【文档说明】2021届高三入学调研试卷理科数学（一）.doc，共(13)页，808.435 KB，由小赞的店铺上传

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2021届高三入学调研试卷理科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑

，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．1．若复数z的实部与虚部分别为1−，2，则2z=（）A．34i−−B．34i−+C．34i+D．34i−2．设集合2{|4}Axx=，{|2,}xByyx==R，则AB=（）A．(2,2)−B．(0,2)C．(2,)+D．(,2)(2,)−

−+3．若函数()lg()fxxa=+的图象经过抛物线28yx=的焦点，则a=（）A．1B．0C．1−D．2−4．已知两个单位向量a，b的夹角为60，则下列向量是单位向量的是（）A．+abB．12−abC．12+abD．−ab5．ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，

b，c，已知2BC=，则b=（）A．coscCB．coscAC．2coscCD．2coscA6．设x，y满足约束条件2602xyxyx+−，则zxy=+的取值范围为（）A．[90,]2B．[94,]2C．[0,4]D．[4,)+7．设a是一

个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数，将组成a的2个数字按从小到大排成的两位数记为()Ia，按从大到小排成的两位数记为()Da(例如75a=，则()57Ia=，()75Da=)，执行如图所示的程序框图，若输入的51a=，则输出的b=（）A．30B．35C

．40D．458．已知2211()11xxfxx−−=++，则曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为（）A．yx=−B．yx=C．2yx=D．2yx=−9．sincos()6πxx−+=（）A．11sin(224π)6x+−B．11sin(224π)6x−+C．1

1sin(222π)3x−+D．13sin(224π)3x+−10．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个若在这座楼阁的灯球中

，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（）A．160359B．289359C．1191077D．958107711．在正四棱柱1111ABCDABCD−中，E为侧棱1DD上一点，1AB=，

12AA=，且异面直线DB与1CE所成角的余弦值为2613，则DE=（）A．12B．23C．1D．3212．设F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点，O为坐标原点过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若FOH△的内切圆与x轴切于点B，且2BFOB=，则C

的离心率为（）A．3174+B．4174+C．33178+D．33174+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．6()3yx−的展开式中5xy的系数为．14．已知函数()sinfxx=，若()()faxf

ax+=−，0πa，则a=．15．如图，一几何体由一个圆锥与半球组合而成，且圆锥的体积与半球的体积相等，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为．16．已知函数22(()log)fxxax=+−是R上的奇函数，函数()|2|gxmxa=−−，若()()fxgx对3[,2]

4x−恒成立，则m的取值范围为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设nS为数列{}na的前n项和，已知37a=，1(2)nnaadn−=+，其中d是不为0的常数，且1a，2a，6a成等

比数列．（1）求{}na的通项公式；（2）若55mSm=，求m．18．（12分）下图是某超市一周百事可乐与可口可乐的销量(单位：罐)的雷达图．（1）分别计算一周百事可乐与可口可乐的销量的平均数，从计算结果看，哪种可乐的销量更好；（2）

从周一开始的连续三周该超市推出买一罐可乐(仅限百事可乐或可口可乐)获得一次抽奖机会的活动，中奖率为0.1，中奖可获得1元的红包，以雷达图中一周的销量代替每周的销量．①活动期间，一位顾客买了3罐百事可乐，他恰好获得2元红包的概率；②在这连

续三周的活动中，求该超市需要投入红包总金额的数学期望．19．（12分）在直角坐标系xOy中，已知(1,2)Pxy−，(1,2)Qxy+，且3OPOQ=，记动点(,)Mxy的轨迹为．（1）求的方程；（2

）若过点(1,0)N的直线l与交于A，B两点，且2BNNA=，求直线l的斜率．20．（12分）如图，在四面体ABCD中，ADAB⊥，平面ABD⊥平面ABC，22ABBCAC==，且4ADBC+=．（1）证明：BC⊥平面ABD；（2）设E为棱AC的中点，当

四面体ABCD的体积取得最大值时，求二面角CBDE−−的余弦值．21．（12分）已知函数2()(2)lnfxaxaxx=++−．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx在(0,)a上存在最大值()Pa，证明：23

4ln2()42paaa+−．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4cos=，曲线C与曲线D关于极点对称．（1）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，

求曲线D的直角坐标方程；（2）设P为曲线D上一动点，记P到直线sin3=−与直线cos2=的距离分别为1d，2d，求12dd+的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()|1||

2|fxxx=−++，且不等式()fxk的解集为{|3}xxa−．（1）求k，a；（2）若mnk+=，证明：()()12fmfn+．2021届高三入学调研试卷理科数学（一）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题

