【文档说明】2023届高考数学易错题专项突破——易错点17 解三角形含解析【高考】.docx，共(12)页，92.873 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1易错点17解三角形一、单选题1.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若𝑎=3，𝑏=2，cos(𝐴+𝐵)=13，则c等于A.4B.√15C.3D.√172.已知▵𝐴𝐵𝐶中，满足𝑏=2，𝐵=60∘的三角形有两

解，则边长a的取值范围是A.√32<𝑎<2B.12<𝑎<2C.2<𝑎<4√33D.2<𝑎<2√33.在▵𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若𝑐−𝑎cos𝐵=(2𝑎−𝑏)cos𝐴，则▵𝐴𝐵𝐶为A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或

直角三角形4.𝛥𝐴𝐵𝐶的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为A.B.C.D.9√25.满足条件𝑎=4，𝑏=5√2，𝐴=45°的△𝐴𝐵𝐶的个数是A.1B.2C.无数个D.不存在6.在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C所

对的边分别为a，b，𝑐.若𝑐=4，𝑏=7，BC边上的中线AD的长为72，则边长𝑎=A.3B.4C.94D.97.在𝛥ABC中，𝑎,𝑏,𝑐分别为内角𝐴,𝐵,𝐶所对的边，𝑏=𝑐且

满足sinBsinA=1−cosBcosA，若点O是𝛥ABC外一点，∠AOB=𝜃(0<𝜃<𝜋)，OA=2，OB=1，则平面四边形OACB面积的最大值是A.8+5√34B.4+5√34C.3D.4+√528.根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是

一个椭圆，地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为36万千米，月球轨道上点P与椭圆两焦点𝐹1，𝐹2构成的三角形𝑃𝐹1𝐹2面积约为480√3(万千米)2，∠𝐹1𝑃𝐹2=𝜋3，则月球绕地球运行轨

道的一个标准方程为2A.𝑥2382+𝑦240×36=1B.𝑥2362+𝑦2142=1C.𝑥2482+𝑦248×36=1D.𝑥2482+𝑦236×24=1二、填空题9.在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎2=𝑏2+𝑏𝑐+𝑐2，则

𝐴=.10.在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐵𝐶=7，𝐴𝐶=8，𝐴𝐵=9，则AC边上的中线长为．11.在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点M，N分别是𝐴𝐴1，𝐵𝐵1的中点，则CM和𝐷1𝑁所成角的余弦值为________．12.在锐角▵𝐴𝐵𝐶中，角A、B、

C的对边分别为a、b、c，已知sin𝐵sin𝐶sin𝐴=3√72，𝑏=4𝑎，𝑎+𝑐=5，则▵𝐴𝐵𝐶的面积为______．三、解答题13.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2𝑐⋅𝑐𝑜𝑠𝐴(𝑠𝑖𝑛𝐵−1)=𝑎

𝑐𝑜𝑠𝐶−𝑏．(1)求角B的大小；(2)在锐角三角形𝐴′𝐵′𝐶′中，角𝐴′，𝐵′，𝐶′的对边分别为𝑎′，𝑏′，𝑐′，若𝑏′=2√3,𝑎′=√6+√2,∠𝐵′=2∠𝐵，求三角形𝐴′，𝐵′，𝐶′的内角平分线𝐵′𝐷′的长．14.如图，EFG

H是矩形，△𝐴𝐵𝐶的顶点C在边FG上，点A，B分别是EF，GH上的动点(𝐸𝐹的长度满足需求).设∠𝐵𝐴𝐶=𝛼，∠𝐴𝐵𝐶=𝛽，∠𝐴𝐶𝐵=𝛾，且满足𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛽=𝑠𝑖𝑛𝛾(𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽)．(1

