标准方程是()()22211xy−+−=，故选项B正确；由2266140xyxy+−−+=可得()()22334xy−+−=，yx表示圆
上的点与原点()0,0连线的斜率，可得相切时yx取得最值，设切线为0kxy-=，则23321kdk−==+，显然1k=不是方程的解，故yx的最大值不是1，故选项C不正确，将两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程43230xy+−=，由2212610Cxyxy+−−−=：得()()221311xy
−+−=，可得圆心()11,3C，111r=，圆心()11,3C到直线43230xy+−=的距离22413323243d+−==+所以弦长为2212211427rd−=−=，所以公共弦长为27，故选项D正确10．已知函数()()sinfxAx=+（0A，0，π2）的部分
图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．()π2cos23fxx=−B．满足()1fx的x的取值范围为ππ,π3kk+（kZ）C．将函数()fx的图象向右平移π12个单位长度，得到的图象的一
条对称轴π3x=D．函数()fx与()2cos2gxx=−的图象关于直线π3x=对称【答案】ABD【解析】由图可得，()max1152,2πππ1212fxT==−=，所以2,2A==，因为ππ2sin20
1212f−=−+=，所以π2π,Z6kk−+=，所以π2π+,Z6kk=，因为π2，所以π,6=()=π2c2π2sino26s3fxxx−=+，故A正确；由()π2sin216fxx=+
可得π1sin262x+，所以ππ5π2π22π,Z666kxkk+++，解得ππ,π3xkk+，kZ，故B正确；将函数()fx的图象向右平移π12个单位长度，得到的是函数ππ2sin22sin2126yxx=−+
=的图象，直线π3x=不是其对称轴，故C错误；因为()2π3π2sin22cos232fxxxgx−=−+=−=，所以函数()fx与()2cos2gxx=−的图象关于直线π3x=对称，故D正确11．已知实数,Rab+，且21ab+=，
则下列结论正确的是（）A．ab的最大值为18B．22ab+的最小值为25C．11ab+的最小值为6D．1021ba−−【答案】AD【解析】对于A，因为,Rab+，21ab+=，所以1222abab=+，得18ab，当且仅当122ab==时，取等号
，所以ab的最大值为18，所以A正确，对于B，因为,Rab+，21ab+=，所以01a，120ba=−，所以102a，所以22222221(12)541555aaaaaab=+−=−+=++−，所以当25a=时，22ab+有最小值15，所以B错
误，对于C，因为,Rab+，21ab+=，所以()1111223baabababab+=++=++232322baab+=+，当且仅当2baab=，即22,212ab−==−时，取等号，所以11ab+的最小值为322+，所以C错误，对于D，因为21ab+=，所
以1222111−−==−−−−−baaaa，由选项B知102a，所以1112−−−a，所以1211−−−a，所以2241a−−，所以20221a−−−，所以1021ba−−，所以D正确12．已知互不相等的三个实数
a，b，c都大于1，且满足lglglglgaaaccb=，则a，b，c的大小关系可能是（）A．abcB．b<c<aC．acbD．bac【答案】AB【解析】由已知，lg(lglg)lg(l
glg)aaccab−=−，即2lg2lglglglg0aacbc−+=．则关于x的方程22lglglg0xxccb−+=有正实根，所以24lg4lglg4lg(lglg)0ccbccb=−=−．因为,1
,1bcbc，则lglgcb，所以cb．设2()2lglglgfxxxccb=−+，则二次函数()fx的关于直线lgxc=对称，且(lg)0fa=，2(lg)lglglglg(lglg)0fbbbcbbc
=−=−．若lgxa=是()fx的一个较小零点，则lglglgabc，即abc；若lgxa=是()fx的一个较大零点，则lglglgbca，即b<c<a.三、填空题13．抛物线C：24yx=的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点(4,0)
P，则||||+=AFBF.【答案】6【解析】由题意得(1,0)F，设线段AB的中点为()00,Mxy，则01122ABAFBFxxx+=+++=+，设直线l的斜率为k，则线段AB的垂直平分线方程为()001yyxxk−=−−，令0y=，得00xk
yx=+，即004kyx=+，又2244AABByxyx==，作差得4ABABAByyxxyy−=−+整理得02ky=，所以02x=，∴||6AFBF+=．14．已知xR，x表示小于x的最大整数，xxx=−，令Mx0x100,
1x==，则M中元素之和为.【答案】5050【解析】因为xxx=−，0x100，1x=，所以集合0,1,2,3,4,,100M=，则M中元素之和为010001210010150502+++++=?15．夏季为旅游旺季，青岛某酒店工作人员为了适时
为游客准备食物，调整投入，减少浪费，他们统计了每个月的游客人数，发现每年各个月份的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，游客人数基本相同；②游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约200人；③2月份的游客约为60人，随后逐月
递增直到8月份达到最多.则用一个正弦型三角函数描述一年中游客人数与月份之间的关系为；需准备不少于210人的食物的月份数为.【答案】()()5100sin160112,66fxxxxN=−+5【解析】设该函数
为()()sin(0,0,0fxAxBA=++，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，()2f最小，()8f最大，且()()82200ff−=，故该函数的振幅为100；由③可知，()fx在28,上单调递增，
且()260f=，所以()8260f=，根据上述分析，可得212=，解得6=，且60260ABAB−+=+=，解得100,160AB==，又由当2x=时，()fx最小，当8x=时，()fx最大，可得sin216+=−
，且sin816+=，又因为0，所以56=−，所以游客人数与月份之间的关系式为()()*5100sin160112,66fxxxxN=−+，由条件可知5100sin16021066x
−+，化简得51sin662x−，可得5522,6666kxkkZ+−+,解得1261210,kxkkZ++，因为*xN，且112x，
所以6,7,8,9,10x=，即只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于210人的食物.16．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，以A为球心，22为半径的球面与平面1111DCBA的交线长为.【答
案】4【解析】由题意知22112222ABAD==+=.如图，在平面1111DCBA内任取一点P，使12AP=，则221122APAAAP=+=，故以A为球心，22为半径的球面与平面1111DCBA的交线是以1A为圆心，以2为半径的圆，故该交线长为4.故答案为：4四、解答
题17．在ABC中，,,abc分别为内角,,ABC所对的边，且满足π1sincos64AA+=．(1)求角A的大小；(2)试从条件①②③中选出两个作为已知，使得ABC存在且唯一，并以此为依据求ABC的面积．（注：只需写出一个选定方案即可）条件①：3=cb
；条件②：π4B=；条件③：2a=．【答案】(1)π6(2)答案见解析【解析】（1）因为π1311sincos,sincossin64224AAAAA+=−=，则2311311cos21sincos
sin,sin22244224AAAAA−−=−=，故31πsin2cos21,sin21226AAA+=+=，由于ππ13π0π,2666AA+，所以πππ2,626AA+==.（2）若选①②，三个已知条件是
ππ,,364ABcb===，没有一个是具体的边长，无法确定ABC．若选②③，三个已知条件是ππ,,264ABa===，由正弦定理得222ππsinsin64bb==，此时ABC存在且唯一，()123262sinsin22224CAB+=+=+=，
所以1162sin22231224ABCSabC+===+；若选①③，三个已知条件是π,3,26Acba===，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，即22343232bbbb=+−，解得2b=（负值
舍去），则23c=，此时ABC存在且唯一，所以111sin2233222ABCSbcA===△.18．为了保障幼儿园儿童的人身安全，甲、乙两省计划若干时间内两省共新购1000辆校车．其中，甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每个月的新购量比上一个月增加50%；
乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，以后每个月比上一个月多新购m辆．（1）求经过n个月，两省新购校车的总数()Sn；（2）若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值．【答案】（1）()232040202
22nmmSnnn=++−−；（2）278．【解析】（1）设na，nb分别为甲省、乙省在第n个月新购校车的数量．依题意，知na是首项为10，公比为3150%2+=等比数列，nb是首项为40，公差为m的等差数列，所以na的前n项和
10122313nnP−=−，nb的前n项和()()4040110242nnnmTnnnm++−+−==，所以经过n个月，两省新购校车的总数为()()310121403
212nnnnnmSnPTn−−=+=++−()132014022nnnmn−=−++23204020222nmmnn=++−−．所以()Sn2320402
0222nmmnn=++−−；（2）若计划在3个月内完成新购目标，则()31000S．所以()3233203403201000222mmS=++−−，解得277.
5m．又*mN，故所求m的最小值为278．19．共享汽车，是指许多人合用一辆车，即开车人对车辆只有使用权，而没有所有权，有点类似于在租车行业里的短时间的租车．它手续简便，打个电话或通过网上就可以预约订车．某市为了了解不同年龄的人对共享汽车的使用体验，随机选取了100名使用共享汽车的
体验者，让他们根据体验效果进行评分．附：回归直线ˆˆˆybxa=+的斜率()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，独立性检验中的()()()(
)()22nadbcKabacbdcd−=++++，其中nabcd=+++．临界值表：()20PKk0.0500.0100.0010k3.8416.63510.828(1)设消费者的年龄为x，对共享汽车的体验评分为y．若根据统计数
据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为1.515ˆyx=+，且年龄x的方差为29xs=，评分y的方差为225ys=．求y与x的相关系数r，并据此判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当0.75r时，认为相关性强，否则认为相关性弱）．(2)现将100名消费者的年龄划分为“青年”和
“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将22列联表补充完整并判断是否有99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关．好评差评合计青年16中老年12合计44100【答案】(1)0.9，对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关性很强(2)列联表见解析，有99.9%的
把握认为对共享汽车的评价与年龄有关【解析】（1）解：因为022101()9100ixixxs=−==，所以10021()900iixx=−=，因为100221()25100iiyyys=−==，所以10021()2500iiyy=−=，因为()()()1001100211.ˆ5iii
iixxyybxx==−−==−，所以100100211()()1.5()1.59001350iiiiixxyyxx==−−=−==，所以相关系数()()()()10011001002211iiiiiiixxyyrxxyy===−−=−−135013503050900250
0==0.9=，因为0.90.75，所以判断对共享汽车使用体验的评分与年龄的相关很强；（2）解：根据题意可得22列联表如下：好评差评合计青年163248中老年401252合计5644100因为()221001612324048525644K−=19.2510.828，所以有
99.9%的把握认为对共享汽车的评价与年龄有关.20．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面,2ABCDPAADAB==，点M是PD的中点.(1)证明：AMPC⊥；(2)设AC的中点为O，点N在棱PC上（异于点
P，)C，且ONOA=，求直线AN与平面ACM所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1510（2）以,,ABADAP所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【解析】（1）证明：因为PAAD=，点M是PD的中点，所以AMPD⊥.因为PA⊥平面,ABCDPA
平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，所以CDAD⊥，因为平面PAD平面ABCDAD=，CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，所以CDAM⊥，因为PDCDD=，,PDCD平面PCD，所以AM⊥平面PCD，因为PC平面PCD，所以AMPC⊥.（
2）解：由题意可得,,ABADAP两两垂直，设1AB=，如图，以,,ABADAP所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,2)ABCDP，因为点M是PD的中点，所以220,,22M
，所以()220,,,1,2,022AMAC==，设平面ACM的法向量为(),,nxyz=，则2202220AMnyzACnxy=+==+=，令1y=−可得2,1xz==，所以平面ACM的一个法向量()2,1,1n=−.()1,2,2PC=−，
设()(),,,,2,2(01)NNNNxyzPNPC==−，即()(),,2,2,2NNNxyz−=−，所以(),2,22N−.又123,,0,222OONOA==，所以2221232(22)224−+−+−=
，化简得25720−+=，解得2=5或1=（舍去）.所以22232,,555AN=，设直线AN与平面ACM所成的角为，则32155sin104818211252525nANnAN===++++，所以直线AN与平面ACM所
成角的正弦值为1510.21．已知函数()2exfxxx=−，()()lne1Rxgxtxxt=−+.(1)当1t=时，求证：()gx在()0,+上单调递减；(2)当1x时，()()0fxgx+，求t的取值范围.【答案】(1)证明见解析(
2)[2e,)−+【解析】（1）证明：当1t=时，()lne1,(0,)xgxxxx=−++，则()ln1exgxx=+−，令()()ln1expxgxx==+−，则1()expxx=−在(0,)+上单调递减，且12e02
p=−，且(1)1e0p=−，01,12x，使()0001e0xpxx=−=.当()00,xx时，()0px，当()0,xx+时，0p，()gx在()00,x上单调递增，在()0,x+上
单调递减，()000()ln1exgxgxx=+−，001e0xx−=Q，001exx=，00lnxx=−，()0001()10gxgxxx=−+−，()gx在(0,)+上单调递减.（2）当1x时，()()0fx
gx+，即2(1)eln10xxxtxx−−++（记为*）在[1,)+上恒成立，令2()(1)eln1xhxxxtxx=−−++，()(e2)(ln1)xhxxtx=−++，(1)0h=，要使（*）式在
[1,)x+上恒成立，则必须(1)e20ht=−+，2et−.下面证明当2et−时，()(1)hxh在[1,)x+上恒成立.1x，ln10x+，()(e2)(2e)(ln1)xhxxx−+−+.令ln1yx
x=−+，则111xyxx−=−=，故当[1,)x+时10xyx−=，ln1yxx=−+单调递减；当()0,1x时10xyx−=，ln1yxx=−+单调递增；∴ln10,ln1xxxx+−+，
()(e2)(2e)(ee)0xxhxxxx−+−=−，当2et−时，()hx在[1,)+上单调递增，()(1)0hxh=，即（*）式在[1,)x+上恒成立，另外一方面，当2et−时，(1)e20ht=−+，∴存在0
，使得当()1,1x−+时，()0hx，()hx在()1,1−+上单调递减，∴当()1,1x+时，()0hx，与题设矛盾，不成立.∴t的取值范围为[2e,)−+.22．已知椭圆C：22221(0)xy
abab+=的左、右焦点分别为12,FF，椭圆上一点2(1,)2Q满足12||||22QFQF+=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知椭圆C上两点M、N关于x轴对称，点P为椭圆上一动点（不与M、N重合），若直线PM，PN与轴分别交于G、H两点，证明：
||||OGOH为定值．【答案】（Ⅰ）2212xy+=；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）由椭圆上一点2(1,)2Q满足12||||22QFQF+=，可得12||||222QFQFa+==，即2a=，且2
22()1212b+=，所以21b=，故椭圆的方程为2212xy+=；（Ⅱ）因为M，N关于x轴对称，所以可设1(Mx，1)y，0(Px，0)y，则1(Nx，1)y−，可得直线PM的方程为100010()yyyyxxxx−−=−−，令0y=，可得G的横
坐标为100101Gxyxyxyy−=−，同理可得H的横坐标为100101Hxyxyxyy+=+，所以222210011001100122010101||||||||||||||GHxyxyxyxyxyxyOGOHxxyyyyyy−+−===−+−，因为221112xy+=，220012x
y+=，所以221122xy=−，220022xy=−，可得222210012201(22)(22)||||||2yyyyOGOHyy−−−==−为定值．2024年新高考数学终极押题卷（19题型）解析版一、选择题
：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若()()24ii1ia+=++（其中R,ia为虚数单位），则=a（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由()()24ii1ia+=++()11iaa=
−++，则1214aa−=+=，解得3a=.2．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．3logyx=B．3yxx=+C．3xy=D．1yx=−【答案】B【解析】3logyx=的定义域为()0,+，是非奇非偶函数，A
选项错误.3xy=是非奇非偶函数，C选项错误.1yx=−的定义域是()(),00,−+U，1yx=−在定义域上没有单调性，D选项错误.令()3fxxx=+，()fx的定义域为R，()()3fxxxfx−=−−=−，所以()fx是奇
函数，即3yxx=+是奇函数，由于3,yxyx==在R上都是增函数，所以3yxx=+在R上递增，符合题意，B选项正确.3．将函数sin23yx=+向右平移6个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A．sin26yx
=+B．cos2yx=C．sin23yx=−D．sin2yx=【答案】D【解析】函数sin(2)3yx=+向右平移6个单位长度，sin[2()]sin263yxx=−+=.4．椭圆22124xy+=的离心率是（）A
．2B．3C．22D．32【答案】C【解析】因为椭圆22124xy+=，24a=，22b=，所以22c=，即2222cea==.故选：C5．已知0x=是函数()()2fxxxa=−的极小值点，则a的取值范围为（）A．(),0−B．3,2−C．()0,+D．3,2
