【文档说明】高考统考数学理科人教版一轮复习教师用书：第8章 第5节 第1课时　椭圆及其性质 含解析【高考】.doc，共(13)页，615.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-椭圆[考试要求]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆

的简单应用．1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF

2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1

(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－-2-－b

)，B2(0，b)b,0)，B2(b,0)离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2[常用结论]1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1.

(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x20a2＋y20b2＞1.2．焦点三角形如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．设r1＝|PF1|，r2＝|

PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中：(1)当r1＝r2，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S＝b2tanθ2＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(

3)a－c≤|PF1|≤a＋c.(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.(5)当PF2⊥x轴时，点P的坐标为c，±b2a.(6)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中

a是斜边长，a2＝b2＋c2.4．已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.-3-5．椭圆中点弦的斜率公式若M(x0，y0)是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝－b2a2，即kAB＝－b2x0a2y0.6．弦长公式：直线与圆

锥曲线相交所得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2[(y1＋y2)2－4y1y2](k为直线的斜率)．一、易

错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)关于

x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材习题衍生1．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B

．5C．8D．10D[依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.]2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则椭圆C的方程是()A．x23＋y24＝1B．x24＋y23＝1C．x24＋y22＝1D．x2

4＋y23＝1-4-D[设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝12，所以c＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝3，故椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.]3．

若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是．(3,4)∪(4,5)[由已知得5－k＞0，k－3＞0，5－k≠k－3.解得3＜k＜5且k≠4.]4．已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1

，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为．152，1或152，－1[设P(xP，yP)，xP＞0，由题意知|F1F2|＝2.则S△PF1F2＝12×|F1F2|×|yP|＝1，解得|yP|＝1.代入椭圆的方

程，得x2P5＋14＝1，解得xP＝152，因此点P的坐标为152，1或152，－1.]第1课时椭圆及其性质考点一椭圆的定义及其应用椭圆定义的应用类型及方法-5-(1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是

不是椭圆．(2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF1|＋|PF2|＝2a实现等量转换．(3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题．[典例1](1)已知两圆C1：

(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．x264－y248＝1B．x248＋y264＝1C．x248－y264＝1D．x264＋y248＝1(2)如图，椭圆x2a2＋

y24＝1(a＞2)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的一点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2的面积为()A．233B．332C．334D．433(3)设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)

，则|PM|－|PF1|的最小值为．(1)D(2)D(3)－5[(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的

轨迹方程为x264＋y248＝1.(2)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，由余弦定理得4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝

163，∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin60°＝433，故选D．-6-(3)由题意知，点M在椭圆外部，且|PF1|＋|PF2|＝10，则|PM|－|PF1|＝|PM|－(10－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－10≥|F2M|－10(当且仅当点P，M，F2三点共线

时等号成立)．又F2(3,0)，则|F2M|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5.∴|PM|－|PF1|≥－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5.]点评：解答本例T(3)的关键是差式(|PM|－|PF1|)转化为和式(|PM|＋|PF2|－10)．而转化的依据为|PF1|＋|PF2|＝2

a.[跟进训练]1．已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为()A．x212＋y211＝1B．x236－y235＝1C．x23－y22＝1D．x23＋y22＝1D[由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA

|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝23＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a＝3，c＝1，∴b＝2，∴动点P的轨迹方程为x23＋y22＝1，故选D．]2．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF

2，若△PF1F2的面积为9，则b＝.3[法一：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，r21＋r22＝4c2，所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r21＋r22)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝12r1r2＝b2

＝9，所以b＝3.法二：∵PF1⊥PF2，∴∠F1PF2＝90°，∴S△PF1F2＝b2tan45°＝9，∴b2＝9，∴b＝3.]考点二求椭圆的标准方程待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤-7-[典例2](

1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点－32，52，(3，5)，则椭圆方程为．(2)过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为．(3)已知中心在坐标原点的椭圆过点A(－3,0)，且离心率e＝53

，则椭圆的标准方程为．(1)y210＋x26＝1(2)y220＋x24＝1(3)x29＋y24＝1或y2814＋x29＝1[(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)．由－322m＋522n＝1，3m＋

5n＝1，解得m＝16，n＝110.∴椭圆方程为y210＋x26＝1.(2)法一：椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0

)2＋(－5－4)2，解得a＝25.-8-由c2＝a2－b2可得b2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.法二：∵所求椭圆与椭圆y225＋x29＝1的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为y2a2＋x2

b2＝1(a＞b＞0)．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上，∴(－5)2a2＋(3)2b2＝1，则5a2＋3b2＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标

