【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ） （1） 含答案【高考】.docx，共(10)页，847.629 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第五章三角函数5.6函数y=Asin（ωx+φ）的图像本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》5.6.2节函数y=Asin(ωx+φ)的图象通过图象变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象

的形状和位置的影响。通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通

过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系。通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在。提高学生的推理能力。让学生感受数形结合

及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养1.借助计算机画出函数y＝Asin(ωx+φ)的图象，观察参数Φ，ω，A对函数图象变化的影响；2.引导学生认识y＝Asin

(ωx+φ)的图象的五个关键点，学会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图；用准确的数学语言描述不同的变换过程.3.体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想;培养学生从不同角度分析问题，解决问题的能力.a.数学抽象：三个参数对函数图像变化的影响

；b.逻辑推理：由特殊到一般的归纳推理；c.数学运算：运用规律解决问题；d.直观想象：由函数图像归纳规律；e.数学建模：运用规律解决问题；教学重点：重点：将考察参数Α、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响的问题进行分解，找出函数

y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.；会用五点作图法正确画函数y＝Asin(ωx+φ)的简图.教学难点：：学生对周期变换、相位变换顺序不

同，图象平移量也不同的理解．-2-多媒体教学过程设计意图核心教学素养目标（一）创设问题情境提出问题上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如y=Asin（ωx+φ）其中（A＞０，ω＞０）的函数．显然，这个函数由参数A，ω，φ所确定．因此，只要了解这些参数的意义，知道

它们的变化对函数图象的影响，就能把握这个函数的性质．从解析式看，函数y=cosx就是函数y＝Asin(ωx＋φ)，在A＝１，ω＝１，φ＝０时的特殊情形．(1)能否借助我们熟悉的函数y=sinx的图象与性质研究参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响？(2)函

数y＝Asin(ωx＋φ)含有三个参数，你认为应按怎样的思路进行研究.1.探索φ对y＝sin(x＋φ)图象的影响为了更加直观地观察参数φ对函数图象的影响，下面借助信息技术做一个数学实验．如图5.6.4，取

A＝１，ω＝１，动点M在单位圆𝑂1上以单位角速度按逆时针方向运动．图5.6.4如果动点M以𝑂0为起点（此时φ＝０），经过xｓ后运动到点P，那么点P的纵坐标y就等于sinx．以（x，y）为坐标描点，可得正弦函数y=sinx的图象．在单位圆上拖动起点𝑄0，使点𝑄0绕点𝑄1旋转𝜋

6到𝑄1，你发现通过开门见山，提出问题，利用图像变换观察参数对函数图像的影响问题，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。-3-图象有什么变化？如果使点𝑄0绕点𝑄1旋转-𝜋6,𝜋3,-𝜋3，

或者旋转一个任意角φ呢当起点位于𝑄1时，φ=𝜋6，可得函数y＝sin(x＋𝜋6)的图象．进一步，在单位圆上，设两个动点分别以𝑄0，𝑄1为起点同时开始运动．如果以𝑄0为起点的动点到达圆周上点P的时间为xｓ，那么以𝑄1

为起点的动点相继到达点P的时间是(x-𝜋6)ｓ．这个规律反映在图象上就是：如果F（x，y）是函数y＝sinx图象上的一点，那么G(x-𝜋6,y)就是函数y＝sin(x＋𝜋6)图象上的点，如图5.6-4所示．这说明，把正弦曲线y＝sinx

上的所有点向左平移𝜋6个单位长度，就得到y＝sin(x＋𝜋6)的图象．分别说一说旋转-𝜋6,𝜋3,-𝜋3时的情况．一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y＝sin(x＋φ)(φ≠0)，把正弦曲线上的所有点向左（当φ＞０时）或向右（当φ＜０时）平移|φ|个单位长度

，就得到函数y＝sin(x＋φ)的图象．2.探索ω（ω＞０）对y=sin（ωx+φ）图象的影响下面，仍然通过数学实验来探索．如图5.6.5，取圆的半径A=1．为了研究方便，不妨令φ＝𝜋6．当ω＝１时得到y＝sin(x＋𝜋6)的图象．取ω＝２，图象有什么变化