+【答案】A【解析】由已知32()fxxax=−，2()32fxxax=−23()3axx=−，令()0fx=得0x=或23ax=，由题意0x=是极小值点，则203a，若203a，则203ax时，()0fx，()
fx单调递减，0x时，()0fx，()fx单调递增，则0x=是函数的极小值点，若203a，则203ax时，()0fx，()fx单调递减，0x时，()0fx，()fx单调递增，则0x=是函数的极大值点，不合题意
，综上，203a，即a<0.6．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.8
6米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（）A．2540πB．449πC．562πD．561π【答案
】C【解析】该组合体的直观图如图：半球的半径为8米，圆柱的底面半径为8米，母线长为13米，圆台的两底面半径分别为8米和1米，高为24米，所以半球的表面积为214π8128π2=（平方米），圆柱的侧面积为2π813208π=（平方米），圆台的侧面积为()22π
81724225π++=（平方米），故该组合体的表面积为2128π+208π+225π+π1562π=（平方米）．7．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表
中数据得线性回归方程ˆ2=−+yxa，预测当气温为4−℃时，用电量度数为A．68B．67C．65D．64【答案】A【解析】根据平均值公式由表格数据可得(),xy为()10,40，又(),xy在回归方程ˆybxa=+上且()2,40
102ba=−=−+，解得60,260ayx==−+，当4x=−时，()246068y=−−+=，即预测当气温为4−℃时，用电量度数为68，故选A.8．已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平
面，则下列说法正确的是（）A．若//ab，b，则//aB．若a，b，//ab，则//C．若//，//a，则//aD．若a=，b=，c=，//ab，则//bc【答案】D【解析】若//ab，b，则//a或a，
故A选项错误；若a，b，//ab，则//或与相交，故B选项错误．若//，//a，则//a或a，故C选项错误；若a=，b=，c=，//ab，则//bc，正确，证明如下：/
/ab，a，b，//a，又a，且c=，//ac，则//bc，故D选项正确；二、多选题9．若集合M和N关系的Venn图如图所示，则,MN可能是（）A．0,2,4,6,4MN==B
．21,{1}MxxNxx==−∣∣C．lg,e5xMxyxNyy====+∣∣D．()()22,,,MxyxyNxyyx====∣∣【答案】ACD【解析】根据Venn图可知NM，对于A，显然NM，故A正确；对于B，11,{1}MxxNxx=−
=−∣∣，则MN，故B错误；对于C，0,5MxxNyy==∣∣，则NM，故C正确；对于D，(),Mxyyx==∣，或yx=−(),,Nxyyx==∣，则NM，故D正确.10．已知ABC内角,,ABC的对边分别为,,,abcO
为ABC的重心，1cos,25AAO==，则（）A．1144AOABAC=+B．3ABACC．ABC的面积的最大值为36D．a的最小值为25【答案】BC【解析】O是ABC的重心，延长AO交BC于点D，则D是BC
中点，22111()33233AOADABACABAC==+=+，A错；由1133AOABAC=+得3ABACAO+=，所以22229()222AOABACABACABACABACABAC=+=+++，又1cos5ABACABACAABAC==，即5ABACABAC=所以
225292ABACABAC+，所以3ABAC，当且仅当ABAC=时等号成立，B正确；15cosABACABACA=，当且仅当ABAC=时等号成立，226sin1cos5AA=−=，1126sin1536225ABCSABACA==，C正确；由22229()
2AOABACABACABAC=+=++得222362365ABACABACABAC+=−=−，所以22222442cos2cos3636152455abcbcAABACABACAABAC=+−=+−==−−=，26a，当且仅当ABAC=时等号成
立，所以a的最小值是26，D错．11．已知函数()4fx+是定义在R上的奇函数，函数()2gx+是定义在R上的偶函数，且满足()()()21gxxfx=−−，()()3426gg=+=，则（）A．()fx的图象关于点()1,0对称B．()fx是周期为3的周期函数C
．()10f=D．()202618ifi==【答案】ACD【解析】A选项，因为()2gx+为偶函数，所以()gx关于直线2x=对称，所以()()4gxgx=−，所以()()()()2123xfxxfx−−=−−，所以()()130fxfx−+−=，所以()()20fxfx+−
=，即()fx的图象关于点()1,0对称，A正确；B选项，又()4fx+是定义在R上的奇函数，所以()()440fxfx−++=，即()()260fxfx−++=，所以()()6fxfx=+，所以()fx是周期为6的周期函数．在()()()
21gxxfx=−−中，当3x=时，得()()236fg==；当4x=时，得()()4322gf==．又由()()20fxfx+−=，得()()020ff+=，()()530ff+−=，所以()()()6026fff==−=−，所以()()
()5132fff=−=−=−，则()06f=−，()32f=，因为()()03ff，所以B错误；CD选项，在()()440fxfx−++=中，令0x=，得()240f=，所以()40f=，在()()20fxfx+−=中，令1x=，得()210f=，所以()10f=，所以()()()6106
20260ifi==++++−+−=，所以，C，D正确.故选20266337411()()(1)(2)(3)(4)8iifififfff+====+++=．【点睛】设函数()yfx=，xR，0a，ab¹．（1）若()()fxafxa+=−，
则函数()fx的周期为2a；（2）若()()fxafx+=−，则函数()fx的周期为2a；（3）若()()1fxafx+=−，则函数()fx的周期为2a；（4）若()()1fxafx+=，则函数()fx的周期为2a；（5）若()()fxafxb+=+，则函
数()fx的周期为ab−；（6）若函数()fx的图象关于直线xa=与xb=对称，则函数()fx的周期为2ba−；（7）若函数()fx的图象既关于点(),0a对称，又关于点(),0b对称，则函数()fx的周
期为2ba−；（8）若函数()fx的图象既关于直线xa=对称，又关于点(),0b对称，则函数()fx的周期为4ba−；（9）若函数()fx是偶函数，且其图象关于直线xa=对称，则()fx的周期为2a；（10）若函数()fx是奇函数，且其图象关于直线xa=对
称，则()fx的周期为4a．三、填空题12．M是双曲线221412xy−=上一点，点1F，2F分别是双曲线左右焦点，若15MF=，则2MF=.【答案】9【解析】M是双曲线221412xy−=上一点，所以2222416acab==+=，所以24ac==，由双曲线定义
可知1224MFMFa−==，所以21MF=或者9，又22MFca−=，所以29MF=，故答案为：9.13．已知向量()2,5a=r，()cos,sin2b=，且//abrr．则sin的值为.【答案】1【解析】因为(2,5)a=，()cos,sin2b=，且//abrr，所以5cos
2sin2=，即5cos4sincos=，即()cos54sin0−=，因为sin1,1−，所以54sin0−，所以cos0=，又22sincos1+=，所以sin1=.14．由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不
相邻，则不同的站法有种.【答案】480【解析】先除去甲乙，另外4位专家排成一排，站法共有44A432124==种，4位专家排成一排后形成5个空，将甲乙插入这五个空中，共有25A5420==种，由分步乘法计数原理得4245480AA=种，即不同的站法有480种，四、解答题15．如图
，在直三棱柱111ABCABC-中，π2ABC=，11AA=，2ABBC==，点E、M分别为BC、AE的中点.(1)求二面角1ACEC−−的余弦值；(2)若点G满足12CGGM=，求直线1AB与直线CG所成角的正弦值.【答案】(1)13−(2)31414【解析】（1）在直三棱柱111AB
CABC-中，1BB⊥平面ABC，π2ABC=，以点B为坐标原点，BC、BA、1BB所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意，()0,2,0A、()2,0,0C、()12,0,1C、()1,0,0E，设平面1ACE的法向量为(),,mxyz=，()1,
2,0EA=−，()11,0,1EC=，则1200mEAxymECxz=−+==+=，取2x=，可得()2,1,2m=−，易知平面1CCE的一个法向量为()0,1,0n=，则1cos,3mnmnmn==，由图可知，二面角1ACEC−−
的平面角为钝角，故二面角1ACEC−−的余弦值为13−.（2）解：易知()10,2,1A、()0,0,0B、()12,0,1C、1,1,02M点G满足12CGGM=，则1122322,1,11,,33233CGCM==−−=−−，则(
)1122210,0,11,,1,,3333CGCCCG=+=+−−=−，且()10,2,1BA=，所以，111553cos,141453BACGBACGBACG===，则2115314sin,1cos,11414BAC
GBACG=−=−=，因此，直线1AB与直线CG所成角的正弦值为31414.16．某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢篮球不喜
欢篮球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值0.001=的2独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？(2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为34，这名女生投
进的概率为23，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数X的分布列和数学期望．附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++0.10.050.010.0050.001x2.7063.84
16.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析；与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望为136.【解析】（1）依题意，22列联表如下：喜欢篮球不喜欢篮球合计男生6040100女生3070100合计90110200零假设0H:
该校学生喜欢篮球与性别无关，220.001200(60703040)20018.18210.8281001009011011x−===，根据小概率值0.001=的独立性检验，推断0H不成立，即认为该校学生喜欢篮球与性别有关.（2）依题意，X的
可能值为0，1，2，3，2321(0)114348PX==−−=，212332321(1)C111443436PX==−−+−=，212332327(2)C114434316PX==−+−=
，2323(3)438PX===，所以X的分布列为：X0123P1481671638数学期望17348168113()012366EX=+++=.17．已知函数2()fxaxxlnx=−
−，其中aR．（1）若1a=，求函数的极值（2）是否存在实数a，使得函数()yfx=在(0,1)内单调？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】（1）函数的定义域为(0，2121(21)(1))()21xxxxfxxxxx−−+−+=−−==当(0,
1)x，()0fx，函数单调递减，当(1,)x+，()0fx，函数单调递增，1x=是函数的极小值点，函数的极小值为f（1）1100=−−=（2）若函数()yfx=在(0,1)内单调递增，则1()210fxa
xx=−−…在(0,1)恒成立．即2111()2axx+…在(0,1)恒成立．因为221111111()[()](1,)2224xxx+=+−+所以使得函数()yfx=在(0,1)内单调递增的a不存在，若函数()yfx=在(0,1)内单调递减则1()210fxaxx=−−„在(0,1)
恒成立．即2111()2axx+„在(0,1)恒成立．因为221111111()[()]2224axxx+=+−„在(0,1)恒成立．所以1a„时，函数()yfx=在(0,1)内单调递减．18．设,AB为曲线2:4Cyx=上两点，A与B的横坐标之和为4.（1）若A与B的纵坐标之和为4,求直线A
B的方程.（2）证明：线段AB的垂直平分线过定点.【答案】（1）0xy−=；（2）证明见解析.【解析】（1）解：设()()1122,,,,AxyBxy则2212112212,4,4,4,xxyxyxyy==+=于是直线AB的斜率1212112221221.444yyyykyy
xxyy−−====−+−根据题意有AB中点的坐标为()2,2,所以直线AB的方程为()212,yx−=−即0.xy−=（2）证明：当直线l的斜率存在时，设()()1122:,,,,.lykxmAxyBxy=+由24,yxykxm==+可得()222240kxkmxm+−+=，所以2
220,Δ(24)40,kkmkm=−−即1km，所以12242kmxxk−+=因为124,xx+=所以122424,kmxxk−+==则22mkk=−所以线段AB的中点坐标为()2,2km+，所以线段AB的垂直平分线方程为()122xkykm−−−=−.即()
1214124,yxkmxxkkkkk=−+++=−+=−−所以过定点(4，0).当直线l的斜率不存在时也满足.19．在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源
熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于
一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用Sh、nat、Hart计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信
息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1Sh的信息，而掷m次就为m位.更一般地，你需要用2logn位来表示一个可以取n个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克
斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为1,2,,n，定义的信息熵21()logniiiHPP==−，（11niiP==，1,2,,in=）.(1)若2n=，试探索的信息熵关
于1P的解析式，并求其最大值；(2)若12112nPP−==，12kkPP+=（2,3,,kn=），求此时的信息熵.【答案】(1)121121()log(1)log(1)HPPPP=−−−−，1(0,1)P，最
大值为1.(2)21()22nH−=−.【解析】（1）当2n=时，1(0,1)P,121121()log(1)log(1)HPPPP=−−−−，令22()log(1)log(1)fttttt=−−−−，(0,1)t，则2221'
()loglog(1)log1ftttt=−+−=−，所以函数()ft在10,2上单调递增，在1,12上单调递减，所以当112P=时，()H取得最大值，最大值为max()1H=.（2）因为12112nPP−==，12kkPP+=（2,3,,kn
=），所以2221121222kkknnkPP−−−−+===（2,3,,kn=），故1122111o1222loglgknknnkkkPkPn−+−+−+−+=−=，而1111212loglog111222nnnPPn−−−−
=−=，于是2111222111221()log222222nkknnnnknnnnHPP−−−−=−−−−=+=+++++，整理得112211221()2222222nnnnnnnnnnH−−−−−−=−++++++令231123122222nnnnnS−−=+++++
，则234112312221222nnnSnn+−=+++++，两式相减得231111111212222222nnnnnnS+++=++++−=−因此222nnnS+=−，所以1121121()22222222nnnnnnnnnnnnHS−−−−−+=−+=−+−=−.参考答案1、集合★
★★★★1．【答案】C【解析】解:因为28120{2Bxxxxx=−+=或6}x,所以R26Bxx=ð,又有2,3,4,5,6A=,所以()R3,4,5AB=ð.2．【答案】B【解析】因为32,Axxnn==−N，6,7,
10,11B=，则7,10AB=，故集合AB的元素个数为2.3．【答案】C【解析】解不等式2230xx−−，得13x−，因此3Z{0,1,12}Axx−==∣，所以集合A的子集个数为328=.4．【答案】D【解析】当0a=时，20xa==；当1a=
时，22xa==；当2a=时，24xa==，故0,2,4N=，故{0,2}AN=，5．【答案】A【解析】∵|1Ayy=，{|1}Bxx=，由此可知AB，ABB=，ABA=，IAB=ð，6．【答案】C【解析】当
A=时,即2135aa+−,6a时成立;当A时,满足21353516215aaaa+−−+,解得67a;综上所述:7a.7．【答案】D【解析】220(,0)(2,)Mxxx=−=−+，()l
n11(e1,)Nxx=+=−+,A、B选项错误；(2,)MN=+，(,0)(e1,)MN=−−+，故C错误，D正确.8．【答案】C【解析】由260xx+−，()()023xx+−，解得23x−，所以()2ln6||23Bxyxxxx==+
−=−，集合|2Axaxa=+，因为AB，所以223aa−+，解得21a−．9．【答案】C【解析】|1Axx=，|1Bxx=，|1UAxx=ð，则AB=，A错误，UBAð，B错误，C正确，|1ABxx=或1x，D错误.10．【答案
】A【解析】由ABA=知：BA，当23a+=，即1a=，则21a=，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；当22aa+=，即1a=−或2a=，若1a=−，则21a=，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；若2a=，则1,3,4A=，{1,4}B
=，满足要求.综上，2a=.2、常用逻辑用语★★1．【答案】A【解析】因为11baabab−−=，所以当0ab时，0,0abba−，所以110baabab−−=即11ab，当11ab时，取1,1ab==−，得不到0ab，所以0ab
是11ab充分不必要条件，2．【答案】C【解析】函数()xfxa=为增函数,则1a,此时10a−,故函数()1agxx−=在()0,+上单调递增;当()1agxx−=在()0,+上单调递增时,,10a−,所以1a,故()xfxa=为增函数.3．【答案】D【解析】p为0xR，
()()00120xx−+，等价于0xR，00102xx−+或02x=−.4．【答案】B【解析】对A，若22ambm中，0m=时ab也成立，故A错；对B，当34x=时，tan1x=−，故tan1x，若tan1x=，则(41)4kx
+=，故B对；对C，存在量词命题的否定是1,2xxx+R，故C错；对D，若1,,xyxy=均为负数，则lg,lgxy无意义，故D错.5．【答案】C【解析】由已知得圆心()1,1C−，半径5r=，圆心C到直线0xyb++=
的距离52bd==，所以10b=，即10b=，所以所求直线方程为100xy+=．“10b=”是“直线0xyb++=与圆()()22:115Cxy++−=相切”的充要条件，6．【答案】B【解析】化简不等式，可知05x推不出11x−
；由11x−能推出05x，故“250xx−”是“|1|1x−”的必要不充分条件，7．【答案】D【解析】命题“21,2,0xxa−”为真命题,则2ax对1,2x恒成立，所以()2maxax，故4a，所以命题“21,2,0xxa−”为真命题的充分
不必要条件需要满足是4aa的真子集即可，由于5aa是4aa的真子集，故符合8．【答案】C【解析】命题“()21,3,2130aaxaxa−−−+−”为假命题，其否定为真命题，即“()21,3,2130aaxaxa
−−−+−”为真命题．令22()23(21)30gaaxaxxaxxax=−++−=−−++，则(1)0(3)0gg−，即22340350xxxx−++−，解得14503xxx−或，所以实数x的取值范围为51,0,43−.