)求𝛾；(2)若𝐹𝐶=5，𝐶𝐺=3，求5𝐴𝐶+3𝐵𝐶的最大值．315.已知向量𝑎⃗⃗=(𝑠𝑖𝑛𝑥,𝑐𝑜𝑠𝑥)，𝑏⃗=(√3𝑐𝑜𝑠𝑥,𝑐𝑜𝑠𝑥)，𝑓(𝑥)=𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗．(1)求𝑓(𝑥

)的单调递增区间；(2)在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且𝑎=√7,𝑠𝑖𝑛𝐵=3𝑠𝑖𝑛𝐶，若𝑓(𝐴)=1，求△𝐴𝐵𝐶的周长．16.如图所示，某镇有一块空地△𝑂𝐴𝐵，其中𝑂𝐴=3𝑘𝑚，𝑂𝐵=3√3𝑘𝑚，∠

𝐴𝑂𝐵=90∘.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△𝑂𝑀𝑁，其中M，N都在边AB上，且∠𝑀𝑂𝑁=30∘，挖出的泥士堆放在△𝑂𝐴𝑀地带上形成假山，剩下的△𝑂𝐵𝑁地带开设儿童游乐场．为安全起

见，需在△𝑂𝐴𝑁的周围安装防护网．(1)当𝐴𝑀=32𝑘𝑚时，求防护网的总长度；(2)为节省投入资金，人工湖△𝑂𝑀𝑁的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△𝑂𝑀𝑁的面积最小？最小面积是多少？一、单选题

1.在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若𝑎=3，𝑏=2，cos(𝐴+𝐵)=13，则c等于4A.4B.√15C.3D.√17【答案】D【解析】解：∵cos(𝐴+𝐵)=13∴𝑐𝑜𝑠𝐶=

−13在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎=3，𝑏=2，𝑐𝑜𝑠𝐶=−13∴𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶=9+4−2×3×2×(−13)=17，𝑐>0．∴𝑐=√17故选：D2.已知▵𝐴𝐵𝐶中

，满足𝑏=2，𝐵=60∘的三角形有两解，则边长a的取值范围是A.√32<𝑎<2B.12<𝑎<2C.2<𝑎<4√33D.2<𝑎<2√3【答案】C【解析】解：若△𝐴𝐵𝐶有两解，𝑏=2，�

�=60∘，由正弦定理及正弦函数的图像和性质，则需{𝑎sin𝐵<𝑏𝑎>𝑏，解得{√32𝑎<2𝑎>2解得2<𝑎<4√33，故选：C．3.在▵𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若𝑐−𝑎cos𝐵=

(2𝑎−𝑏)cos𝐴，则▵𝐴𝐵𝐶为A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】解：余弦定理得cos𝐴=𝑐2+𝑏2−𝑎22𝑏𝑐,cos𝐵=�

�2+𝑎2−𝑏22𝑎𝑐，代入𝑐−𝑎cos𝐵=(2𝑎−𝑏)cos𝐴得：𝑐2−𝑎2+𝑏22𝑐=2𝑎𝑐2+𝑏2−𝑎22𝑏𝑐−𝑐2+𝑏2−𝑎22𝑐，即𝑐2−𝑎2+𝑏22𝑎𝑐=𝑐2+𝑏2−𝑎22𝑏�

�，5则有𝑎=𝑏或𝑐2−𝑎2+𝑏2=0，故▵𝐴𝐵𝐶为等腰或直角三角形．故选D．4.𝛥𝐴𝐵𝐶的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为A.B.C.D.9√2【答案】C【解析】解：由余弦定理

得：三角形第三边长为√22+32−2×2×3×13=3，且第三边所对角的正弦值为√1−(13)2=2√23，所以由正弦定理可知2𝑅=32√23，求得𝑅=9√28.故选C．5.满足条件𝑎=4，𝑏=5√2，𝐴=45°的△𝐴𝐵𝐶的个数

是A.1B.2C.无数个D.不存在【答案】D【解析】解：∵𝑎=4，𝑏=5√2，𝐴=45°，∴由正弦定理可得：sin𝐵=𝑏sin𝐴𝑎=5√24×√22=54>1，显然不成立，所以这样的三角形不存在．故

