【文档说明】重庆市清华中学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 含答案.doc，共(9)页，806.000 KB，由小赞的店铺上传

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重庆市清华中学高二下学期期中考试数学试题一、选择题（共60分，1-8为单选题，9-12为多选题）1.i为虚数单位，已知复数21(1)aai−+−是纯虚数，则a等于（）A.B.1C.1−D.02.已知随机变量X的分布列如下，则p=（）X0123P11213

16pA.112B.16C.13D.5123.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A.6B.12C.24D.484.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分).

甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩

不低于85分”记为事件B，则P(AB)，P(A|B)的值分别是A.14，59B.14，49C.15，59D.15，495.已知某批零件的长度误差（单位：mm）服从正态分布()20,3N，若()330.6826P−

=，()660.9544P−=，现从中随机抽取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率()36=P（）A.0.1359B.0.2718C.0.3174D.0.04566.在二项式()251(1)xxx++−的展

开式中,含4x项的系数是A.25−B.5−C.5D.257.设函数()fx在R上可导，其导函数为()fx，且函数()()1yxfx=−的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.()fx有极大值()2f−B.()fx有极小值()2f−C.()fx有极

大值()1fD.()fx有极小值()1f8.已知定义域为(0,)+的函数()fx满足2()1()fxfxxx+=，且2(e)fe=，e为自然对数的底数，若关于x的不等式()20fxaxxx−−+恒成立，则

实数a的取值范围为（）A.[1,)+B.[2,)+C.e2,e++D.32e2e2,e−+++多选题：9.对于6212xx−的展开式，下列说法正确的是（）A.展开式共有6项B.展开式中的常数项是240C.展开式的二项式系数之和为64D

.展开式的各项系数之和为110.下列命题为真命题的是（）A.若12,zz为共轭复数，则12zz为实数B.复数5i2−的共轭复数为2i−−C.若m为实数，则“213m”是“复数(3i)(2i)m+−+在复平面内对应的点位于第四象限”的充要件条D.若

i为虚数单位，n为正整数，则43iin+=11.下列函数在定义域上为增函数的有（）A.4()2fxx=B.()xfxxe=C.()cosfxxx=−D.()2xxfxeex−=−−12.已知函数()esinxfxax=+，则下

列说法正确的是（）A.当1a=−时，()fx在(0,)+单调递增B.当1a=−时，()fx在(0,(0))f处的切线为x轴C.当1a=时，()fx在(,0)−存在唯一极小值点0xD.当1a=时，()fx在(,0)−一定存在零点二、填空题（共20分）13.已知()31fxxx=−

+的导函数为()fx，则()1f−=________14.设随机变量1~6,2XB，则它的方差()DX=______.15.在8张奖券中有一、二、三等奖各一张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给甲、乙、丙、丁4个人

，每人两张，则甲获奖的概率为___________.16.已知函数3()2fxxaxa=++，过点(1,0)M−引曲线:()Cyfx=的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，且||||MAMB=，则a=__，设0x是函数()fx的极大值点，则0x=__．三、解答题

（共70分）17.已知函数f（x）＝3213xax−﹣3x在点（1，f（1））处的切线与直线4x+y﹣5＝0平行．（1）求a的值；（2）求函数f（x）在区间[﹣4，4]的最大值和最小值．18.某湿地公园经过近十年的规划和治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数

量，将其分成面积相近的300个地块，并设计两种抽样方案，方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；依据抽样数据计算得到相应的相关系数0.81r=；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区，调查得到样本数据(),iixy（1i=

，2，…，30），其中ix和iy分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得30160iix==，3011200iiy==，()302190iixx=−=，()30218000iiyy=−=，()()301800iiixxyy

=−−=.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求方案二抽取的样本(),iixy（1i=，2，…，30）的相关系数（精确到0.01）；并判定哪种

抽样方法更能准确的估计.附：相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，21.414；相关系数0.75,1r，则相关性很强，r的值越大，相关性越强.

19.一个盒子里装有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒子中随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率，（2）从盒子中随机取出3个球，其中红球个数分别记为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20.设函数()()2l

n1fxxxax=−−+.（1）若()fx在区间)1,+上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在正数0x，使得()001lnfxx−成立，求实数a的取值范围.21.2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称

“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划上要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两

所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为12，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为1263m，,，其中01m.（1）若23m=，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门

科目的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的范围.22.2()ln3fxxxx=+−．（1）求()fx的零点个数；（2）使不等式2()(2)ln1fxxkxxxb+−−−−对任意[1,

e]x恒成立时最大的k记为c，求当[1,2]b时，bc+的取值范围．重庆市清华中学高二下学期期中考试数学试题答案版一、选择题（共60分，1-8为单选题，9-12为多选题）1.i为虚数单位，已知复数2

1(1)aai−+−是纯虚数，则a等于（）A.B.1C.1−D.0【答案】C2.已知随机变量X的分布列如下，则p=（）X0123P1121316pA.112B.16C.13D.512【答案】D3.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.