9．【答案】B【解析】由已知可得36abx=−，由ab可得()233x−=，解得2x=−，所以由a与b的夹角为钝角可得3602abxx=−−解得2x，且2x−.因此，当2x时，a与b的夹角不一定为钝角，则充分性不成立；当a与b的夹角为钝角时，2x，
且2x−，即2x成立，则必要性成立.综上所述，“2x”是“a与b的夹角为钝角”的必要不充分条件.10．【答案】A【解析】∵公比0q，∴20212024aa，∴420212020aqaq，∴4qq，∴()310qq−，∴()()2
110qqqq−++，∴()10qq−，∴01q，又∵20222023aa，∴2320202020>aqaq，∴23qq，∴()210qq−，∴1q且0q，∴011qq且0q，即“20212024aa”是“20222023aa”的充分不必要条件．3、复数★★★★★
1．【答案】A【解析】()22i1iiiz−=+−=,2．【答案】D【解析】11111(1)(1)22iiiii+==+−−+的共轭复数为1122i−对应点为11(,)22−，在第四象限.3．【答案】A【解析】复数34iz=−，则i34z=+，22||3(4)5z=+−=，所以34i55
zz=+.4．【答案】C【解析】11iz=−对应的点为()1,1-，其中()1,1-关于0xy−=的对称点为()1,1−，故21iz=−+，故121i+1i22i4422zz−=−−=−=+=.5．【答案】A【解析】由3i2i1ia+=
+−可得()()3i2i1i3ia+=+−=−，所以1a=−，所以1iz=−，则()22112z=+−=.6．【答案】C【解析】由1i1zz+=−−解得()()()()1i1i1ii1i1i1iz+−−
+===−−+−+−−，所以1z=.7．【答案】A【解析】3i(3i)(2i)23(6)i2i55aaaa++−++−==+，则230a+=，有32a=−.8．【答案】A【解析】()()()()()22ii212i2iiii1aaazaaaa+−++−+===++−+因为复数2iiza+=
+的实部与虚部相等，所以212aa+=−，解得3a=−故实数a的值为3a=−.9．【答案】AC【解析】对于A，设()12i,i,,,,Rzbabzcacdd=+=+，则()()222222222212zz
acbdadbcacadbcbd=−++=+++222212abcdzz=++=，故A正确；对于B，当1234i,43izz=+=+时，129165,1695zz=+==+=，故B错误；对于C，设11i,izabzab=+=−，,R
ab，2211zzab=+，2221zab=+，故C正确；对于D，设11i,izabzab=+=−，,Rab，222222112i,2izababzabab=−+=−−，当0a=或0b=时，221
1zz=，故D错误.10．【答案】BCD【解析】设izab=+(),Rab、iwcd=+(),Rcd；对A：设izab=+(),Rab，则()222222i2i2izabaabbabab=+=+−=−
+，()222222||zabab=+=+，故A错误；对B：2zzzzz=，又2zzz=，即有22||zzzz=，故B正确；对C：()iiiabcdzacdwb=+−=+−−−−，则()iaczwbd−−−−=，izab=−，iwcd=−，则()iiizwabcd
acbd=−−+=−−−−，即有zzww−=−，故C正确；对D：()()()()()22iiiiiiizcwabcdacbdadbcabcdcdcdd+−+−−+===++−+()22222222222
22222222acbdadbcacabcdbdadabcdbccdcdcd+−+++−+=+=+++()222222222222222222222acbdadbcacbdadbccdcd++++++==
++，()()2222222222222222abcdzababcdwcdcdcd+++++===+++2222222222acbcadbdcd+=+++，故zzww=，故D正确.4、平面向量★★★★★1．【答案】A【解析】解法1：()()22320,ACCBOCOA
OBOCOCOAOB+=−+−=−+=2OCOAOB所以=−解法2：因为20ACCB+=，所以A为线段BC的中点，如图，过C做CE//BO，且交OA的延长线于点E，则OCOEECOAOB所以=+=+,由图可知所以21，==−，2OCOAOB所以=−。2．【答案】D【解析】等比数
列na公比为q，而1232343,24aaaaaa==，则32341238aaaqaaa==，解得2q=，(1,2)a=，(2,6)b=，则2(4,10)ab+=，对于A，(1,4)c=，因441100−，则A不是
；对于B，(1,5)c=，因451100−，则B不是；对于C，(5,2)c=，因425100−，则C不是；对于D，(2,5)c=，因452100−=，则D是.3．【答案】B【解析】根据题意可得120naaa+++=，所以21naaa+
+=−，所以1a与2naa++的位置关系为反向平行.4．【答案】D【解析】因为BDBAAC=+，AEACCB=+，所以()DEDBBAAEBAACBAACABAC=++=−−+++−，所以()
12DEABAC=+−，因为ABC为边长为2的等边三角形，所以2,,60ABACABAC===，所以()()141222cos6022DBABAEABCA==+−+−=，所以[0,1]，DEAB为
定值，D正确；A，B，C错误.5．【答案】C【解析】设,BMaBNb==，则32BDab=+，MNba=−，设BHBD=，MHMN=，则32BHab=+，MHba=−，因为()1BHBMMHabaab=+=+−=−+，所以312=−
=，解得15=，所以15BHBD=，即5||1||BHBHBDBD==.6．【答案】A【解析】由题意GAGBGAGB+=−，所以22()()GAGBGAGB+=−，即222222GAGBGAGBGAGBGAGB++=+−，所以0GAGB=uuruuur，所以AGB
G⊥，又211()()323AGACABACAB=+=+，211()()323BGBABCBABC=+=+，则11()()()099AGBGACABBABCACBAACBCABBAABBC=++=+++=，所以2CACBACABBABCAB=++，即2coscosco
sabCbcAacBc=++，由222cos2bcaAbc+−=，222cos2acbBac+−=，222cos2abcCab+−=，所以2225abc+=，所以222244cos()2555abcababCabbaba+−==+=，当且仅当ab=时等号成立，又cosyx=在()0,π上单调递
减，()0,πC，所以当C取最大值时，cosC=45.7．【答案】AD【解析】当1t=时，(5,4)mn+=，所以||41mn+=，故A项正确；64424mnttt=+−=+，当2t−时，0mn，但当311t=时，向量m与
向量n同向，夹角为0，故B项错误；若mn∥，则311t=，故C项错误；若mn⊥，则0mn=，即324(1)0tt+−=，解得2t=−，故D项正确．8．【答案】AD【解析】在平面直角坐标系中，令12(1,0),(,),(,)abxbcx
c===，由2ab=，12ac=，得12x=，212x=，则1(2,),(,)2bbcc==，对于A，1(,)2acc−=−，因此21||||4accc−=+=，A正确；对于B，由,,ABC三点共线，得(1)OAOBOC=−+，即1(1,0)(1)(2,)(,
)2bc=−+，于是12(1)12−+=，解得23=，即1233abc=+，B错误；对于C，)1(,)2(1,,cbabac−=−−=，由向量ba−与ca−垂直，得12bc=，而1(,)22babcc=++−，则2221113|()244442|2bcbcbacbbcc=++=+++
++=−，当且仅当bc=时取等号，C错误；对于D，令向量ba−与b的夹角为，(1,)bab−=，当0b=时，0=，tan0=，当0b时，不妨令0b，(1,)Db，则baOD−=，BOD=，显然tan,tan2bDOAbBOA==，2tantan22ta
ntan()1tantan242212bbDOABOAbbDOABOAbDOABOAbbb−−=−====+++，当且仅当2b=时取等号，D正确.9．【答案】1767【解析】如图：连接AE，由题意知ABD
BCECAF，且,,DEF分别为,,BECFAD的中点，ABDBCECAF.所以12DEFAEFAFCSSS==，7ABCAFCABDBCEDEFDEFSSSSSS=+++=,得17DEFABCSS=.()11112222ADABBDABBEABBCCEABBCCF=+=+=++=+
+BCACAB=−，1=2CFAFACADAC−=−，化简得4277ADABAC=+，所以426777+=+=10．【答案】3−【解析】由||1m=，||3n=r，3mn=−，可得1cosmnmnmn=−=，因为[0,]mn，所以mn=，所以向量m与
n共线且反向，可得3nm=−，又由()12,mmm=，()12,nnn=，可得11223,3nmnm=−=−，所以121212123)(3nnmmmmmm+−+==−++.5、三角函数★★★★★1．【答案】D【解析】因为为锐角，所以ππ2π,663+且π3cos63
+=，所以22πsin06ππsincos166++++=得π6sin63+=，由诱导公式得ππππ3sinsincos32663
−=−+=+=，ππ6cossin363−=+=.所以π3sinπ233tanπ326cos33−−===−
.2．【答案】A【解析】因为()0,2πx，0，所以πππ,2π333x−−−，画出2cos1yz=+的图象，要想图象在区间()0,2π内至多存在3条对称轴，则ππ2π,3π33−−，解得50,3.3．【答案
】B【解析】因为2133ADABAC=+,所以111333BDADABABACBC=−=−+=，所以D点在线段BC上靠近B点的三等分处，如图所示，过点D作DEAB⊥交AB于点E，过点D作DFAC⊥交AC于点F，则sin,sin,sin,sin2DEDE
DFDFBCBDADDCAD====，所以sinDEAD=，sin2DFAD=，所以sin3sinsin13DEADADBBDBCBC===，sin23sin23sincossin223DFADC
DCBCBCBC====，所以sincossinCB=.4．【答案】C【解析】设盛水桶在转动中到水面的距离为d，时间为t，由题意可得，盛水桶到水面的距离d与时间t的函数关系如下：π3sin216dt=++
，令0d=，即π3sin2106t++=，解得π1sin263t+=−，又π02t，可得π7ππ<2t+66，π22cos263t+=−，ππππππcos2cos2cos2cossin2sin666666tttt
=+−=+++2231126132326+=−+−=−，故C正确；π02t，02πt，2261223sin2166t+−=−=，故D错误；又2cos212sintt=−，解得33
2sin6t+=，故B错误；2cos22cos1tt=−，解得36cos6t−=，故A错误.5．【答案】D【解析】因为为第一象限角，3sincos03−=，则sincos0，22cos2cossin0=−
，21(sincos)3−=，即11sin23−=，解得2sin23=，25cos21sin23=−−=−，所以sin225tan2cos25==−.6．【答案】D【解析】根据题意可知若π0,2x，则可得ππππ,3323x−−−；显然当
0x=时，可得π2sin33x−=−，由()fx的值域为3,2−，利用三角函数图像性质可得πππππ3322−+，解得51033，即的取值范围是510,33.7．【答案】D【解析】因为2sinsin3−=，2coscos1−=，所以平方得，(
)22sinsin3−=，()22coscos1−=，即224sin4sinsinsin3−+=，224cos4coscoscos1−+=，两式相加可得44sinsin4coscos14−−+=，即1
coscossinsin4+=，故()1cos4−=，()()217cos222cos121168−=−−=−=−.8．【答案】A【解析】由题意GAGBGAGB+=−，所以22()()GAGBGAGB+=−，即222222GAGBGAGBGAGBGAGB
++=+−，所以0GAGB=uuruuur，所以AGBG⊥，又211()()323AGACABACAB=+=+，211()()323BGBABCBABC=+=+，则11()()()099AGBGACABBABCACBAACB
CABBAABBC=++=+++=，所以2CACBACABBABCAB=++，即2coscoscosabCbcAacBc=++，由222cos2bcaAbc+−=，222cos2acbBac+−=，222cos2abcC
ab+−=，所以2225abc+=，所以222244cos()2555abcababCabbaba+−==+=，当且仅当ab=时等号成立，又cosyx=在()0,π上单调递减，()0,πC，所以当C取最大值时，cosC=45.9．【答案】33−【解析】()sin(2π2
π33)gfxxx=+=++，由于()gx是偶函数，所以2πππ,Z32kk+=+,故ππ,Z6kk=−+，所以ππ3tantanπtan663k=−+=−=−，10．【答案】3【解析】因为2
2ABCSABAC=△，故12sincos22ABACAABACA=,故tan2A=，故A为锐角，故6sin3A=，故外接圆的半径为2613263=，6、解斜三角★★★★★1．【答案】A【解析】因为::sin:sin:sin
2:4:5abcABC==，令2at=，4bt=，()50ctt=，则2222224251613cos222520acbtttBactt+−+−===.2．【答案】D【解析】由余弦定理得：22222cos9313bacacBcc=+−=+−=，即2340
cc−−=，解得：1c=−（舍）或4c=，4c=.3．【答案】B【解析】由面积公式得：112sin22B=，解得2sin2B=，所以45B=或135B=，当45B=时，由余弦定理得：21222cos45AC=+−=1，所以1AC=，又因为AB=1，
BC=2，所以此时ABC为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以135B=，由余弦定理得：21222cos135AC=+−=5，所以5AC=，故选B.考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.4．【答案】A【解析】由于60A=,
13sin24ABCSbcAbc==△，故有334bc=，解得4bc=，又6bc+=，则()2222cos3361226abcbcAbcbc=+−=+−=−=,5.【答案】C【解析】因为AB，由大角对大边可得ab，由正弦定理得sins
inabAB=，且(),0,πAB，所以sin0,sin0AB，故sinsinAB，充分性成立，同理当sinsinAB时，(),0,πAB，sin0,sin0AB，由正弦定理sinsinabAB=可得ab，由大边对大角可得AB，必要性成立
，“AB”是“sinsinAB”的充要条件.6．【答案】C【解析】26a=，2bc=，2221cos24bcaAbc+−==−，所以222424144ccc+−=−，解得2c=，4b=，因为()0,A，所以15sin4A=，1115sin2415224ABCSbcA==
=.7．【答案】B【解析】因为coscossinbCcBaA+=，所以由正弦定理可得2sincossincossinBCCBA+=，()22sinsinsinsinBCAAA+==，所以sin1,2AA==，所以是直角三角形.8．【答案】C【解析】由题可知222124A
BCabcSabsinC+−==所以2222absinCabc+−=由余弦定理2222abcabcosC+−=所以sinCcosC=()C0,πC4=9．【答案】32【解析】在ABC中，取AC的中点N，连接MN，
由M为BC的中点，得1722MNAB==，在AMN中，由余弦定理得2222cosMNAMANAMANCAM=+−，则2711442AMAM=+−，即213022AMAM−−=，而0AM，所以32AM=.10．【答案】3【解析】因为22
ABCSABAC=△，故12sincos22ABACAABACA=,故tan2A=，故A为锐角，故6sin3A=，故外接圆的半径为2613263=7、数列★★★★★1．【答案】C【解析】由题意可知，数列前
2项都是1，从第二项开始，构成公比为12的等比数列，所以前5项和为：11123112488++++=.2．【答案】D【解析】设等差数列na的公差为d，故4715812902114aaadaaad+=+
=+=+=−，解得：192ad==−，由于0d，故na是递减数列，①正确；()()2192102nnnSnnn−=+−=−，令2100nSnn=−，解得：010n，且Nn，故使0nS成立的n的最大值是9，②正确；()()9122
11nann=+−−=−+，当15n时，0na，当6n时，0na，故当5n=时，nS取得最大值，③正确；626111a−+==−，④错误.3．【答案】D【解析】对于A,若111,,22aq=−=符合10nnnnaaaqa+=，此时11112211212nnnS
−−==−+-，故存在1M=,对Nn，1112nnS=−，但此时na是递增数列，故A错误，对于B，若111,,22aq==12nna=，符合10nnnnaaaqa+=，此时11112211212nnnS−==−-，故存在1M=,对Nn，111
2nnS=−，但此时na是递减数列，11221112nnnnnaS−==−，故BC错误，对于D，存在0NN，当0nN时，1100na，则00000121212100nNNNnNnNSaaaaaaaaa++−=++++++++
+++,当n→+时，nS→+，这与0M，使得nN，nSM矛盾，故存在0NN，当0nN时，1100na，故D正确4．【答案】C【解析】设第n层放小球的个数为na，由题意212aa−=
，323aa−=，……，数列1nnaa+−是首项为2，公差为1的等差数列，所以()*12(2)2,Nnnaannnn−−=+−=．故12111()()12(1)2nnnaaaaaannn−=+
−++−=+++=+，故40140418202a==．5．【答案】B【解析】由题意，要使5a最小，则1a，3a，5a都是负数，则2a和4a选择1和4，设等比数列{}na的公比为(0)qq，当44a=时，21a=，所以2424aqa==，所以2q=−
，所以544(2)8aaq==−=−；当41a=时，24a=，所以24214aqa==，所以12q=−，所以54111()22aaq==−=−；综上，5a的最小值为－8.6．【答案】C【解析】对于A，若π2=，则11πsin2nnnaa+==，所以()(
)()5010012349910011Taaaaaa===，故A正确；对于B，若π6=，则1π1sin62nnnnaa+==，所以11212nnnaa+++=，两式相除得212nnaa+=，所以41911216aaa==
，故B正确；对于C，因为()1sinnnnaa+=，所以()112sinnnnaa+++=，所以2sin1nnaa+=，又因为数列na各项均为正数，所以2nnaa+，即2121kkaa+−，故不存在及正整数k，使得2121kkaa+−＞，故C错误；
对于D，若na为等比数列，设其公比为()0qq＞，则()()2121111sinnnnnnnaaaaqaqqq−+===，所以2121sinaqq==，则41sina=，故D正确.7．【答案】92336【解析】记第n个图形的点数为na，由题意知11a=，214131
aa−==+，32132aa−=+，43133aa−=+，…，113(1)nnaan−−=+−，累加得147[13(1)](31)2nnaann−=++++−=−，即(31)2nnan=−，所以892a=．又312nann−=，所以3221111262(25862)213362321222
aaaa+++++=++++==．8．【答案】880【解析】设等比数列的公比为(1)qq，则4844027.5q=，所以122q=，则左起第61个键的音的频率为()5601227.527.5880(Hz)qq==．9．【答案】65【解析】由题意得1
1212123,1nnnnnbaanaanaa+−=−=−−=−−=，累加得()()()21123112nnnaan+−−=−−=，即()()2112naann=+−，则221059465aa−=−=．10
．【答案】101091π92−【解析】如图，设圆12,OO与OA分别切于点,CE，则12,OCOAOEOA⊥⊥，圆12310,,,,OOOO的半径为12310,,,,rrrr，因为π3AOB=，所以π6AOD=，在1RtOOC△中，1
12OOr=−，则1112OCOO=，即1122rr−=，解得123r=，在2RtOOE中，22122OOrr=−−，则2212OEOO=，即212222rrr−−=，解得212193rr==，同理可得3221273rr==，所以12310,,,,rrrr是以123r
=为首项，13为公比的等比数列，因为211Sr=，所以面积1S，2S……构成一个以214ππ9r=为首项，以19为公比的等比数列，则110120100141π[1()]91π9919219SSS−−+++==−，8、立体几何★★★★★1．【答案】C【解析】正方体中
，11//ABDC，所以1AD与1AB所成的角即异面直线1AD与1DC所成的角，因为1ABD为正三角形，所以1AD与1AB所成的角为π3，所以异面直线1AD与1DC所成的角为π3.故选：C.2．【答案】A【解析】设圆锥的半径为r，母线长为l，则8r=，由题意知，π2π3
rl=，解得：48l=，所以圆锥的侧面积为π848π=384πrl=.3．【答案】D【解析】大圆柱表面积为2215π10215π750π+=小圆柱侧面积为102πr，上下底面积为22πr所以加工后物件的表面积为2750π
20π2πrr+−，当=5r时表面积最大.4．【答案】D【解析】因为AC⊥平面BCD，BD平面BCD，所以ACBD⊥，又BDCD⊥，ACCDC=，,ACCD平面ACD，所以BD⊥平面ACD，因为AD平面ACD，所以BDAD⊥，在Rt△ABD中，3AB=，1BD=，则2222ADABB
D=−=，因为AC⊥平面BCD，CD平面BCD，所以ACCD⊥，在RtACD△中，不妨设(),0,0ACaCDbab==，则由222ACCDAD+=得228ab+=，所以()22111122224
4ACDSACCDababab===+=，当且仅当ab=且228ab+=，即2ab==时，等号成立，所以11221333ABCDBACDACDVVSBD−−===，所以该三棱锥体积的最大值
为23.5．【答案】B【解析】如图，设P在底面ABCD的射影为H，则PH⊥平面ABCD，且H为,ACBD的交点.因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为16，且142222AH==，故1641633PH=，故4P
H=.由正四棱锥的对称性可知O在直线PH上，设外接球的半径为R，则4OHR=−，故()2284RR=+−，故3R=，故正四棱锥PABCD−的外接球的表面积为4π936π=，6．【答案】B【解析】设正方体棱长为a
，正四面体棱长为b，球的半径为R，面积为S.正方体表面积为26Sa=，所以26Sa=，所以，()()3232321216SVaa===；如图，正四面体−PABC，D为AC的中点，O为ABC的中心，则PO是−PABC底面ABC上的高.则BDAC⊥，12ADb=，所以2232BDABADb=−
=，所以211332224ABCSACBDbbb===，所以，正四面体−PABC的表面积为243ABCSSb==，所以233bS=.又O为ABC的中心，所以2333BOBDb==.又根据正四面体的性质，可知POBO⊥，所以2
