【文档说明】吉林省长春市东北师范大学附属中学2022-2023学年高三下学期二模数学试题 含答案.docx，共(11)页，891.026 KB，由管理员店铺上传

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2020级高三第二次模拟考试（数学）学科试卷一、单项选择题（本题共8小题，每题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1．已知集合lgPyyx==，集合2Qxyx==+，则(

)PQ=Rð（）A．)2,0−B．(),2−−C．()0,+D．(),0−2．i为虚数单位，复数2i12iz+=−，复数z的共轭复数为z，则z的虚部为（）A．1−B．2−C．2i−D．i−3．已

知向量(),3am=，()1,bm=，若a与b方向相反，则3ab−=（）A．54B．48C．36D．434．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》．1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森

指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2023这2023个数中，能被7除余1且被9除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列n

a，则该数列的和为（）A．30014B．30016C．33297D．332995．一个圆雉的侧面展开图是半径为1的半圆，则此圆雉的内切球師表面积为（）A．B．2C．3D．46．已知cos1a=，sin11eb−=，34c=，则下列不等关

系正确的是（）A．acbB．abcC．cbaD．cab7．直线l的方程为()()()2130xy++−−=R，当原点O到直线l的距离最大时，的值为（）A．1−B．5−C．1D．58．函数()

()()sin0,0πfxx=+的部分图象如图，BCx∥轴，当0,4x时，不等式()sin2fxmx−恒成立，则m的取值范围是（）A．3,2−B．1,2−C．(,3−D．(,1−二、多项选择题：（本题共4小题，每小

题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．定义在R上的奇函数()fx满足()()3fxfx−=−，当0,3x时，()23fxxx=−，则下列结论正确的是（）A．()

()6fxfx+=B．6,3x−−时，()236fxxx=−−C．()()()202120232022fff+=D．()202312kfk==10．已知数列na，11a=，()21*12nnnaan−+=N，na的前n项的

和为nS，前n项的积为nT，则下列结论正确的是（）A．32a=B．114nnaa+−=C．21nnS=−D．()2122nnnT−=11．直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为菱形，60BAD=，12ABADAA===，P为1C

C中点，点Q在四边形11CDDC内（包括边界）运动，下列结论正确的是（）A．若1DQDCDD=+，且13+=，则四面体1ABPQ的体积为定值B．若AQ∥平面1ABP，则AQ的最小值为5C．若1ABQ△的外心为O，则11ABAO为定值2D．若17AQ=，则点Q的轨迹长度为312．已

知函数()lnxfxaa=，()()ln1gxax=−，其中0a且1a．若函数()()()hxfxgx=−，则下列结论正确的是（）A．当01a时，()hx有且只有一个零点B．当1e1ea时，()hx有两个零点C．当1eea时，曲线()yfx=与曲线(

)ygx=有且只有两条公切线D．若()hx为单调函数，则ee1a−三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）13．若1cos123+=，则32sin2+=______．14．如图

，单位向量OA，OB的夹角为2，点C在以O为圆心，1为半径的弧AB上运动，则CACB的最小值为______．15．已知函数()322xxfxx−=+−，若实数a，b满足()()22210fafb+−=，则212ab+的最大值为______．16．在平

面直角坐标系xOy中，已知动圆M的方程为()()()221211xayaa+++−+=R，则圆心M的轨迹方程为____________．若对于圆M上的任意点P，在圆O：224xy+=上均存在点Q，使得30

OPQ=，则满足条件的圆心M的轨迹长度为______．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题10分）如图，四边形ABCD中，90BAC=，30ABC=，ADCD⊥

，设ACD=．（1）若ABC△面积是ACD△面积的4倍，求sin2；（2）若6ADB=，求tan．18．（本小题12分）已知数列na的前n项和为nS，14a=，12nnanSn+=．（1）求数列na的通项公式；（2）记12nnnac=−，数列nc的前n项和为nT，求1

2111nTTT+++的值．19．（本小题12分）已知函数()()()2112ln2fxxaxax=+−+−，其中aR．（1）若1a=，求函数()fx的极值；（2）讨论函数()fx的单调性．20．（本小题12分）如图，等腰梯形ABCD中，ABCD∥，1ADA

BBC===，2CD=，E为CD中点，以AE为折痕把ADE△折起，使点D到达点P的位置（P平面ABCD）．（1）证明：AEPB⊥；（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为4，求平面APE与平面CP

E的夹角的余弦值．21．（本小题12分）已知圆M：()2244xy+−=，P是直线l：20xy−=上的动点，过点P作圆M的一条切线PA，A为切点．（1）当23PA=时，求点P的坐标；（2）设PAM△的外接圆为圆N，

当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．22．（本小题12分）已知函数()ecosaxfxx=，其中aR．（1）若2a=，求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（2）已知()

fx在区间()0,上存在唯一的极小值点．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）记()fx在区间()0,上的极小值为()ga，讨论函数()ga的单调性．2020级高三第二次模拟考试（数学）学科试卷答案一、选择题123456789101112BADCCABAACBC

DABBCD二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．）13．79−14．12−；15．3416．230xy++=；1255．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．解：（1）设ACa=，则3ABa=，s

inADa=，cosCDa=，由题意4ABCACDSS=△△，则1134cossin22aaaa=，所以3sin22=．（2）由正弦定理，ABD△中，sinsinBDABBADADB=，即()3

sinsin6BDa=−①BCD△中，sinsinBDBCBCDCDB=，即2sinsin33BDa=+②①÷②得：2sin3sin3+=，化简得3cos2sin=，所以3tan2=．18．解：（1）由12nnanSn+=得到21nnna

