【文档说明】广东省汕头市金山中学2021届高三下学期3月学科素养测试数学试题含答案.doc，共(12)页，1.233 MB，由小赞的店铺上传

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汕头市金山中学2021届高三第二学期学科素养测试数学一、选择题：本题共8小题，8×5=40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集RU=，=12xxA，=ABCu，则BA等于()A．}21|{xxB．}20|{

xxC．10xD．2xx2．已知复数z满足)43(112izii−=−++，则||z=()A．55B．1C．5D．53．给定命题p：函数)1lg()1lg(−++=xxy为偶函数；命题q：函数11+−=xxeey

为奇函数，下列说法正确的是()A．qp是假命题B．qp)(是假命题C．qp是真命题D．qp)(是真命题4．己知0ab，则下列不等式成立的是()A．2aabB．ab11C．abba11++D．1ab5．若函数xxfsin2)(=在区间−3,6上存在最小

值-2，则非零实数的取值范围是()A．),3[+B．]3,0(C．]3,0(0,23−D．),3[23,+−−6．某校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年4月18日～27日（共10天）学生在线学习人数及其增长比例数

据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是()A．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小B．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差C．这10天学生在线学习人数在逐日增加D．前5天在线学习人数增长比例的极差

大于后5天在线学习人数增长比例的极差7．已知函数+−=0,20,1ln)(2xxxxxxxf，则函数]1)([+=xffy的零点个数是()A．2B．3C．4D．58．已知抛物线xyC2:

2=，过定点)0,(aM的直线与抛物线C交于BA,两点，若22||1||1MBMA+常数，则常数a的值是()A．1B．2C．3D．4二、选择题：本题共4小题，4×5=20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分

，部分选对的得3分．9．若nxx+1的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为()A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项10．下列判断正确的是()A．xx1+的最小值

是2B．6log3log95C．若0a，则+−axax1{1D．若函数)(xf与)(xg都在区间D上是减函数，则)()(xgxf为D上的增函数．11．端午节是中国第一个申请成功的世界人类非物质文化的节日，农历五月初五是端午节，民间吃粽子、佩香囊的习惯，吃“粽子”是为了纪念

战国时期楚国爱国主义诗人屈原，香囊暗解清防新冠并驱虫．“七彩丝线系香囊，柔情轻解入谁家”．“扈江篱与辟芷兮，纫秋兰以为佩”．粽子和香囊都是六面体．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示香囊粽子形状的六

面体．下列各选项正确的是()A．六面体的体积为;62B．若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为;72968C．折后棱CDAB,所在直线异面且垂直；D．折后棱CDAB,所在直线相交．12．黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺

术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618．北京新机场，自然也留下了黄金数的足迹．人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处．艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美．设

离心率为黄金比215−的倒数2150+=e的双曲线称为黄金双曲线．若cba,,分别是实半轴、虚半轴、半焦距的长，则对黄金双曲线，有()A．当焦点在x轴时，其标准方程为：12152222=+−ayaxB．若双曲线的弦EF的中点为M，则0ekkOMEF−=C．双曲线中cba,,成等

比数列D．双曲线的右顶点)0,(aA，点),0(bB和左焦点)0,(cF−构成ABF是直角三角形．三、填空题：本题共4小题，4×5=20分．13．函数)1lg(4)(2+−=xxxf的定义域为.14．已知523co

ssin=+xx，则−22cosx=．15．已知数列}{na满足)(1*21Nnaaannn+−=+，设nnaaaS11121++=，且13210109−−=aaS，则数列}{na的首项1

a的值为．16．今有，点)4,411(+F，又点E是0122:=−+yxl上动点，过E作的切线，切点分别是BA,，直线AB与EO交于点M，则||MF的最大值是.四、解答题：本题共6小题，共10+12×5=70

分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列}{na中，2386+=aa，数列}{na的公差为d，前n项和为.nS1)求9S的值；2)下列两小题只选一小题再作答．选做①若公差zd，且1,2,523+aSa成等比数

列，求通项.na选做②若23=d，求数列+12nna的前n项乘积为.nT18．在ABC中，cba,,分别是角CBA,,的对边，AABBcos2sincos1sin−=+，1)若43tan=A，求

BBsincos1−的值；2)若2=b，求ABC的面积的最大值；19．如图，四棱锥OBCDA−中，底面OBCD是梯形，BODC//，4=BO，1=CD，3=DO，平面⊥ABO平面⊥ABOBCD,平面AOD；1)若E是AB中点，又BCBF32=，求证

：//EF平面AOD；2)若AOAB=，求钝二面角CADO−−平面角（钝的）的余弦值．20．某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年．如图1所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.