263POPBBOb=−=，所以，22213ABCVSPO=22136343bb=363113372723648bSS===；球的表面积为24πSR=，所以24πSR=，所以，2233341π336πVRS==.因为333331
111336π1442166482163SSSSS=，所以，222312VVV，所以，213VVV.7．【答案】D【解析】设圆台的母线长为l，因为该圆台侧面积为35π，则由圆台侧面积公式可得π(12)3π35πll+==，所以
5l=，设截去的圆锥的母线长为l，由三角形相似可得12lll=+，则25ll=+，解得5l=，所以原圆锥的母线长5525ll+=+=，8．【答案】56【解析】设棱长为2，则所以原正方体的体积为328V==，所以二十四等边体为311202811132
3V=−=，所以二十四等边体与原正方体的体积之比为205246VV==．9．【答案】3π【解析】如下图所示，易知四棱锥PABCD−外接球与以,,APABAD为棱长的长方体的外接球相同；由题意可知球心O为PC中点，故球O的直径()2
22222224R=++=，解得2R=由,MN分别是,PDCD的中点可得//MNPC，可得//PC平面AMN；所以球心O到平面AMN的距离等于点C到平面AMN的距离，设球心O到平面AMN的距离为d，截面圆的半径为r，在三棱锥CAMN−中
，易知AM⊥平面MNC，且12212MNCS==，所以1233MAMNCNCSVAM−==，而1112223323AAMMNCNSddVd−===，由等体积法得1d=，所以2223rRd=−=，
故截面面积为2π3πr=．10．【答案】231【解析】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高3hr=，母线2lr=，由题可知：2hR=，所以球的半径32Rr=所以圆锥的体积为()23113π3π33Vrrr==，球
的体积33324433πππ3322VRrr===，所以31323π2333π2rVVr==；圆锥的表面积221ππ3πSrlrr=+=，球的表面积222234π4π3π2SRrr===，所以21223π13πSrSr==，
9、直线和圆★★★★★1．【答案】C【解析】因为两圆相交，所以两圆的圆心距RrdRr−+即410d，仅有C满足，2．【答案】B【解析】因为直线3:3lyx=的倾斜角为30，所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线3yx=上．设圆心(),3Caa
，则圆C的方程为()()2223xayaa−+−=，将点()23P,的坐标代入，得()()222233aaa−+−=，整理得231070aa−+=，解得1a=或73a=；所以圆C的直径为2或143．3．【答案】C【解析】设这100个圆的半径从小
到大依次为12100,,,rrr，则由题知，211r=每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，有()22111,2,,99nnrrn+−==，则2nr是首项为1公差为1的等差数列，1,2,,100n=，所以2100100r=，
得10010r=.4．【答案】B【解析】由()2212330axaya−+−−=可得222123011aaxyaa−+−=++，令tan2a=，由万能公式可得22222222cossin1tan1222cos1cossin1tan222aa
−−−===+++，22222sincos2tan2222sin1cossin1tan222aa===+++，所以直线l的方程为cossin30xy+−=①，由题意可知过原点与直线l垂直的直线方程为sincos0xy−=②，22+①②可得229xy+=，即表示点Q的轨迹
为圆心为(0,0)半径为3的圆，于是线段PQ长度的取值范围为[,]rPOrPO−+，因为2PO=，所以线段PQ长度的取值范围为1,5，5．【答案】D【解析】设动圆圆心(),Pxy，半径为r，则P到1l的距离12321
3xyd−+=，P到2l的距离232313xyd−+=，因为12,ll被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，222212226,224rdrd−=−=，化简后得222212169,144rdrd−=−=，相减得222125dd−=，将123213xyd−+=，23231
3xyd−+=代入后化简可得()22165xy+−=.6．【答案】A【解析】解：设()Qxy，，由题意得2222(3)23()2xyxy−+=−+，化简可得动点Q的轨迹方程为22(1)1xy−+=，圆心为()
10C，，半径为1r=．又由()()214110mxmym+−−+−=，可得()()12410xymxy+−+−+=．则由102410xyxy+−=−+=，，解得1212xy==，所以直线l过定点1122P，，因为22111(1)()1222−+=
，所以点1122P，在圆C的内部．作直线CDl⊥，垂足为D，设02PCD=，，因为22112(1)()222PC=−+=，所以2coscos2CDPC==，所以2
22121(cos)21cos22AB=−=−，所以()22211221121coscoscos1222222ABCS=−=−−+，所以当2cos1=，即0=时，()max12ABCS=．此时CPl⊥，又1021112CPk−==−−，所以直线l的斜率为1
k=，所以直线l的方程为yx=，7．【答案】2210xy++=【解析】由于112210xy++=，222210xy++=，故()11,Axy，()22,Bxy均满足方程2210xy++=，由两点确定唯一的直线，故直线AB的方程为2210xy++=，8．【答案】1216(,)2525
【解析】因为(3,4)P，PM，PN是过点P的圆O的切线，所以MN的方程为344xy+=，即314yx=−+，又过P作斜率为1的直线l，所以直线l的方程为1yx=+，设直线l与线段MN交于点G，联立直线l和直线MN的方程得1314yxyx=+=−+，解得0x=，即点G的
坐标为(0,1)，当点M在左，点N在右，如图所示，可知180MQPMQG+=，当180DQNPQM+=时，则MQGDQN=，作MQN的平分线，交于O于第三象限一点H，则直线OP过点H，则GQHDQH=因为点P坐标为(3,4)，所以直线OP的方程为34yx=，直
线OP的方程与O方程联立，22344yxxy=+=，得出点H坐标为68(,)55−−，直线l的方程与O方程联立，2214yxxy=++=，解得172x−=，因为Q在PMN内，所以点Q坐标为1717(,)22−++，所以17825725917625QHQHQ
Hyykxx++−+===−−++，设直线QD的斜率为003(1)4QDQDQDymyykxxxm−−+−==−−，因为GQHDQH=，所以11QHQGQDQHQHQGQDQHkkkkkkkk−−=++，即1111QHQDQHQHQDQHkkkkkk
−−=++，解得222113411072162707QHQHQDQHQHkkkkk+−+==−++−+，联立直线MN与直线QD的方程得：3141717()22QDyxykx=−+−++=−+，解
得17(1)234QDQDkxk−−=+，代入134110762707QDk+=−+得1225x=，则点D的坐标为1216(,)2525，同理可得点当点N在左，点M在右，得出点D的坐标为1216(,)2525，9．【答案】38【解析】设1A、1B分别为A、B点的起点，2A、2B分别为A、B点
运动的终点，则图中阴影部分即为线段AB扫过的面积.如图所示，则1(1,0)A−，2(2,0)B，设111(,)Bxy，222(,)Axy，∵曲线1C方程：22211(0)yxxyy=−+=，曲线2C方程：22222(0)yxxyy=−+=，221112111((1
))1112yxxyyx+−−==−==−，即：1(1,1)B−，2222222222(2)12212xyxyxy=+−==−=，即：222(,)22A，记1CS为圆221xy+=的面积，2CS为圆222xy+=
的面积，11ADBS为1DB与1AD、11AB围成的面积，22ABFS为2AF与2BF、22AB围成的面积，1S为上半圆环的面积，S为线段AB扫过的面积.则211111()(2ππ)π222CCSSS=−=−=，因为111AB=，11OA=，12OB=，所以222
1111ABOAOB+=，所以111OAAB⊥，所以1145AOB=，所以11112111π1118242ADBOABCODBSSSS=−=−=−△，又因为221AB=，21OA=，22=OB，所以222OAAB⊥，所以2245AOB=，所以222212111π112828
ABFOABCAOFSSSS=−=−=−△，所以112211π11π3ππ242288ADBABFSSSS=−−=−−−−=.10．【答案】12+/21+【解析】由函数()ln2yx
a=−+可得()2lnyxa−=−，即2eyxa−=+；所以()ln2yxa=−+的反函数为2exya−=+；由点()22,Bxy在曲线()ln2yxa=−+上可知点()122,Byx在其反函数2exya−=+上，所以()()221221ABd
xyxy=−+−相当于2exya−=+上的点()122,Byx到曲线()ln2yxa=−+上点()11,Axy的距离，即()()1221221ABABddxyxy==−+−，利用反函数性质可得2exya−=+与()ln2yxa
=−+关于yx=对称，所以可得当1AB与yx=垂直时，1ABABdd=取得最小值为2，因此1,AB两点到yx=的距离都为1，过点1,AB的切线平行于直线yx=，斜率为1，即11yxa==−，可得()1,ln122xayaa=+=+−+=，即()1,2Aa
+；A点到yx=的距离1212ad+−==，解得12a=；当12a=−时，()()ln2ln122yxax=−+=−++与yx=相交，不合题意；因此12a=+.10、椭圆、双曲线、抛物线★★★★★1．【答案】A【
解析】设动点(,)Pmn，0m，P与F外切于点Q，则PFPQQF=+，由抛物线焦半径公式得，2pPFm=+，F的半径为2p，即2pQF=，所以22ppPQPFQFmm=−=+−=，即P的半径为m，所以点P到y轴的距离为m，则P与直线0x=相切，2．【答案】C【解析】
由题意可知，2216552525PAPBnnnkkmmm===−+−−，整理得()22152516mnm+=，则()221616525mnm=−，故()22284416525mmnm+=+，因为55m−，所以2025m，所以284161610025m+
，即)22416,100mn+．3.【答案】D【解析】A若方程22158xykk+=−−表示椭圆，则508058kkkk−−−−，解得1352k或1382k，故A错误；B双曲线221515yx−=化成标准方程为22115yx−=，焦点坐
标为(0,4)，椭圆221925yx+=的焦点坐标为(4,0)，不相同，故B错误；C双曲线221412xy−=中2,23,4abc===，因为M是双曲线221412xy−=上一点，点1F，2F分别是双曲线左右焦点，所以由双曲线的定义得1224MFMFa−==，若15MF=
，则29MF=或1，而双曲线上的点到焦点距离的最小值为2ca−=，所以舍去21MF=，所以29MF=，故C错误；D设00(,)Axy，因为A是椭圆22221xyab+=上任一点，所以2200221xyab+=，所以2222002bxyba=−，又
因为直线ykx=与椭圆C：22221xyab+=交于P，Q两点，所以设1111(,),(,)PxyQxy−−，2211221xyab+=，所以2222112bxyba=−，因为直线AP与直线AQ的斜率之积为13−，所以222201012222222220101012222222010101
0112222013APAQbxbxbxbxbbyyyyyybkkxxxaxxxxxaaxaxa−−+−==−===−=−−+−−−−−，所以2213ba=，所以22222213cbeaa==−=，又01e，所以63e=，故D正确；4．【答案】A
【解析】依题意，抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，设C的方程为：22,0ypxp=，显然直线PQ不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：2xty=+，点221212(,),(,)22yyPyQypp，由222xtyypx=+=消去x
得：2240yptyp−−=，则有124yyp=−，由OPOQ⊥得：22121244022yyyyppOPOQp=+=−=，解得1p=，于是抛物线C：22yx=的焦点1(,0)2F，弦PQ的中点M的纵坐标
为22ptt=，则点2(2,)Mtt+，显然直线MF的斜率最大，必有0t，则直线MF的斜率222633632222tkttttt===++，当且仅当32tt=，即62t=时取等号，所以直线MF的斜率的最大值为66.5．【答案】B【解析】由PABPMNSS
=△△，则11sinsin22APBPAPBMPNPNPM=，由图知：当P位置变化时，APBMPN=或πAPBMPN+=，故sinsinAPBMPN=，所以PAPBPNPM=，而直线AP、BP斜率存在且不为00
(1)x，故22001111APBPPAPBkxkx=+++−，22001212APBPPNPMkxkx=+−+−，所以22001(2)xx−=−，即22000144xxx−=−+或22000144xxx−=−+，当2200014
4xxx−=−+，化简得054x=.当22000144xxx−=−+时，2002430xx−+=，显然16200=−，无解.所以054x=.6．【答案】D【解析】已知双曲线方程为：22221(0,0)xyabab−=，()11,Pxy，()11,Qxy−−是双曲线上关于原点对称的两点，点
()()2221,Txyxx也在双曲线上，则22=PTQTbkka．推导：由22221xyab−=得，()22222byxaa=−，则()2222112byxaa=−，()2222222=−byxaa，所以()()()22222222222221212222121212222222212121
2121−−−−−+−=====−+−−−PTQTbbbxaxaxxyyyyyybaaakkxxxxxxxxxxa解析：()11,Pxy，()11,Qxy−−，()1,0−Hx，()22,Txy，则11ykx=选项A，双曲线22:
14xCy−=，所以渐近线方程为12yx=，直线与双曲线交于P，Q两点，所以1122k−，由已知，0k，所以该选项正确；选项B，1111122====+PHPTyykkkxxx，所以该选项正确；选项C，2214==PTQTbkka，∴12=QTkk，∴12=P
QQTkk，所以该选项正确；选项D，因为12=PQQTkk，所以2212?2122PQQTPQQTkkkk+==，故该选项错误；7．【答案】2214948xy+=或2214948yx+=或221625624yx+=或2625x+21624y
=(答案不唯一，写出一个即可)【解析】含10的勾股数有(6,8,10),(10,24,26)，不妨令mn，则有86acac+=−=或2624acac+=−=，解得71ac==或251ac==当7,1ac==时，22248bac=−=;当=a25,1c=时，22262
4bac=−=.故椭圆C的标准方程为2214948xy+=或2214948yx+=或221625624yx+=或221625624xy+=.故答案为：2214948xy+=或2214948yx+=或221625624yx+=或2625x+2162
4y=(答案不唯一，写出一个即可)8．【答案】32【解析】设圆柱的底面半径为r，则椭圆短轴长为22br=，长轴长为24cos60rACr==，即24ar=，则12ba=，所以椭圆离心率为21311.42cbeaa==−=−=9．【答案】294或4116【解析】设(
),Pxy，易知抛物线2:4Cyx=焦点为()1,0F，Q为直线:5ly=上的动点，设(),5Qa，()221PFxy=−+,()()225PQxax=−+−由()()()222215PFPQxyxay=−
+=−+−222222121025xxyxaxayy−++=−++−+22121025xaxay−+=−+−+，22210240aaxxy−+−+=24yx=，即24yx=代入222221024044yyaay−+−+=，222222
11024022048022aayyyaayyy−+−+=−+−+=，()221202480ayya−−++=（1）当1a=时，5205002yy−+==，由24yx=得21252544416yx===，此时方程只有一个解，满足题意，()()22222
225595515162162PQxay=−+−=−+−=+21681411616==（2）当1a时，Δ0=，()()()()()222Δ2041248400412480aaaa=−−−+=−
−+=解得1a=−，代入()221202480ayya−−++=可得2220500yy−+=求得2554yx==，可得()()()22222529515544PQxay=−+−=++−=PQ的值为294或411610．【答案】2645(,2)5【解析】以D为原点，AB为x轴正方向建
立直角坐标系，设00(,)Pxy，则101||2Sx=，20||Sy=，所以001||||12xy−=，则001||||12yx=−，当||10PB=，||||PAPB时，00x，即22200||(1)10PBxy=−+=，所以22001(1)(1)102xx−+−=，即200
512320xx−−=，可得04x=（负值舍），则0||1y=，故2200||(1)26PAxy=++=，若0PAPBa−=，结合双曲线定义知：P在以,AB为焦点的双曲线上，但不含顶点，该双曲线为22221()1()22xy
aa−=−，即22224414xyaa−=−，双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线1||||12xy−=有交点，即双曲线的渐近线和曲线1||||12xy−=有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12，所以2
22241115160424165aaaa−，故4525a，所以实数a的取值范围为45(,2)5.11、计数原理★★★★★1．【答案】B【解析】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有2222324A
AA2=种，2．【答案】C【解析】将5位同学分为2，1，1，1的分组，再分配到4所学校，共有2454CA240=种方法.3．【答案】A【解析】（1）按照2,2,1分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸
宸”，则共有24C6=种，②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有122432CCA24=种，（2）按照3,1,1分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有3242CA8=种，②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有2242CA12=种，故共有62
481250+++=种，4．【答案】C【解析】依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：最多1个0，取奇数字有15A种，取能重复的偶数字有14A种，它们排入数位有2
2A种，取偶数字占百位有15A种，不同“回文数”的个数是11215425AAAA200=个，最少2个0，取奇数字有15A种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有15A种，不同“回文数”的个数是1155AA25=个，由分类加法计算原理知，在所有
五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有20025225+=个.5．【答案】C【解析】1与4相邻，共有22A2=种排法，两个2之间插入1个数，共有122A=种排法，再把组合好的数全排列，共有33A6=种排法，则总共有22624=种密码．6．【答案】D【解析】因为()
0133551111CCCCCC35kknnnnnnnnfxxxxxxkn=+++++++，所以()001Cnf==，所以()2135114CCCCCkknnnnnnnfxxxxx−−=++++++，则()1351CCCCCknnnnnnf=++++++，其中1135CC
C2CCknnnnnnn−++++=++，所以()121nf−=，所以()()11021nff−+=+；7．【答案】D【解析】A选项：令8178881988C3C3C3C3rrrrrrrr−+−−−−
，解得5944r，所以2r=，所以A正确；B选项：22171827339933xxCC，整理可得5343x，当01x时，不等式恒成立；当1x时，解得35413x，所以35403x，故B正确；C选项：令51003r
−=，解得6r=，所以常数项为610644101033−=CC，故C正确；D选项：令52703r−，解得815r，所以r可取17,18,27，共11项，故D错.8．【答案】B【解析】由题意可知，完成这件事情分3类，第1类：
2个女生分别去,AB，5个男生有1个去了C，有1252CA52110==种；第2类：2个女生分别去,AC，5个男生有1个去了B，有1252CA52110==种；第3类：2个女生分别去,BC，5个男生去了A，有22A212==种；根据分类加法计数原理，不同的安排
方案种数为1010222++=种.9．【答案】D【解析】由题意可知，将甲乙捆绑在一起，当成一个元素，则是5个不同的教练分配到4个不同的中学指导体育教学，由于每名教练只能去一所中学，每所中学至少有一名教练，则分4组的情况有2
5C种方法数，再将4组人分配到4所学校有44A种方法数，则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为2454CA1024240==.10．【答案】C【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有22
15312215CCCA••=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A=种方法；按照分步乘法原理，共有41560=种方法；12、统计★★★★1．【答案】
B【解析】依题意这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个数，又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，所以这组数据为6、7、8、9
、9，所以平均数为678997.85++++=.2．【答案】C【解析】依题意，246858.21326.25,444mmxy+++++++====，由26.22514m+=+，解得17.8m=，A错误；回归方程ˆ21yx=+中，20，则变量y与x是正相关关系，B错误；由于样本中心点为(5,11
)，因此该回归直线必过点(5,11)，C正确；由回归方程知，x增加1个单位，y大约增加2个单位，D错误.3．【答案】B【解析】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：8001200988.412008001200800+=+
+（小时），该地区中学生每天睡眠时间的方差为：()()228001200198.40.588.40.9412008001200800+−++−=++.4．【答案】B【解析】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，1
6，20，24，30，40，则其中位数为16.5．【答案】B【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.