Sn=+，当2n时，()1121nnnaSn−−−=，两式相减，有()12121nnnnanaann−−=−+，得到()()12111nnnanann−−−=+，由于2n，121nnaann−=+，因为122a=，由上

述递推关系知01nan+，所以1nan+是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1221nnan−=+，所以()12nnan=+．（2）由（1）12nnnacn=−=，所以数列nc的

前n项和为()12nnnT+=，则()1211211nTnnnn==−++，所以121111111122122311nnTTTnnn+++=−+−++−=++．19．解析：（1）若1a=，则()

21ln2fxxx=−，()0,x+，()()()111xxfxxxx+−=−=，令()0fx=，得1x=．当()0,1x时，()0fx；当()1,x+时，()0fx．所以，()f

x在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+上单调递增．()fx不存在极大值；存在极小值，且极小值为()112f=．（2）()()()2121xaxafxxaxx−+−−=+−+=，()0,x+

．①若20a−，即2a，则令()0fx=，得1x=．当()0,1x时，()0fx；当()1,x+时，()0fx．所以，()fx在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+上单调递增．②若021a−，即23a，则令()0fx=，得1

x=或2xa=−．此时，()fx的单调性如下表所示：x()0,2a−2a−()2,1a−1()1,+()fx+0-0+()fx单增极大值单减极小值单增③若3a=，则当()0,x+时，()()210xfxx−=

，当且仅当1x=时，等号成立．此时，()fx在区间()0,+上单调递增．④若21a−，即3a，则令()0fx=，得1x=或2xa=−．此时，()fx的单调性如下表所示：x()0,11()1,2a−2

a−()2,a−+()fx+0-0+()fx单增极大值单减极小值单增综上：2a时，()fx在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+上单调递增；23a时，()fx在区间()0,2a−，()1,+上单调递增，在区间()2,1a−上单调递减；3a=时，()fx在区间

()0,+上单调递增3a时，()fx在区间()0,1，()2,a−+上单调递增，在区间()1,2a−上单调递减；20．解：（1）连接BD，设AE的中点为O，∵ABCE∥，12ABCECD==，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AEBCADDE===，∴ADE△，ABE△为等边

三角形，∴ODAE⊥，OBAE⊥，折叠后OPAE⊥，OBAE⊥，又OPOBO=，∴AE⊥平面POB，又PB平面POB，∴AEPB⊥（2）在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，∴直线PB与平面ABCE夹角为4PBO=，

又OPOB=，∴OPOB⊥，∴O，Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则30,0,2P，1,0,02E，31,,02C

，∴13,0,22PE=−，13,,022EC=，设平面PCE的一个法向量为()1,,nxyz=，则1100nPEnEC==，即1302213022xzxy−=+=，令3x=得()13,1,1n

=−，又OB⊥平面PAE，∴()20,1,0n=为平面PAE的一个法向量，设平面APE与平面CPE所成角为，则12121215coscos,55nnnnnn====，即平面APE与平面CPE的夹角的余弦值为55．21．解：（1）由题可

知圆M的圆心为()0,4M，半径2r=．设()2,Pbb，因为PA是圆M的一条切线，所以90MAP=．在RtMAP△中，222MPAMAP=+，故()222234MP=+=．又()()2220245816MPbbbb=−+−=−+所以258164bb

−+=，解得0b=或85．所以点P的坐标为()0,0或168,55．（2）因为90MAP=，所以PAM△的外接圆圆N是以MP为直径的圆，且MP的中点坐标为4,2bb+，所以圆N的方程为()()222244424bbbxby+−+−+−=，即

()()222440xybxyy+−−+−=．由2224040xyxyy+−=+−=，解得04xy==或8545xy==，所以圆N过定点()0,4和84,55．22．解析：（1）若2a=，则()2ecosxfxx=，()

()2e2cossinxfxxx=−，()01f=，()02f=．所以，曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程为21yx=+．（2）（i）()()ecossinaxfxaxx=−．①若0a=，则()cosfxx=，在区间()0,上单调递减，不存在极值点

．②若0a，则当,2x时，cossin0axx−，从而()0fx．由函数tanyx=的图象及性质，10,2x，使得1tanxa=，即11cossin0axx−=．当()10,xx

时，11cossincossin0axxaxx−−=，从而()0fx；当1,2xx时，11cossincossin0axxaxx−−=，从而()0fx．所以，()fx在()10,x上单调递增，在()1,x上单调递减，在()0,

上不存在极小值点．③若0a，则当0,2x时，cossin0axx−，从而()0fx．由函数tanyx=的图象及性质，,2t，使得tanta=，即cossin0att−=．当,2xt时，cos

sincossin0axxatt−−=，从而()0fx；当(),xt时，cossincossin0axxatt−−=，从而()0fx．所以，()fx在()0,t上单调递减，在(),t上单调递增．此时，xt=为()fx在区间()0,上的唯一的极小值点．综

上所述，实数a的取值范围为(),0−．（ⅱ）由（ⅰ），0a，()fx在()0,上的唯一的极小值点t满足：,2t且tanta=．由此，()()tanecosecosatttgafttt===．令函数()tanecosxxxx=，,2x，则

()()gat=，且()tantan2etancossine0coscosxxxxxxxxxxxx=+−=．所以，()x在区间,2上单调递减．下面证明函数()ga在区间(),0−上单调递减．对于任意的120aa，设当1aa=和2aa=时

，()fx在()0,上的极小值点分别为1t，2t，则1t，2,2t，且11tanta=，22tanta=．由12aa及函数tanyx=在,2上单调递增，有12tt．又由()x

在区间,2上单调递减，有()()()()1122gattga==．综上，对于任意的120aa，均有()()12gaga，即()ga在区间(),0−上单调递减．