【文档说明】【精准解析】山东师范大学附属中学2020届高三最后一卷（打靶卷）数学试题.doc，共(29)页，2.510 MB，由小赞的店铺上传

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2020年普通高等学校招生全国统一考试(山师附中模拟卷)数学学科本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.1.已知集合2=|20Mxx−，2,1,0,1,2N=−−，则MN=（）A.B.1C.0,1D.1,0,1−【答案】B【解析】【分析】化简集合M，按交集定义，即可求解.【详解】由220xx−，得()0,2x，所以1MN=，故选：B．【点睛】

本题考查集合间的运算，属于基础题.2.已知复数z满足z(1+2i)=i，则复数z在复平面内对应点所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】解：由(1

2)zii+=，得(12)2112(12)(12)55iiiziiii−===+++−，所以2155zi=−复数z在复平面内对应的点的坐标为21,55−，在第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数

代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3.已知向量(),2am=−，()2,1b=r，则“m＜1”是“a，b夹角为钝角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不

充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的知识可得若a，b夹角为钝角，则1m且4m−，再由1mm且4m−1mm结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】若a，b夹角为钝角，则cos,

0ab且cos,1ab−，由222cos,45abmababm−==+可得222204522145mmmm−+−−+，解得1m且4m−，由1mm且4m−1mm可得“m＜1”是“a，b夹角为钝角”的必要不充分

条件.故选：B.【点睛】本题考查了利用平面向量数量积解决向量夹角问题，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.4.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（）A.90B.120C.210D.216【

答案】C【解析】【分析】根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.【详解】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2

人，所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：3363120CA=种站法；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：22236290CCA=种站法；所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区

分站的位置的不同的站法总数是12090210+=.故选：C【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.5.已知定义在R上的函数()2xfxx=，3(log5)af=，31(log)2bf=−，(ln3)cf=，则

a，b，c的大小关系为（）A.cbaB.bcaC.abcD.cab【答案】D【解析】【分析】先判断函数在0x时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log2)bf=，比较33log5,log2,ln3三个数的大小，然

后根据函数在0x时的单调性，比较出三个数,,abc的大小.【详解】当0x时，'()22()2ln220xxxxfxxxfxx===+，函数()fx在0x时，是增函数.因为()22()xxfxxxfx−−=−=−=−，所以函数()fx是奇函数，所以有3

3311(log)(log)(log2)22bfff=−=−=，因为33log5loln31g20，函数()fx在0x时，是增函数，所以cab，故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函

数的奇偶性、单调性是解题的关键.6.对n个不同的实数a1，a2，…，an可得n！个不同的排列，每个排列为一行写成一个n！行的数阵.对第i行ai1，ai2，…，ain，记bi=－ai1+2ai2－3ai3+…+(－

1)nnain，i=1，2，3…，n！.例如用1，2，3可得数阵如图，对于此数阵中每一列各数之和都是12，所以bl+b2+…b6=－12+2×12－3×12=－24.那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2

+…b120等于（）A.－3600B.－1800C.－1080D.－720【答案】C【解析】【分析】根据用1，2，3，4，5形成的数阵和每个排列为一行写成一个n！行的数阵，得到数阵中行数，然后求得每一列各数字之和，再代入公式求解.【

详解】由题意可知：数阵中行数为：5!120=，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数字之和都是：()5!512345360++++=，()()12120...3601234536031080bbb+++=−+−

+−=−=−.故选：C【点睛】本题主要考查数列的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.7.已知ABC中，60A=，6AB=，4AC=，O为ABC所在平面上一点，且满足OAOBOC==.设

AOABAC=+，则+的值为（）A.2B.1C.1118D.711【答案】C【解析】【分析】由由OAOBOC==，得：点O是ABC的外心，由向量的投影的概念可得：·18·8AOABAOAC==，再代入运

算623342+=+=，即可【详解】解：由OAOBOC==，得：点O是ABC的外心，又外心是中垂线的交点，则有：·18·8AOABAOAC==，即()?18()?8ABACABABACAC+=+=，又6AB=，4AC=，12ABA

C=，所以623342+=+=，解得：4916==，即41119618+=+=，故选：C．【点睛】本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面向量的数量积公式，属中档题.8.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB

⊥BC，AB=BC=BB1=1，M是AC的中点，则三棱锥B1－ABM的外接球的表面积为（）A.32B.2C.54D.98【答案】B【解析】【分析】根据题意找到三棱锥B1－ABM的外接球球心为1AB中点,即可求出其半径,则可求出其表面积.【详解】如图所示：取1AB中点为O，AB