52+=.6．【答案】C【解析】对于A项，总体方差与样本容量有关，故A项错误；对于B项，相关性越强，r越接近于1；故B项错误；对于C项，若()()151PXPX−+=，则()1(5)PXPX−=，所以5(1)22+−==，故C项正确
；对于D项，甲组：第30百分位数为30，第50百分位数为372+m，乙组：第30百分位数为n，第50百分位数为33447722+=，所以30377722nm=+=，解得：3040nm==，故70mn+=.故D项错误.7．【答案】C【解析】由100.252.5=，可得
第25百分位数分别为m和36.3，则36.3m=；由100.99=，可得第90百分位数分别为36.837.036.92+=和37.12n+，则37.136.92n+=，解得36.7n=；故36.736.3
0.4nm−=−=.8．【答案】D【解析】由题意得()0.0050.030.015101a+++=，解得0.05a=，因为0.050.30.35+=，0.050.30.50.85++=，则0.350.750.85，则样本数据的75%分位数
位于)80,90，则()0.35800.050.75x+−=，解得88x=，因为样本数据中位于成绩)80,90之间最多，则众数为8090852y+==，9．【答案】C【解析】对于A，2018年电子信息制造业企
业利润总额增速为负数，从2017到2018利润总额下降，故A不正确；对于B，2015年工业企业利润总额增速为负数，从2014到2015利润总额下降，2019年工业企业利润总额增速为负数，从2018到2019利润总
额下降，故B不正确；对于C，2012年─2017年电子信息制造业企业利润总额增速均为正数，所以利润总额均较上一年实现增长，且其增速均大于当年工业企业利润总额增速，故C正确；对于D，2012年─2021年工业企业利润总额增速的均值为5.312.23.32.38.52110
.33.34.134.39.3410++−+++−++=，2012年─2021年电子信息制造业企业利润总额增速的均值为7.919.717.15.912.822.93.13.117.238.914.2410++
+++−+++=，9.3414.24，故D不正确.10．【答案】D【解析】设甲组数据分别为1x、2x、L、6x，乙组数据分别为7x、8x、L、12x，甲组数据的平均数为61136iix==，可得6118ii
x==，方差为()6211356iix=−=，可得()621330iix=−=，乙组数据的平均数为127156iix==，可得12730iix==，方差为()12271536iix=−=，可得()122
7518iix=−=，混合后，新数据的平均数为1211183041212iix=+==，方差为()()()()61261222221717114431511212iiiiiiiixxxx====−+−=−−+−+()()()()61261222
171713523251212iiiiiiiixxxx=====−+−−−+−+()()130182336255612512=+−−+−+=.13、概率小题★★★1．【答案】A【解析】当1,2,3x=时，这6个点数的中位数为3，当4x=时，这
6个点数的中位数为4，当5,6x=时，这6个点数的中位数为4.5，故由古典概型概率公式可得：16P=.2．【答案】B【解析】由题可知，事件1可表示为：13,5A=,,事件2可表示为：2,4,6B=,事件3可表示为：4,5,6C=,事件4可表示为：1,2D=,因
为5AC=，所以事件1与事件3不互斥，A错误；因为AB为不可能事件，AB为必然事件，所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；因为4,6BC=，所以事件2与事件3不互斥，C错误；因为CD为不可能事件，CD不为必然事件，所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；3．【答案】B
【解析】甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：4381=种；每个地区至少安排1名专家的安排方法有：2343CA36=种；由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：364819=.4
．【答案】D【解析】由题可得()6655116636PA−==，()2556618PAB==,所以()()()51018111136PABPBAPA===.5．【答案】C【解析】因为每次只取一球，故1A，2A是互斥的事件，故A正确；由题意得()1
13PA=，()223PA=，()157PBA=，()247PBA=，()()()12152413373721PBPABPAB=+=+=，故B，D均正确；因为()22483721PAB==，故C错误.6．【答案】B【解析】对于A，由题意可知1A，2A，3A不可能同时发生，所以1A，2A，3A
两两互斥，所以A不正确；对于B，由题意可得2221131(),()844912PAPAB====，所以()2221()1121()34PABPBAPA===，所以B正确；对于C，因为321()84PA==，3131()4912PAB==，1234413137()()()()89494918P
BPABPABPAB=++=++=，所以33()()()PABPAPB，所以3A与B不是相互独立事件，所以C错误；对于D，由C选项可知D是错误的.7．【答案】A【解析】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件,,ABC，三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件D，()0.6PA
=，()0.7PB=，()0.5PC=，()()()()()PDPABCABCABCPABCPABCPABC==++0.40.30.50.40.70.50.60.30.50.29=++=，()()()0.30.40.50
.30.50.60.15PBDPABCPABC=+=+=，()()()0.15150.2929PBDPBDPD===.8．【答案】D【解析】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”
为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则422212114348CCCCC27()C35PA=+=，又1211434282CCCC24()C35PAB==，则()8()()
9PABPBAPA==，即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为89．9．【答案】B【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1
时，情况数为3353CA60=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322CCA90A=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A，情况数较多，反向思考，求甲去A的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,
1,1时，且甲去A，甲若为1，则3242CA8=，甲若为3，则2242CA12=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A，甲若为1，则224222CA6A=，甲若为2，则112432CCA24=，共计62430+=种，所以甲不在A小区的概率为()150
2030100243243−+=10．【答案】C【解析】将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，共有3333963333CCCA1680A=中分法；对于A，甲学校没有女大学生，从5名男大学生选3人分到甲学校，再将剩余的6人平均分到乙、丙学校
，共有3332635222CCCA200A=种分法，故甲学校没有女大学生的概率为2005168042=，A错误；对于B，甲学校至少有两名女大学生的情况包括恰有两女大学生和恰有三女大学生，共有3333212326363452422222CCCCCCACA680AA+=
种分法，故甲学校至少有两名女大学生的概率为68017168042=，B错误；对于C，每所学校都有男大学生，则男生的分配情况为将男生分为3组：人数为1,1,3或2,2,1，当男生人数为1,1,3时，将4名女生平均分为2组，分到男生人数
为1人的两组，再分到3所学校，此时共有323543CCA360=种分法；当男生人数为2,2,1时，将4名女生按人数1,1,2分为3组，人数1,1的2组分到男生人数为2,2的两组，2名女生的一组分到男生1人的那一组，再分到3所学校，此时共有22
2235342322CCCAA1080A=种分法；故每所学校都有男大学生的分法有36010801440+=种，则每所学校都有男大学生的概率为1440616807=，C正确；对于D，乙学校分配2名女大学生，1名男大学生共有213345
63CCCC600=种分法，乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校没有女大学生的分法有214354C120CC=种，故乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为6001202
16807−=，D错误，14、函数的概念与基本初等函数★★★★1．【答案】D【解析】()fx为奇函数，且0x时，()exfx=，()()-ee-e-eff=−=.2．【答案】A【解析】()()110ff−+=，故1a=−.3．【答案】D【解析】由210log(1)0xx−
−，得1011xx−−，解得0x，所以函数的定义域为(,0]−.4．【答案】C【解析】对于A，()2224133yxxx=++=++，当且仅当=1x−时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为0sin1x，4si
n244sinyxx=+=，当且仅当sin2x=时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为R，而20x，242222442xxxxy−=+=+=，当且仅当22x=，即1x=时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；对于D，4lnlnyxx=+，函数定义域
为()()0,11,+，而lnxR且ln0x，如当ln1x=−，5y=−，D不符合题意．5．【答案】C【解析】由题意可知，函数()fx的定义域为|0xx.又()()2ln2xxfxx−−−+−−＝()2ln2xxfxx−+==−−，所以，函数()f
x为奇函数.当0x时，()2ln2ln2xxxfxxxxx−+=−++＝，则()22221ln2ln11xxxxxfxxxx−++=−+−=−.设()2ln1gxxx=++，则()120gxxx=+在()0,+上恒成立，所以，()gx在()0,+上单调递增.又421
e210eg−=−+，21e110eg−=−+，所以，根据零点存在定理可得，0211,eex，有()00gx=，且当00xx时，有()0gx，显然()22
ln10xxfxx++=−，所以()fx在()00,x上单调递增；当0xx时，有()0gx，显然()22ln10xxfxx++=−，所以()fx在()00,x上单调递减.因为011ex，
所以C项满足题意.6．【答案】D【解析】由228xx−−>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=228xx−−，则y=lnt，∵x∈(−∞,−2)时,t=228xx−−为减函数；x∈(4,+∞)时,t=228
xx−−为增函数；y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln(228xx−−)的单调递增区间是(4,+∞)7．【答案】C【解析】∵()fx满足对任意x1≠x2，都有()()1212fxfxxx−−0成立，∴()fx在R上是减函数，∴00120(2)03aaa
aa−−+，解得103a，∴a的取值范围是10,3．8．【答案】B【解析】因为函数()exyfx=+为偶函数，则()()eexxfxfx−−+=+，即()()eexxfxfx−−−=
−，①又因为函数()3exyfx=−为奇函数，则()()3e3exxfxfx−−−=−+，即()()3e3exxfxfx−+−=+，②联立①②可得()e2exxfx−=+，由基本不等式可得()e2e2e2e22xxxxfx−−=+=，当且仅当e2exx−=时，即当1ln22x=
时，等号成立，故函数()fx的最小值为22.9．【答案】A【解析】依题意，函数()()gxfxb=−有四个不同的零点，即()fxb=有四个解，转化为函数()yfx=与yb=图象由四个交点，由函数函数()yfx=可
知，当(),1x−−时，函数为单调递减函数，)0,y+；当(1,0x−时，函数为单调递增函数，(0,1y；当()0,1x时，函数为单调递减函数，()0,y+；当)1,x+时，函数为单调递增函数，)0,y+；结合图象，可知实数b的取值范围为(
0,1.10．【答案】A【解析】令0xy==，得()()()()11000ffff=−=，即()10f=，令0x=，得()()()()110ffyfyfy+=−−=，得()()−=fyfy，所以函数(
)fx为偶函数，令1xy==，得()()()2220fff=−，令1xy==−，得()()()()()202020fffff=−−=−，()()2220ff=，()()20ff=或()()20ff=−，若()()20ff
=，解得()00f=与已知()00f矛盾，()()20ff=−，即()()2222ff=，解得()22f=，()02f=−，令1y=，得()()()()1211fxffxfx+=+−−，()()()2111fxfxfx+=+−−，()()11fxfx+=−−，()()2
fxfx+=−，()()4fxfx+=，所以函数()fx的周期为4.()()202402ff==−.15、函数与导数★★★★★1．【答案】A【解析】由12()e1xfxax−=++，得1()e2xfxax−=+，因为函
数12()e1xfxax−=++的图象在1x=处的切线与直线310xy+−=垂直，所以(1)123fa=+=，则1a=．2．【答案】D【解析】对ln2yxn=−+求导得1yx=，由11eyx==得ex=，则1e1lne2emn++=−+，即1mn+=，所以()1
1112224nmmnmnmnmn+=++=+++=，当且仅当12mn==时取等号．3．【答案】C【解析】过点P作曲线2lnyxx=−的切线，当切线与直线:40lxy+−=平行时，点P到直线:40lxy+−=距离的最小.设切点为000(,)(0)Pxyx，12=−yxx，所以
，切线斜率为0012kxx=−，由题知00121xx−=−得01x=或012x=−（舍），所以，(1,1)P−，此时点P到直线:40lxy+−=距离|114|222d−−==.4．【答案】D【解析】若ab=，则()()3fxaxa=−为单调函数，无极值点，不符合题意，故ab¹.()fx
有a和b两个不同零点，且在xa=左右附近是不变号，在xb=左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在xa=左右附近都是小于零的.当a<0时，由xb，()0fx，画出()fx的图象如下图所示：由图可知ba，a<
0，故2aba.当0a时，由xb时，()0fx，画出()fx的图象如下图所示：由图可知ba，0a，故2aba.综上所述，2aba成立.5．【答案】D【解析】因为10.0250lnelnea==，211lnsincos100100b=+，6551ln50c=，
所以只要比较6250.021.211151e,sincos1sin1sin0.02,(10.02)1001005050xyz==+=+=+==+的大小即可，令()e(1sin)(0)xfxx
x=−+，则()ecos0xfxx=−，所以()fx在(0,)+上递增，所以()(0)fxf，所以e1sinxx+，所以0.02e1sin0.02+，即1xy，令1.2()(1)exgxx=+−，则0.2()1.2(1)exg
xx=+−，0.8()0.24(1)exgxx−=+−因为()gx在(0.)+上为减函数，且(0)0.2410g=−，所以当0x时，()0gx，所以()gx在(0.)+上为减函数，因为(0)1.210g=−，0.20.21.20
.2(0.2)1.21.2e1.2eg=−=−，要比较1.21.2与0.2e的大小，只要比较1.2ln1.21.2ln1.2=与0.2lne0.2=的大小，令()(1)ln(1)(0)hxxxxx=++−，则()ln(1)11ln(1)0hxxx=++−=+，所以()hx在上递增，所以(
)(0)0hxh=，所以当,()0x+时，(1)ln(1)xxx++，所以1.2ln1.20.2，所以1.21.20.2e，所以0.20.21.20.2(0.2)1.21.2e1.2e0g=−=−，所以当(0,0.2)x时，()
0gx，所以()gx在(0,0.2)上递增，所以()(0)0gxg=，所以1.2(1)exx+，所以1.20.02(10.02)e+，所以zx，所以zxy，所以cab6．【答案】B【解析】对于任意0A，0，R，12kk的范围恒定，只需考虑sinyx=的情况，
设1k对应的切点为()11,sinxx，()11,sinxx，11xx，设2k对应的切点为()22,sinxx，()22,sinxx，22xx，()sincosxx=，111coscoskxx==，222coscoskxx==，只需考虑112
πxx+=，224πxx+=，其中21π02xx−的情况，则()()11111111111sin2πsinsinsin2sin2π2π2xxxxxkxxxxx−−−===−−−−−，()()22
222222222sin4πsinsinsin2sin4π2π2xxxxxkxxxxx−−−===−−−−−，其中21π02xx−，1121222121sin4π2sin2πsin2π2sinπkxxxxkxx
xx−−==−−；又1112sincos2π2xxx−=−，2212sincos4π2xxx−=−，()111sinπcosxxx=−，()222sin2πcosxxx=−；令()πtanπ02fxxxx=−+−，则()22221