其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个滤芯是否需要更换相互独立）．若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元．若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元．现需决

策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中如表是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图．一级

滤芯更换频数分布表以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率．(I)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好

为16的概率；(II)记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；(Ⅲ)记nm,分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．若19=+nm，且}9,8{m，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期

望值为决策依据，试确定nm,的值．21．已知OBA),1,0(),0,3(为坐标原点，动点M满足：.4||||=−++OAOMOAOM1)求动点M的轨迹的方程；2)直线l过点−53,0且与轨迹交于

点ED,，若BDE是等腰三角形，求直线l的方程．22．函数2211)(xemxfmx−=，)('xf是)(xf的导函数．1)若1=m，Rx，求函数)()()(xfxfxg−+=的最小值．2)对),(+ex，且1m，证明：6lnl

n)('2)6(−+−xxxfmxmx恒成立．数学参考答案BCDADCDA9．CD10．AC11．ABD12．ACD]2,0()0,1(−；257−；23；541．【答案】B由0221−=−xxx，20x，又已知BA，.ABA=5．【答案】D有取得无穷所以选D又当0时，由

−3,6x得36−x，题意知26−−则3；当0时，由−3,6x得63−x，根据题意知23−则23−；3或.23−

6．【答案】C【解析】对于A，由折线图很明显，23-24的增长比例在下降，故A错误；对于B，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故B错误；对于C，由柱状图，可得学习人数在逐日

增加，故C正确；对于D，前5天增长比例的极差小于后5天增长比例的极差，故D错误，故选C．7．【答案】D令.0,)1(0,11ln1)(2++−=+=xxxxxxft①当0t时，tttf1ln)(−=，则函数)(tf在),0(+上单调递增，由于01)1(−=f，0212ln)

2(−=f，由零点存在定理可知，存在)2,1(1t，使得0)(1=tf；②当0t时，tttf2)(2+=，由02)(2=+=tttf，解得22−=t，.03=t作出函数1)(+=xft，直线1tt=、2−=t，0=t

的图象如下图所示：由图象可知，直线1tt=与函数1)(+=xft的图象有两个交点；线0=t与函数1)(+=xft的图象有两个交点；线2−=t与函数1)(+=xft的图象有且只有一个交点．综上所述，函数]1)([+=xffy的零

点个数为5．故选：D．8．A15．若存在1=na，由1121+−=−−nnnaaa，则可得11=−na或01=−na，由nnaaaS11121+++=可得0=na，由13210109−−=aaS可得110=a所以}{na中恒有1=na由121+−=+nnnaa

a，可得)1(11−=−+nnnaaa所以nnnnnaaaaa111)1(1111−−=−=−+，即111111−−−=+nnnaaa所以−−−++−−−+−−−=+++=+1111111111111111322121nnnnaaaaaaaaaS

111111−−−=+naa所以132111110101019−−=−−−=aaaaS，即2122132111110101010101=−−=−−+−=−aaaaaa所以2111=−a，则2111=−a，所以231=a16．解：易求得直线l对应圆内点)4,2(1M，且点M的轨迹是以

1OM为直径的圆（去掉O点），则最大.545)24()1411(||22=+−+−+=MF17．解：在等差数列}{na中，由2386+=aa，得67)5(311++=+dada3451==+ada………

…………………2分1)27)4(92899119=+=+=dadaS；……………………5分2)选①依题)1()2(5322+=aaS…………………………6分)13)(2()2(4121++=+dadadd23)76(2−=

−03382492=+−dd…………………………8分1=d或4933=d（舍去,zd）2−=nan…………………………10分选②若23=d，得)3(23−=nan……………………7分31−=

a,232−=a,03=a,11231−=+−=T,103523122212=−−=+=aTT,3n,0=nT…………………9分==−=3,02,10311nnnTn，…………………………10分18．解：1)在ABC中，043tan=A,

20A，…………………………1分43cossin=AA,AAcos3sin4=,)sin1(9sin1622AA−=,53sin=A,54cos=A,……………………………3分由已知得2154253cos2sincos1sin=−=−=+AABB，………………………………4分又

BBBBBBBBBBBcos1sin)cos1(sincos1)cos1(sin)cos1)(cos1(sincos12+=+−=++−=−21cos1sinsincos1=+=−BBBB…………………………………5分2)在ABC中，cBA−=+,原等式

变为)cos1(sinsin)cos2(BABA+=−,ABABABsincossinsincossin2+=−,BABAABsincoscossinsinsin2++=,CABAABsinsin)sin(sinsin2+=++=，……………………………6分由正弦定理CcB

bAasinsinsin==，得cab+=22=b,24=+ca，……………………………8分法1．ABC是以点CA,为焦点，顶点B在椭圆上变动（去掉椭圆的左右顶点）三角形底长2=AC，当B在椭圆短轴顶点时，高最大，这时面积最大.……………1

0分椭圆中224'==a,1'=c,3'''22=−=cabABCS最大值为33221==ABC的面积的最大值是3．……………12分法2．在ABC中，由余弦定理Bacbcacos2222=−+………………………9分16122422)(co

s2222−=−−=−−+=acacacacbcaB2223612161sincaacacB−=−−=………………………10分.392393361221sin21222=−+−=−==c

aaccaacacBacSABC……………12分19．解：1)证明：取BO中点M，连结,,MEMF………………………1分在梯形OBCD中，BODC//,4=BO,1=CD,3=DO,又BCBF32=12=FC

