高三北师大版数学(文)一轮复习教师文档:第二章第四节 指数与指数函数 含解析【高考】

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以下为本文档部分文字说明:

-1-第四节指数与指数函数授课提示:对应学生用书第20页[基础梳理]1.根式(1)根式的概念①若xn=a,则x叫作a的n次方根,其中n>1且n∈N+.式子na叫作根式,这里n叫作根指数,a叫作被开方数.②a的n次方根的表

示:xn=a⇒x=na(当n为奇数且n∈N+时),±na(当n为偶数且n∈N+时).(2)根式的性质①(na)n=a(n∈N+).②nan=a,n为奇数,|a|=a,a≥0,-a,a<0,n为偶数.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念:①正分数指数幂:amn

=nam(a>0,m,n∈N+,且n>1);②负分数指数幂:a=1amn=1nam(a>0,m,n∈N+,且n>1);③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.(2)有理数指数幂的运算性质:①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r,s

∈Q);③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).3.指数函数的图像及性质函数y=ax(a>0,且a≠1)图像0<a<1a>1图像特征在x轴上方,过定点(0,1)当x逐渐增大时,图像逐渐下降当x逐渐增大时,图像逐渐上升性定义域R

-2-质值域(0,+∞)单调性减增函数值变化规律当x=0时,y=1当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1当x<0时,0<y<1;当x>0时,y>11.一个关注点na开方化简,要看n的奇偶性.2.指数

函数图像和性质的注意点(1)指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像和性质与a的取值有关,应分a>1与0<a<1来研究.(2)画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-1,1a.3.指数函数的图像与底数大小的比较如图

是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图像,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.规律:在y轴右(左)侧图像越高(低),其底数越大.4.指数函数图像的对称规律函数y=ax的图

像与y=a-x的图像关于y轴对称,y=ax的图像与y=-ax的图像关于x轴对称,y=ax的图像与y=-a-x的图像关于坐标原点对称.[四基自测]1.(基础点:有理数指数幂运算)化简[(-2)6]12-(-1)0的结果为()A.-9B.7C.-10D.9答案:B2.(基础点:

指数函数图像)函数f(x)=1-ex的图像大致是()答案:A3.(基础点:指数函数解析式)若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图像经过点A2,13,-3-则f(-1)=________.答案:34.(易错点:指数函数性质)函数y=(ax+1)ex过定点_

_______.答案:(0,1)授课提示:对应学生用书第21页考点一实数指数幂的化简与求值[例](1)化简416x8y4(x<0,y<0)的结果为()A.2x2yB.2xyC.4x2yD.-2x2y[解析]416x8y4=(16

x8y4)14=[24(-x)8·(-y)4]14=24·14·(-x)8·14·(-y)4·14=2(-x)2(-y)=-2x2y.[答案]D(2)2350+2-2·214-12-(0.01)0.5.[解析]原式=1+14×4912-11001

2=1+14×23-110=1+16-110=1615.[破题技法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数

是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式来表示,运用指数幂的运算性质来解答.将本例(1)中的“x<0,y<0”去掉后,如何化简该式.解析:416x8y4=2|x2y|=2x2yy≥0-2x2yy<0.考点二指数函

数的图像及应用挖掘1由解析式辨识图像/自主练透[例1](1)(2020·河北武邑中学调研)函数y=e-|x-1|的大致图像是()[解析]当x=1时,y=1,排除C、D.当x>1时,y=e-(x-1)为减函数,排除A.故选B.-4-[答案

]B(2)函数f(x)=1-e|x|的图像大致是()[解析]f(x)=1-e|x|是偶函数,图像关于y轴对称,又e|x|≥1,所以f(x)的值域为(-∞,0],因此排除B、C、D,只有A满足.[答案]A(3)(2020·浙江镇海中学检测)不论a为何值,函数y=(a-1)2

x-a2恒过定点,则这个定点的坐标是()A.(1,-12)B.(1,12)C.(-1,-12)D.(-1,12)[解析]y=(a-1)2x-a2=a(2x-12)-2x,令2x-12=0,得x=-1,故函数

y=(a-1)2x-a2恒过定点(-1,-12).[答案]C[破题技法]对于y=ax(a>0,a≠1)当a∈(0,1)且a逐渐变大时,图像右端(第一象限逐渐变“高”),图像逐渐接近y=1,当a=1时,图像就是直线y=1.当a∈(1,+∞)时,a逐渐变大,在第一象限内图像逐渐接近于y轴

.总之,图像过定点(0,1),在第一象限内,逆时针方向看,底数逐渐变大.挖掘2利用图像研究问题/互动探究[例2](1)函数f(x)=ax-b的图像如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.