sin1tan0coscosxfxxxx=−==，()fx\在π,02−上单调递增，()00f，设()()0000000tanπ0,0πcossin0fxxxxxxx=−+=−+=，210π2xxx−，又21sinsin0xx
，12sin01sinxx，11222211π52πsin2π2π15722π4sinππ83π33kxxxkxxx+−−===−−+；令()0sinππ2xhxxxx=−−，则()()()2πcossinπxxxhxx−+=−，令()()0ππco
ssin2txxxxxx=−+−，则()()πsin0txxx=−−，()tx在0π,2x−上单调递增，()()()0000πcossin0txtxxxx=−+=，即()0hx，()hx在0
π,2x−上单调递减，1212sinsinππxxxx−−，1122sinπsinπxxxx−−，1121222212122sin2ππ2π2πππ5113πsinπππππ32kx
xxxxkxxxxxx−−−−===++=−−−−−；综上所述：125733kk.7．【答案】B【解析】令()()2gxfxx=−，因为()fx是定义在R上的偶函数，所以()()fxfx−=，则
()()()()2gxfxgxx−−−==−，所以函数()gx也是偶函数，()()2gxfxx=−，因为当0x时，()20fxx−，所以当0x时，()()20gxfxx−=，所以函数()gx在()0,+上递增，不
等式()22fxx+即为不等式()2gx，由()13f=，得()12g=，所以()()1gxg，所以1x，解得1x或1x−，所以()22fxx+的解集是()(),11,−−+.8．【答案】C【解析】因为ln2ln424a==，1lneeeb==，ln99c=，所以构造函
数ln()xfxx=，因为21ln()xfxx−=，由21ln()0xfxx−=有：0ex，由21ln()0xfxx−=有：ex，所以ln()xfxx=在()e,+上单调递减，因为()ln2ln4424a
f===，()1lneeeebf===，()ln999cf==,因为94e，所以bac，故A，B，D错误.9．【答案】ABC【解析】对于A，由()322fxxaxx=−−，得()2322fxxax=−−，因为1x=是
函数()fx的极值点，所以(1)3220fa=−−=，得12a=，经检验1x=是函数()fx的极小值点，所以A正确，对于B，由选项A，可知()32122fxxxx=−−，则()232fxxx=−−，由(
)0fx，得23x−或1x，由()0fx，得213x−，所以()fx在2(,)3−−和(1,)+递增，在2(,1)3−上递减，所以当0,2x时，1x=时，()fx取得最小值()1311222f=−−=−，
所以B正确，对于C，因为()fx在()1,2上单调递减，所以()0fx，即()23220fxxax=−−，得312axx−在()1,2上恒成立，令31()((1,2))2gxxxx=−，则231()02gxx=
+，所以()gx在()1,2单调递增，所以(1)()(2)ggxg，即15()22gx，所以52a，所以C正确，对于D，由()2lnxxfx在1,2x上恒成立，得232ln2xxxaxx−−在1,2x
上恒成立，即2lnaxxx−−在1,2x上恒成立，令2()lnhxxxx=−−，1,2x，则222122()10xxhxxxx−+=−+=，所以()hx1,2x上单调递增，所以max()(2)2ln211ln2h
xh==−−=−，所以1ln2a−，所以D错误，10．【答案】AC【解析】()fx的极值点为()1cosfxxx=+在()0,+上的变号零点.即为函数cosyx=与函数1yx=−图像在()0,+交点
的横坐标.又注意到()0,x+时，10x−，Nk时，()1212cosπ+ππ+πkk=−−，Nk，022222πππ,∪π,πxkk−++时，cos0x.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.A选项，注意到Nk时，120222π
πππfkk+=+，()12102ππππfkk+=−++，31203222ππππfkk+=+.结合图像可知当21，Nnkk=−，()()112π,ππ,πnxnnnn−−.当2，Nnkk=，()()()1112π,π
π,πnxnnnn−−−.故A正确；B选项，由图像可知325322π，πxx，则32πxx−，故B错误；C选项，(21)π2nnx−−表示两点(),0nx与12π,0n−间距离，由图像可知，随着n的
增大，两点间距离越来越近，即(21)π2nnx−−为递减数列.故C正确；D选项，由A选项分析可知，()241212π,π，Nnnxnn−−，又结合图像可知，当()2412,πnnxx−时，1cosxx−，即
此时()0fx¢>，得()fx在()2412,πnnx−上单调递增，则()2(41)π(41)π1ln22nnnfxf−−=−+，故D错误.多选题专题训练1--函数与导数1．AB【解析】因为(22π)yfx=+的图象关于直线π2x=−对称
，所以将()22πfx+的图象向右平移π2个单位得()π2π2π2yfxfx=+−=+的图象关于y轴对称，再将()2πfx+的横坐标扩大为原来的2倍得()πfx+的图象关于y轴对称，即(π)fx+为偶函
数，A正确；由题意可得当0πx时令()()()()ππeecoseesinxxxxgxfxxx−−==+−−，则()()π2eesin0xxgxx−=−+在0πx恒成立，所以()fx单调递减，又π02f=，所以当π02x
时()0fx¢>，()fx单调递增，当ππ2x时，()0fx，()fx单调递减，因为()fx是奇函数，所以()fx在ππ,2−−上单调递减，B正确；由A可得()fx关于πx=对称，结合()fx是奇函数可得()()()2πfxfx
fx−=−=+，所以()()()2π4πfxfxfx=−+=+，即()fx是以4π为周期的周期函数，因为π02f=，结合()fx单调性和关于πx=对称可得()fx在区间()0,2π上有2个零点，又因为()fx是定义在R上的
奇函数，()00f=，所以()fx在区间)2π,2π−上有6个零点，所以()fx在区间0,2023π上有3035个零点，C错误；因为()ππ1ef=−，()()2π00ff==，()()()π3π3ππe1fff=−−=−=−，
()()4π00ff==，所以()()()()()()()20231(π)505π2π3π4ππ2π3π0kfkfffffff==++++++=，D错误；故选：AB2．BCD【解析】对于A：()1212xxfx
−=+，定义域为R，()()12121212xxxxfxfx−−−−−==−=−++，则()fx为奇函数，故A错误；对于B：()()2lg1gxxx=+−，定义域为R，()()()()()()22lg1lg1gxxxxxgx−
=−+−−=−+−=−，则()gx为奇函数，故B正确；对于C：()()()Fxfxgx=+，()fx，()gx都为奇函数，则()()()Fxfxgx=+为奇函数，()()()Fxfxgx=+在区间1,1−上的最大值与最小值互为相
反数，必有()Fx在区间1,1−上的最大值与最小值之和为0，故C正确；对于D：()1221221122121xxxxxfx−+−==−=−+++，则()fx在R上为减函数，()()221lg1lg1gxxxxx=+−=++，则()gx在R上为减函数，则()()()Fxfxgx=+
在R上为减函数，若()()210FaFa+−−即()()21FaFa+，则必有21aa+，解得1a，即()()210FaFa+−−的解集为()1,+，故D正确；故选：BCD3．BC【解析】对于A选项，因为()()22fxfx+−=，则函数()fx的图象关于点()1,1
对称，A错；对于B选项，因为()()22fxfx+−=且函数()fx为偶函数，所以，()()22fxfx+−=可得()()22fxfx++=，所以，()()22fxfx+=−，所以，对任意的xR，()()4fxfx+=，B对；对于C选项，因为()()4fxfx+=，若函数()fx
在区间0,1上单调递增，则()fx在区间2021,2022上单调递增，C对；对于D选项，当()2,3x时，()21,0x−−，()20,1x−，所以，()()()()()22222ln211ln2fxfxfxxx=−−=−−=−−+=−−，
D错.故选：BC.4．ABC【解析】对于A，由()322fxxaxx=−−，得()2322fxxax=−−，因为1x=是函数()fx的极值点，所以(1)3220fa=−−=，得12a=，经检验1x=是函数()fx的
极小值点，所以A正确，对于B，由选项A，可知()32122fxxxx=−−，则()232fxxx=−−，由()0fx，得23x−或1x，由()0fx，得213x−，所以()fx在2(,)3−−和(1,)+递增，在2(,1)3−上递减
，所以当0,2x时，1x=时，()fx取得最小值()1311222f=−−=−，所以B正确，对于C，因为()fx在()1,2上单调递减，所以()0fx，即()23220fxxax=−−，得312axx
−在()1,2上恒成立，令31()((1,2))2gxxxx=−，则231()02gxx=+，所以()gx在()1,2单调递增，所以(1)()(2)ggxg，即15()22gx，所以52a，所以C正确，对于D
，由()2lnxxfx在1,2x上恒成立，得232ln2xxxaxx−−在1,2x上恒成立，即2lnaxxx−−在1,2x上恒成立，令2()lnhxxxx=−−，1,2x，则222122()10xxhxxxx−+=−+=，所以()hx
1,2x上单调递增，所以max()(2)2ln211ln2hxh==−−=−，所以1ln2a−，所以D错误，故选：ABC5．BC【解析】原式变形为elnlnmmmnnn−−，构造函数()exfxxx=−，则()()lnfmfn，∵()()e11xfxx=+−，当0x时，e
1,11xx+，则()e11xx+，即()()e110xfxx=+−；当0x时，0e1,11xx+，则()e11xx+，即()()e110xfxx=+−；故()fx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调
递增，对于A：取emn==，则ln1nm=∵()fx在()0,+上单调递增，故()()lnfmfn，即emn==满足题意，但0−=mn，A错误；对于B：若0m，则有：当ln0n，即1n时，则e1mn，即e0mn−；当ln0n，即1n时，由(
)fx在()0,+时单调递增，且()()lnfmfn，故lnmn，则e0mn−；综上所述：e0mn−，B正确；对于C：若0m，则有：当ln0n，即1n时，ln0mn+显然成立；当ln0n，即1n时，令()()()()ee2xxhxfxfxx−=−−=+−，∵ee2
2ee20xxxx−−+−−=，当且仅当eexx−=，即0x=时等号成立，∴当0x时，所以()0hx，即()()fxfx−，由0m可得()()fmfm−，即()()lnfnfm−又∵由()fx在()0,+时单调递增，且ln
0,0nm−，∴lnnm−，即ln0nm+；综上所述：ln0nm+，C正确；对于D：取2m=−，1en=，则ln1nm=−，∵()fx在(),0−上单调递减，故()()lnfmfn，∴故2m=−，1en
=满足题意，但211e2eemn+=+，D错误.故选：BC.【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：（1）积型：elnaabb，①构造形式为：lnelneabab，构建函数()exfxx=；②构造形式为：elnelnaabb，构建函数()lnfxxx=；③构造形式为：()
lnlnlnlnaabb++，构建函数()lnfxxx=+.（2）商型：elnabab，①构造形式为：lneelnabab，构建函数()exfxx=；②构造形式为：elnelnaabb，构建函数()lnxfxx=；③构造形式为：()lnlnlnlnaabb
−−，构建函数()lnfxxx=−.6．ABD【解析】()()21e1e2xxfxxfxx=−−=−，令()()()ee1xxgxxgxgx=−=−在()0,+上单调递增，在(),0−上单调递减，故()()01gxg=，所以()fx在R上单调
递增，且()00f=.对于A项，若()()0,ababfafb+−−，显然B正确；对于B项，有()()22211e1e1ee222bbbbfbfbbbb−−+−=−−+−−=+−−，令()()2ee2ee
2bbbbhbbhbb−−=+−−=−−，令()()hbub=，()()ee20bbubub−=+−在R上单调递增，而()()000hu==，故()hb在()0,+上单调递增，在(),0−上单调递减，故()()00hbh=，所以()()()()(
)()00fbfbfafbfafb+−+−−，故A正确；对于D项，若()()()()()0fafbfafbfbab+−−−，即0ab+，故D正确；设()()fcfb=−，若cab−，
则()()()fcfbfa=−满足()()0fafb+，但0ab+，故C错误.故选：ABD7．CD【解析】设()exfxx=+，则()fx在R上单调递增，因为()()()lnlnelnebafbfaba−=+−
+ln(ln)0aaaa=+−+=，则lnba=，设0atb=，则abt=，即()lnlnlnlnabbtbt===+，所以lnlntbb=−，设()ln,0gxxxx=−，()111xgxxx−=−=，当'(0,1),()0xgx，当'(1,),()0xgx+，
则()gx在()0,1单调递减，在()1,+单调递增，()()min11gxg==，即ln1t，所以et，即eab，故ab的取值可以是3和4.故选：CD.8．ABD【解析】对于A，令1xt=−，则()()22ftft+−=，即()()22fxfx+−=，又()()224fxfx++−
=，()()()()()242422fxfxfxfx+=−−=−−=+；令0x=得：()()112ff+=，()()224ff+=，()11f=，()22f=，则由()()22fxfx+=+可知：当xZ时，()fxx=，A正确；对于B
，令1xt=+，则()()22ftft−++=，即()()22fxfx−++=，()()()()()2224222fxfxfxfx−=−+=−−−=−−，由A的推导过程知：()()22fxfx−=−，(
)()()22fxfxfx−=−−=−，B正确；对于C，()fx为R上的增函数，当0T时，xTx+，则()()fxTfx+；当0T时，xTx+，则()()fxTfx+，不存在非零实数T，使得任意xR，()
()fxTfx+=，C错误；对于D，当1c=时，()()fxcxfxx−=−；由()()112fxfx−++=，()()224fxfx++−=知：()fx关于()1,1，()2,2成中心对称，则当aZ时，(),aa为()fx的对称中心；当0,1x时，
()fx为R上的增函数，()00f=，()11f=，()0,1fx，()1fxx−；由图象对称性可知：此时对任意xR，()1fxcx−，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数
对称性的应用，解题关键是能够根据已知关系式确定()fx的对称中心，同时采用赋值的方式确定()fx所满足的其他关系式，从而结合对称性和其他函数关系式来确定()fx所具有的其他性质.9．BC【解析】对A：当124,3xx==时，121[1,1]xx−=−，而12()()1697[1,1
]fxfx−=−=−，A错误；对B：对于集合0，12,Rxx使120xx−=，即12xx=，必有12()()0fxfx−=，所以定义在R上的函数()fx都是“0封闭”函数，B正确；对C：对于集合1，12,Rxx使12
1xx−，则121xx=+，而()fx是“1封闭”函数，则22(1)()1fxfx+−=，即Rx都有(1)()1fxfx+=+，对于集合k，12,Rxx使12xxk−，则12xxk=
+，*Nk，而22()(1)1fxkfxk+=+−+，22(1)(2)1fxkfxk+−=+−+，...，22(1)()1fxfx+=+，所以()()()()()()2222221112fxkfxkfxfxkfxkfxk+++−+++=+−++−+++，即22()()fxkfx
k+=+，故22()()fxkfxk+−=，()fx一定是“k封闭”函数()*Nk，C正确；对D，其逆否命题为，若()fx是“ab封闭”函数，则()fx不是“,ab封闭”函数()*,Nab，只需判断出其逆否命题的正误即可，12,Rxx
使12xxab−=，则12()()fxfxab−=，若,abab，则abaabbab，由abb解得1a，因为*Na，所以1a=，即12,Rxx使12,xxabbab−==，则12
()(),fxfxabbab−==，满足()fx是“,ab封闭”函数()*,Nab，故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：对于C，根据给定的条件得到Rx都
有(1)()1fxfx+=+，Rx有()()fxafxb+=+恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.10．BCD【解析】对于A，1yx=在()0,+上单调递减，()1yxfx==不单调，故A错误；对于B，()exxfx=，()1exxfx−=在()1,2上()0fx¢<
，函数()fx单调递减，()2exxyxfx==，()2220eexxxxxxy−−==，∴y在()1,2单调递增，故B正确；对于C，若()lnxfxx=在(),m+单调递减，由()21ln0xfxx−==，得ex=，∴em，()lnyxf
xx==在()0,+单调递增，故C正确；对于D，()2cosfxxkx=+在0,2上单调递减，()sin20fxxkx=−+在0,2x上恒成立minsin2xkx，令()sinxhxx=，()2co
ssinxxxhxx−=，令()cossinxxxx=−，()cossincossin0xxxxxxx=−−=−，∴()x在0,2上单调递减，()()00x=，∴()0hx，∴()hx在0,2上单调递减
，()22hxh=，∴212kk，()()3cosgxxfxxxkx==+在0,2上单调递增，()2cossin30gxxxxkx=+−在0,2x上恒成立，∴2maxs
incos3xxxkx−，令()2sincosxxxFxx−=，()23cos2cos0xxxFxx+=，∴()Fx在0,2上单调递增，()22FxF=，∴2233kk，综上：213k，故D正确.
