【文档说明】湖北省黄冈中学2023届高三5月二模数学试卷含答案.docx，共(16)页，1.462 MB，由小赞的店铺上传

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湖北省黄冈中学2023届高三5月第二次模拟考试数学试卷考试时间：2023年5月17日下午15：00-17：00试卷满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.1.已知集合2{|lg0},|11AxxBxx==−剟，则AB=（）A.AB.BC.RAðD.RBð2.已知复数z满足1z=，则34iz+−（i为虚数单位）的最大值为（）A.4B.5C.6D.73.在一组样本数据()()()1122,,,,,,,nnxyxyxy（122,,,nnxx

x…互不相等）的散点图中，若所有样本点()(),1,2,iixyin=都在直线153yx=−上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A.13−B.13C.-1D.14.已知等差数列na的前n项和为nS，若101110120,0aaaa++，则nS取最大值时n的值为

（）A.10B.11C.12D.135.甲､乙､丙､丁､戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗喊，你和乙都没有得到冠军.”对乙说“你当然不会是最差.”从这两个回

答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（）A.27种B.36种C.54种D.72种6.设抛物线2:6Cyx=的焦点为F，过F的直线交C于,AB两点，分别以,AB为切点作C的切线12,ll，若1l与2l交于点P，且满足23PF=，则AB=（）A.5B.6C.7D.87.若函数

()fx在其定义域内存在实数x满足()()fxfx−=−，则称函数()fx为“局部奇函数”.已知函数()933xxfxm=−−是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）A.22,3−

B.)2,−+C.(,22−D.3,3−8.已知三棱锥SABC−的四个顶点都在半径为2的外接球上，EF､分别是AC和SC的中点，90BEF=，1,2ABBC==，当SC取得最大值时，三棱锥SABC−的体积为（）A.26B.262C.263D.266二､多选题

：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论

正确的是（）A.圆柱的侧面积为22RB.圆锥的侧面积为22RC.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱､圆锥､球的体积之比为3:1:210.如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点BMBEBD=+，则下列结论正确的是

（）A.当M为线段AD上的中点时，32+=B.的最大值为12C.的取值范围为0,1D.+的取值范围为1,2211.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sinyA

t=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()11sinsin22fxxx=−，则当0,2x，时，函数()fx一定有（）A.三个不同零点B.在0,上单

调递增C.极大值，且极大值为334D.一条切线为yx=12.1990年9月，CraigF·Whitaker给《Parade》杂志“AskMarilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提

霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次

选择的是1号门，接着主持人会从23､号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（）A.你获得豪车的概率为13B.主持人打开3号门的概率为12C.在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为13D.在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号

码，则改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.54(12)(13)xx−+展开式中含2x项的系数为__________.14.记nS为等比数列na

的前n项和.若21461,3aaa==，则5S=__________.15.已知ABC中，CD为C的角平分线交AB于点D，且1,2,23BDCDAC===，则BC的长为__________.16.已知O为坐标原点，动直线l与椭圆2222:1(0)xyMabab+=相切，与圆222

:Oxya+=相交于AB､两点，若OAB的面积的最大值为22a，则椭圆离心率的取值范围为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数

()()sinfxx=+在区间,62单调，其中为正整数，2，且223ff=.（1）求()yfx=图像的一条对称轴；（2）若362f=，求.18.

（12分）已知数列na为非零数列，且满足()12121111112nnnaaa++++=.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列nna的前n项和nS.19.（12分）甲､乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每

人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲､乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得-1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲､乙每次踢球命中球门的概率均为12，甲扑到乙踢出球的概率为12，乙扑到甲踢出球的概率

为13，且各次踢球互不影响.（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；（2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率.20.（12分）如图，已知四棱锥PABCD−的底面为菱形，且60,2,2ABCABPCPAPBM=====

是棱PD上的点，且四面体MPBC的体积为36.（1）证明：PMMD=；（2）若过点,CM的平面与BD平行，且交PA于点Q，求平面BCQ与平面ABCD夹角的余弦值.21.（12分）如图，已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=

的一条渐近线与x轴夹角为3，点()1,0在E上，过()4,0G的两条直线12,ll的斜率分别为12,kk，且1213,kkl=交E于2,ABl､交E于CD､，线段AB与CD的中点分别为,MNGHMN⊥､（1）求双曲线E的方程；（2）求证

：存在点K，使HK为定值.22.（12分）已知函数()()22ln2310fxxaxaxa=−+−….（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若1a=，设两实数,mn，其中01,1mn，且()223693mmfnmee=−+−.证明：2223mnen