BF由平面几知识，DOFM//，……………………………2分又E是AB中点，AOME//,ME平面AOD,AO平面AOD,//ME平面AOD，…………………………3分同理可证//FM平面AOD，又MFMEM=,平面//MEF平面AOD,//EF平面A

OD．………………………5分2)⊥AB平面AODAOAB⊥,DOAB⊥,AOAB=,OAB等腰直角三角形，连结AM,BOAM⊥,AABAM=,平面⊥ABO平面OBCD,AM平面ABO,⊥AM平面OBCD,DOAM⊥

,AABAM=,⊥DO平面ABO.BODO⊥…………………………7分以O为原点，在平面ABO内作OBOx⊥,OxDO⊥，以分别ODOB,为zy,轴建立空间直角坐标系．则)3,1,0(),3,0,0(),0,4,0(),0,2,2(CDBA，……………

……………8分平面AOD的法向量是).0,2,2(−=BA……………………………9分设平面ADC的法向量是),,(zyxn=，)3,2,2(−−=AD，)0,1,0(=DC===+−−=010322yDCnzyxADn0=y，令

3=x，2=z，则)2,0,3(=n…………10分设二面角CADO−−平面角为，依题为钝角.2626313226,coscos−=−=−=−=nBAnBAnBA二面角CADO−−平面角的余弦值.262

63−…………………………12分20．解：(1)由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16，则该套系统中一个一级过滤器需要更换8个滤芯，两个二级过滤器均需要更换4个滤芯，设一套净水系统在使用期内需要更换的各级

滤芯总个数恰好为16为事件A，因为一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为0.6，二级过滤器需要更换4个滤芯的概率为0.2，所以024.02.02.06.0)(==AP；……………………5分(2)由题可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4，5，6的概率分别为0.2，0.4，0.4，

X的可能取值为8，9，10，11，12，从而04.02.02.0)8(===XP，16.04.02.02)9(===XP，32.04.04.04.02.02)10(=+==XP，32.04

.04.02)11(===XP，16.04.04.0)12(===XP，X的分布列为X89101112P0.040.160.320.320.164.1016.01232.01132.01016.0904.08)(=++++=XE；(3)记Y表示该客

户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需费用，因为19=+nm，且}9,8{m，(i)若8=m，则11=n，235216.020011804.04008160)(1=+++=YE，(ii)若9=m，则10=n，236816.040

032.020010809160)(2=+++=YE，因为)()(21YEYE，故选择方案8=m，11=n.…………………………12分21．(1)解1：设)0,3('−A………………………………1分则|||'||

|||OAOMOAOMOAOMOAOM−+−=−++324|||'|=+=MAMA…………………………………2分动点M的轨迹为以'AA、为焦点，长轴长为4的椭圆由3=c,242==aa122=−=cab动点M的轨迹C的方程为1422=+yx……………………………4分(2)设DE

为：53−=kxy,),(),,(2211yxEyxD……………………………5分由−==+531422kxyyx4)53(422=−+kxx02564524)41(22=−−+kxxk)41(524221kkxx+=+,)41(2564221kxx+−=…………

………………7分56)(2121−+=+xxkyy,259)(532121221++−=xxkxxkyy,21212122121212211212564)(581)(11xxxxkxxkxxyyyyxyxykk++−=++−=−

−=164)41(6419264)41(25642564)41(52458)41(2564222222−=−++−−=+−++−+−=kkkkkkkkkBEBD⊥=90DBE………………………

…9分依题，2222221212)1()1(−+==−+=yxBEyxBD)2)(())((21122121−+−=−+yyyyxxxx)2()(21121221−+−−−=+yyxxyyxx]256)([)41(524212−−+−=+

xxkkkk]256)41(524[)41(52422−−+−=+kkkkkk0=k或55=k………………………11分综上，所求直线是：53−=y或5355−=xy………………………12分22．(1)证明：2211)(xemxfmx−=,xexfmx−=)('，令2)()()(x

eexfxfxgxx−+=−+=−，则xeexgxx2)('−−=−,02)(''−+=−xxeexg，所以)('xg在),0[+单调递增，所以0)0(')('=gxg,)(xg在),0[+上单调递增．所以),0[+x

时，2)0()(=gxg,因为)()(xgxg=−，所以)(xg为偶函数，即Rx时，.2)(xg……………………5分(2)6lnln)(2)6(−+−xxxfmxmxxxxemxmxmxln)6(ln)(26)(2−−+−xxxemxmxmx2ln6)(ln26

)(22+−+−xmxexxemxmxln222ln6)(ln26)(+−+−①………………………7分令xexxxh26)(2+−=，则①式等价于)(ln)(xhmxh,)3(2262)('xxexexxh+−=+−=,当1

x时，0)31(2)3(2)('+−+−=eexxhx,又因为1m,),(+ex，所以1mx,1lnx，所以xxmxmxxhmxhlnln)(ln)(,令)(ln)(exxxx=，则2ln1)('xxx−=,所以)(x在),(+ex上单调递减，所以eex1

)()(=，故.1em综上所述，对),(+ex，且1m,6lnln)('2)6(−+−xxxfmxmx恒成立．……………………………12分