【文档说明】2023届湘豫名校联考高三下学期第三次模拟考试 理数答案和解析.pdf，共(10)页，440.832 KB，由小赞的店铺上传

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数学(理科)参考答案第1页(共9页)湘豫名校联考2023年5月高三第三次模拟考试数学(理科)参考答案题号123456789101112答案CCBBCDDCDAAB一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C【命题意图】本题考查元素与

集合的关系,考查数据分析的核心素养.【解析】因为U={1,2,3,4,5},∁UA={2,4},所以A={1,3,5}.又∁UB={3,4},所以B={1,2,5}.所以3∈A,3∉B.故选C.2.C【命题

意图】本题考查复数相等,考查数学运算的核心素养.【解析】由i3=a-bi(a,b∈R),得-i=a-bi.所以a=0,b=1.所以a+b=1.故选C.3.B【命题意图】本题考查向量的投影,考查直观想象、数学运算的核心素养.【解析】由题知,向量b=a+b-a=(-1,7)-(1,3

)=(-2,4),所以a·b=-2+12=10.又|b|=4+16=25.所以向量a在向量b方向上的投影为a·b|b|=1025=5.故选B.4.B【命题意图】本题考查排列组合、古典概型,考查逻辑推理、数学运

算的核心素养.【解析】依题意,可得三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为C13C24C222+C14·C33()·A2234=3×3+4()×234=1427.故选B.5.C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】设双曲线

C1的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)或y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),因为C1和C2有相同的焦距,双曲线C2:x27-y2=1的焦距为42,所以双曲线C1的焦距2c=42.若C1的焦点在x轴上,将点(3,1)代入x2

a2-y2b2=1(a>0,b>0),得32a2-12b2=1①.又a2+b2=c2=8②,联立①②两式得a2=6,b2=2.所以双曲线C1的标准方程为x26-y22=1.若C1的焦点在y轴上,将点(3,1)代入y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),得12a2-32b2=1③.又a2

+b2=c2=8④,联立③④两式得a2=9-73,b2=73-1,所以双曲线C1的标准方程为y29-73-x273-1=1.综上所述,双曲线C1的标准方程为x26-y22=1或y29-73-x273-1=1.故选C.6.D【命题意图】本题考查四个平均数的

大小关系,基本不等式的性质,考查数学运算的核心素养.【解析】方法一:ab≤a+b2()2=14(当且仅当a=b时取等号),A正确;易知a+b2≤a2+b22,则12≤a2+b22,即a2+b2≥12(当且仅当a=b时取等号),

B正确;由题得1a+1b+1=11-b+1b+1=21-b2,1-b2∈(0,1),故1a+1b+1>2,C正确;易知a+b2≤a+b2=12,即a+b≤2(当且仅当a=b时取等数学(理科)参考答案第2页(共9页)号),D错误.故

选D.方法二(特殊情况):取a=b=12,则a+b=12+12=2,故D错误.故选D.7.D【命题意图】本题考查程序框图,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.【解析】执行程序框图,第一次循环:1<5,M=12+12=2,b=2,a=0,n=2;第二次循环:2<5,M=02+22=

4,b=1,a=2,n=3;第三次循环:3<5,M=22+12=5,b=3,a=3,n=4;第四次循环:4<5,M=32+32=18,b=4,a=16,n=5;第五次循环:5=5,M=162+42=272,b=17,a=270,n=6,此时6>5,退出循环,输出

M=272.故选D.8.C【命题意图】本题考查二项式定理,考查数学运算的核心素养.【解析】1y+x()(x+3y)6=1y(x+3y)6+x(x+3y)6.(x+3y)6的展开式的通项为Tr+1=Cr6x6-r(3y)r=Cr63rx6-ryr.因为1y(x+3y)6的

展开式中没有x4y3项,x(x+3y)6的展开式中x4y3项为x×C3633x3y3=540x4y3,所以1y+x()(x+3y)6的展开式中x4y3的系数为540.故选C.9.D【命题意图】本题考查等差数列的基本运算,数列的前n项和,考查数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.