？取ω＝12呢？取ω＝３，ω＝13，图象又有什么变化？当ω取任意正数呢?取ω＝２时，得到函数y＝sin(2x＋𝜋6)的图象．进一步，在单位圆上，设以𝑄1为起点的动点，当ω＝１时到达点P的时间为𝑥1ｓ，当ω＝２时到达点P的时间为𝑥2ｓ．因为ω＝２时动点的转速是ω＝１时

的２倍，所以𝑥2＝12𝑥1．这样，设G（x，-4-y）是函数y＝sin(x＋𝜋6)图象上的一点，那么K（12𝑥，y）就是函数y＝sin(2x＋𝜋6)图象上的相应点，如图5.6-5示．这说明，把y＝sin(x＋𝜋6)的图象

上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），就得到y＝sin(2x＋𝜋6)的图象．y＝sin(2x＋𝜋6)的周期为𝜋，是y＝sin(x＋𝜋6)的周期的12倍．同理，当ω＝12时，动点的转速是ω＝１时的12倍，以𝑄1为起点，到达点P的时间

是ω＝１时的２倍．这样，把y＝sin(x＋𝜋6)图象上所有点的横坐标扩大到原来的２倍（纵坐标不变），就得到y＝sin(12x＋𝜋6)的图象．y＝sin(12x＋𝜋6)的周期为４π，是y＝sin(x＋𝜋6)

的周期的２倍．一般地，函数的周期是2𝜋𝜔，把y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标缩短（当ω＞１时）或伸长（当０＜ω＜１时）到原来的1𝜔倍（纵坐标不变），就得到的图象．3.探索A（A＞０）对y=sin（ωx+φ）图象的影响下

面通过数学实验探索A对函数图象的影响．为了研究方便，不妨令ω=2,φ=𝜋6．当A＝１时，如图5.6.6，可得y=sin（2x+𝜋6）的图象．-5-改变A的取值，使A取２，12，３,13等，你发现图象有什么变化？当A取任意正数呢?当A＝２时，得到函数y=2si

n（2x+𝜋6）的图象．进一步，设射线𝑂1𝑄1与以𝑂1为圆心、２为半径的圆交于𝑇1．如果单位圆上以𝑂1为起点的动点，以ω＝２的转速经过xｓ到达圆周上点P，那么点P的纵坐标是2sin（2x+𝜋6）；相应地，点𝑇1在以𝑂1为圆心、２为半径的圆上运动到点T

，点T的纵坐标是2sin（2x+𝜋6）．这样，设K（x，y）是函数y=sin（2x+𝜋6）图象上的一点，那么点N（x，2y）就是函数图象y=2sin（2x+𝜋6）上的相应点，如图5.6.6所示．这说明

，把y=sin（2x+𝜋6）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的２倍（横坐标不变），就得到y=2sin（2x+𝜋6）的图象．同理，把y=sin（2x+𝜋6）图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍（横坐标不变），就得到y=12sin（2x+𝜋6）的图象．一般地，函数y＝Asin(ω

x＋φ)的图象，可以看作是把y＝Asin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞１时）或缩短（当０＜A＜１时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到．从而，函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域是［－A，A］，最大值是A，最小值是－A你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到y

＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）图象的过程与方法吗?一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）的图象，通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；-6-可以用下面的方法得到：先画出函数

y＝sinx的图象；再把正弦曲线向左（或右）平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的1𝜔倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点

的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx的图象得y=sin(x+φ)的图象得y=sin(ωx+φ)的图象得y=Asin(ωx+φ)的图象.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.

y=sinx的图象得y=Asinx的图象得y=Asin(ωx)的图象[来源:学科网ZXXK得y=Asin(ωx+φ)的图象.典例解析例１画出函数y=12sin（3x-𝜋6）的简图．解：先画出函数y=sinx的图象；再把正弦曲线向右平移𝜋6

个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的13倍，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的２倍，这时的曲线就是函数y=12sin（3x-𝜋6）的图象，如图5.6.7所示．-7-下面用“五点法”画函数y=12sin（3x-𝜋6）在一个周期（T=2𝜋3）内的图象

．令X＝3x-𝜋6，则x＝13（X+𝜋6）列表（表5.6.1），描点画图（图5.6.8）例2摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图5.6.9，某摩天轮最高点距离地面高度为120ｍ，转盘直径为110ｍ，