中点为D.并连接DM,则OD⊥平面ABM,DADBDM==所以1OAOBOMOB===所以三棱锥B1－ABM的外接球球心为1AB中点O.所以1222ABR==,所以三棱锥B1－ABM的外接球的表面积为242

SR==.故选:B【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积,属于基础题.解本题的关键在于画出三棱柱，找到三棱锥的外接球球心.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分

，有选错的得0分.9.Keep是一款具有社交属性的健身APP，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，

它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据Keep记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（）A.月跑

步里程最小值出现在2月B.月跑步里程逐月增加C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小【答案】ACD【解析】【分析】根据折线图，依次分析月跑步里程的最小值，中位数，变化趋势，波动性即得解【详解】由折线图可知，月跑步

里程的最小值出现在2月，故A正确；月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正确；月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D正确

.故选：ACD【点睛】本题考查了统计图表折线图的应用，考查了学生综合分析，数形结合，数据处理能力，属于基础题10.已知函数()sincossincosfxxxxx=++−，下列结论不正确的是（）A.函数图像关于4x=对称B.函数在,4

4−上单调递增C.若12()()4fxfx+=，则122()2xxkkZ+=+D.函数f(x)的最小值为－2【答案】BCD【解析】【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出

每一段的定义域，由三角函数的性质求之．【详解】解：由题意可得：32cos(2,2)2cossincos44()sincossincos2sinsincos52sin[2,2]44xxkkxxxfxxxxxxxx

xxkk−+=++−==++…，函数图象如下所示故对称轴为4xk=+，()kZ，故A正确；显然函数在,04−上单调递增，0,4上单调递减，故B错误；当524xk=+，()kZ时函数取得最小值(

)min2fx=−，故D错误；要使12()()4fxfx+=，则12()()2fxfx==，则112πxk=或1122xk=+，222xk=或2222xk=+，()12,kkZ所以2122xxk+=+或21xxk+=，()kZ，故C错误．故选：BCD．

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质的应用，表达式中含有绝对值，故应先去绝对值号，变为分段函数，再分段求值域，属于中档题．11.已知正方体1111ABCDABCD−棱长为2，如图，M为1CC上的动点，AM⊥平面.下面说法正确的是（

）A.直线AB与平面所成角的正弦值范围为32,32B.点M与点1C重合时，平面截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.点M为1CC的中点时，若平面经过点B，则平面截正方体所得截面图形是等腰梯形D.己知N为1DD中点，当A

MMN+的和最小时，M为1CC的中点【答案】AC【解析】【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz−，利用空间向量法可判断A选项的正误；证明出1AC⊥平面1ABD，分别取棱11AD、11AB、1BB、BC、CD、1

DD的中点E、F、Q、N、G、H，比较1ABD和六边形EFQNGH的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；利用空间向量法找出平面与棱11AD、11AB的交点E、F，判断四边形BDEF的形状可判断C选项的正误；将矩形11ACCA与矩形11CC

DD延展为一个平面，利用A、M、N三点共线得知AMMN+最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标

系Dxyz−，则点()2,0,0A、()2,2,0B、设点()()0,2,02Maa，AM⊥平面，则AM为平面的一个法向量，且()2,2,AMa=−，()0,2,0AB=，224232cos,,32288ABAMABAMABA

Maa===++，所以，直线AB与平面所成角的正弦值范围为32,32，A选项正确；对于B选项，当M与1CC重合时，连接1AD、BD、1AB、AC，在正方体1111ABCDABCD−中，1CC⊥平面ABCD，BDQ平面ABCD，1BDC

C⊥，四边形ABCD是正方形，则BDAC⊥，1CCACC=，BD⊥平面1ACC，1ACQ平面1ACC，1ACBD⊥，同理可证11ACAD⊥，1ADBDD=，1AC⊥平面1ABD，易知1ABD是边长为22的等边三角形，其面积为()123

22234ABDS==△，周长为22362=.设E、F、Q、N、G、H分别为棱11AD、11AB、1BB、BC、CD、1DD的中点，易知六边形EFQNGH是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH平面1ABD

，正六边形EFQNGH的周长为62，面积为()2362334=，则1ABD的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，B选项错误；对于C选项，设平面交棱11AD于点(),0,2Eb，点()0,2,1M，()2,2,1AM=−，AM⊥平面，DE平面

