【文档说明】重庆市铜梁中学、江津中学等七校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.973 MB，由envi的店铺上传

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2024—2025学年度上期高二半期七校联考数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题

目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回.第I卷（选择题共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．）1.已知直线():lxaa=R，则直线l的倾斜角为（）A.0B.π2C.πD.不存在【答案】B【解析】【分析】根据直线l的方程可得出其倾斜角.【详解】因为直线l的方程为()xaa=R，故lx⊥轴，所以，直线l

的倾斜角为π2.故选：B.2.已知双曲线C的虚轴长为2，一个焦点为()17,0，则C的渐近线方程为（）A.14yx=B.21313yx=C.4yx=D.132yx=【答案】A【解析】【分析】根据题意求出a、b的值，即可得出双曲线C的渐近线方程.【详解】由题意可知，双曲线C的焦点在x轴上，设

其标准方程为()222210,0xyabab−=，由题意可得222217bab=+=，解得41ab==，故双曲线的渐近线方程为14byxxa==.故选：A.3.直线l的一个方向向量为()4,2,2m=−，平面的一个法向量

为()2,1,nx=−，若//l平面，则x=（）A.5−B.5C.1−D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意可得mn⊥，结合空间向量数量积的坐标运算可求得x的值.【详解】直线l的一个方向向量为()4,2,2m=−，平面的一个法向

量为()2,1,nx=−，因为//l平面，则mn⊥，所以，8222100mnxx=−−+=−=，解得5x=.故选：B.4.在平行六面体1111ABCDABCD−中，2ABAD==，13AA=，90BAD=，1160BAADAA==，则1AC=（）A.25B.26C.

29D.37【答案】C【解析】【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得1AC的长.【详解】如下图所示：由题意可得,90ABAD=，11,,60ABAAADAA==，由空间向量数量积的定义可得0ABAD=uuuruuur，111cos602332A

BAAABAA===，同理可得13ADAA=，由空间向量的平行六面体法则可得11ACABADAA=++，所以，()()2222111112ACABADAAABADAAABADABAAADAA=++=+++++()449203329=++++

+=，即129AC=.故选：C.5.已知抛物线2:8Cyx=，过点()1,1M作弦AB，弦AB恰被点M平分，则弦AB所在直线的斜率为（）A.12B.2C.14D.4【答案】D【解析】【分析】利用点差法可求得直线AB的斜率.【详解】设点𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)，因为点�

�(1,1)为线段AB的中点，则122xx+=，122yy+=，若直线ABx⊥轴，则线段AB的中点在x轴上，不合乎题意，由题意可得21122288==yxyx，将这两个等式作差可得()()()1212128yyyyxx−+=−，即()()121228y

yxx−=−，所以，直线AB的斜率为12124yyxx−=−.故选：D.6.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，侧面PDC是正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为线段PC的中点.记异面直线AP与BE所成角为，则cos

的值为（）A.64B.64−C.104D.104−【答案】C【解析】【分析】根据题意，过P作PODC⊥，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及异面直线的夹角公式，代入计算，即可求解.【详解】过P在平面PDC内作PODC⊥，垂足为点O，因为侧面

PDC是正三角形，所以O是CD的中点，又因为平面PDC⊥底面ABCD，平面PCD平面ABCDCD=，PO平面PDC，所以⊥PO底面ABCD，以O为坐标原点，DA、OC、OP的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设2AB=，则()

2,1,0A−、()2,1,0B、()0,0,3P、130,,22E，则()2,1,3AP=−，132,,22BE=−−，所以，13451022coscos,4225210APBEAPBEAPBE−+=====，故选：C.7.已知两点()

,0Ma、()(),00Naa，若圆()()22524xy−+−=上存在点P，使90MPN=，则a的取值范围为（）A.(0,5B.1,5C.2,5D.1,4【答案】B【解析】【分析】设点(),

Pxy，求出点P的轨迹方程为()222=+axaxy，可知圆222xya+=与圆()()22524xy−+−=有公共点，利用圆与圆的位置关系看得出关于a的不等式组，由此可解得正实数a的取值范围.【详解】设点(),Pxy，则(),MPxay=−，(),NPxay=+，因

为90MPN=，则MPNP⊥，所以，()()20MPNPxaxay=−++=，化简可得222xya+=，故点P的轨迹方程为()222=+axaxy，由题意可知，圆222xya+=与圆()()22524x

y−+−=有公共点，两圆圆心距为()()2250203d=−+−=，所以，22ada−+，即232aa−+，因为0a，解得15a，即实数a的取值范围是1,5.故选：B.8.若(,0)Fc是双曲线22221(0,0)xyabab−=

