【文档说明】海南省海口市第四中学2021届高三上学期期中考试数学试卷.docx，共(15)页，904.484 KB，由小赞的店铺上传

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海口市第四中学2021届高三上学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40．0分）1．已知集合{ln(1)}Axyx==−∣，21xBx=∣，则AB=（）A．[1,)+B．(1,)+C．(0,)+D．(0,1)2．若复数

z满足(1)13izi−=+（i是虚数单位），则||z等于（）A．62B．6C．2D．53．设2log3a=，13log2b=，20.4c=，则a，b，c的大小关系是（）A．abcB．bacC．acbD．cab4．已知()fx是定义在R上的偶函数，且()()31fxfx+

=−，若当2,0x−时，()31xfx−=+，则()2021f=（）A．6B．4C．2D．15．用二分法求方程2log2xx+=的近似解时，可以取的一个区间是（）A．1,12B．31,2C．3,22

D．52,26．若函数()(3)(,)afxmxmaR=+是幂函数，且其图像过点(2,2)，则函数()2()log3agxxmx=+−的单调递增区间为（）A．(),1−−B．(1),−C．(1,)+D．(3,)+7．某手机生产线的年

固定成本为250万元，每生产x千台需另投入成本()Cx万元，当年产量不足80千台时，21()103Cxxx=+（万元）；当年产量不小于80千台时，10000()511450Cxxx=+−（万元），每千台产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完．当年产量为（）千台时，该厂当年的利润最大？A．6

0B．80C．100D．1208．函数ln||cos()sinxxfxxx=+在[,0)(0,]−的图像大致为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20．0分）9．下列命题是假命题的是（）A

．332log10log818+=；B．函数228yxx=−−的零点是()2,0−和()4,0；C．“acbc=”是“ab=”成立的充要条件D．已知aR，“幂函数()1afxx−=在(0,)+上为增函数”是“指数函数()()23xgxa=−为增函数

”成立的必要不充分条件．10．在同一直角坐标系中，函数1xya−=与()1ylogx=−（0a且1a）的图像可能是（）A．B．C．D．11．下列几个说法，其中正确的有（）A．若函数()21fx+的定义域为()1,2−，则函数()fx的定义

域为11,2−；B．已知函数()212()log38fxxax=−+在[)1,−+上是减函数，则实数a的取值范围是(11,6]−−；C．若函数()31bxfx=−−有两个零点，则实数b的取值范围是01b；D．若2()()12xxafxaR−=+是奇函数，且实数k满足1(

21)3fk−，则k的取值范围是(0,)+．12．已知函数23,0()(3),0xxxfxfxx−−=−，以下结论正确的是（）A．()fx在区间4,6上先增后减；B．(2)(2020)4ff−+=；C．若函数()yfxb=−在(,6)−上有6个零点(1

,2,3,4,5,6)ixi=，则616iix==；D．若方程()1fxkx=+恰有3个实根，则11,{1}3k−−．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20．0分）13．已知函数2()2(1)3fxxfx

=+−，则()1f=________．14．若函数32()4fxxax=−+−在2x=处取得极值，则a=________．15．若函数(31)4,1()log,1aaxaxfxxx−+=，对任意12xx，都有(

)()21210fxfxxx−−，则实数a的取值范围是________．16．已知k为常数，函数2,0()1|ln|,0xxfxxxx+=−，若关于x的函数()()2gxfxkx=−−有4个零点，则实数k的取值范围为_

_______．四、解答题（本大题共6小题，共70．0分）17．（本题满分10分）已知数列na的前n项和为nS，且231nnSa=−．（Ⅰ）证明数列na是等比数列，并求数列na的通项公式；（Ⅱ）若3nnbna=，

求数列nb的前n项和nT．18．（本题满分12分）已知函数()3cos22sincos3fxxxx=−−．（Ⅰ）求()fx的最小正周期和单调减区间；（Ⅱ）求证：当,44x−时，()12fx−．19．（本题满分12分

）某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人

中能正确回答这道题目的概率每人均为34，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．（Ⅰ）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；（Ⅱ）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的

人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的期望()EX，()EY和方差()DX，()DY，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？20．（本题满分12分）如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是直角梯形，ABAD⊥，ABCD∥，PC⊥底面ABCD，224ABADCD===，2P

Ca=，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角PACE−−的余弦值为63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，经过点31,2且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ

）若直线I过椭圆C的左焦点1F交C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点，试问：是否存在直线AB，使得||10||GDOD=（其中O是坐标原点）？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．22．（本题满分12分）已知函数()cosxfxex

=−．（Ⅰ）求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（Ⅱ）证明：()fx在区间,2−+上有且仅有2个零点．数学答案1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】B解：由(3)(1)

fxfx+=−，知函数是以4为周期的周期函数，则(2021)(50541)(1)fff=+=，又()fx是定义在R上的偶函数，当[2,0]x−时，()31xfx−=+，所以(2021)(50541)(1)(1)314ffff=