设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30in．（１）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hｍ，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；（２）求游客甲在开始转动５min后距离地面的高度；（３）若甲、乙

两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的-8-过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：ｍ）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到０．１）分析：摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转．在旋转过程中，游客距离地面的高

度犎呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画．解：如图5.6.10，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为𝑥轴建立直角坐标系．（１）设𝑡=0𝑚𝑖𝑛时，游客甲位于点P（0

，-55），以OP为终边的角为-𝜋2；根据摩天轮转一周大约需要30𝑚𝑖𝑛，可知座舱转动的角速度约为𝜋15πrad／min，由题意可得H=55sin（𝜋15t-𝜋2）+65,0≤𝑡≤30,（２）当𝑡＝５时，H=55sin（𝜋15×5-𝜋2）+65=37.5所以，游客甲在开始转

动5min后距离地面的高度约为37.5ｍ．（３）如图5.6.10,甲、乙两人的位置分别用点A,B表示，则∠AOB＝2𝜋48＝𝜋24．经过𝑡𝑚𝑖𝑛后甲距离地面的高度为𝐻1=55sin（𝜋15t-𝜋2）+65，

点B相对于点A始终落后𝜋24rad，此时乙距离地面的高度为𝐻2=55sin（𝜋15t-13𝜋24）+65．则甲、乙距离地面的高度差ℎ=|𝐻1−𝐻2|=55|sin（𝜋15t-𝜋2）−sin（𝜋15t-13𝜋24)|=55|sin（𝜋15t-𝜋2）+sin（13𝜋24−�

�15t)|,利用𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑠𝑖𝑛𝜑=2𝑠𝑖𝑛𝜃+𝜑2𝑐𝑜𝑠𝜃−𝜑2，可得ℎ=110|sin𝜋48sin（𝜋15t−𝜋48)|,0≤𝑡≤30，当𝜋15t−𝜋48=𝜋2（或3�

�2），即𝑡≈7.8（或22.8）时，ℎ的最大值为110sin𝜋48≈7.2．所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2ｍ．三、当堂达标1．函数y＝3sinπ2x＋π4的振幅和周期分别为()通过练习巩固本节所学知识，巩-9-

A．3,4B．3，π2C.π2，4D.π2，3【解析】由于函数y＝3sinπ2x＋π4，∴振幅是3，周期T＝2ππ2＝4.【答案】A2．将函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单

位，则所得函数图象对应的解析式为()A．y＝sin12x－π3B．y＝sin2x－π6C．y＝sin12xD．y＝sin12x－π6【解析】函数y＝sinx－π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y＝sin12x－π3的图象，再将此图象向左

平移π3个单位，得y＝sin12x＋π3－π3＝sin12x－π6的图象，选D.【答案】D3．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是2π7，初相是π6，则这个函数的表达式是()A．y＝3si

n7x－π6B．y＝3sin7x＋π6C．y＝3sin7x＋π42D．y＝3sin7x－π42【解析】由已知得A＝3，T＝2π7，φ＝π6，ω＝2πT＝7，所以y＝3sin7x＋π6.【答案】B4．函数y＝2sinx＋π3图象的一条对称轴是___

_．(填序号)①x＝－π2；②x＝0；③x＝π6；④x＝－π6.【解析】由正弦函数对称轴可知．x＋π3＝kπ＋π2，k∈Z，x＝kπ＋π6，k∈Z，k＝0时，x＝π6.【答案】③5．已知函数f(x)＝2sin2x－π6，x∈R.固对三角函数图像变换规律的理解，增强学生的直观

想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。-10-(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值.【解】(1)由2x－π6＝kπ＋π

2，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝π3＋k2π，k∈Z；由2x－π6＝kπ，k∈Z解得对称中心是π12＋k2π，0，k∈Z；由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2，k∈Z解得单调递增区间是－π6＋kπ，π3＋kπ，k∈Z；由2kπ＋π

2≤2x－π6≤2kπ＋32π，k∈Z，解得单调递减区间是π3＋kπ，5π6＋kπ，k∈Z.(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤56π，∴当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取最大值为2.四、小

结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+𝜋3))的图象,

并分别观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.五、作业1.课时练2.预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；