，AMDE⊥，即220AMDEb=−+=，得1b=，()1,0,2E，所以，点E为棱11AD的中点，同理可知，点F为棱11AB的中点，则()2,1,2F，()1,1,0EF=，而()2,2,0DB=，12

EFDB=，//EFDB且EFDB，由空间中两点间的距离公式可得2222015DE=++=，()()()2222212205BF=−+−+−=，DEBF=，所以，四边形BDEF为等腰梯形，C选项正确；对于D选项，将矩形1

1ACCA与矩形11CCDD延展为一个平面，如下图所示：若AMMN+最短，则A、M、N三点共线，11//CCDD，2222222MCACDNAD===−+，11222MCCC=−，所以，点M不是棱1CC的中点，D选项错误.故选：AC.【点睛】本

题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.12.函数f(x)=ex+asinx，x∈(－π，+∞)，下列说法正确的是（）A.当a=1时，f(x)在(0

，f(0))处的切线方程为2x－y+1=0B.当a=1时，f(x)存在唯一极小值点x0且－1＜f(x0)＜0C.对任意a＞0，f(x)在(－π，+∞)上均存在零点D.存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点【答案】ABD【解析】【分析】逐一验证选项，选项A，通过切点求切线

，再通过点斜式写出切线方程，选项B通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数与直线y＝a的交点问题．【详解】选项A，当1a=时，()sinxfxex=+，(),x−+，所以()01f=，故切点为()0,1，()cosxfxex=+

，所以切线斜率()02kf==，故直线方程为：()120yx−=−，即切线方程为：21yx=+，选项A正确.选项B，当1a=时，()sinxfxex=+，(),x−+，()cosxfxex=+()sin0xfxex=−恒成立，所以()fx

单调递增，又202f−=,3434331cos4422fee−−=+−=−233422eee=,所以342e，即34122e，所以304f−

所以存在03,42x−−，使得()00fx=，即00cos0xex+=则在()0，x−上，()0fx，在()0x+，上，()0fx，所以在()0，x−上，()fx单调递减，在()

0x+，上，()fx单调递增.所以()fx存在唯一的极小值点0x.()000000sinsincos2sin4xfxexxxx=+=−=−03,42x−−,则03,44x−−−，()02

sin1,04x−−，所以B正确.对于选项C、D，()sinxfxeax=+，(),x−+令()0fx=，即sin0xeax+=，所以1sinxxae−=,则令()sinxxFxe=,(),x−+()2sincossin4xxxxxFxee−−−=

=,令()0Fx=,得,1,4xkkkZ=+−由函数2sin4yx=−的图像性质可知:52,2+44xkk+时，2sin04x−，()Fx单调递减.52,2++244xkk+时，2sin04x

−，()Fx单调递增.所以52,,14xkkZk=+−时，()Fx取得极小值，即当35,,44x=−时()Fx取得极小值，又354435sinsin44ee−−

,即3544FF−又因为在3,4−−上()Fx单调递减，所以()343242FxFe−=−所以2,,04xkkZk=+时，()Fx取得极小值，即当9,,44x=时()Fx取得极大值，又9449sin

sin44ee，即944FF所以()4242FxFe=当(),x−+时，()3442222eFxe−所以当34122ea−−，即342ae时，f(x)在(－π，+∞)上无零点，所以C不正

确.当4122ae−=，即42ae=−时，1=−ya与()sinxxFxe=的图象只有一个交点即存在a＜0，f(x)在(－π，+∞)上有且只有一个零点，故D正确.故选：ABD．【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问

题，含参数问题的处理，考查数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于难题题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.621(2)xx−的展开式中的常数项为____________________.(用数字作答)【答案

】240【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【详解】解：621(2)xx−展开式的通项公式为663162(1)rrrrrTCx−−+=−，令630r−=，求得2r=，可得展开式中的常数项为2462240C=，故答案为：24

0．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．14.一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则

如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是________.【答案】15128【解析】【分析】先定义事件A，A，B，B，从而得到事件“甲恰好摸到两次绿球的情况为事件(),,

AAABBAABAABAA+，利用事件的独立性进行概率计算，即可得到答案。【详解】设“甲摸到绿球”的事件为A，则1()4PA=，“甲摸到红球”的事件为A，则3()4PA=，设“乙摸到绿球”的事件为B，则1()4PB=，“乙摸到红球”的事件为B，则3()4PB=，在前四次摸球中，甲恰好

摸到两次绿球的情况是(),,AAABBAABAABAA+，所以113133114444444P=++3311154444128=.故答案为：15128【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是准确定义相关