若小明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（）A.6B.12C.24D.48【答案】B4.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分).甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,

83乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(A

B)，P(A|B)的值分别是A.14，59B.14，49C.15，59D.15，49【答案】A5.已知某批零件的长度误差（单位：mm）服从正态分布()20,3N，若()330.6826P−=，()660.9544P−=，现从中随机抽取一件

，其长度误差落在区间()3,6内的概率()36=P（）A.0.1359B.0.2718C.0.3174D.0.0456【答案】A6.在二项式()251(1)xxx++−的展开式中,含4x项的系数是A.25−B.5−C.5

D.25【答案】B7.设函数()fx在R上可导，其导函数为()fx，且函数()()1yxfx=−的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.()fx有极大值()2f−B.()fx有极小值()2f−C.()fx有极大值()1fD.()fx有极小值()1f【答案】A8.已知定义域为(0

,)+的函数()fx满足2()1()fxfxxx+=，且2(e)fe=，e为自然对数的底数，若关于x的不等式()20fxaxxx−−+恒成立，则实数a的取值范围为（）A.[1,)+B.[2,)+C.e2,e++D.32e2e2,e−+++

【答案】B多选题：9.对于6212xx−的展开式，下列说法正确的是（）A.展开式共有6项B.展开式中的常数项是240C.展开式的二项式系数之和为64D.展开式的各项系数之和为1【答

案】BCD10.下列命题为真命题的是（）A.若12,zz为共轭复数，则12zz为实数B.复数5i2−的共轭复数为2i−−C.若m为实数，则“213m”是“复数(3i)(2i)m+−+在复平面内对应的点位于第四象限”的充要

件条D.若i为虚数单位，n为正整数，则43iin+=【答案】AC11.下列函数在定义域上为增函数的有（）A.4()2fxx=B.()xfxxe=C.()cosfxxx=−D.()2xxfxeex−=−−【答案】CD12.已知函数()esin

xfxax=+，则下列说法正确的是（）A.当1a=−时，()fx在(0,)+单调递增B.当1a=−时，()fx在(0,(0))f处的切线为x轴C.当1a=时，()fx在(,0)−存在唯一极小值点0xD.当1a=

时，()fx在(,0)−一定存在零点【答案】ACD二、填空题（共20分）13.已知()31fxxx=−+的导函数为()fx，则()1f−=________【答案】－414.设随机变量1~6,2XB

，则它的方差()DX=______.【答案】3215.在8张奖券中有一、二、三等奖各一张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给甲、乙、丙、丁4个人，每人两张，则甲获奖的概率为___________.【答案】91416.已知函

数3()2fxxaxa=++，过点(1,0)M−引曲线:()Cyfx=的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，且||||MAMB=，则a=__，设0x是函数()fx的极大值点，则0x=__．【答案】①.274−②.324

−三、解答题（共70分）17.已知函数f（x）＝3213xax−﹣3x在点（1，f（1））处的切线与直线4x+y﹣5＝0平行．（1）求a的值；（2）求函数f（x）在区间[﹣4，4]的最大值和最小值．【答案】

（1）1，（2）最大值为53，最小值为763−18.某湿地公园经过近十年的规划和治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的300个地块，并设计两种抽样方案，方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；

依据抽样数据计算得到相应的相关系数0.81r=；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区，调查得到样本数据(),iixy（1i=，2，…，30），其中ix和iy分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得30160iix==，3

011200iiy==，()302190iixx=−=，()30218000iiyy=−=，()()301800iiixxyy=−−=.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区

这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求方案二抽取的样本(),iixy（1i=，2，…，30）的相关系数（精确到0.01）；并判定哪种抽样方法更能准确的估计.附：相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−

，21.414；相关系数0.75,1r，则相关性很强，r的值越大，相关性越强.【答案】（1）12000；（2）0.94r=，方案二的分层抽样方法更能准确的估计.19.一个盒子里装有9个球，其中有

4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒子中随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率，（2）从盒子中随机取出3个球，其中红球个数分别记为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）518；（2）

分布列见解析；43.20.设函数()()2ln1fxxxax=−−+.（1）若()fx在区间)1,+上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在正数0x，使得()001lnfxx−成立，求实数a的取值范围.【答案

】（1）(,1−−；（2）)0,+21.2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划上要选拔培养有志于服务国家重大战

略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为12，该考生

报考乙大学，每门科目通过的概率依次为1263m，,，其中01m.（1）若23m=，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，当该考

生更希望通过乙大学的笔试时，求m的范围.【答案】（1）38，718；（2）213m.22.2()ln3fxxxx=+−．（1）求()fx的零点个数；（2）使不等式2()(2)ln1fxxkxxxb+−−−−对任意[1,e]x恒成立时最大的k记为c，求当[1,2]b时，bc+的取

值范围．【答案】（1）1个；（2）4[2,2]e+．