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以下为本文档部分文字说明：

第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算A级必备知识基础练1.给出下列命题:①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点构成一个圆;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③若空间向量m,

n,p满足m=n,n=p,则m=p;④空间中任意两个单位向量必相等;⑤零向量没有方向.其中假命题的个数是()A.1B.2C.3D.42.(多选题)下列说法错误的是()A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在

平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=()A.𝐷1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐷1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.𝐷𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.

𝐵𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.已知𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗是空间两个不共线的向量,𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗-2𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,那么必有()A.𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗共

线B.𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线C.𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面D.𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗不共面5.在空间四边形ABCD中,若E,F,G,H分别为A

B,BC,CD,DA边上的中点,则下列各式中成立的是()A.𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0B.𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐸⃗⃗

⃗⃗⃗=0C.𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0D.𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗−𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=06.如图,在平行六面体AB

CD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c,则𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=()A.-a-12b+cB.a-12b+cC.a-12b-cD.

a+12b-c7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心,若𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗+λ𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0(λ∈R),则λ=.8.设e1,e2

是空间两个不共线的向量,已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=e1+ke2,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=5e1+4e2,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值是.9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和

终点的向量中:(1)单位向量共有多少个?(2)试写出模为√5的所有向量.(3)试写出与𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗相等的所有向量.(4)试写出𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的相反向量.B级关键能力提升练10.设有四边形ABC

D,O为空间任意一点,且𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则四边形ABCD是()A.空间四边形B.平行四边形C.等腰梯形D.矩形11.在四棱锥P-ABCD中,

底面ABCD是正方形,E为PD的中点.若𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=c,则𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=()A.12a-12b+12cB.12a-12b-12cC.12a-32b+12c

D.12a-12b+32c12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,M为空间任意两点,如果有𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+7𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+6𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-4𝐴1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,那么M必()A.在平面BAD1内B.在平面BA1D内C.在平面BA

1D1内D.在平面AB1C1内13.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题中错误的是()A.𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗与𝑂𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶1⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗是一对相等向量B.𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗与𝑂𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗是一对相反向量C.𝑂𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−�

�𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗是一对相等向量D.𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗与𝑂𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗是一对相反向量14.(多选题)已知平行六面体ABCD-A'

B'C'D',则下列选项中正确的有()A.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐴𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵'𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.𝐴𝐴'⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+

𝐵𝐵'⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶'𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗15.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任一点,若由𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=15𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+23𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+λ𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗确定的一点P与A,B,C三

点共面,则λ=.16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,𝐴1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14𝐴1𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,若𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=x𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+y(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗

⃗⃗⃗),则x=,y=.17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,点N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证:𝐴1𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴1𝑀⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗共面.C级学科素养创新练18.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不同为0的实数λ,m,n,使λ𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+m𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+n𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,那么λ+m+n的值为.1.1.1空间向量及其线性运算1

.D①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同.③真命题.向量的相等具有传递性.④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1,但方向

不一定相同,所以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的.2.ABC3.D在长方体ABCD-A1B1C1D1中,𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)+𝐷𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐷1⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.4.C由共面向量定理知,𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面.5.B𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,𝐸�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗,易证四边形EFGH为平行四边形,故𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,故选B.6.A根据向量减法的三角形法则得到𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴1𝐸⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗-(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=c+12b-a-b=-a-12b+c.故选A.7.-12在△C1A1D中,EF是其中位线,所以𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,且𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12�

�1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,因此当𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗+λ𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0时,λ=-12.8.1因为𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=5e1+4e2,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-e1-2e2,所以𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵�

�⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.又因为A,B,D三点共线,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以e1+ke2=λ(6e1+6e2)

.因为e1,e2是不共线向量,所以{1=6𝜆,𝑘=6𝜆,故k=1.9.解(1)模为1的向量有𝐴1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,�

�𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,共8个单位向量.(2)由于这个长方体的左右两侧面的对角线长均为√5,因此模为√5的向量为𝐴𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗,𝐵1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.(3)与向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗相等的向量(除它自身之外)为𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗及𝐷1𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.(4)向量𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的相反向量为𝐴1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐵1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.10.B由已知得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,即𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗是相等向量,因此𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷�

�⃗⃗⃗⃗⃗的模相等,方向相同,即四边形ABCD是平行四边形.11.C𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=-12𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=-12

𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=-12𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)+12(𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=-32𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+12𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+12𝑃�

�⃗⃗⃗⃗⃗=12a-32b+12c.故选C.12.C由于𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+7𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+6𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-4𝐴1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐴⃗⃗

⃗⃗⃗+6𝐵𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-4𝐴1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵1𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+6𝐵𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-4𝐴1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+6(𝑃𝐴1⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)-4(𝑃𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑃𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=11𝑃𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-6𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗-4𝑃𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,因此M,B,A1,D1四点共面,即M必在平面B

A1D1内.13.ABC选项A中是一对相反向量,B中是一对相等向量,C中是一对相反向量,D中也是一对相反向量.14.ABC作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'的图象如图,可得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,故A正确;𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵'𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗,故B正确;C显然正确;𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐵'⃗⃗

⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶'𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,故D不正确.综上,正确的有ABC.15.215因为点P与A,B,C三点共面,所以15+23+λ=1,解得λ=215.16.114𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗+𝐴1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴1𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+14(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗),∴x=1,y=14.17.证明∵�

�1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴1𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=23(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+

𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗),∴𝐴1𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)-𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+23𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐴1𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面.18.0∵A,

B,C三点共线,∴存在实数k,使得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=k𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗

⃗⃗⃗⃗=k(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗),化简整理得𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗-(k+1)𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+k𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,∵λ𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+m𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+n𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴①当k=-1时,

比较系数得m=0且λ=-n,∴λ+m+n=0.②当k≠-1时,可得𝜆1=𝑚-𝑘-1=𝑛𝑘,得m=(-k-1)λ,n=kλ;由此可得λ+m+n=λ+(-k-1)λ+kλ=0,