【文档说明】《九年级数学上册难点突破（人教版）》专题06 二次函数中的三角形的综合问题(解析版).docx，共(29)页，1.553 MB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题06二次函数中的三角形的综合问题1、如图，动直线y＝kx+2（k＞0）与y轴交于点F，与抛物线y＝14𝑥2+1相交于A，B两点，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接CF，DF，请你判断△CDF的形状，并说明理由．【答案】△CFD是直角

三角形．见解析。【解析】14x2+1＝kx+2，14x2﹣kx﹣1＝0，x＝2k±2√𝑘2+1，∴x1＝2k﹣2√𝑘2+1，x2＝2k+2√𝑘2+1，∴OD＝2k+2√𝑘2+1，OC＝2√𝑘2+1﹣2k，DC2＝

（2k+2√𝑘2+1+2√𝑘2+1﹣2k）2＝16（k2+1），CF2＝22+（2√𝑘2+1﹣2k）2＝8k2﹣8k√𝑘2+1+8，DF2＝22+（2k+2√𝑘2+1）2＝8k2+8k√𝑘2+1+8，∴DC2＝CF2+DF2，∴∠CFD＝90°，故△CFD

是直角三角形．2、如图，已知直线y＝﹣x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过y＝ax2+bx+c经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．2（1）若抛物线的解析式为y＝﹣12x

2+x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【答案

】(1)①M（1，92），N（1，3）；②见解析;(2)见解析.【解析】解：（1）①y＝﹣12x2+x+4＝﹣12（x﹣1）2+92，∴顶点M的坐标为（1，92），当x＝1时，y＝﹣1+4＝3，∴点N的坐标为（1，3）；②不存在．理由如下：MN＝92﹣3＝32，设点P的坐标为（m，﹣m+4），则D

（m，﹣12m2+m+4），3PD＝﹣12m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣12m2+2m，∵PD∥MN．∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣12m2+2m＝32，解得：m＝1或3（m＝1舍去），∴点P（3，1），由N（1，3），∴PN＝√(3−1)2+(3−1)

2=2√2≠MN，∴平行四边形MNPD不是菱形，即：不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）①当∠BDP＝90°时，点P（2，2），则四边形BOCD为矩形，∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），∴抛物线

的表达式为：y＝﹣12x2+x+4；②当∠PBD＝90°时，△PBD为等腰直角三角形，则PD＝2xP＝4，∴D（2，6），又A（4，0），B（0，4），把A、B、D坐标代入二次函数表达式得：{16𝑎+4𝑏+

𝑐=0𝑐=44𝑎+2𝑏+𝑐=6，解得：{𝑎=−1𝑏=3𝑐=4，故：二次函数表达式为：y＝﹣x2+3x+4．3、如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0)，抛物线249yxb

xc=−++经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；4（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线249yxbxc=−++的对称轴l上，若存

在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）244893yxx=−++；（2）①S=23103mm+−；②存在，12343331273127,8,,4,,,,222222FFFF+−

【解析】（1）将(0,8),(6,0)AC代入抛物线的解析式得2846609cbc=−++=解得438bc==故抛物线的函数解析式为244893yxx=−++；（2）226,8,10,ABBCACABBCAQCPm=

==+===5①如图，作QMAB⊥于M，QNBC⊥于N，则//MQBCAMQABCAMMQAQABBCAC==，即6810AMMQm==34,55AMmMQm==365QNBMABAMm==−=−21133(6)322510SCPQNmmmm==−=−+故S

关于m的函数表达式为23310Smm=−+；②2233153(5)10102Smmm=−+=−−+由二次函数的性质得：当5m=时，S取得最大值，最大值为152343,455AMmMQm====(3,84

)Q−，即(3,4)Q244893yxx=−++的对称轴为433422()9x=−=−则可设点3(,)2Fn//ADxQ轴点D与点A关于对称轴对称3(2,8)2D，即(3,8)D//DQy轴，且844DQ=−=6由两点之间的距离公式得，222239(3)(8)(8)24