选D．6.在△𝐴𝐵𝐶中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，𝑐.若𝑐=4，𝑏=7，BC边上的中线AD的长为72，则边长𝑎=A.3B.4C.94D.9【答案】D【解析】解：如图，∵𝐴𝐷是BC边上的中线，6∴设𝐶𝐷=𝐷𝐵=𝑥，则𝐶𝐵=𝑎=2�

�．∵𝑐=4，𝑏=7，𝐴𝐷=72，在△𝐴𝐶𝐷中，cos𝐶=72+𝑥2−(72)22×7×𝑥．在△𝐴𝐵𝐶中，，∴49+𝑥2−49414𝑥=49+4𝑥2−1628𝑥，解得𝑥=92．∴𝑎=2𝑥=9．故选D．7.在𝛥ABC

中，𝑎,𝑏,𝑐分别为内角𝐴,𝐵,𝐶所对的边，𝑏=𝑐且满足sinBsinA=1−cosBcosA，若点O是𝛥ABC外一点，∠AOB=𝜃(0<𝜃<𝜋)，OA=2，OB=1，则平面四边形OACB面积

的最大值是A.8+5√34B.4+5√34C.3D.4+√52【答案】A【解析】解：△𝐴𝐵𝐶中，∵𝑏=𝑐，𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴=1−𝑐𝑜𝑠𝐵𝑐𝑜𝑠𝐴，∴𝑠𝑖𝑛

𝐵𝑐𝑜𝑠𝐴+𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐴，即sin(𝐴+𝐵)=sin(𝜋−𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐴，∴𝐴=𝐶，又𝑏=𝑐，∴△𝐴𝐵𝐶为等边三角形．∴𝑆𝑂𝐴𝐶𝐵=𝑆△𝐴𝑂𝐵+𝑆△𝐴𝐵𝐶=12⋅𝑂𝐴⋅𝑂

𝐵⋅𝑠𝑖𝑛𝜃+12⋅𝐴𝐵2⋅sin𝜋3=12×2×1×𝑠𝑖𝑛𝜃+√34(𝑂𝐴2+𝑂𝐵2−2𝑂𝐴⋅𝑂𝐵⋅𝑐𝑜𝑠𝜃)7=𝑠𝑖𝑛𝜃−√3𝑐𝑜𝑠𝜃+5√34=2𝑠𝑖𝑛

(𝜃−𝜋3)+5√34．∵0<𝜃<𝜋，∴−𝜋3<𝜃−𝜋3<2𝜋3，故当𝜃−𝜋3=𝜋2时，sin(𝜃−𝜋3)取得最大值为1，故𝑆𝑂𝐴𝐶𝐵的最大值为2+5√34=8+5√34，故选A．8.根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个

椭圆，地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为36万千米，月球轨道上点P与椭圆两焦点𝐹1，𝐹2构成的三角形𝑃𝐹1𝐹2面积约为480√3(万千米)2，∠𝐹1𝑃𝐹2=𝜋3，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为A.𝑥238

2+𝑦240×36=1B.𝑥2362+𝑦2142=1C.𝑥2482+𝑦248×36=1D.𝑥2482+𝑦236×24=1【答案】A【解析】解：设|𝑃𝐹1|=𝑚，|𝑃𝐹2|=𝑛，由椭圆定义可知：𝑚+𝑛=

2𝑎，又椭圆上的点距离地球所在焦点最短距离约为36万千米，则𝑎−𝑐=36，在△𝑃𝐹1𝐹2中，由余弦定理得：(2𝑐)2=𝑚2+𝑛2−2𝑚𝑛cos𝜋3，由三角形𝑃𝐹1𝐹2面积约为480√3(万千米2)，∠𝐹1𝑃𝐹2=𝜋3，得：12𝑚𝑛sin𝜋3