，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】∵12iz=−+，∴2144i34iz=−−=−−．2．【答案】B【解析】∵(2,2)A=−，(0,)B=+，∴(0,2)AB=．3．【答案】C【解析】抛物

线28yx=的焦点坐标为(2,0)，则(2)lg(2)0fa=+=，即21a+=，解得1a=−．4．【答案】D【解析】由平面向量的减法可得−ab的模为1，则−ab是单位向量．5．【答案】C【解析】∵2BC=，∴sinsin22sincosBCCC==，∴2cosbcC

=．6．【答案】A【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，当直线zxy=+过点(0,0)时，z取得最小值0；直线zxy=+过点3(,3)2时，z取得最大值92，故9[0,]2z．7．【答案】D【解析】51a=，511536b=−=；

36a=，633627b=−=；27a=，722745b=−=，∵45为5的倍数，∴输出的45b=．8．【答案】C【解析】令11xtx−=+，则11txt−=+，22211()21()111()1tttftttt−−+==−+++，∵2222)))(11((tftt−=+，∴

(0)2f=，∵(0)0f=，∴曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为2yx=．9．【答案】B【解析】31sincos()sincos()sin(cossin)62π6π2xxxxxxx−+=−=+3111sin2(1cos2)sin(2)42π464xxx=+−=−+．

10．【答案】D【解析】设一大二小与一大四小的灯球数分别为x，y，则360241200xyxy+=+=，解得120240xy==，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095817CC107−=

．11．【答案】A【解析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz−，如图所示，则(0,0,0)D，(1,1,0)B，1(0,1,2)C，则(1,1,0)DB=，设(02)DEtt=，则1(0,1,2)CEt=−−，从

而12126,|||1321(|s2)coDBCEt−==+−，∵02t，∴12t=．12．【答案】C【解析】∵F到渐近线的距离为||FHb=，∴22||OHcba=−=，则FOH△的内切圆的半径2abcr+−=，设FOH△的内切圆与F

H切于点M，则||2abcMHr+−==，∵2BFOB=，∴2||||3FMBFc==，∴2||||||32abcBFMHcFHb+−+=+==，即33bac=+，则22222)99(69bcacaca=−=++，∴24390ee−−=，∵1e，

∴33178e+=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】2−【解析】6()3yx−的展开式中5xy的系数为161C()23−=−．14．【答案】π2【解析】∵()()faxfax+=−，∴()fx的图象关于直线x

a=对称，又()sinfxx=，且0πa，∴π2a=．15．【答案】2【解析】设该圆锥的半径与高分别为r，h，则32141ππ233rrh=，即2hr=，该圆锥的母线与底面所成角的正切值为2hr=．16．【答案】[7,)2+【解析】由22(()log)fxxax=+−是R

上的奇函数，得2(0)log()0fa==，则1a=，因为22221()log1)log1(fxxxxx=+−=++在(0,)+上单调递减，所以()fx是R上的减函数，作出()fx与()gx的图象，如图所示，由图可知33()()44(

2)(2)fgfg−−，即2512log(52)3mm−−−，则72m．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）32nan=−；（2）37m=．【

解析】（1）∵1(2)nnaadn−=+，∴数列{}na是公差为d的等差数列，∵37a=，∴172ad=−，27ad=−，673ad=+，∵1a，2a，6a成等比数列，∴2(72)(73)(7)ddd−+=−，∴23dd=，∴3d=或0d=，∵0d，∴3d=，7(3)332nann=

+−=−．（2）∵1(552)mmmaaSm+==，∴1110maa+=，即32109m−=，∴37m=．18．【答案】（1）百事可乐销量的平均数为9607，可口可乐销量的平均数为9407，百事可乐的销量更好；（2）①0.027；②570元．【解析】（1）百事可乐销

量的平均数为110012012014016014018096077x++++++==，可口可乐销量的平均数为28012010014018014018094077x++++++==，∵12xx，∴百事可乐的销量更好．（2）①他恰好获得2元红包说明他有两次中奖一次未中奖，故所求的概率为2230.1(

10.1C)0.027−=．②连续三周该超市罐装可乐（仅限百事可乐或可口可乐）的销量为(960940)3190035700+==罐，记连续三周顾客中奖总次数为X，则(5700,0.1)XB，则57000.1570EX==，故连续三周的活动该超市需要投入红包总金额的数学期望为

