【文档说明】北京市石景山区2021届高三下学期3月统一练习（一模）数学试题含答案.doc，共(16)页，1.137 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-e772988d0afd2bf5bbcf62e4fedbaea6.html

以下为本文档部分文字说明：

石景山区2021年高三统一练习数学本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项

．（1）已知集合1,3,5A=，2|160Bxx=−，则AB=（A）1,3（B）3,5（C）{1,3,5}（D）0,4（）（2）下列函数中，是奇函数且最小正周期πT=的是（A）1()fxx=（B）3()fxx=（C）()2

sincosfxxx=（D）()sinfxx=（3）复数i1ia−在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是（A）(,1)−−（B）(,0)−（C）0+（，）（D）(1,)+（4）一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（5

）“直线l垂直于平面内无数条直线”是“直线l垂直于平面”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（6）已知菱形ABCD的边长为a，60ABC=，则BDCD＝（A）232a−（B

）234a−（C）234a（D）232a（7）过抛物线24yx=的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若F是线段AB的中点，则|AB|=（A）1（B）2（C）3（D）4（8）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443等．那么在四位数中，回文数共

有（A）81个（B）90个（C）100个（D）900个（9）已知22,0,()32,0,xxfxxx−=−≤若|()|fxax≥在[1,1]x−上恒成立，则实数a的取值范围是（A）(,1][0,)−−+（B）[0,1]（C）[1,0]−（D）(1,0)−（10）瑞士著名

数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(1,3−)，点C(4,2−)，且其“欧拉线”与圆M：222()(3)xayar−+−+=相切．则圆M上的点到直线30xy

−+=的距离的最小值为（A）22（B）32（C）42（D）6第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）双曲线221169xy−=的离心率为__________．（12）已知函数()|ln|fxx=，若1(

)8af=，1()4bf=，(2)cf=，则,,abc从小到大排序为__________．（13）如图，如果每个横行上两数字之和相等，每个竖列上两个数字之和相等，请写出一组满足要求的不全相等的11122122,,,aaaa的值．1

1a=_______，12a=_______，21a=_______，22a=_______．（14）在锐角△ABC中，33,5,2sinacabA===，则B=__________，b=__________．

（15）海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过AI技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y（单位：米）随时间x（单位：小时）的变化规律为0.8sin2yx=+（

R），其中π0x≤≤；然后，假设某虚拟货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙．在此次模拟实验

中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________．①若π=6，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时；②若π=6，该货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时；③若=1，货船于1x=时进入港口后，立即进行货物卸载，则π

2x=时，船底离海底的距离最大；④若=1，货船于1x=时进入港口后，立即进行货物卸载，则2π3x=时，船底离海底的距离最大．11a12a21a22a三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）（本小题13分）如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，面A

BFE面CDEFEF=，ADED⊥，CDEA⊥．（Ⅰ）求证：CD∥平面ABFE；（Ⅱ）若EFED=，2=2CDEF=，求平面ADE与平面BCF所成的锐二面角的大小．FECDAB（17）（本小题13分）已知有限数列{}na共有

30项，其中前20项成公差为d的等差数列，后11项成公比为q的等比数列，记数列的前n项和为nS．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）,dq的值；（Ⅱ）数列{}na中的最大项．条件①：2521=4,=3

0,20aSa=；条件②：320220,36,9Saa==−=−；条件③：1212448,20,160Saa===．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（18）（本小题14分）某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其

线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门

店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响）（Ⅰ）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；（Ⅱ）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示

抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为1和2，线下日营业额和线

上日营业额的样本方差分别记为21S和22S．试判断1和2的大小，以及21S和22S的大小．（结论不要求证明）门店1门店2门店3门店4门店5门店6门店7门店8线下日营业额96.5199.514.516.520.512.5线上日营业额11.591

217192321.515（19）（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为(1,0)F，且经过点(2,0)A−和点(2,0)B．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）M和N是椭圆C上两个不同的点，四边形AMBN是平行四边形，直线AM、AN分别交y轴于

点P和点Q，求四边形APFQ面积的最小值．（20）（本小题15分）已知函数()()1exaxfxa+=R．（Ⅰ）当1a=−时，求()fx在0x=处的切线方程；（Ⅱ）已知()1fx≤对任意xR恒成立，求a的值．（21）（本小题15分）由m个正整数构成的有限集123{,,,,}mMaaaa=（其中