.湖北省黄冈中学2023届高三5月第二次模拟考试数学试卷命题教师：张智席建颖魏小军审题教师：席建颖考试时间：2023年5月17日下午15：00-17：00试卷满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题

5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】由lg0x„，即lglg1x„，所以01x„，所以(lg00,1Axx==∣„，由211x−„，得2111x−−剟，所以202x剟，解得22x−剟，所以21122Bx

xxx=−=−∣∣剟?，所以(0,1ABA==.故选：A.2.【答案】C【解析】圆心()0,0O与点()3,4P−的距离22345.34idz=+=+−（i为虚数单位）的最大值为516+=.故选：C.3.【答案】D【解析】根据回归直线

方程153yx=−，可得这两个变量是正相关，又因为所有样本点()(),1,2,iixyin=都在直线153yx=−上，所以1r=，故选：D.4.【答案】A【解析】等差数列10121111101110,20,0,0,0naaaaaaaa+=+，则nS取最大值时，

10n=.故选：A.5.【答案】C【解析】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论：①甲是最后一名，则乙可以为第二､三､四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有336A=种情

况，此时有3618=种名次排列情况；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二､三､四名，有236A=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有336A=种情况，此时有6636=种名次排列情况；则一共有3618

54+=种不同的名次情况，故选：C.6.【答案】D【解析】设()()1122,,,AxyBxy，则221212,66yyxx==，可得切线()111:3lyyxx=+，①切线()222:3lyyxx=+，

②联立①②可得123,22PPyyxy+=−=，设直线AB的方程为32xmy=+，联立抛物线26yx=，可得2690ymy−−=，即有12126,9yymyy+==−，故3,32Pm−，由22399PFm==+，可得213m=，所以()212122668ABxxpm

yypm=++=++=+=，故选：D.7.【答案】B【解析】根据“局部奇函数”的定义可知，函数()()fxfx−=−有解即可，即()933933xxxxmm−−−−=−−−，即有()993360xxxxm−−+−+−=，即()()2333380xxxxm−−+−+−=有解即可.设

()332xxtt−+=…，则方程等价为280tmt−−=在2t…时有解.设()28gttmt=−−，对称轴为2mx=，①若4m…，则2320m=+，满足方程有解；②若4m，要使280tmt−−=在2t…

时有解，则()42240mgm=−−„，解得24m−„.综上得实数m的取值范围为)2,−+.故选：B.8.【答案】D【解析】依题意，当SC为外接球直径时，SC最大，,SAACSBBCEF⊥⊥为SAC的中位线，EFSA∥，又90,BEFBESASA=⊥⊥平面,ABC

SABC⊥.又,BCSBSASBS⊥=，BC⊥平面,,SABBCABABC⊥为直角三角形，22223,13ACABBCSASCAC=+==−=，1112612133326SABCABCVVSA−===.故选：D.二､多选题：本题共4小

题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】CD【解析】A选项，圆柱的侧面积为2224RR=，故A选项错误.B选项，圆锥的母线长为22(2)5RRR+=，圆锥的侧面积为

255RRR=，故B选项错误.C选项，球的表面积为24R，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C选项正确.D选项，圆柱的体积为2322RRR=，圆锥的体积为2312233RRR=，球的体积为3

43R，所以圆柱､圆锥､球的体积之比为333242::3:1:233RRR=，故D选项正确.故选：CD.10.【答案】ABC【解析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：设2BC=，所以()()()0,0,0,1,2,2BED，设(),2Mt

，则02t剟，由于BMBEBD=+，所以()(),2(0,1)2,2t=+，整理得2,22t=+=，则2,2tt=−=，对于A：当M为AD上的中点时，则1t=，故13222+=−=，故A正确；对于()21:222tBttt=−=−，由于02t剟，当1t=

时的最大值为12，故B正确；对于C：由于,022tt=剟，所以01剟，故的取值范围为0,1，故C正确；对于:2,022tDt+=−剟，故+的取值范围为1,22，故D错误.故选：ABC.11.【答案】BC【解析】对于A

，由()0fx=得：11111sinsincossin1cos022222xxxxx−=−=，即1sin02x=或1cos12x=，10,2,0,2xx，解得0x=或2,xA=错误

；对于()2111111111,coscoscos2cos11cos12cos222222222Bfxxxxxxx=−=−+=−+，()110,,0,,0cos1,0222xxxfx剟?，且当0x

