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2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系A级必备知识基础练1.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是()A.(-5,15)B.(-∞,-5)∪(15,+

∞)C.(-∞,4)∪(13,+∞)D.(4,13)2.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或123.(多选题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2√2,则实数a的值为()A.0B.4C.-

2D.√34.(多选题)在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能为()5.已知直线ax+by+c=0(ab≠0)与圆x2+y2=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是()A.锐角三角形B.直角三角

形C.钝角三角形D.不存在6.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或53B.-35或32C.-23或23D.-43或-347.过点P(3,5)作圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为.8.

如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为m.9.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,求直线l斜率k的取值范围.B级关键能力提升练10.若点(a,b)是圆x2+y2=r

2外一点,则直线ax+by=r2与圆的位置关系是()A.相离B.相切C.相交但不过圆心D.相交且过圆心11.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()

A.[2,6]B.[4,8]C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]12.直线y=x+b与曲线x=√1-𝑦2有且只有一个交点,则b满足()A.|b|=√2B.-1<b≤1或b=-√2C.-1≤b<

1D.非以上答案13.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点.若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为()A.√2B.√212C.2√2D.214.(多选题)从点A(-3,3)

发出的光线l射到x轴上被x轴反射后,照射到圆C:x2+y2-4x-4y+7=0上,则下列结论正确的是()A.若反射光线与圆C相切,则切线方程为3x-4y-3=0B.若反射光线穿过圆C的圆心,则反射光线方程为x-y=0C.若反射光线照射到圆上后被吸收,则光线经过的最短路程是5√2-1D

.若反射光线反射后被圆C遮挡,则在x轴上被挡住的范围是[-34,1]15.为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A,接着向东

再走7km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,则DE的最短距离为()A.6kmB.(4√2-1)kmC.(4√2+1)kmD.4km16.若过点A(4

,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为.17.如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P,Q分别在线段AD,CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向

D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的“盲区”中的时长约秒(精确到0.1).18.已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线

l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围.19.在△ABO中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,P是△ABO的内切圆上的一点,求分别以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最

大值与最小值.C级学科素养创新练20.一辆货车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道,则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为()A.2.4米B.3.5米C.3.6米D.2.0米2.5.1直线与圆的位置关系1

.B圆x2+y2-2x+4y+1=0的圆心为(1,-2),半径为2.由题意得,圆心到直线3x+4y+m=0的距离|3-8+𝑚|√9+16>2,解得m<-5或m>15.故选B.2.D圆的方程为x2+y2-

2x-2y+1=0,可化为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为|7-𝑏|5=1,得b=2或b=12,故选D.3.AB由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r

=2.又直线被圆截得的弦长为2√2,所以圆心到直线的距离d=√22-(2√22)2=√2.又d=|𝑎-2|√2,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0.4.ABD由题意,可得a2>0,直线y=ax+a2显然过点(0,a2),故ABD均不可能.5.B由题意知,

|𝑐|√𝑎2+𝑏2=1,∴a2+b2=c2,因此三角形为直角三角形.6.D由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-

2k-3=0.又因为反射光线与圆相切,所以|-3𝑘-2-2𝑘-3|√𝑘2+1=1,整理为12k2+25k+12=0,解得k1=-43,或k2=-34.7.4由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,得到圆心A坐标(1,1),半

径r=2,又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|=√(3-1)2+(5-1)2=2√5,设B为切点,由直线PB为圆A的切线,得到△ABP为直角三角形,根据勾股定理得|PB|=√|𝐴𝑃|2-|𝐴𝐵|2=√(2√5)

2-22=4.则切线长为4.8.2√51以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如右图所示:由题意可知,设圆的方程为x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=

10,所以圆的方程为x2+(y+10)2=100,当水面下降1m后,设A'(x0,-3)(x0>0),代入圆的方程中,得x0=√51,所以此时水面宽2√51m.9.解圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,若直线l的斜率不存在,直线l与圆相离,与题意不符

.故设直线方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,根据点到直线的距离公式,得|𝑘+2𝑘|√𝑘2+1<1,即k2<18,解得-√24<k<√24,即直线l斜率k的取值范围为-√24,√24.10.C由题意,

得a2+b2>r2,从而圆心(0,0)到直线的距离为d=𝑟2√𝑎2+𝑏2∈(0,r),所以直线与圆相交但不过圆心.11.A设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|√2=2√2.点P到直线AB的距离