DFnn=−+−=+−222239(3)(4)(4)24QFnn=−+−=+−当DQDF⊥时，DFQ为直角三角形则点F纵坐标与点D纵坐标相等，即8n=，因此，3(,8)2F当DQDF⊥时，DFQ为直角三角形则点F纵坐标与点Q纵坐标相等，

即4n=，因此，3(,4)2F当DFQF⊥时，DFQ为直角三角形由勾股定理得，222DFQFDQ+=，即22299(8)(4)444nn+−++−=解得1272n=则3127(,)22F+或3127(,)22F−综上，存在这样的点F，所有符

合条件的点F的坐标为3(,8)2F或3(,4)2F或3127(,)22F+或3127(,)22F−．74、已知抛物线y＝﹣16x2﹣23x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA

为边作矩形AECO．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP面积最大时，求|PM﹣OM|的最大值．（3）如图3，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′

D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y＝13x+2；(2)点M坐标为（﹣2，53）时，四边形AOCP的面积最大，此时|PM﹣OM|有最大值√61

6；(3)存在，D′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（−35，195）．【解析】（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，2），函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，83），C点坐标为（0，

2），则过点C的直线表达式为：y＝kx+2，将点A坐标代入上式，解得：k=13，则：直线AC的表达式为：y=13x+2；（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H．8四边形AOCP面积＝△AOC的面积+△ACP的面积，四

边形AOCP面积最大时，只需要△ACP的面积最大即可，设点P坐标为（m，−16m2−23m+2），则点G坐标为（m，13m+2），S△ACP=12PG•OA=12•（−16m2−23m+2−13m﹣2）•6=−12m2﹣3m，当m＝﹣3时，上式取得最大值，则

点P坐标为（﹣3，52）．连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，直线OP的表达式为：y=−56x，当x＝﹣2时，y=53，即：点M坐标为（﹣2，53），|PM﹣OM|的最大值为：|√(−3+2)2+(52−53)2−√22+(53)2|=√616．（3）存在．∵AE

＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，∴△EAM≌△DCM（AAS），∴EM＝DM，AM＝MC，设：EM＝a，则：MC＝6﹣a．在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝DC2+MD2，即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a=83，则：MC=103

，过点D作x轴的垂线交x轴于点N，交EC于点H．在Rt△DMC中，12DH•MC=12MD•DC，即：DH×103=83×2，则：DH=85，HC=√𝐷𝐶2−𝐷𝐻2=65，即：点D的坐标为（−65，185）；设：△ACD沿着直线AC平移了m个单位，则：点A′坐

标（﹣6+3𝑚√10，𝑚√10），点D′坐标为（−65+3𝑚√10，185+𝑚√10），而点E坐标为（﹣6，2），则𝐴′𝐷′2=(−6+65)2+(185)2=36，𝐴′𝐸2=(3𝑚√10)

2+(𝑚√10−2)2=𝑚2−4𝑚√10+4，9𝐸𝐷′2=(245+3𝑚√10)2+(85+𝑚√10)2=𝑚2+32𝑚√10+1285．若△A′ED′为直角三角形，分三种情况讨论：①当𝐴′𝐷′2+𝐴′𝐸2=𝐸𝐷′2时，

36+𝑚2−4𝑚√10+4=𝑚2+32𝑚√10+1285，解得：m=2√105，此时D′（−65+3𝑚√10，185+𝑚√10）为（0，4）；②当𝐴′𝐷′2+𝐸𝐷′2=𝐴′𝐸2时，36+𝑚2+32𝑚√10+1285=𝑚2−4𝑚√10

+4，解得：m=−8√105，此时D′（−65+3𝑚√10，185+𝑚√10）为（－6，2）；③当𝐴′𝐸2+𝐸𝐷′2=𝐴′𝐷′2时，𝑚2−4𝑚√10+4+𝑚2+32𝑚√10+1285=3

6，解得：m=−8√105或m=√105，此时D′（−65+3𝑚√10，185+𝑚√10）为（－6，2）或（−35，195）．综上所述：D坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（−35，195）．5、已知函数y1＝ax2＋bx，y2＝ax＋b()ab≠0.在同一平面直角坐标系中.(1