123maaaa），记12()mPMaaa=+++，特别规定()0P=，若集合M满足：对任意的正整数()kPM≤，都存在集合M的两个子集A，B，使得()()kPAPB=−成立，则称集合M为“满集”.（Ⅰ）分别判断集合1{1,2}M=与2{2,3}M

=是否为“满集”，请说明理由；（Ⅱ）若集合M为“满集”，求1a的值；（Ⅲ）若123,,,,maaaa是首项为1公比为2的等比数列，判断集合M是否为“满集”，并说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）石景山区2021年高三统一练习数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10

个小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案ACCBBDDBCA二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．（11）54；（12）cba（13）1,2,2,1答案不唯一；（14）π,76（15）①④．三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程

或演算步骤．（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）在五面体ABCDEF中，因为面ABCD是正方形，所以CD∥AB．又因为AB平面ABFE，CD平面ABFE，所以CD∥平面ABFE．（Ⅱ）因为面ABCD是正方形，所以CD⊥AD.又因为CD⊥AE.又

ADAEA=，所以CD⊥平面ADE又因为DE平面ADE，所以CD⊥DE．因为面ABCD是正方形，所以CDAD⊥．又因为AD⊥DE，所以以点D为坐标原点，DA,DC,DE分别为x,y,z轴，如图建立空间直角坐

标系．因为=22,CDEFEFED==(0,0,0)D，(2,0,0)A，(2,2,0)B,(0,2,0)C，(0,0,1)E.由（Ⅰ）CD∥平面ABFE，CD平面CDEF，平面CDEF平面ABFEEF=，所以CD∥EF．所以12EFDC=.可得(

0,1,1)F.由题意知平面ADE的法向量为(0,2,0)DC=设平面BCF的法向量为(,,)nxyz=.由0,0,nBCnFC==得20,0,xyz−=−=令1y=，得=1z，0x=

,所以(0,1,1)n=设平面ADE与平面BCF所成锐二面角为.cos=22222DCnDCn==．所以平面ADE与平面BCF所成锐二面角为π4（17）（本小题13分）选择条件①：2521=4,=30,20aSa=解：（Ⅰ）因为{}na的前20项成

等差数列，25=4,=30aS，所以114,545302adad+=+=，解得12,2ad==．所以20=2192=40a+．因为数列{}na后11项成公比为q的等比数列，所以21

2012aqa==．综上，12,2dq==．（Ⅱ）{}na的前20项成等差数列，d0．所以前20项为递增数列．即:前20项的最大项为2040a=．数列{}na的后11项成等比数列，12q=，所以后11项

是递减数列．即:后11项的最大项为2040a=综上，数列{}na的最大项为第20项，其值为40．选择条件②：320220,36,9Saa==−=−解：（Ⅰ）因为{}na的前20项成等差数列，3200,36Sa==−，所以1133

0,1936adad+=+=−，所以122.ad==−，因为数列{}na后11项成公比为q的等比数列，2036a=−，又因为229a=−，2222014aqa==所以12q=．综上，12,2d

q=−=．（Ⅱ）{}na的前20项成等差数列，d0．所以前20项为递减数列．前20项的最大项为12a=．因为12q=．i.当12q=时，20136(2030)2nnann−=−N≤≤且，所以当2030n时，0na．此时，数列{}na的最大项为第1项，其值为

2；ⅱ.当12q=−时，20136(2030)2nnann−=−−N≤≤且，后11项的最大项为2118a=.此时，数列{}na的最大项为第21项，其值为18．综上，当12q=时，数列{}n

a的最大项为第1项，其值为2；当12q=−时，数列{}na的最大项为第21项，其值为18．选择条件③：1212448,20,160Saa===解：（Ⅰ）因为数列{}na后11项成公比为q的等比数列，212420,160aa==，所以3

24218aqa==，解得2q=．所以212010aaq==．又因为{}na的前20项成等差数列，1148Sa==，所以2012201aad−==−−．综上，2,2dq=−=．（Ⅱ）{}na的前20项成等差数列，d

0．所以前20项为递减数列．前20项的最大项为148a=．{}na的后11项成等比数列，而2010a=，2q=，20102(2030)nnann−=N≤≤且，所以后11项为递增数列．后11项的最大项为3010240a=综上，数列{}na的最大项为第30项，其值为10240．（18）