【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,则由a1+a8=2a5-2,a3+a11=26,{得a1+a1+7d=2(a1+4d)-2,a1+2d+a1+10d=26,{化简得7d=8d-2,2a1+12d=26,{解得a1=1,d=2.{所以an=1+(n-1)

×2=2n-1.设数列an·cosnπ{}的前n项和为Sn,则S2022=-a1+a2-a3+a4-…-a2021+a2022=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2022-a2021)=1011d=2022.故选D.10.A【命题意图】本题考查三棱锥的外接球的体积,考查直观想象、逻辑推理和

数学运算的核心素养.【解析】在△PAQ中,设AQ=x,则PQ=x2+(2)2=x2+2.所以△PAQ的周长为2+x+x2+2≥1+2+3.所以x2+2≥1+3-x,不等式两边平方,得x2+2≥4+23-2(1+3)x+x2,解得x≥1,即AQ的最小值是1.所以点A到边

BC的距离为1.当AQ取最小值时,因为在Rt△ABQ中,AB=2,所以∠BAQ=60°.又∠BAC=60°,所以C,Q两点重合,所以∠ACB=90°,即AC⊥BC.又PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥

BC.因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC,所以BC⊥PC.因为PB是Rt△PAB和Rt△PCB的公共斜边,所以PB为三棱锥PABC的外接球的直径,设外接球的半径为R,则R=12PB=12PA2+AB2=

12(2)2+22=62,所以三棱锥PABC的外接球的体积V=43πR3=43π×62æèçöø÷3=6π.故选A.11.A【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查直观想象、数学抽象和逻辑推理

的核心素养.【解析】如图,不妨设点A在x轴上方,由抛物线的定义可知|AF|=|AM|,因为∠FMD=30°,所以∠AMF=90°-30°=60°,所以△AMF是正三角形.由y2=4x可知F(1,0),D(-1,0),设A(xA,yA),B(

xB,yB),因为∠FMD=30°,|DF|=2,所以|DM|=23,|MF|=|AM|=4.所以xA=4-1=3.所以点A的坐标为(3,23),所数学(理科)参考答案第3页(共9页)以直线AB的方程为y-230-23=x-31-3,整理得y=3x-3.由y=3x-3,y2=4x,{得3x

2-10x+3=0,解得xA=3,xB=13.将xB=13代入直线AB的方程,得yB=3×13-3=-233.所以点B的坐标为13,-233æèçöø÷.所以S四边形AMDB=S四边形AMDF+S△BDF=12×(2+4)×23+12×2×2

33=2033.故选A.12.B【命题意图】本题考查通过构造函数,利用导数比较大小,考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.【解析】a=11+e2=1-11e2+1,b=1e=1e2,c=ln1+e2e2=ln1e2+1(),令f(

x)=x-ln(x+1),0<x<1,则f'(x)=1-1x+1=xx+1>0,所以f(x)在(0,1)上单调递增.所以f(x)>f(0)=0,即x>ln(x+1).令g(x)=ln(x+1)-1+1x+1,0<x<1,则g'(x)=1x+1-1(x+1)2=x(x+1)2>0,所

以g(x)在(0,1)上单调递增.所以g(x)>g(0)=0,即ln(x+1)>1-1x+1.又当0<x<1时,x>x,所以当0<x<1时,x>x>ln(x+1)>1-1x+1.所以当x=1e2时,1e2>1e2>ln1e

2+1()>1-11e2+1,即b>c>a.故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.14x-y-8=0【命题意图】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】由题得f'(x)=6x2+8x,所以曲线

f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=14.又f(1)=6,所以曲线f(x)=2x3+4x2在点(1,f(1))处的切线方程为y-6=14×(x-1),即14x-y-8=0.14.3(答案

不唯一,答对即可得分)【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系,考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.【解析】因为圆心C(a,1)到直线l的距离d=|a-1|12+(-1)2=|a-1|2,所以r=d2+|

AB|2()2=|a-1|2æèçöø÷2+(2)2,即r2=|a-1|22+2.由题意,得|a-1|22必为整数,且0<|a-1|2<r,所以可取a=-1或a=3,此时r=2.因此a的值可以取3.15.7或8(只答一个不得分)【命题意图】

本题考查等比数列的基本运算,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】由题可知a4≠0,因为8a7=a4,所以q3=a7a4=18,解得q=12.又S6=252,所以a11-12()6[]1-12=252,解得a1

=128.所以an=128×12()n-1.令an=128×12()n-1≤1,得n≥8.又a8=128×12()7=1,所以当n=7或8时,a1a2…an最大.16.15π【命题意图】本题考查正弦函数的图象与性质,考查逻辑推

理、直观想象、数学运算的核心素养.【解析】由题图知A=2.由f3π4-x()=f(x)知,函数f(x)的图象关于直线x=3π8对称.则由图象可知3π8--π8()=K2T(K∈N*),解得T=πK(K∈N*

