【文档说明】云南省玉溪第一中学2021届高三上学期第二次月考数学（文）试题 【精准解析】.doc，共(21)页，1.614 MB，由小赞的店铺上传

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玉溪一中2020—2021学年上学期高三年级第一次月考数学学科试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i是虚数单位，则复数43ii−=（）A.34i−+B.34i−C.34i+D.34i−−【答案】D【解析】试题分析：因

为243ii(43i)34iiiz−−===−−，故选D.考点：复数的运算.2.已知集合4Axxa=−，()30Bxxx=−，02ABxx=，则a=（）A.2−B.0C.2D.4【答案】A【解析】【分析】确定集合,AB的元素，根据交

集的结果得出a的值．【详解】由题意，4Axxa=+，03Bxx=，又02ABxx=，故42a+=，得2a=−，故选：A．【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题．3.cos45cos15sin45sin15+=（）．A.12B.12−C.32D.32−

【答案】C【解析】由两角差的余弦函数，可得3cos45cos15sin45sin15cos(4515)302cos+=−==，故选C．4.已知双曲线的方程为22143xy−=，双曲线右焦点F到双曲线渐近线的距离为（）A.1B.2C.3D.2【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的方程

求得右焦点的坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意知，双曲线的右焦点为()7,0F，双曲线的渐近线方程为32yx=，即320xy−=，所以点()7,0F到渐近线的距离370334d−==+，故选：C.【点睛】本题

主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5.袋中有完全相同的4只小球，编号为1，2，3，4，现从中取出2只小球，则取出两只球编号之和是偶数的概率为（）A.13B.23C.15D.25【答案】A【解析】【分析】先求出在编号为1，

2，3，4的小球中任取2只小球的不同取法，再求出取出的2只球编号之和是偶数的不同取法，然后求概率即可得解.【详解】解：在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，则有1,2,1,3,1,4,2,3,2,4

,3,4,共6种取法，则取出的2只球编号之和是偶数的有1,3,2,4,共2种取法，即取出的2只球编号之和是偶数的概率为2163=，故选：A【点睛】本题考查了古典型概率公式，属基础题.6.若

对任意的xR都有()()23cossinfxfxxx+−=−，则函数()2fx的对称轴为（）A.4xk=+()kZB.8xk=+()kZC.24kx=+()kZD.28kx=+()kZ【答案】D【解析】【分析】用x−替换已知等式中的x，从而可求得函数()f

x的解析式，再由两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，利用正弦函数的对称中心求得结论．【详解】因为f(x)＋2f(－x)＝3cosx－sinx，所以f(－x)＋2f(x)＝3cosx＋sinx.解得f(x)＝cosx＋sinx＝2sin4x+

，所以f(2x)＝2sin24x+.令2()42xkk+=+Z，得x＝28k+(k∈Z).所以f(2x)图象的对称轴为28kx=+()kZ故选：D．【点睛】本题考查求三角

函数的对称性，解题是求出函数解析式并把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后再由正弦函数性质求解．7.若sincos1sincos2+=−，则tan2等于（）A.34−B.34C.43−D.43【答案】B【解析】【分析】先弦化切，再解方程求得tan3

=−，最后利用二倍角的正切公式求解即可.【详解】因为sincos1sincos2+=−所以tan1tan112−+=解得tan3=−可得22tan3tan21tan4==−故选：B.【点睛】本题主要考查同角三角

函数的关系，以及二倍角的正切公式，考查了转化思想与计算能力，属于基础题.8.已知函数()fx是定义域为R的偶函数，当0x时，()22fxxx=−，则()0xfx的解集为（）A.()()2,00,2−B.()()2,02,−+C.()(),20,2

−−D.()(),22,−−+【答案】B【解析】【分析】根据偶函数以及当0x时，()22fxxx=−,可得0x时的表达式,由此求得()xfx的解析式，再求解该不等式即可.【详解】∵()fx是定义域为R的偶函数，当0x时，()22fxx

x=−∴当0x时，0x−，所以22()()()22fxfxxxxx=−=−+=+.()32322,02,0xxxxfxxxx−=+，故()0xfx，分别求解，32200xxx−或32200xxx+即可得解为()()2,02,−+故选：B【点睛】本题考查

了利用函数的奇偶性求函数解析式,分段函数解不等式,属于中档题.9.干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法.它是用60组各不相同的天干地支标记年月日时的历法.具体的算法如下：先用年份的尾数查出

天干，如2013年3为癸；再用2013年除以12余数为9，9为巳.那么2013年就是癸巳年了.2020年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大25岁，问李东的父亲是哪一年出生（）A.甲子B.乙丑C.丁巳D.丙卯【答案】C【解析】【分析】根据

李东2002年出生，由李东的父亲比他大25岁，得到李东的父亲为1977年出生，即可求解.【详解】由题意，李东是壬午年出生，即2002年出生，因为李东的父亲比他大25岁，所以李东的父亲为1977年出生，即丁巳出生.故选：C.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理的应用，其中