事件。15.己知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则11ab+的最小值是_______________.【答案】4【解析】【分析】由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得01xb=−、00y=，进而可得1ba+=，再利用()1111ababab

+=++，结合基本不等式即可得解.【详解】对()lnyxb=+求导得1yxb=+，因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，所以011xb=+即01xb=−，所以()()00lnln10yxbbb=+=−+=，所以切点为()1,0b−，由

切点()1,0b−在切线y=x－a上可得10ba−−=即1ba+=，所以()11112224babaababababab+=++=+++=，当且仅当12ba==时，等号成立.所以11ab+的最小值是4.故答案为：4.【点睛】本题考查了导数的运算、导数几

何意义的应用，考查了基本不等式求最值的应用及运算求解能力，属于中档题.16.已知双曲线2218yx−=，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是△F1PF2的内切圆.则M的横坐标为_________，若F1到圆M上点的最大距离为43，则△F1PF2的面积为________

___.【答案】(1).1(2).243【解析】【分析】利用双曲线的定义以及内切圆的性质，求得M的横坐标.由F1到圆M上点的最大距离，求得圆M的半径，求得直线1PF的方程，由此求得P点的坐标，从而求得12,PFPF，进而求得△F

1PF2的面积.【详解】双曲线的方程为2218yx−=，则1,22,183abc===+=.设圆M分别与1212,,PFPFFF相切于,,BCA，根据双曲线的定义可知122PFPF−=，根据内切圆的性质可知()121212122PFPFPBFBPCFCFBFCFAFA−

=+−+=−=−=①，而12126FAFAFF+==②.由①②得：124,2FAFA==，所以()1,0A,所以直线MA的方程为1x=，即M的横坐标为1.设M的坐标为()()1,0Mrr，则1F到圆M上点的最大距离为143MFr+=，即224

43rr++=，解得433r=.设直线1PF的方程为()()30ykxk=+，即30kxyk−+=.M到直线1PF的距离为243334331kkk−+=+，解得3k=.所以线1PF的方程为()33yx=+.由()223318yxyx=+−=

且P在第一象限，解得()5,83P.所以()()221538316PF=++=，21214PFPFa=−=.所以△F1PF2的面积为()121212PFPFFFr++()1431614623=++243=.故答案为：1；243【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查圆的几何性质

、直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na的前n项和为nS，且()*21nnSanN=−（1）求数列na的通项公式；（2）设1nnnnabSS+=，数列nb的前n项

和nT，且nTm对任意*nN恒成立，求m范围.【答案】（1）12nna-=；（2）13m.【解析】【分析】（1）因为21nnSa=−，所以1121nnSa−−=−，两式相减，整理得12nnaa−

=，令1n=，求出1a，进而得解；（2）求出数列nb的通项公式，通过裂项相消法进行求和，将1nnTT+−与0比较，判断出nT的单调性，求出nT的最小值，从而得解.【详解】（1）因为()*21nnSanN=−①所以()11212nnSan−−=−②由①式−②式得()1222nn

naaan−=−，即()122nnaan−=，又当1n=时，1121aa=−，解得11a=，所以na是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12nna-=.（2）.122112nnnS−==−−，()()11112111()221212121nnnnnnnnnabSS−+++===−−

−−−，12231111111111112212121212121221nnnnT++=−+−++−=−−−−−−−−112111()022121nnnnTT+++−=−−−，所以nT单调递增，所以()1min13nTT==，所

以13m.【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用、裂项相消法求和及确定数列中的最大（小）项，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.当数列出现前后项差的时候，可考虑裂项相消求和法.使用裂项法求和时，要注意正负项相

消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.18.平面四边形ABCD中，边BC上有一点E，∠ADC=120°，AD=3，2sin3ECD=，3DE=，334CE=（1）求AE的长：（2）己知∠ABC

=60°求△ABE面积的最大值.【答案】（1）AE23=；（2）33【解析】【分析】（1）在CED中利用正弦定理可得sinCDE，根据边角关系可得CDE，进而可得90ADE=，利用勾股定理计算即可；（2）先利用余弦定理算出12ABBE，再通过三角形面积公式计

算即可.【详解】（1）在CED中由正弦定理可得sinsinDECEECDCDE=，即33342sin3CDE=，1sin,2CDE=因为CEDE，所以CDE是锐角，故30=CDE，又∠ADC=120°90ADE=，在直角三角形ADE中，22223312,23AEADD