)若函数y1的图象过点(－1，0)，函数y2的图象过点(1，2)，求a，b的值；(2)若函数y2的图象经过y1的顶点，①求证：2a＋b＝0；②当1<x<32时，比较y1，y2的大小．解：(1)由题意，得a－b＝0，a＋b＝2，解

得a＝1，b＝1，∴a＝1，b＝1；(2)①证明：∵函数y1的图象的顶点坐标为－b2a，－b24a，∴a－b2a＋b＝－b24a，即b＝－b22a，∵ab≠0，∴－b＝2a，∴2a＋b＝0；10②∵b＝－2

a，∴y1＝ax()x－2，y2＝a()x－2，∴y1－y2＝a()x－2()x－1，∵1<x<32，∴x－2<0，x－1>0，∴()x－2()x－1<0，∴当a>0时，a()x－2()x－1<0，即y1<y2；∴当a<0时，a()x－2()x－1>0，即y1

>y2.6、如图所示，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC.点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．(1)求b，c的值；(2)如图①，连结BE，线段OC上的点F关于直线

l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；(3)如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如

果存在，求出点11Q的坐标；如果不存在，说明理由．【解析】(1)根据二次函数的对称轴公式，将抛物线上的点代入，即可求出c的值；(2)求F的对称点，代入直线BE，即可；(3)构造新的二次函数，利用其性质求极值．解：(1)∵CD∥x轴，CD＝2，∴抛物线

对称轴为直线l：x＝1.∴－b2＝1，b＝－2，∵OB＝OC，C(0，c)．∴点B的坐标为(－c，0)，∴0＝c2＋2c＋c，解得c＝－3或c＝0(舍去)，∴c＝－3.(2)设点F的坐标为(0，m)，∴对称轴为直线l：x＝1，∴点F关于直线的对称点F′的坐标为(2，m)

．∵直线BE经过点B(3，0)，E(1，－4)，∴用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x－6.∵点F′在BE上，∴m＝2×2－6＝－2，即点F的坐标为(0，－2)(3)存在点Q满足题意．设点P坐标为(n，0)，则PA＝n＋1，PB＝PM＝3－n，P

N＝－n2＋2n＋3.作QR⊥PN，垂足为R，∵SAPM＝S△PQN，∴12(n＋1)(3－n)＝12(－n2＋2n＋3)QR，∴QR＝1.①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为(n－1，n2－4n)，R点的坐标

为(n，n2－4n)，N点的坐标为(n，n2－2n－3)．∴在Rt△QRN中，NQ2＝1＋(2n－3)2，∴n＝32时，NQ取最小值．此时Q点的坐标为12，－154.②点Q在直线PN的右侧时，Q点坐标为(n＋1，n2－4)．同理，NQ2＝1＋(2

n－1)2，∴n＝12时，NQ取最12小值．此时Q点的坐标为32，－154.综上所述：满足题意的点Q的坐标为12，－154和32，－154.7、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在

点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；(2)求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若

△ACE的面积的最大值为54，求a的值；(4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．原图备用图解：(1)当y＝0时，ax2－2ax－3a＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(

3，0)，对称轴为x＝－1＋32＝1；(2)∵直线l：y＝kx＋b过点A(－1，0)，∴k＝b，∴l：y＝kx＋k，又∵抛物线与直线l交于点A，∴ax2－(2a＋k)x－3a－k＝0，∵CD＝4AC，∴D的横坐

标为4，13∴－3－ka＝4，则k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a；(3)如答图①，过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E(x，ax2－2ax－3a)，则F(x，ax＋a)，∴EF＝ax2－2ax－3a－(ax＋a)＝ax2－3ax－4

a，∴S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝12ax－322－258a，∵a＜0，∴当x＝32时，S△ACE去最大值54，即－258a＝54，解得a＝－25；(4)以A，D，P，Q为顶点的四边形能成为

矩形，令ax2－2ax－3a＝ax＋a，解得x1＝－1，x2＝4，∴D(4，5a)，∵抛物线的对称轴为x＝1，设P(1，m)，如答图②，若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q(－4，21a)，m＝21a＋5a＝26a，∴AD2＋PD2＝AP