故选：BCD.多选题专题训练2--三角函数与解三角形1．BC【解析】对于A，因为函数()fx的最小正周期为5π2π41893πT=−=，所以2π3T==，所以()()sin3fxx=+，故A项错误；对于B，因为5π18x=是()fx的一个极值点，所以()5π3π182πkk
+=+Z，所以()ππ3kk=−Z，因为π2，所以π3=−，故B项正确；对于C，()33πsinfxx=−，当11π18x=时，1π11πsin3183−=−，故C项正确；对于D，3sin333π2π3πf=−=
，故D项错误.故选：BC2．ABC【解析】()22cossincos2,fxxxx=−=选项A正确；所以函数()fx的最小正周期为2ππ,2T==选项B正确；根据余弦函数图像性质，()π2π0,
,20,0,π33xx（余弦函数对应的单调递减区间），函数单调递减，选项C正确；根据余弦函数图像性质，()ππ2ππ,,2,π,03633xx−−−（余弦函数对应的单调递增区间），函数不单调，选项D错误；故选：ABC.3．CD【解析】对于
A选项，若()()12fxfx=，则()12ππ222π44xxkk+−+=Z或()12ππ222ππ44xxkk+++=+Z，可得()12πxxkk−=Z或()12ππ4xxkk+=+
Z，A错；对于B选项，因为()5ππ2sin2246fxx=+−，所以，函数()fx的图象可由函数()π2sin6gxx=−的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移5π24个单位得
到，B错；对于C选项，因为3π3ππ2sin2sinπ0844f=+==，所以，函数()fx的图象关于点3π,08对称，C对；对于D选项，当ππ48x−时，πππ2442x−+，所以，函
数()yfx=在ππ,48−上单调递增，D对.故选：CD.4．BD【解析】21cos23π1()cos3sincossin2sin22262xfxxxxxx+=+=+=++，所以()fx的最
小正周期为π，故A错误；把()fx的图象向左平移π6个单位长度，所得函数为ππ11sin2cos23622yxx=+++=+，是偶函数，所以图象关于y轴对称，故B正确；当π6xm−，时，πππ22666xm+−+
，，当ππ262m+，即π6m时，()fx最大值为32，所以m的最小值为π6，故C错误；令π2π6xkk+=Z，，解得ππ122kxk=−+Z，，当1k=时，()fx的一个对称中心为5π1122，，故125π6xx+=时，有12()
()1fxfx+=，故D正确.故选：BD.5．BD【解析】ππππ()sincossincos6363fxxxxx=+−=+−πππππsincossinsin66626xxxx=++−=++
π1cos21π16cos22232xx−+==−++，()fx的最小正周期为2ππ2T==，故A错误；因为πcos21,13x+−，所以()fx的值域为0,1，故B正确；π1ππ111
cos2sin2122123222fxxx+=−+++=+，令()π11sin21222gxfxx=+=+，定义域为R，()()()1111sin2sin22222gxx
xgx−=−+=−+−，故C错误；由()π2π22ππZ3kxkk++，得()ππππZ63kxkk−+，即()fx在()πππ,πZ63kkk轾犏-+?犏臌上单调递增，令0k=，得()fx在ππ,63−上单调递增；0k时，都有ππ0π,π
63kk−+；由()π2ππ22πZ3kxkk−+，得()2ππππZ36kxkk−−，即()fx在()2πππ,πZ36kkk−−上单调递减，而2ππ0π,π36kk−−，所以若()fx在区间
0,a上单调，则必有ππ0,,63a−，所以a的最大值为π3，故D正确.故选：BD6．AC【解析】观察图象可得函数()()sinfxAx=+，0A，的最小值为2−，故2A=设函数()yfx=的
最小正周期为T，由图象知33π42T=，则2πT=，故1=，故A正确；由7π26f=−可得7π22sin6−=+，又π2，所以π3=，所以()π2sin3fxx=+，因为()5ππππZ1232kk−++，故B错误；由ππ32
π2ππ232kxk+++，Zk可得π2π2ππ766kxk++，Zk，所以()fx的单调递减区间为()π7π2π,2πZ66kkk++，取1k=−知，函数()fx在11π5π,66
−−上单调递减，5π11π5ππ,,666−−−−，故C正确；2cosyx=的图像向左平移π6个单位后得到πππ2π2cos2sin2sin6263yxxx
=+=++=+，故D错误．故选：AC．7．ABD【解析】由sin||0x，得||πxk，Zk，得πxk，Zk，所以()fx的定义域为{|π,Z}xxkk，关于原点对称，因为1()|sin()|sin||fxxx−=
−+−1|sin|sin||xx=−+()fx=，所以()fx为偶函数，故A正确；当π,π2x时，1()sinsinfxxx=+，22cos1()coscos1sinsinxfxxxxx−=+=−，因为π,π2x，
所以cos0x，0sin1x，2110sinx−，所以()0fx，所以()fx在区间π,π2上单调递增，故B正确；因为3π3π1()|sin|1103π22sin2f=+=−=，
故C不正确；当()π,0x−时，sin0x，()1sinsinfxxx=+1sinsinxx=−−，令()0fx=，得2sin1x=−，无解；当0x=时，函数()fx无意义，当()0,πx时，sin0x，()
1sinsinfxxx=+1sinsinxx=+，令()0fx=，得1sin0sinxx+=，得2sin1x=−，无解，当πx=时，函数()fx无意义，当(π,2π)x时，sin0x，()1sinsinfx
xx=+1sinsinxx=−+，令()0fx=，得2sin1x=，得sin1x=−，得3π2x=，当2πx=时，函数()fx无意义，当(2π,3π)x，sin0x，()1sinsinfxxx=+1sinsinxx=+，令()0fx=，得得2sin1x=−，无
解，当3πx=时，函数()fx无意义，当(3π,4π)x时，sin0x，()1sinsinfxxx=+1sinsinxx=−+，令()0fx=，得2sin1x=，得sin1x=−，得7π2x=，综上所述：()fx在区间()
π,4π−上有两个零点3π2x=和7π2x=.故D正确.故选：ABD8．BC【解析】函数()πππ2sin,2π,2π322sin3cosππ3π2sin,2π,2π322xxkkfxxxxxkk+−++=+=−++，Zk，大致图
象如下：由图可知，函数()fx的最小正周期为2π，故A错误；函数()fx的图象关于π2x=对称，故B正确；函数()fx的最小值为1−，故C正确；函数()fx在区间π5π,26上单调递增，在5π,π6上单调递减，故D错误.故选：
BC.9．BC【解析】()()π2ππππ2sin22sin22sin22cos233626hxfxxxxx==−−=+=++=+，()hx是由()gx横坐标缩短到原来的12倍，纵坐
标伸长2倍，再把得到的曲线向左平移π12，故A错误；函数()cosgxx=图象将横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得cos2yx=，再向右平移π6个长度单位，得πcos26yx=−，即()πcos23fxx=−，故B正确；因为()
π2cos26hxx=+，令ππ2π62xk+=+，Zk则ππ,Z26kxk=+，则()hx的对称中心坐标是ππ,0,Z26kk+，故C正确；因为()π2cos26hxx=+，所以()π4sin26hxx
=−+，由导数的几何意义令()π4sin246hxx=−+=−，可得：πsin216x+=，即ππ22π,Z62xkk+=+，解得:ππ,6xk=+πππ2cos2π0666hkk+=++=
，所以切点为ππ,06k+，而ππ,06k+不在42yx=−+上，故D错误.故选：BC.10．BC【解析】()()22sincossin12sincos2sin1fxxxxxxx=−−=−−π
sin2cos222sin224xxx=+−=+−．因为函数的最小正周期为π，所以2ππ12==，故()π2sin224fxx=+−.对于A，πππ2sin22844f−=−+−=−，故A错误；对于B，当ππ,42x
时，π3π5ππ3π2,,44422x+，此时()fx单调递减，故B正确；对于C，()ππ2sin222sin2044fxxx=+−=−+=，∴πππ2π482kxkx+==−+，Z
k，当5π0,2x时，满足要求的有3π8，7π8，11π8，15π8，19π8，共有5个零点，故C正确；对于D，当ππ,44x−时，ππ3π2,444x+−，则π2sin2,142
x+−，故()3,22fx−−，∴D错误．故选：BC多选题专题训练3--空间向量与立体几何1．【答案】BD【解析】对A：若//m，//n，则//mn或m与n相交或m与n异面，故选项A错误；对B：若
m⊥，n⊥，则//mn，故选项B正确；对C：若//m，m，则//或与相交，故选项C正确；对D：若m⊥，n⊥，mn⊥，则⊥，故选项D正确.故选：BD.2．【答案】ABD【解析】如图，连接1BC、1BC，因为11//DABC，所以直线1BC与1BC所成的角即为
直线1BC与1DA所成的角，因为四边形11BBCC为正方形，则1BC⊥1BC，故直线1BC与1DA所成的角为90，A正确；连接1AC，因为11AB⊥平面11BBCC，1BC平面11BBCC，则111ABBC⊥，因为1B
C⊥1BC，1111ABBCB=，所以1BC⊥平面11ABC，又1AC平面11ABC，所以11BCCA⊥，故B正确；连接11AC，设1111ACBDO=，连接BO，因为1BB⊥平面1111DCBA，1CO平面1111DCBA，则11CO
BB⊥，因为111COBD⊥，1111BDBBB=，所以1CO⊥平面11BBDD，所以1CBO为直线1BC与平面11BBDD所成的角，设正方体棱长为1，则122CO=，12BC=，1111sin2COCBOBC==，所以，直线1BC与平面11BBDD所成的角为30，故C错误；因
为1CC⊥平面ABCD，所以1CBC为直线1BC与平面ABCD所成的角，易得145CBC=，故D正确.故选：ABD3．【答案】BD【解析】由题意可得,BPAPBPCP⊥⊥，又,,,,APCPPAPCPPAPCP==平
面PAC，所以BP⊥平面PAC，在PAC△中，23PAPC==，AC边上的高为()2223222−=，所以11824222323PABCBPACVV−−===，故A错误；对于B，在PAC△中，121
2161cos322323APC+−==，1244BC=+=()cos,23483PAPCPBPABCPAPCPAPBPABCPABC−−===1232333683==，所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为36，故B正确；对于C，1232PBCSPBP
C==，设点A到平面PBC的距离为d，由BPACAPBCVV−−=，得1822333d=，解得463d=，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为46223323dPA==，故C错误；由B选项知，1cos3APC=，则22sin3A
PC=，所以PAC△的外接圆的半径132sin2ACrAPC==，设三棱锥−PABC外接球的半径为R，又因为BP⊥平面PAC，则22219111222RrPB=+=+=，所以222R
=，即三棱锥−PABC外接球的半径为222，故D正确.故选：BD.4．【答案】ABD【解析】对于A，由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，故A错误；对于B，取BC的中点H,连接HM,则HM是ABC的中位线，所以//HMAC，因为HM与MN
相交，所以MN与AC不平行，B错误；对于C，若,ABlACl⊥⊥，所以由线面垂直的判定可得l⊥平面ABC，所以lBC⊥，由⊥结合面面垂直的性质可得BC⊥，所以点C在平面内的投影为点D,所以CD在平面内的投影为BD，故C正确；对于D,由二面角的定义可
得当且仅当,ABlCDl⊥⊥时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，故D错误.故选：ABD.5．【答案】CD【解析】设22ABEDFBa===，因为ED⊥平面ABCD，FBED，则()2311114223323ACDVEDSaaa===，()2321112
23323ABCVFBSaaa===，连接BD交AC于点M，连接,EMFM，易得BDAC⊥，又ED⊥平面ABCD，AC平面ABCD，则EDAC⊥，又EDBDD=，,EDBD平面BDEF，则AC⊥平面BDEF，又122BMDMBDa===，过F作FGDE⊥于G，易得四边形BD
GF为矩形，则22,FGBDaEGa===，则()()()2222226,23EMaaaFMaaa=+==+=，()22223EFaaa=+=，222EMFMEF+=，则EMFM⊥，213222EFMSEMFMa==，22ACa=，则33
123AEFMCEFMEFMVVVACSa−−=+==，则3123VV=，323VV=，312VVV=+，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.6．【答案】ACD【解析】取11BC、1CC中点EF、，连接11DEDF、、EF、PF，由PF∥1BC∥11AD且PF＝
111BCAD=知11APFD是平行四边形，∴1DF∥1AP，∵1DF平面1APD，1AP平面1APD，1DF∥平面1APD，同理可得EF∥平面1APD，∵EF∩1DF＝F，∴平面1APD∥平面1D
EF，则Q点的轨迹为线段EF，A选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则()11,0,0A，11,1,2P，()0,0,1D，设(),1,,0,1Qxzxz，则()11,0,1AD=−，110,1,2AP=，()1,1,.DQx
z=设(),,mabc=为平面1APD的一个法向量，则110,0.mADmAP==即0,0,2accb−+=+=得,.2accb==−取1c=，则11,,12m=−
.若1DQ⊥平面1APD，则1DQ∥m，即存在R，使得1DQm=，则12xz==−=，解得20,1xz==−，故不存在点Q使得1DQ⊥平面1APD，B选项错误；1APD△的面积为定值，当且仅当Q到平面1APD的距离d最大时，三棱锥1QAPD−
的体积最大.12332AQmdxzm==+−，32xz+①，()213dxz=−+，则当0xz+=时，d有最大值1；②32xz+，()213dxz=+−，则当2xz+=时，d有最大值13；综上，当0xz+=，即Q和1C重合时，三棱锥1QAPD−的
体积最大，C选项正确；11DC⊥平面11BBCC，111DCCQ⊥，22111162DQDCCQ=+=，122CQ=，Q点的轨迹是半径为22，圆心角为2的圆弧，轨迹长度为24，D选项正确.故选：ACD.7．【答案】BCD
【解析】以D为原点，,,DADCDH所在直线分别为,,xyz轴，建系如图，对于选项A，当4m=时，()0,4,2M，()4,0,0A，设点A关于平面EFGH的对称点为A，则()4,0,8A，161636688AM=++=.所以8PAP
MPAPMAM+=+.故A不正确.对于选项B，设(),,4Pxy，则()()4,,4,,4,2APxyMPxy=−=−uuuruuur，由0APMP=得224480xxyy−+−+=，即()()22220xy−+−=，解得2xy==，所以存在唯一的点
P满足2APM=，故B正确.对于选项C，()4,4,0B，设(),,4Pxy，则()()4,4,2,4,4,4AMBPxy=−=−−uuuruur，由0AMBP=uuuruur得20xy−−=.在平面EFGH中，建立
平面直角坐标系，如图，则P的轨迹方程20xy−−=表示的轨迹就是线段NQ，而22NQ=，故C正确.对于选项D，当433m=时，230,4,3M，设43,,3Pxy，则43234,,,,4,33APxyMPxy
=−=−uuuruuur，由0APMP=得2284403xxyy−+−+=，即()()2216223xy−+−=，在平面EFGH中，建立平面直角坐标系，如图，记()()2216223xy−+−=的圆心为
O，与GF交于,ST；令4y=，可得1223232,233xx=+=−，而12433xx−=，所以3SOT=，其对应的圆弧长度为439；根据对称性可知点P轨迹长度为43438324399−=；故D正确.故选：BCD.8．【答案】ACD
【解析】因为在矩形MNKC中，KNMN⊥，又KNOB⊥，MNOBN=，,MNOB面BOD，所以KN⊥面BOD，又OD面BOD，所以KNOD⊥，因为在矩形MNKC中，//CMKN，所以CMOD⊥，即CMMO⊥，因为MNOB⊥，KNMN⊥，KNO
BN=，,KNOB面OAB，所以MN⊥面OAB，又在矩形MNKC中，//MNCK，所以CK⊥面OAB，又OA面OAB，所以CKOA⊥，同时，易知在矩形MNKC中，,CMKNCKMN==，对于A，在RtCKO中，sinCKOC=，在RtMNO△中，sinMNOM
=，在RtCMO△中，cosOMOC=，所以sincossinMNOMMNCKOMOCOCOC====，故A正确；对于B，在RtCKO中，cosOKOC=，在RtMNO△中，cosONOM=，又cosOMOC=，且在RtKNO中，OK为RtKNO的斜边，则ONOK，所以cos
coscosONOMONOKOMOCOCOC===，故B错误；对于C，在RtKNO中，sinKNOK=，在RtCMO△中，sinCMOC=，又cos0OKOC=，所以sinsincosCMOCCMKNOCOKOKOK====
，故C正确；对于D，在RtKNO中，cosONOK=，又cos0OKOC=，cosONOM=，cosOMOC=，所以coscos,coscosONOKONONOMONOKOCOCOMOCOC====，所以coscoscoscos=，即co
scoscoscos=，故D正确.故选：ACD.9．【答案】AD【解析】对于A，因为平面SAB⊥平面ABC，90SAB=，即SAAB⊥，平面SAB平面ABCAB=，SA平面SAB，所以SA⊥平面ABC，又因为BC平面ABC，所以SABC⊥，故A正确；对于B，因为SA
BC⊥，ABBC⊥，SAABA=，所以BC⊥平面SAB，因为SB平面SAB，所以BCSB⊥.又SA⊥平面ABC，AC平面ABC，所以SAAC⊥，即90SACSBC==，所以三棱锥SABC−外接球的直径为
SC.因为2SAAC==，所以2222SCSAAC=+=，所以三棱锥SABC−的外接球的表面积()2244282SCS===，故B错误；对于C，因为BC⊥平面SAB，BC平面SBC，所以平面
SAB⊥平面SBC，过点A作AGSB⊥，交SB于点G，根据面面垂直的性质定理，可得AG⊥平面SBC，故点A到平面SBC的距离为AG，由390ABCBAC==，2AC=，得3AB=，则()22237SB=+=，则3222177ABSAAGSB===，故C错误；对于D，SBBC⊥，A
BBC⊥，所以∠SBA为二面角SBCA−−的平面角，在RtSAB中，223tan33SASBAAB===，故D正确；故选：AD.10．【答案】BD【解析】易知，点P在矩形11BCCB内部（含边界）．对于A，当1=时，11=BPBCBBB
CCC=++，即此时P线段1CC，1ABP△周长不是定值，故A错误；对于B，当1=时，1111=BPBCBBBBBC=++，故此时P点轨迹为线段11BC，而11//BCBC，11//BC平面1ABC，则有P到平面1ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当12=
时，112BPBCBB=+，取BC，11BC中点分别为Q，H，则BPBQQH=+，所以P点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，13,0,12A，()0,0P,，10,,02B，则13,0,12AP=−−
，10,,2BP=−，()110APBP=−=，所以0=或1=．故,HQ均满足，故C错误；对于D，当12=时，112BPBCBB=+，取1BB，1CC中点为,MN．BPBMMN=+，所以P
点轨迹为线段MN．设010,,2Py，因为30,02A，，所以031,,22APy=−，131,,122AB=−−，所以00311104222yy+−==−，此时P与N重合，故D正确．故
选：BD．多选题专题训练4--平面解析几何1．【答案】ABD【解析】圆心()0,0C到直线l的距离222rdab=+，若点(),Aab在圆C上，则222abr+=，所以222=rdrab=+，则直线l与圆C