=时，()0fx=，则()fx在0,上单调递增，B正确；对于C，由选项B知，当40,3x时，()()0,fxfx单调递增；当4,23x时，()0fx，()fx

单调递减，因此当43x=时，()fx取得极大值433,34fC=正确；对于D，显然函数()fx过原点，()00f=，且()00f=，因此()fx的图象在原点处的切线方程为0y=，因为直线yx=过原点，因此直线yx=不是()fx图象在原点

处的切线，令()()1111111sinsin,0,2,1coscos2coscos02222222gxxxxxgxxxxx=−+=−+=−+，即函数()gx在()0,2上单调递增，当()0,2x时，()()00gxg=，

即11sinsin22xxx−，于是函数()fx在()0,2上的图象总在直线yx=的下方，所以直线yx=不可能为()fx图象的切线，D错误.故选：BC.12.【答案】ABD【解析】设123AAA､､分别表示1,2,3号门里有豪车，用123BBB､､分别表示主持人打

开1,2,3号门.如上所述，你初次选择了1号门，因为你在做选择的时候不知道豪车在哪个门里，你的选择不影响豪车在三个门中的概率分配，所以事件123AAA､､发生的概率仍然为13，即A正确；主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能

的情况：豪车在1号门里，主持人打开2，3号门，故()3112PBA=∣，豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，故()321PBA=∣，豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故()330PBA=∣，由全概率公式()()()33311111322iiiPBPAPBA===+=∣，即B

正确；再由贝叶斯公式，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率为()()()()()()()()13123213233312,33PAPBAPAPBAPABPABPBPB====∣∣∣∣，故选2号门会使获得豪车的

概率更大，是正确的决策，即C错误，D正确.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13【答案】-26【解析】整个式子中2x项可由54(12),(13)xx−+的展开式的常数项与二次项､一次项与一次项相乘得到：故所求为：()()022112202545454(3)23(2

)26CCxCxCxCxCx+−+−=−.故答案为：-26.14.【答案】1213【解析】在等比数列中，由246aa=，得625110qaqa=，即0,3qq=，则()551131213133S−==−，故答案为：121315.

【答案】3【解析】由角平分线的定义可得ACDDCB=，所以ACDBCDABCSSS+=，即111sinsinsin222ACCDACDCDCBDCBACCBACB+=，又因为22ACBAC

DDCB==，所以sin2sincos2sincosACBACDACDDCBDCB==，则2222222cos22CDCBBDCDCBBDACCDCDCBACCBDCBACCBACCDCBCD+−+−+===，又因为23

,2,1ACCDBD===，所以2412322232CBCB+−+=，整理可得23230aa−−=，即()()3130aa+−=，因为0a，所以310a+，则3a=，故答案为：3.16.【答案】

2,12【解析】法一：OAB的面积最大值为22a存在直线l使90AOBO=到直线l的距离为22a，设:lykxm=+，则()22222,1221makamk=+=+①()()22222222222222222222()20ykxmbxakxmabbakxak

mxambbxayab=+++=+++−=+=l与椭圆相切，()()422222222Δ440akmabakmb=−+−=，所以2222bakm+=②联立①②得()22222122kabak+=+222

22akab=−有解，2222220,2,12abace−剟?.法二：转化同法一，设()00,Pxy，则l为00221xxyyab+=，O到l的距离为220022122daxyab==

+有解，平方整理得22200442xyaab+=，即22200242xayab+=①，又2200221xyab+=②两式相减得22200421ayybb−=，所以42022byab=−有解，又2200yb

„，即4222bbab−„，所以()2222222,12abace=−厔.法三：转化同法一，设AB中点为D，切线l除了切点P外，其它点均在椭圆外，则22dODab==，则222212,122abace=−

厔.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）因为223ff=，所以()yfx=图像的一条对称轴为2723212x+==.（2）因为函数()()sinfxx=

+在区间,62单调，所以最小正周期22263T−=…，所以223T=…，即3„，又为正整数，所以1,2,3=，由（1）知，()fx在712x=处取得最值，所以7,122kkZ+=+，即7,212kkZ=−+，

①当1=时，,12kkZ=−+，由2，知12=−，所以()sin12fxx=−，所以3sinsin6612122f=−=，不符合题意；②当2=时，2,3kkZ=−+，由2，知3=，所以()sin23fxx

=+，所以23sin2sin66332f=+==，符合题意；③当3=时，5,4kkZ=−+，由2，知4=−，所以()sin34fxx=−，所以23sin366422f=−=

，不符合题意.综上所述，3=.18.【解析】（1）()12121111112,nnnaaa++++=当1n=时，1112a+=，解得11a=，当2n…时，()121211111112nnnaaa−−+