2，52＋(5a)2＋32＋(26a－5a)2＝22＋(26a)2，∴a＝－77，P1，－2677；第3题答图②如答图③，若AD是矩形APDQ的一条对角线，则易得Q(2，－3a)，m＝5a－(

－3a)＝8a，P＝(1，8a)，∴AP2＋PD2＝AD2，∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2，第3题答图①14∴a＝－12，P(1，－4)．综上所述，P的坐标为1，－2677或(1，－4)．8

、如图所示，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC.(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移后

得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，C，M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标．【解析】(1)将点A，C

的坐标代入函数表达式，即可求出b，c的值，通过配方法得到点M的坐标；(2)点M是沿着对称轴直线x＝1向下平移的，可先求出直线AC的表达式，将x＝1代入求出点M在向下平移时与AC，AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；(3)由题

意，可得∠MCP＝90°，若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC和△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点P坐标．解：(1)把点A(3，1)，C(0，4)分别代入二次函数y＝－x2＋bx＋c，得－9＋3b＋c＝1，c＝4，解得b＝2，c＝

4，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋4，配方得y＝－(x－1)2＋5，∴点M的坐标为(1，5)；(2)设直线AC的表达式为y＝kx＋n，把点A(3，1)，C(0，4)代入，得3k＋n＝1

，n＝4，解得k＝－1，n＝4，15∴直线AC的表达式为y＝－x＋4.如答图①，对称轴直线x＝1与△ABC两边分别交于点E，F.把x＝1代入直线AC的表达式y＝－x＋4，解得y＝3，则点E坐标为(1，3)，

点F坐标为(1，1)，∴1＜5－m＜3，解得2＜m＜4；①②第4题答图(3)如答图②，连结MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为(0，5)．∵MG＝1，GC＝5－4＝1，∴MC＝MG2＋GG2＝12＋12＝2，把y＝5代入y＝－x＋

4，解得x＝－1，则点N坐标为(－1，5)，∵NG＝GC，GM＝GC，∴∠NCG＝∠GCM＝45°，∴∠NCM＝90°，由此可知，若点P在AC上，则∠MCP＝90°，则点D与点C必为相似三角形对应点，(Ⅰ)若有△

PCM∽△BDC，则有MCCP＝CDBD，∵BD＝1，CD＝3，∴CP＝MC·BDCD＝2×13＝23，∵CD＝DA＝3，∴∠DCA＝45°，16若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，∵∠PCH＝45°，CP＝23，∴PH＝23÷

2＝13，把x＝13代入y＝－x＋4，解得y＝113，∴P113，113；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x＝－13代入y＝－x＋4，解得y＝133，∴P2－13，133；(Ⅱ)若有△PCM∽△CDB，则有MCCP＝BDDC

，∴CP＝2×31＝32，∴PH＝32÷2＝3，若点P在y轴右侧，把x＝3代入y＝－x＋4，解得y＝1；若点P在y轴左侧，把x＝－3代入y＝－x＋4，解得y＝7.∴P3(3，1)，P4(－3，7)．∴所有符合题意的点P坐标有4

个，分别为P113，113，P2－13，133，P3(3，1)，P4(－3，7)．9、如图所示，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)点P在x轴下方的抛物线

上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；(3)点D为抛物线对称轴上一点；①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．17原图备用图解：(

1)由题意得32＋3b＋c＝0，c＝3.解得b＝－4，c＝3.∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3.(2)方法1：如答图①，过P作PG∥CF交CB于G，由题意知∠BCO＝∠CFE＝45°，F(0，m)，C(0，3)，∴△CF

E和△GPE均为等腰直角三角形，∴EF＝22CF＝22(3－m)，PE＝22PG，设xP＝t(1＜t＜3)，则PE＝22PG＝22(－t＋3－t－m)＝22(－m－2t＋3)，∵t2－4t＋3＝t＋m，∴PE＋EF＝22(－m－2t＋3