).又π8<T4,所以T>π2.所以K=1,最小正周期T=π.所以ω=2πT=2.所以f(x)=2sin(2x+φ).因为函数f(x)的图象经过点-π8,-2(),所以f-π8()=数学(理科)参考答案第4页(共9页)2sin-π4+φ()=-2,解得φ=-π4+2kπ(k∈Z).又|φ|<π2,

所以φ=-π4,所以f(x)=2sin2x-π4().设方程f(x)=1在(0,λ)上的8个根从小到大依次为x1,x2,…,x8.令2x-π4=π2,则x=3π8.根据f(x)的图象的对称性,可得x1+x22=3π8.由f(x)的周期性可得x3+x42=3π8+T=

11π8,x5+x62=3π8+2T=19π8,x7+x82=3π8+3T=27π8,所以∑8i=1xi=2×3π8+11π8+19π8+27π8()=15π.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.【命题意图】本题考查解三角形,三角形的面积与周长,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.【解析】(1)因为3asinC+c

cosA=a+b,所以由正弦定理得3sinAsinC+sinCcosA=sinA+sinB.1分…………………………………………………………………………………………………………………因为B=π-A-C,所以sinB=sin

(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以3sinAsinC=sinAcosC+sinA.3分……………………………………………………………………因为A∈(0,π),所以sinA≠0,所以3sinC=cosC+1,即3sinC-c

osC=1.4分………………………所以2sinC-π6()=1,即sinC-π6()=12.5分………………………………………………………………又C∈(0,π),所以C=π3.6分……………………………………………………………

……………………(2)因为△ABC的面积为3,所以12absinC=3.由(1)知C=π3,所以ab=4①.8分……………………………………………………………………………由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,又c=2,所以a2+b2=8②.10分……………………………………………………

…………………………由①②解得a=b=2.11分………………………………………………………………………………………故△ABC的周长为a+b+c=6.12分……………………………………………………………………………18.【命题意图】本题考查独立性

检验思想、离散型随机变量的分布列与数学期望,考查逻辑推理、数学运算、数据分析的核心素养.【解析】(1)因为套餐价格在[898,1498]内的频率为(0.00100+0.00050+0.00025)×200=0.35,所以选择“尊享套餐”的客户有0.35×2

00=70(名).2分………………………………………………………完善2×2列联表如下:选择“尊享套餐”选择“普通套餐”合计年龄不低于45岁5070120年龄低于45岁206080合计70130200K2的观测值k=200×(50×60-70×20)2120×80×70×

130≈5.861<6.635.4分……………………………………………所以没有99%的把握认为是否选择“尊享套餐”与年龄有关.5分……………………………………………数学(理科)参考答案第5页(共9页)(2)由题设,年龄低于45

岁的所有客户中,估计选择“普通套餐”的概率为6080=34,6分……………………易知ξ~B3,34().7分……………………………………………………………………………………………所以P(ξ=0)=C03×34()0×14()3=164,Pξ=1()=C13×34()1×14()2

=964,P(ξ=2)=C23×34()2×14()1=2764,Pξ=3()=C33×34()3×14()0=2764,9分…………………………所以ξ的分布列为ξ0123P1649642764276410分……………………………………………………………………………

…………………………………所以E(ξ)=3×34=94.12分……………………………………………………………………………………19.【命题意图】本题考查面面垂直的证明、三棱柱的体积、二面角等,考查直观想象、逻辑推理和数学运

算的核心素养.【解析】(1)方法一(几何法):如图,作CE⊥AB于点E,EF∥BB1交AB1于点F,连接DF.因为AC=2,BC=3,AB=13,所以AC2+BC2=22+32=(13)2=AB2.所以AC⊥BC.1分…………………………………………………

…………所以CE=AC·BCAB=2×313=61313.由勾股定理得AE=AC2-CE2=22-61313æèçöø÷2=41313,所以EFBB1=AEAB=4131313=413=CDCC1,所以EF=CD.3分………………………………………………………又EF∥BB1,CD∥BB1,所以EF

∥CD.所以四边形EFDC是平行四边形,所以DF∥CE.4分…………………………………………………………因为平面ABC⊥平面ABB1A1,平面ABC∩平面ABB1A1=AB,CE⊥AB,所以CE⊥平面ABB1A1.5分……………………………………

………………………………………………所以DF⊥平面ABB1A1.又DF⊂平面AB1D,所以平面AB1D⊥平面ABB1A1.6分……………………………………………………方法二(向量法):因为AC=2,BC=3,AB=13,所以AC2+BC2=22+32=(13)2=AB2.所以AC⊥BC.