++=，两式相除得112nna+=，即121nna=−，当1n=时，11a=满足上式，121nna=−（2）由（1）得121nna=−，则121,2nnnnnnnaa=−=−，()

()()()1231212223232nnSnn=−+−+−++−()()1231222322123nnn=++++−++++令1231222322nnAn=++++①

，()11232nnnBn+=++++=()23412122232122nnnAnn+=++++−+②由①-②得()1231121222222212nnnnnAnn++−−=++++−=−−，()()()111122,1222nnn

nnnnnAnSABn+++=−+=−=−+−.19.【解析】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件,,BAB相互独立，由题意得：()()1111111,1233224PAPB=−==−=

，甲的得分X的可能取值为1,0,1−，111(1)()()()1346PXPABPAPB=−===−=11117(0)()()()()()()11343412PXPABPABPAPBPAPB==+=+=+−−=，111(

1)()()()1344PXPABPAPB====−=，所以X的分布列为：X-101P1671214()1711101612412EX=−++=.（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四

种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为3111464P==，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为22231774

1264PC==，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分的概率为22331114632PC==，甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为21431749412192PC==，所以经过三

轮踢球，甲累计得分高于乙的概率1714979646432192192P=+++=.20.【解析】（1）如图，取AB中点O，连接,POCO.因为2,2PAPBAB===，所以,1,1POABPOBO⊥==.又因为ABCD是菱形，60ABC=，所以,

3COABCO⊥=.因为2PC=，所以222PCPOCO=+，所以POCO⊥.又因为AB平面,ABCDCO平面ABCD,ABCOO=，所以PO⊥平面ABCD.因为,ADBCBC∥平面,PBCAD平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以113314334

3DPBCAPBCPABCABCVVVPOS−−−=====.因为3162MPBCDPBCVV−−==，所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的12，所以PMMD=.（2）由（1）知，,,BOCOPOBOPOCO⊥⊥⊥

，如图，以O为坐标原点，,,OCOBOP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则()()()()()0,1,0,0,1,0,3,0,0,3,2,0,0,0,1ABCDP−−，所以()()()31,1,,3,1,0,3,1,0,3,3,022MACBCBD−==

−=−()310,1,1,,1,22APCM==−−.设平面的法向量为(),,nxyz=，则00nBDnCM==，即33031022xyxyz−=−−

+=.取1y=，得到平面的一个法向量()3,1,5n=.因为QAP，设()0,,AQAP==，则()3,1,CQAQAC=−=−−，因为3150nCQ=−+−+=，所以23=，所以123,,33CQ=−−，设平面BCQ的法向量为()1111,,n

xyz=，则1100nCQnBC==，即111112303330yzxxy−−+=−=.取11x=，得到平面BCQ的一个法向量()11,3,23n=.设平面BCQ与平面ABCD夹角是，又因为()20,0,1n=是平面ABCD的一个法向量，则1

212123coscos,2nnnnnn===，所以6=，故平面BCQ与平面ABCD的夹角是6.21.【解析】（1）依题意1,3baa==，则3b=，E的方程为2213yx−=.（2）设()()1122,,,AxyBxyAB､的方程为()14ykx=−，()()3344,,,Cxy

DxyCD､的方程为()24ykx=−，联立()221334xyykx−==−，得()2222111381630kxkxk−−++=，21122183kxxk+=−，从而()2111121121222221111

2441238,,3,333kkkyykxxMkkkkkkk+=+−===−−−，122111212,,33kNMNkk−−的斜率112211112221112211121233246412412333MNkkkkkkkkkkkk−−−===+

+−−−，直线MN的方程为21112221111264333kkkyxkkk−=−−+−，即()12162.3kyxk=−+直线MN恒过定点()2,0T.又90,THGH=的轨迹为以TG为直径的圆.取TG中点()3,0K，则112HKTKKGTG=

===，故存在定点()3,0K使HK为定值.22.【解析】（1）()fx的定义域为()()()()4110,,axaxfxx+−+=若0a=，则()()1,fxfxx=在()0,+单调递增；若0a，令()0fx

=，解得12110,04xxaa==−（舍去）单调递增；()fx在10,a单调递增，在1,a+单调递减.（2）()()()()222236933ln231,3mmmmmmfnmeeeeefnfe=−+−=−+−

=.若1a=，由（1）知()fx在()0,1单调递增，在()1,+单调递减.201,1,1,1mmnen，又()fx在()1,+单调递减，要证2men，即证()()()23mmfefnfe=即证()0mfe，由()fx的单调性可知()()10mfef

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