的右焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于,AB两点（A为垂足，F在线段AB上），且满足||8||BFAF=，则该双曲线的离心率e=（）A.54B.85C.53D.43【答案】D【解析】【分析】根据垂直关系写出过点F

的直线AB的方程，分别联立直线AB与两渐近线的方程求出点A、B的横坐标，由||8||BFAF=知8BFFA=，从而得()8BAcxxc−=−，带入Ax、Bx可得a、c的关系式，化简方程即可求得离心率.【详解】由题意知双曲

线的渐近线方程为：byxa=，设过点(,0)Fc与渐近线垂直的方程为()ayxcb=−−，由()byxaayxcb==−−，得2Aaxc=，由()byxaayxcb=−=−−，

得222Bacxab=−，因为||8||BFAF=，所以8BFFA=，则()8BAcxxc−=−，所以22228acaccabc−=−−，化简得4224925160caca−+=，即42925160ee

−+=，解得21e=（舍去）或2169e=，则43e=.故选：D【点睛】与斜率为k的直线垂直的直线斜率为1k−.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分

，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9.已知12,FF是椭圆22:154xyC+=的左、右焦点，,AB是左、右顶点，P为C上异于,AB的一点，延长1PF交椭圆于点Q，则下列结论正确的是（）A.椭

圆C的离心率55e=B.||PQ的最小值为455C.12FPF的周长为252+D.12FPF的面积的最大值为1【答案】AC【解析】【分析】由离心率的定义可得A正确；由通径长可得B错误；由椭圆的定义可得C正确；当点P在上顶点时面积最大可得D错误；【详解】对于A，由题意可得225,1acab==−

=，所以55cea==，故A正确；对于B，||PQ的最小值为椭圆的通径长22248555ba==，故B错误；对于C，由椭圆的定义可得12FPF的周长为121222252PFPFFFac++=+=+，故C正确；对于D，因为1222FFc==，当三角形的高最大时面积最大，即点P为短轴端点时面积

最大，所以12FPF的面积的最大值为121122222FFb==，故D错误；故选：AC.10.已知动点(),Mxy与两定点()0,0O、()3,0A的距离之比为12，设动点M的轨迹为C，下列结论正确的是（）A.C的方程为()2214xy−+=B.MAO△面积的最大值为3C.MA

O最大时，23MA=D.设()3,3P，则12MPMA+的最小值为32【答案】BCD【解析】【分析】根据已知距离之比建立关系即可得出轨迹方程，可判断A选项；易得M到OA的最大距离为2，即可求出MAO△最大面积

，可判断B选项；当MAO最大时，直线AM与圆()2214xy++=相切，利用勾股定理可判断C选项；由题意得出2MAMO=，当M为线段OP与圆C的交点时，12MPMA+取最小值，可判断D选项.【详解】对于A选项，设𝑀(𝑥,𝑦)，由题12MOMA=，即

()2222123xyxy+=−+，整理得()2214xy++=，A错；对于B选项，OAM△以OA为底，且M到OA的最大距离为半径2，所以OAM△面积的最大值是13232=，B对；对于C选项，当MAO最大时，此时，直线AM与圆()221

4xy++=相切，取点()1,0C−，则CMAM⊥，且4AC=，由勾股定理可得22224223AMACCM=−=−=，C对；对于D选项，由题意可得2MAMO=，则22133322MPMAMPMOOP+=+=+=，当且仅当M为线

段OP与圆C的交点时，等号成立，所以，12MPMA+的最小值为32，D对.故选：BCD.11.如图，在多面体ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且//DESA，22SAABDE===，M、N分别是线段BC、BS的中点，Q是线段DC上的一个动点（含端点D、C），则下列说法

正确的是（）A.存点Q，使得NQBS⊥B.存在点Q，使得//EQBSC.三棱锥QAMN−体积的最大值是13D.当点Q自D向C处运动时，直线DC与平面QMN所成的角逐渐增大【答案】ABD【解析】【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线

垂直判断A选项；利用共线向量的坐标表示可判断B选项；由QAMNNAMQVV−−=，求体积最大值判断C选项；向量法求线面角的正弦值的变化情况判断选项D.【详解】SA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，以A为坐标原点，A

B、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在由22SAABDE===，得𝐴(0,0,0)、()2,0,0B、()2,2,0C、()0,2,0D、()0,2,1E、()0,0,2S、()1,0,1N、()2,1,0M，对