=480√3，联立上述方程得：{𝑚+𝑛=2𝑎𝑎−𝑐=3612𝑚𝑛sin𝜋3=480√3𝑎2=𝑏2+𝑐2(2𝑐)2=𝑚2+𝑛2−2𝑚𝑛cos𝜋3，解得：{𝑏2=1440𝑎2=382．故选A．8二、填空题9.在△�

�𝐵𝐶中，若𝑎2=𝑏2+𝑏𝑐+𝑐2，则𝐴=.【答案】【解析】解：由𝑎2=𝑏2+bc+𝑐2得：，由余弦定理得：，因为，则，故答案为．10.在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝐵𝐶=7，𝐴𝐶=8，𝐴𝐵=9，则AC边上的中线长为．【答案】711

.在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点M，N分别是𝐴𝐴1，𝐵𝐵1的中点，则CM和𝐷1𝑁所成角的余弦值为________．【答案】19【解析】解：取𝐶1𝐶的中点P，连接𝐴1𝑃，∵𝐴1𝑀//𝐶𝑃，且𝐴1𝑀=𝐶𝑃，∴四边

形𝐴1𝑀𝐶𝑃是平行四边形，∴𝐴1𝑃//𝑀𝐶，∵𝐴1𝐷1=//𝐵𝐶=//𝑁𝑃，∴𝐴1𝑃、𝐷1𝑁共面，设其交点为O，则∠𝐴1𝑂𝐷1是异面直线CM与𝐷1𝑁所成的角，设正方体的

棱长为1，9∴𝐴1𝑃=𝑀𝐶=√𝐴𝐶2+𝐴𝑀2=√2+14=32，𝐷1𝑂=𝐴1𝑂=34，cos∠𝐴1𝑂𝐷1=(34)2+(34)2−12×34×34=19，即直线CM与𝐷1𝑁所成角的余

弦值是19．故答案为19．12.在锐角▵𝐴𝐵𝐶中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin𝐵sin𝐶sin𝐴=3√72，𝑏=4𝑎，𝑎+𝑐=5，则▵𝐴𝐵𝐶的面积为______．【答案】3√74【解析】解：由正弦定理及sin𝐵sin𝐶sin𝐴

=3√72，得𝑏sin𝐶𝑎=3√72，又𝑏=4𝑎，∴sin𝐶=3√78，∵△𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，∴cos𝐶=√1−sin2𝐶=18，∴cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=𝑎2+(4𝑎)2−(5

−𝑎)22𝑎×4𝑎=18，解得𝑎=1，𝑏=4，𝑐=4，∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑏sin𝐶=12×1×4×3√78=3√74⋅故答案为3√74．三、解答题13.在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边

分别为a，b，c，2𝑐⋅𝑐𝑜𝑠𝐴(𝑠𝑖𝑛𝐵−1)=𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶−𝑏．(1)求角B的大小；(2)在锐角三角形𝐴′𝐵′𝐶′中，角𝐴′，𝐵′，𝐶′的对边分别为𝑎′，𝑏′，𝑐′，若𝑏′=

2√3,𝑎′=√6+√2,∠𝐵′=2∠𝐵，求三角形𝐴′，𝐵′，𝐶′的内角平分线𝐵′𝐷′的长．【答案】解：(1)2𝑐⋅𝑐𝑜𝑠𝐴(𝑠𝑖𝑛𝐵−1)=𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶−𝑏，∴由正弦定理可得：2𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴(𝑠

𝑖𝑛𝐵−1)=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶−𝑠𝑖𝑛𝐵，∴2𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵−2𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶−(𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴)，∴

2𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴，∵在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴≠0，∴𝑠𝑖𝑛𝐵=12，10∴𝐵=𝜋6；(2)∠𝐵′=2∠𝐵=𝜋3，由正弦定理有：𝑎′𝑠𝑖𝑛𝐴′=𝑏′𝑠𝑖𝑛𝐵′