)＋22(3－m)＝22(－2t－2m＋6)＝－2(t＋m－3)＝－2(t2－4t)＝－2(t－2)2＋42，∴当t＝2时，PE＋EF最大值42.18第5题答图①第5题答图②方法2：(几何法)由题意知直线

BC的表达式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.同理可知∠OFE＝45°，∴△CEF为等腰直角三角形，如答图②，以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H点，则PF＋EF＝PF′＝2PH.又∵PH＝yC－yP＝3－yP.∴当yP最小

时，PF＋EF取最大值，∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，∴当yP＝－1时，(PF＋EF)max＝2×(3＋1)＝42.(3)①由(1)知对称轴为x＝2，设D(2，n)，如答图③.当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C上方D1位置时由勾股定理得CD2＋BC2＝BD2，即(2－0)2

＋(n－3)2＋(32)2＝(3－2)2＋(0－n)2，解得n＝5；当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C下方D2位置时，由勾股定理，得BD2＋BC2＝CD2，即(2－3)2＋(n－0)2＋(32)2＝(2－0)2＋(n－3)2，解得n＝－1.∴当△BCD是以BC为直角边的直角

三角形时，D点坐标为(2，5)或(2，－1)．第5题答图③第5题答图④②如答图④，以BC的中点T(3，3)，为圆心12BC为半径作⊙T，与对称轴x＝2交于D3和D4，由直径所对的圆周角是直角得∠CD3B＝∠CD4B＝90°，19设D(2，m)，由DT＝12BC＝322，得

32－22＋32－m2＝3222，解得m＝3±172，∴D32，3＋172，D42，3－172，又由①得D1(2，5)，D2(2，－1)，∴若△BCD是锐角三角形，则点D在线段D1D3或D2D4上

(不与端点重合)，故点D的纵坐标的取值范围是－1＜yD＜3－172或3＋172＜yD＜5.10、如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），我们把|x1﹣x2|记为d（A、B），抛物线的顶点到x轴的距离记为d（x），如果d

（A，B）=d（x），那么把这样的抛物线叫做“正抛物线”．（1）抛物线y=2x2﹣2是不是“正抛物线”；（回答“是”或“不是”）．（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）是“正抛物线”，求抛物线的解析式；（

3）如图，若“正抛物线”y=x2+mx（m＜0）与x轴相交于A、B两点，点P是抛物线的顶点，则抛物线上是否存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形？如果存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线y=2x2﹣2是“正抛物线”；（2）

抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；（3）满足条件的点C坐标为（92，94）或（52，﹣154）．【解析】（1）对于抛物线y=2x2﹣2，20当y=0时，2x2﹣2=0，解得x=1或﹣1，∴A（﹣1，0），B（1，0），

∴d（A，B）=2，𝑑(𝑥)=|4𝑎𝑐−𝑏24𝑎|=|4×2×(−2)−024×2|=|−2|=2.∴d（x）=d（A，B），∴抛物线y=2x2﹣2是“正抛物线”．故答案为：是．（2）当y

=0时，﹣x2+bx=0，解得x=0或b，∵b＞0，∴d（A，B）=b，由题意𝑑(𝑥)=|4𝑎𝑐−𝑏24𝑎|=|4×(−1)×0−𝑏24×(−1)|=𝑏.解得b=0（舍弃）或b=4，∴抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2+4𝑥．（3）当y=0时，x2

+mx=0，解得x=0或﹣m，∵m＜0，∴d（A，B）=−𝑚，∵4𝑎𝑐−𝑏24𝑎=−𝑚24,∴d（x）=𝑚24，由题意−𝑚=𝑚24，21解得𝑚=−4或0（舍弃），∴𝑦=𝑥2−4𝑥，假设存在点

C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形，分两种情形：①如图1中，作AC⊥AP交抛物线于点C，厉害PC，作PE⊥x轴交AC于D．−𝑏2𝑎=2,4𝑎𝑐−𝑏24𝑎=−4，∴AE=2，PE=4，由△ADE∽△PAE,可得𝐷𝐸𝐴𝐸=𝐴𝐸𝑃𝐸，∴𝐷𝐸2=24，∴DE=1，