EAE=+=+==；（2）在ABE△中，23,60AEABC==，由余弦定理可得：222222cos60,12AEABBEABBEABBEABBE=+−=+−，因为222,122,ABBEABBEABBEABBE+

+12ABBE，当且仅当23ABBE==时等号成立，从而，13sin603324ABESABBEABBE==.所以△ABE面积的最大值为33.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理解三角形，考查面积公式的应用，是中档题.19.在直角梯形A

BCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC的中点.将△ABD沿BD折起，使AB⊥AC，连接AE，AC，DE，得到三棱锥A－BCD.（1）求证：平面ABD⊥平面BCD（2）若AD=1，二面角C－AB－D的余弦值为77，求二面角B－AD－

E的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.2.【解析】【分析】（1）由AB⊥AC和AB⊥AD，可得AB⊥平面ADC，所以AB⊥CD，而BD⊥DC，所以CD⊥平面ADB，从而可证得平面ABD⊥平面BCD；（2）由AB⊥平面A

DC，可知二面角C－AB－D的平面角为∠CAD，由二面角C－AB－D的余弦值为77，解出AB，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面ABD的法向量，平面AED的法向量，即可得二面角B－AD－E的正弦值【详解】

（1）证明：因为直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，所以AB⊥AD，因为AB⊥AC，ACADA=，所以AB⊥平面ADC，所以AB⊥CD，因为BD⊥DC，ABBDB=,所以CD⊥平面ADB，因为CD在平面BCD

内，所以平面ABD⊥平面BCD（2）由（1）知AB⊥平面ADC，所以二面角C－AB－D的平面角为∠CAD，因为CD⊥平面ADB，所以AD⊥CD，所以17cos7ADCADACAC===,得7AC=,所以6CD=,设ABx=，则21BDx=+，由题意可知ABD△DCB,所以ABAD

CDBD=，即2161xx=+，解得2x=，所以3,3BDBC==，如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，则3636(0,0,0),(3,0,0),(0,6,0),(,0,),(,,0)3322DBCA

E,所以3636(,0,),(,,0)3322DADE==,因为CD⊥平面ADB，所以令平面ADB的法向量为(0,1,0)m=，设平面AED的法向量为(,,)nxyz=，则00nDAnDE==，即3603336022xzxy+=+=，取

1y=，则2,1xz=−=，设二面角B－AD－E的平面角为，则1121211mncosmn===++，所以213sin1()22=−=，所以二面角B－AD－E的正弦值为32，【点睛】此题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等知识，属于中档题.20.从2019年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情.目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延.蝗虫危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下

面的散点图及一些统计量的值.平均温度/xC21232527293235平均产卵数/y711212466115325个xyz()()1niixxzz=−−()21niixx=−27.42981.2863.61240.182147.714表中lniizy=，7117iizz

==.（1）根据散点图判断，yabx=+与dxyce=（其中e2.718=为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往

统计，该地每年平均温度达到28Co以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28Co以上的概率为()01pp.①记该地今后()3,nnnN年中，恰好需

要2次人工防治的概率为()fp，求()fp取得最大值时相应的概率0p；②根据①中的结论，当()fp取最大值时，记该地今后6年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.附：对于一组数据()11,

xz、()22,xz、、()77,xz，其回归直线zabx=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：()()()71721iiiiixxzzbxx==−−=−，azbx=−.【答案】（1）dxyce=

更适宜；0.2723.849xye−=；（2）①02pn=；②()2EX=，()43DX=.【解析】【分析】（1）利用图象可得出dxyce=更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归类型，对dxyce=，两边

取自然对数，求出z关于x的回归方程，进而可得出y关于x的回归方程；（2）①对函数()fp求导数，利用导数判断该函数的单调性，求出函数取最值时对应的p的值；②由()fp取最大值时对应的p的值，得出(),XBnp，

由二项分布的数学期望和方差公式可得出()EX、()DX的值.【详解】（1）由散点图可以判断，dxyce=更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归类型，对dxyce=两边取自然对数得lnlnycdx=+，令lnzy=，lnac=，bd=，则zabx=+.因为()()()7172140.182

0.272147.714iiiiixxzzbxx==−−==−，3.6120.27227.4293.849azbx=−=−=−，所以，z关于x的回归方程为0.2723.849zx=−，所以，y关于x的回归方程为0.2723.849xye−=