相切，故A正确；若点(),Aab在圆C内，则222abr+，所以222>rdrab=+，则直线l与圆C相离，故B正确；若点(),Aab在圆C外，则222abr+，所以222<rdrab=+，则直线l与圆C相交，故C错误；若点(),Aab在直线l上，则2220abr+−=即222
=abr+，所以222=rdrab=+，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.2．【答案】ACD【解析】由2260xyx+−=，得22(3)9xy−+=，则圆心(3,0)C，半径13r=，所以A正确，对于B，因为点()1,22到圆心的距离为22(
31)(022)233−+−=，所以点()1,22在圆C的外部，所以B错误，对于C，因为圆心(3,0)C到直线:330lxy++=的距离为()12233313dr+===+，所以直线:330lxy++=与圆C相切，所以C正确，对于D，圆()22:14Cxy++=的圆心为(1,
0)C−，半径22r=，因为2(31)4CC=+=，12124rrrr−+，所以圆()22:14Cxy++=与圆C相交，所以D正确，故选：ACD3．【答案】ABD【解析】由实数x，y满足方程224240xyxy+−−+=可得点(,)
xy在圆()()22211xy−+−=上，作其图象如下，因为yx表示点(,)xy与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为ykx=，则22111kk−=+，解得：0k=或43k=，40,3yx，
max43yx=，min0yx=，A，B正确；22xy+表示圆上的点(,)xy到坐标原点的距离的平方，圆上的点(,)xy到坐标原点的距离的最大值为+1OC，所以22xy+最大值为()21OC+，又2221OC=+
，所以22xy+的最大值为625+，C错，因为224240xyxy+−−+=可化为()()22211xy−+−=，故可设2cosx=+，1siny=+，所以2cos1sin32sin4xy=+++=++＋，所
以当4=时，即222,122xy=+=+时xy＋取最大值，最大值为32+，D对，故选：ABD.4．【答案】ACD【解析】对于A，若0mn，则221mxny+=可化为22111xymn+=，因为0mn，所以11mn，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若0mn=，则22
1mxny+=可化为221xyn+=，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若0mn，则221mxny+=可化为22111xymn+=，此时曲线C表示双曲线，由220mxny+=可得myxn=−，故C正确；对于D，若0,0mn=，则221mxny+=可化为21yn=，
nyn=，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.5．【答案】AC【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为B，所以1OBFN⊥，因为123cos05FNF=
，所以N在双曲线的左支，OBa=，1OFc=，1FBb=，设12FNF=，由即3cos5=，则4sin5=，235NANF22aa==，21NFNF2a−=532222aaba−−=，52be2a==
，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为123cos05FNF=，所以N在双曲线的右支，所以OBa=，1OFc=，1FBb=，设12FNF=，由123cos5FNF=，即3cos5=，则4sin5=，235NAN
F22aa==，12NFNF2a−=352222abaa+−=，所以23ba=，即32ba=，所以双曲线的离心率221312cbeaa==+=选C[方法二]：答案回代法5Ae2=选项特值双曲线()()22121
,F5,0,F5,04xy−=−，过1F且与圆相切的一条直线为()y2x5=+，两交点都在左支,62N5,555−−，2112NF5,NF1,FF25===，则123cos5FNF=，13Ce2=选项特值双曲线()()2212xy1,F13,0,F13,049
−=−，过1F且与圆相切的一条直线为()2yx133=+，两交点在左右两支，N在右支，1418N13,131313，2112NF5,NF9,FF213===，则123cos5FNF=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作
圆D的切线切点为G，若,MN分别在左右支，因为1OGNF⊥，且123cos05FNF=，所以N在双曲线的右支，又OGa=，1OFc=，1GFb=，设12FNF=，21FFN=，在12FNF△中，有()212sin
sinsinNFNFc==+，故()122sinsinsinNFNFc−=+−即()sinsinsinac=+−，所以sincoscossinsinsinac=+−，而3co
s5=，sinac=，cosbc=，故4sin5=，代入整理得到23ba=，即32ba=，所以双曲线的离心率221312cbeaa==+=若,MN均在左支上，同理有()212sinsinsinNFNFc==+，其中为钝角，故cosbc=−，故()212
sinsinsinNFNFc−=−+即sinsincoscossinsinac=−−，代入3cos5=，sinac=，4sin5=，整理得到：1424aba=+，故2ab=，故2512
bea=+=，故选：AC.6．【答案】ACD【解析】对于A，易得(,0)2pF，由AFAM=可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为3224ppp+=，代入抛物线可得2233242pypp==，则36(,)42ppA，则直线AB的斜率为6226342ppp=−，A正确；对
于B，由斜率为26可得直线AB的方程为1226pxy=+，联立抛物线方程得22106ypyp−−=，设11(,)Bxy，则16626pyp+=，则163py=−，代入抛物线得21623ppx−=，解得13px=，则6(,)33p
pB−，则22673332ppppOBOF=+−==，B错误；对于C，由抛物线定义知：325244312pppABppOF=++==，C正确；对于D，23663663(,)(,)04233432
34pppppppppOAOB=−=+−=−，则AOB为钝角，又26262665(,)(,)0423343236pppppppppMAMB=−−−=−−+−=−，则A
MB为钝角，又360AOBAMBOAMOBM+++=，则180OAMOBM+，D正确.故选：ACD.7．【答案】AC【解析】A：根据椭圆的对称性，222110PQPFQFPQPFPFPQ++=++=+，当PQ为椭圆的短轴时，PQ有最小值8，所以2PQF周长的最小值为1
8，正确；B：若四边形12PFQF为矩形，则点P，Q必在以12FF为直径的圆上，但此圆与椭圆2212516xy+=无交点，错误；C：设()00,Pxy，则202000220000161251655252525PAPBxyyykkx
xxx−====−+−−−，因为直线PA斜率的范围是28,55，所以直线PB斜率的范围是82,55−−，正确；D：设()00,Pxy，则()()22100000003,5,215PFPBxyxyxxy=−
−−−−=−−+2200021516125xxx=−−+−20925162599x=−−．因为055x−，所以当0259x=时，1PFPB最小值为169−，错误.故选：AC．8．【答案】BCD【解析】将点A的代入抛物线方程得12p=，所以抛物线方程为
2xy=，故准线方程为14y=−，A错误；1(1)210ABk−−==−，所以直线AB的方程为21yx=−，联立221yxxy=−=，可得2210xx−+=，解得1x=，故B正确；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的
斜率存在，设其方程为1ykx=−，1122(,),(,)PxyQxy，联立21ykxxy=−=，得210xkx−+=，所以21212Δ401kxxkxx=−+==，所以2k或2k−，21212()1yyxx==，又2
221111||OPxyyy=+=+，2222222||OQxyyy=+=+，所以2121212||||(1)(1)||2||OPOQyyyykxkxkOA=++===，故C正确；因为21||1||BPkx=+
，22||1||BQkx=+，所以2212||||(1)||15BPBQkxxk=+=+，而2||5BA=，故D正确.故选：BCD9．【答案】BC【解析】设点(,)Pxy，依题意，2222[(2)][(2)]25xyxy++−+=，对于A，2222222225[(2)][(2)](
2)(2)(4)xyxyxxx=++−++−=−，当且仅当0y=时取等号，解不等式22(4)25x−得：33x−≤≤，即点P的横坐标的取值范围是[3,3]−，A错误；对于B，2222[(4)4][(4)4]25xyxxyx+++++−=，则22242516xyx++=+，显然20
9x，因此222||25164[1,3]OPxyx=+=+−，B正确；对于C，PMN的面积115||||sin||||222SPMPNMPNPMPN==，当且仅当90MPN=时取等号，当90MPN
=时，点P在以线段MN为直径的圆224xy+=上，由22222442516xyxyx+=++=+解得39454xy==，所以PMN面积的最大值为52，C正确；对于D，因为
点(3,0)在动点P的轨迹上，当点P为此点时，516PMPN+=+=，D错误.故选：BC10．【答案】BC【解析】当2n=时，1212PFPPFP==，此时不妨取12PP过焦点垂直于x轴，不妨取12(12),
(12)PP−，，，则121111=+122PFPF+=，故A错误；当3n=时，12233123PFPPFPPFP===，此时不妨设123,,PPP在抛物线上逆时针排列，设1,(0,)2PFx=,则12||1cosPF=−，则2222||,||241cos()1cos()33P
FPF==−+−+，故123222241cos1cos()1cos()33PFPFPF++=++−−+−+214(1cos)2211cos(cos)2+=+−+，令113cos,(,)222tt=+，则123242332tPFPFP
Ftt+++=+−，令242332()tttft+=+−，则232382627(1)()(32)(32)ttfttttt+−−=−=−−，当112t时，()0ft，()ft递增，当312t时，()0ft，()f
t递减，故min()(1)9ftf==，故当1t=，即1cos,23==时，123PFPFPF++取到最小值9，故B正确；当4n=时，122313442PFPPFPPFPPFP====，此时不妨设1234,,,PPPP在抛物线上逆时针排列，设1,(
0,)2PFx=,则12342222||,||,||,||31cos1cos()1cos()1cos()22PFPFPFPF====−−+−+−+，即234222||,||,||1sin1cos1sinPFPFPF===++
−，故1322241cos1cossinPFPF+=−++=，2422241sin1sincosPFPF+=+−+=，所以132242sincos144141PFPFPFPF=++=++，故C正确；由C
的分析可知：23422122244416sincossincossin2PFPFPFPF++===++，当2sin21=时，216sin2取到最小值16，即1234PFPFPFPF+++
最小值为16，故D错误；故选：BC多选题专题训练5--统计板块1．【答案】CD【解析】A：()()()EyExcExc=+=+且0c，故平均数不相同，错误；B：若第一组中位数为ix，则第二组的中位数为i
iyxc=+，显然不相同，错误；C：()()()()DyDxDcDx=+=，故方差相同，正确；D：由极差的定义知：若第一组的极差为maxminxx−，则第二组的极差为maxminmaxminmaxmin()()yyxcxcxx−=+−+=−，故极差相同，正确；故选：CD2．【答案
】ABC【解析】对于A选项，由概率的基本性质可知，1ab+=，故A正确，对于B选项，由12p=时，离散型随机变量X服从二项分布1,2Bn，则()()11C10,1,2,3,,22knkknPXkkn−===−=，所以()1351111CCC2222n
nnnnna−=+++==，()0241111CCC2222nnnnnnb−=+++==，所以ab=，故B正确，对于C,D选项，()()()1111222nnnpppppa−+−−−−−==，当102p时，()11
22npa−−=为正项且单调递增的数列，故a随着n的增大而增大故选项C正确，当112p时，()12nap=−为正负交替的摆动数列，故选项D不正确.故选：ABC.3．【答案】ABD【解析】由表中数据可得甲校理科生达标
率为60%，文科生达标率为70%，乙校理科生达标率为65%，文科生达标率为75%，故选项AB正确；设甲校理科生有x人，文科生有y人，若0.60.7xy=，即67xy=，则甲校总达标率为0.60.74265xyxy+=+，选项C错误；由总达标率的计算公式可知当学校理科生文科生的人数
相差较大时，所占的权重不同，总达标率会接近理科生达标率或文科生达标率，当甲校文科生多于理科生，乙校文科生少于理科生时，甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率，选项D正确；故选：ABD4．【答案】BCD【解析】对于A，()
30()(1)20EXnpDXnpp===−=，解得13p=，A错误；对于B，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B正确；对于C，服从正态分布()0,1N，11(10
)(01)(1)22PPPp−==−=−，C正确；对于D，()~10,0.8XB，则1010()0.80.2kkkPXkC−==，由10111110101011910100.80.20.80.20.80.20.80.2kkkkkkkkkkkkCCC
C−−−−−++−，解得394455k，所以8k=．D正确．故选：BCD．5．【答案】AC【解析】对于A项，因为5(0.010.060.040.02)1a++++=，解得：0.07a=，故A项正确；对于B项，(0.010.070.06
)510070++=人，故B项错误；对于C项，因为0.0150.0750.0650.7++=，0.0150.0750.0650.0450.9+++=，0.70.780.9，所以第78百分位数位于[60,65)之间，设第78百分位数为x，则0.
0150.0750.065(60)0.040.78x+++−=，解得：62x=，故C项正确；对于D项，因为0.01547.50.07552.50.06557.50.04562.50.02567.557.25++++
=，即：估计该校学生体重的平均数约为57.25，故D项错误.故选：AC.6．【答案】BD【解析】对于A，因为()0.5PA=，()0.2PB=，BA，所以()()0.2PABPB==，故错误；对于B，因为A与
B互斥，所以()()()0.50.20.7PABPAPB+=+=+=，故正确；对于C，因为()0.2PB=，所以()10.20.8PB=−=，所以()0.50.80.4PAB==，故错误；对于D，因为()|0.2PBA
=，即()0.2()PABPA=，所以()0.2()0.1PABPA==，又因为()()0.50.20.1PAPB==，所以()()()PABPAPB=，所以A与B相互独立，故正确.故选：BD7．【答案】BC【解析】记事件A：车床加工的零件为次品，记事件iB：第i台
车床加工的零件，则1(|)8%PAB=，2(|)3%PAB=，3(|)2%PAB=，1()10%PB=，2()40%PB=，3()50%PB=，对于A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为111()(|)()8%10%0.008PABPABPB==
=，故A错误；对于B，任取一个零件是次品的概率为123()()()()8%10%3%40%2%50%0.03PAPABPABPAB=++=++=，故B正确；对于C，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为33()1()12%0.98PABPAB=−=−=，故
C正确；对于D，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为()()()()3333(|)2%50%21(|)1110.033PABPABPBPBAPAPA−=−=−=−=，故D错误．故选：BC．8．【答案】BCD【解析】选项A
：所有不同分派方案共43种.判断错误；选项B：若每家企业至少分派1名医生，先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.则所有不同分派方案共2113421322CCCA36A=（种）.判断正确；选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业，则A企业可
以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，则所有不同分派方案共121213131213CCCACA12+=（种）.判断正确；选项D：若C企业最多派1名医生，则C企业可以有1名医生和没有医生两种情况,则不同分派方案共1344C2248+=（种）.判断正确
.故选：BCD9．【答案】ABD【解析】对于A选项：线性回归方程ˆˆ0.28ybx=+必过点(),xy，3x=，1y=，解得ˆ0.24b=，所以选项A正确；对于B选项：当8x=时，ˆ0.240.28yx=+可以的出y的预测值为2.2,所以B选项正确；对于C
选项：从小到大排列共有5个数据，则540%2i==是整数，则第40百分位数为从小到大排列的第2、3个数据的平均数，即第40百分位数为0.9，所以C选项错误；对于D选项：因为相关系数为()()()()12211
niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−,5组样本数据的相关系数为：()()()()()()()()()()()()515522222221120.510.20010.220.5410140.50.20
0.20.5iiiiiiixxyyrxxyy===−−−−+−−+++==++++++++−−，去掉样本中心点()3,1后相关系数为()()()()()()()()()()()()41442222221120.510.210.220.541140.50.20.2
0.5iiiiiiixxyyrxxyy===−−−−+−−++==++++++−−，所以相关系数r不变,所以D选项正确；故选：ABD.10．【答案】AC【解析】对于A选项，若1n=，则11,1ip==，所以()()21log10HX=−=，所以A选项正确.对于B选项，若2n=，
则1,2i=，211pp=−，所以()()()121121Xlog1log1Hpppp=−+−−，当114p=时，()221133loglog4444HX=−+，当13p4=时，()223311loglog4444HX=−
+，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若()11,2,,ipinn==，则()222111logloglogHXnnnnn=−=−=，则()HX随着n的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若2nm=，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,,m，且()2
1jmjPYjpp+−==+（1,2,,jm=）.()2222111loglogmmiiiiiiHXpppp===−=122221222122121111loglogloglogmmmmpppppppp−−=++++.
()HY=()()()122221212122211111logloglogmmmmmmmmpppppppppppp−+−++++++++++12222122212221221121111loglogloglogmmmmmmppppppp
ppppp−−−=++++++++由于()01,2,,2ipim=，所以2111iimippp+−+，所以222111loglogiimippp+−+，所以222111loglogiiiimippppp+−+，所以()()HXHY，所以D选项错误.
故选：AC