于A，假设存在点()(),2,002Qmm，使得NQSB⊥，则()1,2,1NQm=−−，又()2,0,2SB=−，则()2120NQSBm=−+=，解得：0m=，即点Q与D重合时，NQSB⊥，A对；对于B，假设存在点()(),2,002Qmm，使

得//EQBS，因为()2,0,2BS=−，(),0,1EQm=−，因//EQBS，则存在R，使得EQBS=，即()(),0,12,0,2m−=−，所以，221m=−=−，解得112m==−，故当点Q为线段CD的中点时，//EQBS

，B对；对于C选项，连接AQ、AM、AN，设()02DQmm=，为因为22AMQABCDABMQCMADQmSSSSS=−−−=−，当0m=，即点Q与点D重合时，AMQS△取得最大值2，又点N到平面AMQ

的距离112dSA==，所以，()()maxmax122133QAMNNAMQVV−−===，C错；对于D，由上分析知()1,2,1NQm=−−，()1,1,1NM=−，()2,0,0DC=，若(),,nxyz=

是面QMN的法向量，则()1200nNQmxyznNMxyz=−+−==+−=，令1x=，则()1,2,3nmm=−−，设直线DC与平面QMN所成的角为，()()2222211sin21014532123222DCnDCnmmmmm====−++−+−−+因

函数()253222fxm=−+在[0,2]上单调递减，则当点Q自D向C处运动时，即m逐渐增大时，直线DC与平面QMN所成的角逐渐增大，D对.故选：ABD【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理

，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而不必作出线面角，则线面角满足sinhl=（l为斜线段长）

，进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，则线面角的正弦值为sincos,an=.第II卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知直线l：(1)290(R)mxymm−+

−−=，则直线l恒过定点_______.【答案】()2,11为【解析】【分析】把直线方程变形为关于m的方程，令2090xxy−=−+−=解出即可；【详解】由题意可得()290mxxy−−+−=，令2090xxy−=−+−=，解得2,11xy==，所以直线l恒过定点()2,11，故

答案：()2,1113.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为1CC的中点，则点1A到直线AE的距离为____________.【答案】423【解析】【分析】方法1：如图点1A到直线AE的距离为等腰三角形1AAE△边AE所对应的高，由

等面积法可得答案；方法2：如图建立空间直角坐标系，由空间向量知识可得答案.【详解】方法1：由正方体棱长为2，则1122ACAC==，又E为1CC的中点，则221113CECEAEAEACEC====+=，.点1A到直线AE的距离为等腰三角形1AAE△边AE

所对应的高h，取1AA中点为F，连接EF，则EF为边1AA上的高，则11111222422233AAEAAEFSAAEFAEhhAE=====；方法2：如图建立空间直角坐标系，则()()()10,0,00,0,22,2,

0AAC，，，()()12,2,22,2,1CE，，()()10,0,22,2,1AAAE==，.则1AA在AE上的投影向量为：122442,,9999AAAEnAEAEAE===.则1A到直线AE的距离2

2116164324248193dAAn++=−=−==.为故答案为：423.14.椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆()222:1024xyCb

b+=，1F、2F为其左、右焦点.M是C上的动点，点()0,2N，且1MNMF+的最大值为6，则b=____________.动直线l为椭圆C的切线，右焦点2F关于直线l的对称点为(),Pmn，则点P到直线620x

y++=的距离d的取值范围为____________.【答案】①.2②.1,9【解析】【分析】根据椭圆定义可得出122MFMFa+=，可得出122MNMFNFa++，当且仅当M为射线2NF与椭圆的交点时，等号成立，可求出a的值，进而可得出b，根据椭圆的光学性质可得出点P的轨迹

是以()12,0F−为圆心，半径为4的圆，结合圆的几何性质可求得d的取值范围.【详解】根据椭圆定义得122MFMFa+=，所以，12222MNMFMNMFaNFa+=−++，当且仅当M为射线2NF与椭圆的交点时，等号成立，因为1MNMF+的最大值为6，且2a=，则2222NFc=+=，

解得2c=，则22422bac=−=−=.设l切椭圆于点A，由椭圆的光学性质可得P、A、1F三点共线，111224FPFAAPFAAFa=+=+==，则点P的轨迹是以()12,0F−为圆心，半径为4的圆，所以，()

12,0F−到直线620xy++=的距离为26252−+=，由圆的几何性质可知，点P到直线620xy++=的距离最小值541−=，最大值549+=，即1,9d.故答案为：2；1,9.【点睛】方法点睛：圆锥曲

线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．四、解答题（本题共5小题，共77

分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知()0,2A、()1,1B、()2,2C−、()2,1D−四点.（1）求经过A、B、C三点的圆M的方程；（2）若直线l过点D且与圆M相切，求直线l的方程.【答案】（1）()()223225xy+++=（2）20x−=或1