（本小题14分）解：（Ⅰ）设“抽取的3个门店的线下日营业额均达标”为事件A，由题意知，8个样本门店中线下日营业额达标的有3家，所以33381()56CPAC==.所以抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率为156.（Ⅱ）由题

意，8个样本门店中线下日营业总额达标的有4家，所以从该地区众多门店中任选1个门店，日营业总额达标的概率为12.依题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.0033111(0)()(1)228PXC==−=；123113(1)()(1)228PXC==−=；22

3113(2)()(1)228PXC==−=；3303111(3)()(1)228PXC==−=.所以随机变量X的分布列为：其数学期望13313012388882EX=+++=.（Ⅲ）221212,SS=.（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由已知2a=，1c=，所以2223ba

c=−=.所以椭圆C的方程为22143xy+=.（Ⅱ）因为四边形AMBN是平行四边形，所以AB与MN的中点重合，所以M、N关于原点对称.设11(,)Mxy，则11(,)Nxy−−.（1120xy且）112AMyk

x=+，直线AM的方程为11(2)2yyxx=++，令0x=，得1122yyx=+，即112(0,)2yPx+,又112ANykx=−，直线AN的方程为11(2)2yyxx=+−，令0x=，得1122yyx=−，即112(0,)2yQx−.四边形APFQ面积为13||||||

22AFPQPQ=，1112111228||||||224yyyPQxxx=−=+−−.因为点M在椭圆上，所以2211143xy+=，11330yy−≤≤且.所以2211443xy−=−.X0123P18383818所以16||||PQy=.所以当13y=时，m

in||23PQ=.所以四边形APFQ面积的最小值为33.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当1a=−时，1()exxfx−=，2()exxfx−=，所以(0)1f=，(0)2f=−切线l的斜率为(0)2kf==−.所以()fx在0x=处的切线方程为21yx=−+.（Ⅱ）依题意

，()1fx≤对任意xR恒成立，2(1)e(1)(e)1()=(e)exxxxaxaxaxafx+−+−+−=当0a=时，1()exfx=−，由于e0x，则()0fx恒成立，所以()fx在R

内单调递减，因为(0)1f=，故当0x时，()1fx，不符合题意.当0a时，令()0fx=，得11xa=−当0a时，110xa=−，因为(0)1f=，那么,(),()xfxfx的变化情况如下表：x1(,1)a−−11a−1(1,)a−

+()fx−0+()fx单调递减极小值单调递增所以结合()fx的单调性知：当0x时，()1fx，不符合题意.当0a时，,(),()xfxfx的变化情况如下表：x1(,1)a−−11a−1(1,)a−+()fx+0−()fx单调递增极大值单调

递减当01a时，110xa=−，因为(0)1f=，所以结合()fx的单调性知当11,0)xa−（时，()1fx，不符合题意.当1a时，110xa=−，因为(0)1f=，所以结合()fx的单

调性知当10,1)xa−（时，()1fx，不符合题意.当1a=时，110a−=.由()fx的单调性可知，max()=(0)1fxf=，所以符合题意.综上，1a=.（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）1

M是满集，2M不是满集.1()3PM=，且1M的子集为,{1},{2},{1,2}1,({1})()kkPP==−，2,({2})()kkPP==−，3,({1,2})()kkPP==−所以1M是满集；2()

5PM=，且2M的子集为,{2},{3},{2,3}4k=时不存在集合M的两个子集A、B，使得4()()PAPB=−)成立，所以2M不是满集.（Ⅱ）设0()kPM=，因为集合M为“满集”对任意的正整数()kPM，都存在集合M的两个子集A、B，使得()()kP

APB=−)成立.则01()()kPAPB−=−，且()0PB，所以0()PAk=或0()1PAk=−.当0()PAk=时()1PB=，此时11a=；当0()1PAk=−时()0PB=，因为123m

aaaa，所以2maa++为最大01k−，此时11a=.综上11a=.（Ⅲ）集合M是满集.由题意知集合1{1,2,4,,2}mM−=，12()2112mmPM−==−−，对任意的正整数21mk−，根据二

进制可知，12222siiik=+++（10siim）.取21{2,,2,2}siiiA=，B=.即()()kPAPB=−，所以集合M为“满集”.【若有不同解法，请酌情给分】