1分………………………………………………………………………………………………由题知CC1⊥平面ABC,又AC⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以CC1⊥AC,CC1⊥BC.以点C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图

所示的空间直角坐标系,设CC1=a(a>0),则A(2,0,0),A1(2,0,a),B1(0,3,a),D0,0,4a13().数学(理科)参考答案第6页(共9页)所以AB1→=(-2,3,a),AD→=-2,0,4a13(),AA1→=(0,0,a).2分………设平面A

B1D的法向量为m=(x,y,z),由m·AB1→=-2x+3y+az=0,m·AD→=-2x+4az13=0,{得x=2az13,y=-3az13.ìîíïïïï令z=13,得平面AB1D的一个法向量为m=(2a,-3a,13).3分………设平面ABB1A1的法向量为n=(x',y',z'),

由n·AB1→=-2x'+3y'+az'=0,n·AA1→=az'=0,{得y'=23x',z'=0.{令x'=3,得平面ABB1A1的一个法向量为n=3,2,0().4分…………………………………………………因为

m·n=6a-6a+0=0,所以m⊥n.5分……………………………………………………………………………………………………所以平面AB1D⊥平面ABB1A1.6分……………………………………………………………………………(2)因为直三棱柱

ABCA1B1C1的体积为392,所以12×2×3×CC1=392,解得CC1=132.所以CD=2,C1D=92.7分………………………………………………………………………………………由题知CC1⊥平面ABC,又AC⊂平面ABC,BC⊂平面A

BC,所以CC1⊥AC,CC1⊥BC.以点C为原点,以CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B10,3,132(),D(0,0,2),所以AB1→=-2,3,132(),AD→=(-

2,0,2).8分…………………………设平面AB1D的法向量为u=(x1,y1,z1),由u·AB1→=-2x1+3y1+132z1=0,u·AD→=-2x1+2z1=0,{得y1=-32z1,x1=z1.{令z1=

2,得平面AB1D的一个法向量为u=(2,-3,2).9分……………易知平面BB1D的一个法向量为v=(1,0,0),10分……………………设二面角AB1DB的大小为θ,则cosθ=u·v|u||v|=(2,-3,2)·(1,0,0)17×1=21717.易知θ为锐角,所以二面

角AB1DB的余弦值为21717.12分………………………………………………………………20.【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、三角形的周长等,考查直观想象和数学运算的核心素养.【解析】(1)依题意,△MNF2的周长为|MF2|+|MN|+|NF2|=|MF1

|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a=12,解得a=3.1分……………………………………………………………………………………………………数学(理科)参考答案第7页(共9页)设椭圆C的半焦距为c

,因为椭圆C的离心率为23,所以e=ca=23,即c3=23,解得c=2.2分……………………………………………………………………因为a2=b2+c2,所以b=a2-c2=32-22=5.3分…………………………………………………………………………所以椭圆C的标准方程为y29+x25=1

.4分……………………………………………………………………(2)由(1)知,F1(0,2),A(0,3).易知直线l的方程为y=kx+2(k≠0).5分…………………………………由y=kx+2,y29+x25=1,{消去y得(5k2+9)x2+20kx-25=0,Δ>0.6分…

…………………………………………设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-20k5k2+9,x1x2=-255k2+9.7分………………………………………所以k1=y1-3x1=kx1+2-3x1=k

x1-1x1,k2=y2-3x2=kx2+2-3x2=kx2-1x2.8分………………………………所以k1+k2=k-1x1+k-1x2=2k-x1+x2x1x2=65k.k1·k2=k-1x1()·k-1x2()=k2-k×x1+x2x1x2+1x1x2=-925

.所以1k1+1k2=k1+k2k1·k2=-103k.11分……………………………………………………………………………所以1k1k1+1k2()=-103,为定值.12分………………………………………………………………………21.【命题意图】本题考查导数的几