准方程为y220＋x24＝1.(3)若焦点在x轴上，由题知a＝3，因为椭圆的离心率e＝53，所以c＝5，b＝2，所以椭圆方程是x29＋y24＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，a2－c2＝9，又离心率e＝ca＝53，解得a2＝814，所以椭圆方程是y

2814＋x29＝1.综上，椭圆的方程为x29＋y24＝1或y2814＋x29＝1.]点评：利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，那么可设椭圆方程为mx

2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．[跟进训练]1．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为23，-9-过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则

椭圆C的标准方程为()A．x23＋y2＝1B．x23＋y22＝1C．x29＋y24＝1D．x29＋y25＝1D[由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|

＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝ca＝23，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为x29＋y25＝1，故选D．]2．(2020·通州模拟)设椭圆的对称

轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为，离心率为．x212＋y29＝1或x29＋y212＝112[焦点与椭圆的最短距离为a－c＝3，a＝2c，∴c＝3，a＝23，b＝3，∴椭圆方程为x212＋y2

9＝1或x29＋y212＝1.离心率e＝ca＝12.]考点三椭圆的几何性质1.求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解．

(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝1－b2a2求解．(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.2．利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所

求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．-10-(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．椭圆中的基本量a，b，c[典例3－1]嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长

征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆有四个结

论：①焦距长约为300公里②长轴长约为3988公里③两焦点坐标约为(±150,0)④离心率约为75994则上述结论正确的是()A．①②④B．①③④C．①④D．②③④C[设该椭圆的半长轴长为a，半焦距长为c.依题意可得月球半径约为12×3476＝

1738，a－c＝100＋1738＝1838，a＋c＝400＋1738＝2138，2a＝1838＋2138＝3976，a＝1988，c＝2138－1988＝150，椭圆的离心率约为e＝ca＝1501988＝75994，可得结论①④正确，②错误；因为没有给坐标系

，焦点坐标不确定，所以③错误．故选C．]点评：探求椭圆的长轴、短轴、焦距等问题，只要抓住题设中的信息，直译解方程即可．离心率[典例3－2](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥

PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为()-11-A．1－32B．2－3C．3－12D．3－1(2)已知F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是．(1)D(2)

22，1[(1)由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝3c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即3c＋c＝2a，所以(3＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝ca＝23

＋1＝3－1.故选D．(2)若存在点P，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，即b≤c＜a，即b2≤c2，∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，∴22≤e＜1.]点评：与几何图形有关的离心率问题，常借助勾股定理、正(余)弦定理求解；对于

(2)这种探索性问题常采用临界点法求解．与椭圆有关的最值(范围问题)[典例3－3](1)(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[

4，＋∞)D．(0，3]∪[4，＋∞)(2)若点O和点F分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→的最大值为()A．2B．3C．6D．8(1)A(2)C[(1)由题意知，当M在短轴顶点时，∠AMB最大．①如图1，当焦点在x轴，即m＜3时，-1

2-a＝3，b＝m，tanα＝3m≥tan60°＝3，∴0＜m≤1.图1图2②如图2，当焦点在y轴，即m＞3时，a＝m，b＝3，tanα＝m3≥tan60°＝3，∴m≥9.综上，m的取值范围(0,1]∪[9，＋∞)，故选A．(2)由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，

则OP→＝(x，y)，FP→＝(x＋1，y)，∴OP→·FP→＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵x24＋y23＝1，∴y2＝3－34x2，∴OP→·FP→＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2.

∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，OP→·FP→有最大值6.]点评：本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x的有界性解模的思

路．[跟进训练]1．已知椭圆x2m－2＋y210－m＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A．8B．7C．6D．5A[因为椭圆x2m－2＋y210－m＝1的长轴在x轴上，所以m－2>0，10－m>0，m－2>10－m，解得6<m<10

.因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.]2．(2020·攀枝花模拟)如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，

则该椭圆的离心率为()-13-A．2－12B．3－12C．2－1D．3－1B[由题意，F1(－c,0)，F2(c,0)，因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P(2c，3c)，将点P坐标代入x2a2＋y2b2＝1可得：4c2a2＋3c

2b2＝1，整理得4c4－8a2c2＋a4＝0，所以4e4－8e2＋1＝0，因0＜e＜1，故e＝3－12.]