25190xy+−=【解析】【分析】（1）设圆M的标准方程为()()()2220xaybrr−+−=，将点A、B、C的坐标代入圆M的的方程，求出a、b、2r的值，即可得出圆M的方程；（2）对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l的斜率不存在时，直接检验即可；在直

线l的斜率存在时，设直线l的方程为()12ykx+=−，利用点到直线的距离公式可得出关于k的方程，解出k的值，综合可得出直线l的方程.【小问1详解】设圆M的标准方程为()()()2220xaybrr−+−=，因为()0,2A、()1,1B、()2,2C−三

点都在圆M上，则()()()()()()222222222021122abrabrabr−+−=−+−=−+−−=，解得23225abr=−=−=，因此，圆M的方程为()()223225xy+++=.【小问2详解】由（1）可知

，圆M的圆心为()3,2M−−，半径为=5r,①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为2x=，此时，圆心M到直线l的距离为5，合乎题意；②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为()12ykx+=−，即210kxyk−−−=，因为直线l与圆M相切，所以，25151kk−+=+，解得

125k=−此时，直线l的方程为()12125yx+=−−，即125190xy+−=.综上，直线l的方程为20x−=或125190xy+−=.16.如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，2PAADAB===，M、N分别为AB、PC的

中点.（1）求证：MN⊥平面PCD；（2）求PB与平面PMC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）36【解析】【分析】（1）以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得

MN⊥平面PCD；（2）利用空间向量法可求得PB与平面PMC所成角的正弦值.【小问1详解】因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()002P,,、()2,2,0C、()0,2,0D、

()1,0,0M、()1,1,1N、()2,0,0B，()0,2,2PD=−，()2,0,0CD=−，()0,1,1MN=设平面PCD的法向量为(),,nxyz=，则22020nPDyznCDx=−==−=，令1y=，得()0,1,1n=，则//MNn，故MN⊥平面PC

D.【小问2详解】由（1）知()1,0,2PM=−，()1,2,0MC=，()2,0,2PB=−，设平面PMC的一个法向量为(),,mabc=，则2020mPMacmMCab=−==+=，令2a=，得()2,1,1m=−，设直线PB与平面PMC所成角为

，则423sin6226PDmPDm−===，即直线PB与平面PMC所成角的正弦值为36．17.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，点()03,Ay在抛物线C上，且4AF=.（1）求抛物线C的方程；（2）过点()2,0T的直线l与抛物线

C交于M、N两点，若点()1,1B−−满足1BMBN=，求直线l的方程.【答案】（1）24yx=；（2）24yx=−+.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义可求出p的值，由此可得出抛物线C的方程；（2）根据题意，设直线l的方程为2xmy=+，设点𝑀(𝑥1,𝑦1)、𝑁(𝑥2,𝑦2)

，将直线l的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得m的值，即可得出直线l的方程.【小问1详解】抛物线2:2(0)Cypxp=的准线方程为2px=−，因为点()03,Ay在抛物线C上，且4AF=，由抛物线的定义

可得342pAF=+=，解得2p=，因此，抛物线C的方程为24yx=.【小问2详解】若直线ly⊥轴，则直线l与抛物线C有且只有一个交点，不合乎题意，故可设直线l的方程为2xmy=+，设点𝑀(𝑥1,𝑦1)、𝑁(

𝑥2,𝑦2)，由224xmyyx=+=，整理得2480ymy−−=，则216320m=+，由韦达定理可得124yym+=，128yy=−，因为()()11111,13,1BMxymyy=++=++，()()22221,13

,1BNxymyy=++=++，所以()()()()121233111BMBNmymyyy=+++++=，即()()()2121213190myymyy+++++=，即()()28143190mmm−++++=，即244

10mm++=，解得12m=−，因此，直线l的方程为122xy=−+，即24yx=−+.18.如图1，已知正方形ABCD的边长为4，,EF分别为,ADBC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角，使得2AD=，点M是线

段AB上的动点（包含端点）.+（1）若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线//OD平面EMC；（2）是否存在点M，使二面角CEMF−−为60o？若存在，求出线段AM的大小；若不存在，请说明理由.【答案】（1）点O在EA的延长线上，

且2AO=，证明见解析（2）存在，线段AM为154【解析】【分析】（1）由题意点O在平面ABFE与平面ADE的交线上，延长EA，FM交于点O，连接OD，可得点O位置；连接DF交EC于点N，可得//MN