为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即√2≤d'≤3√2.又AB=2√2,∴S△ABP=12·|AB|·d'=√2d',∴2≤S△ABP≤6.12.B曲线x=√1-𝑦2含有限制条件,即x≥0,故曲线表示单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中,画出y=x+b

与曲线x=√1-𝑦2(就是x2+y2=1,x≥0)的图象,如图所示.相切时,b=-√2,其他位置符合条件时需-1<b≤1.13.D圆C:x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径是r=1,由圆的性

质知S四边形PACB=2S△PBC.∵四边形PACB的最小面积是2,∴S△PBC的最小值为1,即12rd=1(其中d是切线长),∴d最小值=2.∴PC的最小值为√12+22=√5.∵圆心到直线kx+y+4=0(k>0)的距离就是PC的最小值,∴|1+4|√𝑘2+1=√5,∴k=2或k=-2

(舍去).故选D.14.BCD点A(-3,3)关于x轴的对称点为A'(-3,-3).圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,由题意知反射光线的斜率存在,设反射光线方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.对

于A,由相切知|2𝑘-2+3𝑘-3|√𝑘2+1=1,解得k=43或k=34.∴反射光线方程为y+3=43(x+3)或y+3=34(x+3).即4x-3y+3=0或3x-4y-3=0,故A错误;又经过点A'(-3,-3),C(2,2)的方程为y=x,故B正确;因

为|A'C|=√(2+3)2+(2+3)2=5√2,所以直线的最短路程为5√2-1,故C正确;由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1,0)和(-34,0),所以被挡住的范围是[-34,1],故D正确.

15.B以O为坐标原点,过OB,OC的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系(图略),则圆O的方程为x2+y2=1,因为点B(8,0),C(0,8),所以直线BC的方程为x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时,DE为最短距离,此时DE的最小值为|0+

0-8|√2-1=(4√2-1)km.16.[-√33,√33]如图所示,∠CAB=∠BAD=30°,∴直线l的倾斜角θ的取值范围为0°≤θ≤30°或150°≤θ<180°.∴直线l的斜率的取值范围为[-√33,√33].17.4.4以点O为坐标原点,建立如下图所示

的平面直角坐标系,可设点P(-10,-10+1.5t),Q(10,10-t),可得出直线PQ的方程y-10+t=20-2.5𝑡20(x-10),圆O的方程为x2+y2=1,由直线PQ与圆O有公共点,可得|2.5𝑡-202-𝑡+10|√

1+(20-2.5𝑡20)2≤1,化为3t2+16t-128≤0,解得0≤t≤8√7-83,而8√7-83≈4.4,因此,点Q在点P的“盲区”中的时长约为4.4秒.18.解(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0<a

≤4),则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2√𝑎.直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|4-2𝑎|√2=√2|2-a|.设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得L=2√(2√𝑎)2-(√2|2-

𝑎|)2=2√-2𝑎2+12𝑎-8=2√-2(𝑎-3)2+10.∵0<a≤4,∴当a=3时,L的最大值为2√10.(2)∵直线l与圆C相切,则有|𝑚-2𝑎|√2=2√𝑎,即|m-2a|=2√2�

�.∵点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m,∴2a-m=2√2𝑎,∴m=(√2𝑎-1)2-1.∵0<a≤4,∴0<√2𝑎≤2√2,∴m∈[-1,8-4√2].19.解如图,建立平面直角坐标系,使A,B,O三点的坐标分别为A(4

,0),B(0,3),O(0,0).设△AOB的内切圆的半径为r,点P的坐标为(x,y).再设切点分别为E,F,G,则|OE|+|EA|+|OF|+|FB|=2r+|AG|+|BG|.即2r+|AB|=|

OA|+|OB|,∴r=1,∴内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=2x-1.①又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+

25,②∴将①代入②,得|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.∵P(x,y)是内切圆上的点,∴0≤x≤2,∴|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18.又以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为π|𝑃𝐴

|22+π|𝑃𝐵|22+π|𝑃𝑂|22=π4(|PA|2+|PB|2+|PO|2),∴以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为112π,最小值为92π.20.B如图所示,半圆的方程为x2+y2=3.62(y≥0),D(0.

8,0),设A(0.8,y),代入半圆的方程得0.82+y2=3.62,解得y≈3.5.