，∴𝑠𝑖𝑛𝐴′=𝑎′𝑠𝑖𝑛𝐵′𝑏′=√6+√2×√322√3=√6+√24，又三角形𝐴′𝐵′𝐶′为锐角三角形，∴𝐴′=5𝜋12，∴𝐶′=𝜋−𝐵′−𝐴′=𝜋4，∴∠𝐵′𝐷′𝐶′=𝜋−12𝐵′−𝐶′=7𝜋12，由正弦定理有：𝐵′𝐷′𝑠𝑖𝑛

𝐶′=𝑎′sin∠𝐵′𝐷′𝐶′∴𝐵′𝐷′=𝑎′𝑠𝑖𝑛𝐶′sin∠𝐵′𝐷′𝐶′=2√2．14.如图，EFGH是矩形，△𝐴𝐵𝐶的顶点C在边FG上，点A，B分别是EF，GH上的动点(𝐸𝐹的长度满足需求).设

∠𝐵𝐴𝐶=𝛼，∠𝐴𝐵𝐶=𝛽，∠𝐴𝐶𝐵=𝛾，且满足𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛽=𝑠𝑖𝑛𝛾(𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽)．(1)求𝛾；(2)若𝐹𝐶=5，𝐶𝐺=3，求5𝐴𝐶+3𝐵�

�的最大值．【答案】解：(1)设𝐵𝐶=𝑎，𝐴𝐶=𝑏，𝐴𝐵=𝑐，由𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛽=𝑠𝑖𝑛𝛾(𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽)，根据正弦定理和余弦定理得，𝑎+𝑏=𝑐(𝑏2+

𝑐2−𝑎22𝑏𝑐+𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐)，化简整理得，𝑎2+𝑏2=𝑐2，由勾股定理可得𝛾=𝜋2；(2)设∠𝐶𝐴𝐹=𝜃,0<𝜃<𝜋2，由(1)可知，∠𝐵𝐶𝐺=𝜃，在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐹中，𝐴𝐶⋅𝑠𝑖𝑛𝜃=�

�𝐶，由𝐹𝐶=5，故5𝐴𝐶=𝑠𝑖𝑛𝜃，在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐺中，𝐵𝐶⋅𝑐𝑜𝑠𝜃=𝐶𝐺，由𝐶𝐺=3，故3𝐵𝐶=𝑐𝑜𝑠𝜃，11∴5𝐴𝐶+3𝐵𝐶=𝑠𝑖𝑛𝜃+�

�𝑜𝑠𝜃=√2sin(𝜃+𝜋4)，由𝜋4<𝜃+𝜋4<3𝜋4知，当𝜃+𝜋4=𝜋2，即𝜃=𝜋4时，5𝐴𝐶+3𝐵𝐶取得最大值√2．15.已知向量𝑎⃗⃗=(𝑠𝑖𝑛𝑥,𝑐𝑜𝑠𝑥)，𝑏⃗

=(√3𝑐𝑜𝑠𝑥,𝑐𝑜𝑠𝑥)，𝑓(𝑥)=𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗．(1)求𝑓(𝑥)的单调递增区间；(2)在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．且𝑎=√7,𝑠𝑖𝑛𝐵=3𝑠𝑖𝑛𝐶，若

𝑓(𝐴)=1，求△𝐴𝐵𝐶的周长．【答案】解：(1)因为𝑎⃗⃗=(𝑠𝑖𝑛𝑥,𝑐𝑜𝑠𝑥)，𝑏⃗=(√3𝑐𝑜𝑠𝑥,𝑐𝑜𝑠𝑥)，𝑓(𝑥)=𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=√3𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+cos2𝑥=√32𝑠𝑖𝑛2𝑥+12𝑐𝑜

𝑠2𝑥+12=sin(2𝑥+𝜋6)+12，由−𝜋2+2𝑘𝜋≤2𝑥+𝜋6≤𝜋2+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，可得：−𝜋3+𝑘𝜋≤𝑥≤𝜋6+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，可得𝑓(𝑥)的单调递增区间是：[−𝜋3+𝑘𝜋,𝜋6+𝑘𝜋]，𝑘∈𝑍，(2)由题意可