何意义,考查利用导数解决不等式恒成立问题,考查逻辑推理、数学运算的核心素养.【解析】(1)由f(x)=ex-sinx-cosx-12ax2,得f'(x)=ex-cosx+sinx-ax.1分……………………所以曲线

y=f(x)在点π4,fπ4()()处的切线的斜率为f'π4()=eπ4-π4a.2分…………………………所以eπ4-π4a=eπ4-π,解得a=4.4分…………………………………………………………………………(2)由(1)知,f'(x)=ex-cosx+sinx-ax,所以不等式f'(

x)≥ln(1-x),即ex-cosx+sinx-ax-ln(1-x)≥0对任意x∈(-∞,1)恒成立.5分…………………………………………………………………………………………………………………令g(x)=ex+sinx-cosx-ax-ln(1-x)(x<1),则g'(x)=ex+co

sx+sinx-a+11-x.6分……………………………………………………………………因为g(x)≥0,g(0)=0,所以∀x∈(-∞,1),g(x)≥g(0),即g(0)为g(x)的最小值,x=0为g(x)的一个极小值点.所以g'(0)=

e0+cos0+sin0-a+11-0=0,解得a=3.7分…………………………………………………当a=3时,g(x)=ex+sinx-cosx-3x-ln(1-x)(x<1),所以g'(x)=ex+cosx+sinx-3+11-x=ex+2sinx+π4()-3+11-x

.8分……………………………数学(理科)参考答案第8页(共9页)令φ(x)=ex+11-x-3,h(x)=2sinx+π4(),易知φ(x)在(-∞,1)上单调递增.①当0≤x<1时,[φ(x)]min=φ(0)=

-1,[h(x)]min=h(0)=1,所以g'(x)≥g'(0)=0(当且仅当x=0时等号成立),所以g(x)在[0,1)上单调递增.9分………………………………………………………………………………………………

…………………②当x<0时,若-π2≤x<0,则φ(x)<φ(0),h(x)<h(0),所以g'(x)<g'(0)=0;若x<-π2,则φ(x)<φ-π2()=e-π2+2π+2-3,h(x)≤2,所以g'(x)<e-π2+2-3+2π+2<12+32-3+2π

+2<0.所以g(x)在(-∞,0)上单调递减.11分…………………………………………………………………………综上所述,g(x)在(-∞,0)上单调递减,在[0,1)上单调递增.所以当a=3时,g(x)≥g(0)=0.12分………………………

…………………………………………………(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.【命题意图】本题考查极坐标与参数方程,考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.【解析】(1)因为直线l的参数方程为x=3-32t,y=3-12tìîíïïïï

(t为参数),所以消去参数t可得直线l的普通方程为x-3y=0.2分……………………………………………………因为曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ+π6(),即ρ=3sinθ+cosθ,所以ρ2=3ρsinθ+ρcosθ.由x=ρco

sθ,y=ρsinθ,{得x2+y2-x-3y=0.所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-x-3y=0.4分……………………………………………………(2)因为点P的极坐标为23,π6(),所以点P的直角坐标为(3,3).易得点P在直线l上,将直线l的参数方程x=3-32t,y

=3-12tìîíïïïï(t为参数)代入x2+y2-x-3y=0,6分………………………………化简得t2-33t+6=0,Δ>0.设A,B两点所对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=33,t1t2=6,8分………………………………………所以t1>0,t2>0.所以1|PA|+1|PB|=1|

t1|+1|t2|=1t1+1t2=t1+t2t1t2=336=32.10分………………………………………23.【命题意图】本题考查绝对值不等式的求解,绝对值不等式恒成立问题,考查逻辑推理和数学运算的核心素养.数学(理科)参考答案第9页(共9页

)【解析】(1)当a=2时,f(x)=|x+4|+|x-4|,1分……………………………………………………………不等式f(x)≤13,即为|x+4|+|x-4|≤13.则x≤-4,-(x+4)-(x-4)≤13,{或-4<x<4,(x+

4)-(x-4)≤13,{或x≥4,(x+4)+(x-4)≤13.{3分……………………解得-132≤x≤-4或-4<x<4或4≤x≤132.4分……………………………………………………………故不等式f(x)≤13的解集为-132,1

32[].5分…………………………………………………………………(2)f(x)=|x+4|+|x-2a|≥|x+4-(x-2a)|=|2a+4|(当且仅当(x+4)(x-2a)≤0时等号成立)6分……………………………………………………………………

……………………………………………因为f(x)≥a2+5a恒成立,所以|2a+4|≥a2+5a.7分………………………………………………………所以2a+4≥a2+5a①或2a+4≤-(a2+5a)②.8分…………………………………………………………由①解得-4≤

a≤1,由②解得-7-332≤a≤-7+332.9分………………………………………………综上所述,-7-332≤a≤1,故实数a的取值范围是-7-332,1[].10分………………………………获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xian

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