+==−=+=．5．【答案】B解：设2()log2fxxx=+−，在(0,)+上单调递增．∵(1)01210f=+−=−，222(1.5)log1.50.5log1.5log20f=−=−．∴根据函数的零点存在性定理得出：()fx的零点在()1,1.5区间内；方

程2log2xx+=的解所在的区间为()1,1.5．6．【答案】A解：因为函数()(3)(,)afxmxmaR=+是幂函数，所以31m+=，即2m=−，又因为其图象过点(2,2)，即22a=，所以12a=，则函数()()2212()log3log23agx

xmxxx=+−=−−，定义域为2230xx−−，解得3x或1x−．∵1a，∴函数()2()log3agxxmx=+−的单调递增区间为223yxx=−−的递减区间，结合函数定义域可得：函数()2

()log3agxxmx=+−的单调递增区间为(),1−−．7．【答案】C解：设年产量为x千台，当年的利润为y万元，则由已知有215010250,080,31000050511450250,80,xxxxxNyxxxxNx−−−=−−+−

，即2140250,080,3100001200,80,xxxxNyxxxNx−+−=−++，当080x时，由二次函数知当60x=时y取最大值950，当80x时，y在)

80,100单调递增，在(100,)+单调递减，所以当100x=时，y取得最大值1000，又1000950，所以当年产量为100千台时，该厂当年的利润取得最大值1000万元．8．【答案】D【解析】因为ln||cos()()sinxxfxfxxx−=−=−+，所以()fx为奇函数，关

于原点对称，故排除A，又因为(1)0f=，02f=，03f，()0f，故排除B、C．9．【答案】ABC解：332log10log0.814+=故A是假命题；二次函数的零点是指其图象与x轴交点的横坐标，应为2−和4，故B是假命题；∵当ab=时，∴一

定有acbc=，但acbc=时，且0c=时，a，b可以不相等，故C是假命题；幂函数1()afxx−=在(0,)+上为增函数，则10a−，即1a；指数函数()(23)xgxa=−为增函数，则231a−，即2a，由1a得不到2a；反

之则成立，故D是真．10．【答案】AD解：111xxyaa−−==的单调性相反，所以排除B，C，当1a时，选A；当01a时，选D．故选AD．11．【答案】BCD解：A．由函数(21)fx+的定义域为()1,2−，即12x

−，得到1215x−+，则函数()fx的定义域为()1,5−，故A错误；B．函数()213()log38fxxax=−+为复合函数，令13logyt=，238txax=−+，若满足题意，只需238txax=−+在上为增函数，且2380txax=−+，所以16380

aa−++，∴116a−−，B正确；C．函数()31xfxb=−−有两个零点，即为函数()31xfx=−的图象与直线yb=的图象有两个交点，根据图象知：01b，故C正确；D．由题意()00f=，∴1a=，经检验满足题意．∴122()11

212xxxfx−==−+++单调递减，∵1(21)3fk−，1(1)3f−=，∴211k−−，∴0k，故D正确．12．【答案】ABD解：由题意可知当3x−时，()fx是以3为周期的函数，故()fx在4,6上的单调性与()fx在2,0−上的单调性相同，而当0x时，239()24f

xx=−++，∴()fx在2,0−上先增后减，故A正确；又(2020)(2)2ff=−=，故(2)(2020)4ff−+=，故B正确；作出()yfx=的函数图象如图所示：.由于()yfxb=−在(),6−上有6个零点，故直线yb=与()yfx

=在(),6−上有6个交点，不妨设1iixx+，1,2,3,4,5i=，由图象可知1x，2x关于直线32x=−对称，3x，4x关于直线32x=对称，5x，6x关于直线92x=对称，∴613392229222i

ix==−++=，故C错误；若直线1ykx=+经过点()3,0，则13k=−，若直线1ykx=+与23(0)yxxx=−−相切，则消y可得：2(3)10xkx+++=，令0=可得2(3)40k+−=，解得1k=−或5k=−，当1k=−时，1x=−，当5k

=−时，1x=（舍），故1k=−．若直线1ykx=+与()yfx=在()0,3上的图象相切，由对称性可得1k=．因为方程()1fxkx=+恰有3个实根，故直线1ykx=+与()yfx=的图象有3个交点，∴113k−−或1k=，

故D正确．13．【答案】2−解：求导得()22(1)fxxf=+，得()()1221ff=+，解得()12f=−．14．【答案】3解：2()32fxxax=−+，则()20f=，即34220a−+=，解得3a=．15．【答案】11,73

解：由条件知，分段函数()fx在R上单调递减，则31001(31)14log1aaaaa−−+，所以130117aaa，所以1173a．16．【答案】310,e解：关于x的函数()()2gx

fxkx=−−有4个零点，等价于()yfx=与2ykx=+有4个不同的交点，0x时311yx=+−单调递减，与2ykx=+有一个交点，则0k；所以0x时，有3个交点，求出2ykx=+与|ln|yx=相切时的k值，当1x时，设切点