OD，从而可证；（2）取AE的中点H，连接DH，则DHAE⊥，可证DH⊥平面ABFE，过点H作直线//HTEF，以为坐标原点，以HA，HT，HD分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设出点M的坐标，利用向量法求解即可.【小

问1详解】直线MF平面ABFE，点O在平面ABFE内，也在平面ADE内，点O在平面ABFE与平面ADE的交线AE上，延长,EAFM交于点O，连接OD，如图所示，AO//BF，M为AB的中点，OAM△与FBM全等，,2

OMMFAOBF===，点O在EA的延长线上，且2AO=，连接DF交EC于点N，连接MN，四边形CDEF为矩形，N是DF的中点，MN为DOF的中位线，MN//OD，又MN平面EMC，OD平面EMC

，直线//OD平面EMC.【小问2详解】如图，由已知可得EFEA⊥，EFDE⊥，又EADEE=，,EADE平面ADE，⊥EF平面ADE，又EF平面ABFE，平面ABFE⊥平面ADE，2DEAEAD===，ADEV为等边三角形，取AE的中点H，连接D

H，则DHAE⊥，平面ABFE⊥平面ADE，平面ABFE平面ADEAE=，DH平面ADE，DH⊥平面ABFE，过点H作直线HT//EF，以H为坐标原点，以HA，HT，HD分别为,,xyz轴建立如图所

示的空间直角坐标系，则(1,0,0)E−，(0,0,3)D，(0,4,3)C，(1,4,0)F−，则(1,4,3)EC=，设(1,,0)Mt（04t），则(2,,0)EMt=，设平面EMC的法向量为(,,)mxyz=，则00mEMmEC==

，即20430xtyxyz+=++=，取=23y−，则3xt=，8zt=−，平面EMC的一个法向量为(3,23,8)mtt=−−，又平面ABFE的一个法向量为(0,0,1)n=，要使二面角CEMF−−的大小为60o，则22||81|cos,|2||||(3)12(8)mntmnm

ntt−===++−，解得154t=，存在点M，使二面角CEMF−−为60o，此时线段AM为154.19.已知O为坐标原点，12,FF是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点，C的离心率为12，点M是C上一点，1||MF的最小值

为1.（1）求椭圆C的方程；（2）已知,AB是椭圆C的左、右顶点，不与x轴平行或重合的直线l交椭圆C于,PQ两点，记直线AP的斜率为1k，直线BQ的斜率为2k，且212kk=.①证明：直线l过定点；②设APQ的面积为S，求S的最大值.【答案】（1）22143

xy+=（2）①证明见解析；②1669.【解析】【分析】（1）应用离心率公式及焦点到椭圆距离的最值列方程组求解2,3ab==，即可求出椭圆方程；（2）①设直线方程联立方程组得出韦达定理再应用斜率公式得出232PBkk=−，再结合韦达定理计算求出23n=即可得出定点；②先表示面积121||||2S

ANyy=−计算化简结合对勾函数得出最值.【小问1详解】由题可知，12cea==，1ac−=解得2,1ac==，223bac=−=，椭圆C的方程为22143xy+=.【小问2详解】①证明：设直线l的方程为(2)xtynn=+，1122)(,),(,PxyQxy，由22143

xyxtyn+==+得222(34)63(4)0tyntyn+++−=，222(6)4(34)3(4)0nttn=−+−，即22340tn−+，212122263(4),3434ntnyyyytt−+=−=++，11(,)Pxy在椭圆C上，2211

143xy+=，即22113(4)4yx=−，22111112211113(4)3422444PBxyyykkxxxx−====−+−−−，21322PBkkk==−，即232PBkk=−，1122)(,),(,Pxy

Qxy在直线l上，1122,xtynxtyn=+=+，2112122222121121222(2)(2)(2)()(2)PByyyyyykkxxtyntyntyytnyyn===−−+−+−+−++−222222223

(4)3(2)343(4)6(2)4(2)(2)3434nntntnntnntt−++==−−−−+−++，3(2)34(2)2nn+=−−，即23n=，此时2223234309tnt−+=+，直线l的方程为23xty=+，即直线l过定点2(,0)3.②解：记直线

l过定点2(,0)3N，(2,0)A−8||3AN=，212121214||||()423SANyyyyyy=−=+−，1212224321,34334tyyyytt+=−=−++，221212122141632732||||()423273

6tSANyyyyyyt+=−=+−=+221163427322732tt=+++，令22732[42,)mt=++，则1634Smm=+，4mm+在[42,)+上单调递增，当42m=时，S有最大值163166494242=+.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造对勾函数形式应用函数的单调性得出函数的最值进而求出面积的最大值.