∴D(2,1)，∴直线AD的解析式为𝑦=12𝑥，由{𝑦=12𝑥𝑦=𝑥2−4𝑥解得{𝑥=0𝑦=0或{𝑥=92𝑦=94，∴𝐶(92,94).22②如图2中，作PC⊥AP交抛物线于C，交y轴于D，连接AC，作PE⊥

x轴于E.由△ADP∽△PAE,可得𝐴𝐷𝑃𝐴=𝑃𝐴𝑃𝐸,即𝑃𝐴2=𝐴𝐷⋅𝑃𝐸，∴22+42=4𝐴𝐷，∴AD=5，∴D(0,−5)，∴直线AD的解析式为𝑦=12𝑥−5，由{𝑦=12𝑥−5𝑦=𝑥2−4𝑥,解得{𝑥=2𝑦=

−4或{𝑥=52𝑦=−154，综上所述,满足条件的点C坐标为(92,94)或(52,−154).综上所述，满足条件的点C坐标为(92,94)或(52,−154).11、综合与探究如图，抛物线y＝ax2+b

x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点(0,3)C．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；23（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单

位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为，点P的坐标为；（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是以AC为直角

边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．【答案】（1）2323333yxx=−−+；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3）43，231,3−；（4）存在，F1(1,23)−，F2(1,23)−−．【解析】（1）∵在抛物线y=ax2+bx+c中，

当x=﹣4和x=2时，二次函数y=ax2+bx+c的函数值y相等，∴抛物线的对称轴为x422−+==−1，又∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣3，0)、B两点，由对称性可知B(1，0)，∴可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)，将C(0，3)代入y=a(x+

3)(x﹣1)，得：﹣3a3=，24解得：a33=−，∴此抛物线的解析式为y33=−(x+3)(x﹣1)33=−x2233−x3+；（2）△ABC为直角三角形．理由如下：∵A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，3)，∴OA=3，OB=1，OC3=，∴

AB=OA+OB=4，AC22OAOC=+=23，BC22OBOC=+=2．∵AC2+BC2=16，AB2=16，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，∴BM=BN=t，由翻折知，△BM

N≌△PMN，∴BM=PM=BN=PN=t，∴四边形PMBN是菱形，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB，设PM与y轴交于H，∴PNCNCHABCBCO==，即2423ttCH−==，25解得：t43=，CH33=，∴OH=OC﹣CH323333=−=，∴yP233=，设直

线AC的解析式为y=kx3+，将点A(﹣3，0)代入y=kx3+，得：k33=，∴直线AC的解析式为y33=x3+，将yP233=代入y33=x3+，∴x=﹣1，∴P(﹣1，233)．故答案为：43，(﹣1，233)；26（4）设直线BC的解析式为y=kx3+，将点B(1，

0)代入y=kx3+，得：k3=−，∴直线BC的解析式为y3=−x3+，由（2）知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．①如图2，当∠ACF=90°时，点B，C，F在一条直线上，在y3=−x3+中，当x=﹣1时，y=23，∴F1(﹣1，23)；②当∠CAF=90°时

，AF∥BC，∴可设直线AF的解析式为y3=−x+n，将点A(﹣3，0)代入y3=−x+n，得：n=﹣33，∴直线AF的解析式为y3=−x﹣33，在y3=−x﹣33中，当x=﹣1时，y=﹣23，∴F2(

﹣1，﹣23)．综上所述：点F的坐标为F1(﹣1，23)，F2(﹣1，﹣23)．2712、抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第

四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+，﹣2）.【思路引导】（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．（2）

当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．【解析】228解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得解得∴y＝x2﹣2x﹣3（2）把x＝0代入y＝x2

﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入解得∴y＝﹣x﹣1∴D（0，﹣1）（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）∴P点纵坐标为﹣2，∴x2﹣2x﹣3＝﹣2解得：x＝1±，

∵x＞0∴x＝1+．∴P（1+，﹣2）【方法总结】本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标．304233abab−−=+−=−12ab==−02

3kbkb−+=+=−11kb=−=−22229