；（2）①由()()2221nnfpCpp−=−，()()()()()()()233222221211212nnnnnnfpCppnCppCpppnp−−−=−−−−=−−−−()()3212nnCpp

np−=−−，3n且nN，当20pn时，()0fp；当21pn时，()0fp.所以，函数()fp在区间20,n上单调递增，在区间2,1n上单调递减，所

以，函数()fp在2pn=处取得极大值，亦即最大值，02pn=；②由①可知，当2pn=时，()fp取最大值，又6n=，则13p=，由题意可知16,3X，()1623EX==，()1246333DX==.【点睛】本题考查非线性回归方程的求解，考查了利用导

数求函数的最值，同时也考查了利用二项分布求随机变量的数学期望和方差，考查计算能力，属于中等题.21.已知椭圆E：22221(0)xyabab+=经过点3(1,)2−，且焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)设A为椭圆E的左顶点，过点2F的直线l交椭圆E于P，Q两点，记直线AP、AQ的

斜率分别为1k，2k，若1212kk+=−，求直线l的方程.【答案】(1)22143xy+=；(2)220xy−−=.【解析】【分析】(1)由焦距为2可得1c=，，再将点3(1,)2−代入椭圆方程与221ab−=联立即可求出椭圆E的方程；(2)由

题意知，直线l的斜率不存在，不符合要求，故可设直线l方程为(1)ykx=−，设1122(,),(,)PxyQxy，将直线与椭圆的方程联立，消去y利用根与系数关系可求出12xx+，12xx代入1212kk+=−

化简即可求出k.【详解】(1)由条件2221cab=−=，又221914ab+=，联立解得2,3ab==椭圆E的方程：22143xy+=.(2)由条件得(2,0)A−，2(1,0)F，若l的斜率不存在，由对称性知120kk+=，不符合要求；若l的斜率存在，设直线l的斜率为

k，则直线l方程为(1)ykx=−，联立22(1)143ykxxy=−+=，得2222(43)84120kxkxk+−+−=设1122(,),(,)PxyQxy，则221212228412,4343kkxxxx

kk−+==++所以12121222yykkxx+=+++1212(1)(1)22kxkxxx−−=+++1233(11)22kxx=−+−++12123(4)[2](2)(2)xxkxx++=−++22222283(4)43[2]4128244343kkkkkk

k++=−−++++22211(2)kkkk+=−=−，所以112k−=−，所以2k=，所以直线l的方程为220xy−−=.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆相交问题的处理方法，

直线的斜率公式，属于中档题.22.已知函数()lnfxax=，aR.（Ⅰ）若曲线()yfx=与曲线()gxx=在公共点处有共同的切线，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数1()()12xxeFxxfx−=−+是否有零点？如果

有，求出该零点；若没有，请说明理由.【答案】（I）2ea=；（II）无零点.【解析】试题分析：（Ⅰ）设曲线()yfx=与曲线()gxx=公共点为()00,xy则由()()00fxgx=，()()00fxgx=，即可求a的值；（Ⅱ）函数()

()112xxeFxxfx−=−+是否有零点，转化为函数()()ln2eHxxfxxx==与函数()112xxeGx−=−在区间()0,x+是否有交点，求导根据函数单调性可知()Hx最小值为112He=−，()Gx最大值为()112G=−，从而无零点试题解析：（Ⅰ）函数()ln

fxax=的定义域为()0,+，()afxx=，()12gxx=设曲线()yfx=与曲线()gxx=公共点为()00,xy由于在公共点处有共同的切线，所以0012axx=，解得204xa=，0a.由()()00fxgx=可得00lnaxx=.联立

20004,,xaalnxx==解得2ea=.（Ⅱ）函数()()112xxeFxxfx−=−+是否有零点，转化为函数()()ln2eHxxfxxx==与函数()112xxeGx−=−在区间()0,x+是否有交点，()()ln2eHx

xfxxx==，可得()()ln1ln222eeeHxxx=++=，令()0Hx，解得1,xe+，此时函数()Hx单调递增；令()0Hx，解得10,xe，此时函数

()Hx单调递减.∴当1xe=时，函数()Hx取得极小值即最小值，112He=−.()112xxeGx−=−可得()()1112xGxxe−=−，令()0Gx，解得01x，此时函数()Gx单调递增；令()0

Gx，解得1x，此时函数()Gx单调递减.∴当1x=时，函数()Gx取得极大值即最大值，()112G=−.因此两个函数无交点.即函数()()112xxeFxxfx−=−+无零点.点睛：本题中涉及根据函数零点个数

求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数

图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.