得：sin(2𝐴+𝜋6)=12，又0<𝐴<𝜋，所以𝜋6<2𝐴+𝜋6<13𝜋6，所以2𝐴+𝜋6=5𝜋6，解得𝐴=𝜋3，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：𝑎2=𝑏2+𝑐2

−2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴，所以𝑎=𝐵𝐶=√7，又𝑠𝑖𝑛𝐵=3𝑠𝑖𝑛𝐶，可得𝑏=3𝑐，故7=9𝑐2+𝑐2−3𝑐2，解得𝑐=1，所以𝑏=3，可得△𝐴𝐵𝐶的周长为4+√

7．16.如图所示，某镇有一块空地△𝑂𝐴𝐵，其中𝑂𝐴=3𝑘𝑚，𝑂𝐵=3√3𝑘𝑚，∠𝐴𝑂𝐵=90∘.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△𝑂𝑀𝑁，其中M，N都在边AB上

，且∠𝑀𝑂𝑁=30∘，挖出的泥士堆放在△𝑂𝐴𝑀地带上形成假山，剩下的△𝑂𝐵𝑁地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△𝑂𝐴𝑁的周围安装防护网．12(1)当𝐴𝑀=32𝑘𝑚时，求防护

网的总长度；(2)为节省投入资金，人工湖△𝑂𝑀𝑁的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△𝑂𝑀𝑁的面积最小？最小面积是多少？【答案】解：(1)∵𝑂𝐴=3𝑘𝑚，𝑂𝐵=3√3𝑘𝑚，∠𝐴𝑂𝐵=90∘，∴𝐴=6

0∘，𝐴𝐵=6．在▵𝑂𝐴𝑀中，由余弦定理得：𝑂𝑀2=𝑂𝐴2+𝐴𝑀2−2𝑂𝐴⋅𝐴𝑀⋅cos𝐴=274．∴𝑂𝑀=3√32．由正弦定理得：𝐴𝑀sin∠𝐴𝑂𝑀=𝑂𝑀sin𝐴，即32sin∠𝐴𝑂𝑀=3√32√32，．∴∠𝐴𝑂𝑁=∠𝐴𝑂𝑀+

∠𝑀𝑂𝑁=60∘．∴▵𝑂𝐴𝑁是等边三角形．∴▵𝑂𝐴𝑁的周长𝐶=3𝑂𝐴=9．∴防护网的总长度为9km．(2)设∠𝐴𝑂𝑀=𝜃(0∘<𝜃<60∘)，则∠𝐴𝑂𝑁=𝜃+30∘，∠𝑂𝑀𝐴=

120∘−𝜃，∠𝑂𝑁𝐴=90∘−𝜃．在▵𝑂𝐴𝑀中，由正弦定理得𝑂𝑀sin𝐴=𝑂𝐴sin∠𝑂𝑀𝐴，即𝑂𝑀√32=3sin(120∘−𝜃)=3sin(60∘+𝜃)．∴

𝑂𝑀=3√32sin(60∘+𝜃)，在▵𝐴𝑂𝑁中，由正弦定理得𝑂𝑁sin𝐴=𝑂𝐴sin∠𝑂𝑁𝐴，即𝑂𝑁√32=3sin(90∘−𝜃)=3cos𝜃，∴𝑂𝑁=3√32cos𝜃，∴

𝑆▵𝑂𝑀𝑁=12𝑂𝑀⋅𝑂𝑁⋅sin∠𝑀𝑂𝑁=2716cos𝜃sin(𝜃+60∘)=278sin(2𝜃+60∘)+4√3．∴当且仅当2𝜃+60∘=90∘，即𝜃=15∘时，▵�

�𝑀𝑁的面积取最小值为278+4√3=54−27√34𝑘𝑚2