5701570=元．19．【答案】（1）2214xy+=；（2）156k=．【解析】（1）∵3OPOQ=，∴2(1)(1)43xxy−++=，∴2244xy+=，即2214xy+=，此即为的方程．（2）设直线l的斜率为k，则直线l的方程为

(1)ykx=−，当0k=时，3BNNA=或13BNNA=，不合题意；当0k时，由22(1)44ykxxy=−+=，得222(1420)3kykyk++−=，设11(,)Axy，22(,)Bxy，则122214kyyk+=−+，2122314kyyk=−+，∵2BNNA=，

22(1,)BNxy=−−，11()1,NAxy=−，∴212yy=−，∴1212214kyyyk+=−=−+，22123214kyk−=−+，∵10y，∴2512k=，∴156k=．20．【答案】（1）证明见解析；（2）306．【解析】（1）证明：因为ADAB⊥，平面ABD⊥平面ABC

，平面ABD平面ABCAB=，AD平面ABD，∴AD⊥平面ABC，因为BC平面ABC，所以ADBC⊥，因为22ABBCAC==，所以222ABBCAC+=，所以ABBC⊥，因为ADABA=，所以BC⊥平面ABD．（2）设(04)ADxx=，则4ABBCx==−，四面体AB

CD的体积232111()(4)(816)(04)326Vfxxxxxxx==−=−+，211()(31616)(4)(34)66fxxxxx=−+=−−，当403x时，()0fx，()Vfx=单调递增；当443x时，()0fx，

()Vfx=单调递减，故当43ADx==时，四面体ABCD的体积取得最大值，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系Bxyz−，则(0,0,0)B，8(0,,0)3A，8(,0,0)3C，84(0,,)33D，44(,,0)33E，设平面BCD的法向量为(,,)xyz=n，则00BCBD=

=nn，即80384033xyz=+=，令2z=−，得(0,1,2)=−n，同理，平面BDE的法向量为(1,1,2)=−m，530cos,656−==−mn，由图可知，二面角CBDE−−为锐角，故二面角CBDE−−的余弦值为306．21．【答案】（1）见解析；

（2）证明见解析．【解析】（1）2(1)(22)()2(0)axxafxaxxxx++−−=+−=−，当2a−时，()0fx，()fx在(0,)+上单调递减；当2a−时，由()0fx，得202ax+，()fx在(20,)2a+上单调递增；由()0fx，得22a

x+，()fx在2,)2(a++上单调递减．（2）易知0a，当02a时，22aa+，由（1）知，()fx在(0,)a上单调递增，此时()fx在(0,)a上不存在最大值，当2a时，()fx在(20,)2a+上单调递增，在(2,)2aa+上单调递减，则22mx2

2(2)224()()(2)ln()(2)ln222224aaaaaaaafxfaa+++++−==++−=++，故224()(2)ln(2)24aapaaa+−=++，设224()(2)ln(2)24xxgxxx+−=++，

2()1ln22xxgx+=++，∵2x，∴()0gx，∴()gx在(2,)+上单调递增，∴()(2)4ln2gxg=，即()4ln2pa，∵2314(34)(2)22aaaa+−=−+，且2a，∴

要证：23()42paaa+−，只需证2234ln242aaa+−−+，即证256ln024aa+−−，设256()ln(2)24xxhxx+−=−，则15()024hxx=−+，则()hx在(2,)+上单调递减，从而()(2)ln210hxh=−

，即256ln024aa+−−，则23()42paaa+−，从而234ln2()42paaa+−．22．【答案】（1）22(2)4xy++=；（2）722−．【解析】（1）∵4cos=，∴24cos=，∴224xyx+=

，即22(2)4xy−+=，∴曲线D的直角坐标方程为22(2)4xy++=．（2）由（1）可设(22cos,2sin)P−+，[0,2π)，直线sin3=−与直线cos2=的直角坐标方程分别为3y=−，2x=，从而12sin3d=+，2

2(22cos)42cosd=−−+=−，122sin342cos722sin)π(4dd+=++−=+−，故12dd+的最小值为722−．23．【答案】（1）5k=，2a=；（2）证明见解析．

【解析】（1）当2x−时，由()21fxxk=−−，得12kx+−，因为不等式()fxk的解集为{|3}xxa−，所以132k+−=−，解得5k=，当1x时，由()215fxx=+，得

2x，所以2a=，经检验5k=，2a=满足题意．（2）证明：因为|1||2||12||21|mmmmm−++−++=+，所以()|21|fmm+，同理()|21|fnn+，因为5mnk+==，所以()()|21||

21||2121||2()2|12fmfnmnmnmn+++++++=++=．