0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0[解析]由f(x)=ax-b的图像可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.-5-函数f(x)=ax-b的图像是在f(x)=ax的图像的基础上向左平移得到的,所以b<0,故选D.[答案]D(2)(2020·衡水模拟)若曲线|

y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是________.[解析]曲线|y|=2x+1与直线y=b的图像如图所示,由图可知:如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].[答案][-1,1][破题技法]与指数函数有关图

像问题的求解方法(1)已知函数解析式判断其图像,一般是取特殊点,判断选项中的图像是否过这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图像问题,一般是从最基本的指数函数的图像入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1

的大小关系不确定时应注意分类讨论.在例2(2)中,将曲线变为y=|2x-1|,与直线y=b有且只有一个公共点,则b的取值范围是________.解析:y=|2x-1|其图像如图所示,要使y=b与曲线只有一个公共点必须b≥1或b=0,当b=0或b≥1时,y

=b与曲线只有一个公共点.答案:{0}∪[1,+∞)考点三指数函数的性质及应用挖掘1指数型函数的定义域、值域/互动探究[例1](1)函数y=12x2+2x-1的值域是()A.(-∞,4)B.(0,+∞)C.(0,4]D.[4,+∞)[解析]设t=x2+2x-1,则y

=12t.因为t=(x+1)2-2≥-2,y=12t为关于t的-6-减函数,所以0<y=12t≤12-2=4,故所求函数的值域为(0,4].[答案]C(2)函数y=14x-12x+1在x∈

[-3,2]上的值域是________.[解析]因为x∈[-3,2],若令t=12x,则t∈14,8.则y=t2-t+1=t-122+34.当t=12时,ymin=34;当t=8时,ymax=57.所

以所求函数值域为34,57.[答案]34,571.将本例(1)变为y=2,其值域如何?答案:[14,+∞)2.将本例(1)变为y=a,其值域如何?答案:当0<a<1,值域为0,1a2;当a>1时,值域为

1a2,+∞挖掘2比较指数幂的大小/互动探究[例2](1)已知f(x)=2x-2-x,a=79-14,b=9715,c=log279,则f(a),f(b),f(c)的大小关系为()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)<f

(b)<f(a)C.f(c)<f(a)<f(b)D.f(b)<f(c)<f(a)[解析]易知f(x)=2x-2-x在R上为增函数,又a=79-14=9714>9715=b>0,c=log279<0,则a>b>c,所以f(c)<f(b)<f(a).选B.[答

案]B(2)设函数f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单调性,则M=(a-1)0.2与N=1a0.1的大小关系是()A.M=NB.M≤NC.M<ND.M>N[解析]因为f(x)=x2-a与g(x)=ax(a>1且

a≠2)在区间(0,+∞)上具有不同的单-7-调性,所以a>2,所以M=(a-1)0.2>1,N=1a0.1<1,所以M>N,故选D.[答案]D挖掘3有关指数型的不等式求解/互动探究[例3](1)函数f(x)=3x-2,x<12x

,x≥1,满足f(f(a))=2f(a)a的取值范围是()A.a≥-23B.23≤a<1C.0≤a<1D.a≥1[解析]∵f(x)=3x-2,x<12x,x≥1,若f(f(a))=2f(a),则f(a)≥1,当a<1时,3a

-2≥1,∴3a≥3,∴a≥1矛盾,当a≥1时,2a≥1,显然成立,故选D.[答案]D(2)不等式2<4的解集为________.[解析]不等式2<4可转化为2<22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1<x

<2,故所求解集为{x|-1<x<2}.[答案]{x|-1<x<2}[破题技法]1.形如ax>ab的不等式,借助于函数y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论.2.形如ax>b的不等式,注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式,再借助于函数y=ax的单调性求解.3

.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.4.利用复合函数判断形如y=af(x)的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关.5.对于函数y=af(x)和复合函数y=f(ax)的定义域、值域常利用换元法,其关

键点:(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同.f(ax)的定义域:使ax在f(x)的定义域内,解指数不等式.(2)y=af(x)的值域:先确定f(x)的值域,再根据指数函数的单调性确定y=af(x)的值域.(3)y=f(ax)的值域:先确定ax的值域、再利用f(x)

的性质确定y=f(ax)的值域.解不等式4x+2x+1-8≥0.解析:原不等式为(2x)2+2×2x-8≥0,∴(2x-2)(2x+4)≥0,∵2x>0恒成立,∴2x-2≥0,∴x≥1,解集为[1,+∞).

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