为()00,lnxx，所以1yx=，则01kx=，所以切线方程为()0001lnyxxxx−=−，又因为点()0,2在切线上，则()00012ln0xxx−=−，解得30xe=，所以31ke=，由图像知()()2gxfxkx=−−有4个零点，310ke．17．（本题满分10分）解：

（1）数列na的前n项和为nS，且231nnSa=−①，当1n=时，解得：11a=．当2n时，11231nnSa−−=−②，①-②得：13nnaa−=，故：13nnaa−=（常数），所以：数列na是以1为首项

，3为公比的等比数列．所以：13nna−=（首项符合通项），故：13nna−=．（2）解：33nnnbnan==所以1231323333nnTn=++++，23131323(1)33nnnTnn+=+++−+，两式相减得，()12311313233333313nnn

nnTnn++−−=++++−=−−，因此1(21)334nnnT+−+=．18．（本题满分12分）解：（1）33()cos2sin2sin222fxxxx=+−13sin2cos2sin2223xxx=+=+，所以()fx的最小正周期22T==．令

3222232kxk+++，kZ解得71212kxk++，kZ，所以单调减区间为7,1212kk++，kZ．（2）因为44x−，所以52636x−+，所以1sin2sin362x+−=−

，所以当,44x−时，1()2fx．19．（本题满分12分）解：（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率2232439432CpC==．（2）甲班级能

正确回答题目人数为X，X的取值分别为1，2，1131241(1)2CCPXC===，23241(2)2CPXC===，则113()12222EX=+=，2231311()1222224DX=−+−=

．乙班级能正确回答题目人数为Y，Y的取值分别为0，1，2，∵3~2,4YB，∴33()242EY==，313()2448DY==．由()()EXEY=，()()DXDY知，由甲班级代表学校参加大赛更好．20．（本题满分12分）解：（1）∵PC⊥平

面ABCD，AC平面ABCD，∴ACPC⊥，因为42ABADCD===，所以2ACBC==，所以222ACBCAB+=，所以ACBC⊥，又BCPCC=，CB，PC平面PBC，所以AC⊥平面PBC，因为AC平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC．（2）如图，以点C为原点，DA，CD，CP分别

为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)C，(2,2,0)A，(2,2,0)B−．设(0,0,2)(0)Paa，则(1,1,)Ea−，(2,2,0)CA=，(0,0,2)CPa=，(1,1,)CEa=−，取(

1,1,0)m=−，则0mCAmCP==，m为面PAC法向量．设(,,)nxyz=为面EAC的法向量，则0nCAnCE==，即00xyxyaz+=−+=，取xa=，ya=−，2z=−，则(,,2)naa=−−依题意2||6|cos,|3||||2mnamnmna===+，则2

a=．于是(2,2,2)n=−−，(2,2,4)PA=−．设直线PA与平面EAC所成角为，则||2sin|cos,|3||PAnPAnPA===，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23．21．（本题满分12分）解：（1）由题意得12cea==，229141ab+=，又因为222abc

=+，由上述三式解得：2a=，3b=，1c=，所以椭圆方程为：22143xy+=．（2）假设存在直线AB，显然直线AB不能与x轴，y轴垂直．如图假设存在直线AB，显然直线AB不能与x轴，y轴垂直．设AB方程为()1ykx=+，(0)k，代入植圆方程整理得：()22224

384120kxkxk+++−=，设()11,Axy，()22,Bxy，所以2122843kxxk−+=+，故点G的横坐标为21224243xxkk+−=+，所以22243,4343kkGkk−++，设()0,0Dx，因为DGAB⊥，所以22023431443kkkkxk+=−

−+，解得20243kxk−=+，即22,043kDk−+，由||10||GDOD=可得2222222222431043434343kkkkkkkk−−−−+=+++

+，化简可得：429kk=，由0k可得，3k=，即存在直线AB为330xy−+=或330xy++=．22．（本题满分12分）解：（1）∵()cosxfxex=−，则()sinxfxex=+，∴()00f=，()01f=，因此函数()yx=在点()()0,0f处的切线方程为

yx=，即0xy−=．（2）当0x时，1cosxex，此时()cos0xfxex=−，所以函数()yfx=在区间(0,)+上没有零点；又()00f=，下面只需证明函数()yfx=在区间,02−上有且只有一

个零点，()sinxfxex=+，构造函数()sinxgxex=+，则()cosxgxex=+，当02x−时，()cos0xgxex=+，所以函数()yfx=在区间,02−上单调递增，∵2102fe−−=−，(0

)10f=，由零点存在定理知，存在,02t−，使得()0ft=，当2xt−时，()0fx，当0tx时，()0fx，所以函数()yfx=在xt=处取得极小值，则()(0)0ftf

=，又202fe−−=，所以()02fft−，由零点存在定理可知，函数()yfx=在区间,02−上有且只有一个零点．综上可得，函数()yx=在,2−+上有且仅有两个零点．