解答中认真审题，结合数列的知识求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10.如果对于任意实数x，[]x表示不超过x的最大整数．例如[3.27]3=，[0.6]0=．那么“[][]xy=”是“||1xy−”的（）A.充分而不必要条件B.充要条件C

.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由取整定义可先确定,xy的取值范围，求出xy−的范围，可证充分条件成立；必要条件的验证则可通过列举反例来推翻【详解】若[][]xy=，可设,,

,,xayaaZxabyac===+=+，),0,1bc，xybc−=−又)((),0,11,0,1,1bccbc−−−−Q，，即||1xy−成立，充分条件成立；若||1xy−，如=1.5,2.4,xy=满足||1xy−，但1,2xy==，[][]xy，故必

要条件不成立；所以“[][]xy=”是“||1xy−”的充分而不必要条件故选A【点睛】本题考查新定义的理解，命题的充分和必要条件的判断，属于基础题11.在正方体1111ABCDABCD−中，点E为线段AB的中点，则异面直线

1AD与EC所成角的余弦值为（）A.12B.1116C.105D.155【答案】C【解析】【分析】分别连接1,BCBE，得到11//BCAD，把异面直线1AD与EC所成的角即为直线1BC与EC所成的角，在1BCE△中，结合余弦定理，即可求解.【详解】如图所示，分别连接1,BCBE，在正方体1111

ABCDABCD−中，点E为线段AB的中点，可得11//BCAD，所以异面直线1AD与EC所成的角即为直线1BC与EC所成的角，设1BCE=，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，可得222211122,215BCBCBBBEEC=+===+=，在1BCE△中，由余弦定理可得2222

22111(22)(5)(5)10cos252225BCECBEBCEC+−+−===.故选：C.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记正方体的几何结构特征，以及异面直线所成角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.12

.已知抛物线C：()220ypxp=，F为C的焦点，过焦点F且倾斜角为的直线l与C交于()11,Axy、()22,Bxy两点，则下面陈述不正确的为（）A.2121234xxyyp+=−B.22sinpAB=C.112AFBFp+=

D.记原点为O，则sinAOBpS=△【答案】D【解析】【分析】设:2plxmy=+，与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，代入,,ABC选项中进行整理可知,,ABC正确；2121||222sinAOBppSyy=−=△，知D错误.【详解】设直线:2plxmy=+，()11,

Axy，()22,Bxy，由222pxmyypx=+=得：2220ypmyp−−=，122yypm+=，212yyp=−，2221212224yypxxpp==，2121234xxyyp+=−，故A正确；当1tan

2m=时，()21212222ABAFBFxxpmyyppmp=+=++=++=+()221pm=+221221tansinpp=+=，当2=时，经检验22sinpAB=亦成立，故B正确；12121211112222xxpppppAFBFxxxx+++=

+=++++()122121224xxpppxxxx++=+++()122212424xxppppxx++=+++()121222xxpppxxp++==++，故C正确；当1tan2m=时，222121||12222sinAOBpppSyy

mα=−=+=△,当2=时，经检验22sinAOBpS=△亦成立，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线焦半径公式的应用、抛物线中三角形面积问题的求解等知识；本题中的各个选项属于抛物线问题中与过焦点的直线有关的常用结论，熟记结论

可减少计算证明时间.二、填空题：本题共4小题.13.曲线()21lnyxx=+在()1,0处的切线方程为______.【答案】220xy−−=【解析】【分析】根据导数的运算法则求出导函数，从而求出在()1,0处的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，

从而求出切线方程.【详解】2n'12lxxxxy+=+，当1x=时，切线斜率'2ky==，故切线方程为()21yx=−，即220xy−−=.故答案为：220xy−−=【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则，属于基础题.14.不等式组110220x

xyxy−+++表示的平面区域的面积是________.【答案】6【解析】【分析】不等式组110220xxyxy−+++表示的平面区域为三角形BCD及其内部的部分，求得C、B、D各个点的坐标，可得三角形BCD的面积．【详解】解：满足

约束条件110220xxyxy−+++的可行域如下图所示：所以()1,2B、()1,4C−、()1,0D−所以16262BCDS==故答案为：6【点睛】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．15.已知0,0ab，并且111,,

2ab成等差数列，则9ab+的最小值为_________.【答案】16【解析】由题可得：111ab+=，故1199(9)()1916ababababba+=++=+++16.已知定义在R上的函数()fx和()1fx+都是奇函数.①()fx周期T=________；②当

(0,1x时，()21logfxx=，若函数()()()sinFxfxx=−在区间1,m−上有且仅有10个零点，则实数m的取值范围是________.【答案】(1).2(2).7,42

【解析】【分析】根据题设条件，得到()()fxfx−=−和()(2)fxfx−=−+，进而得到()(2)fxfx=+，得出函数()fx是以2为周期的周期函数，再把函数()()()sinFxfxx=−在区间1,m−上有且仅有10个零点，转化为函数()yfx=与()sinyx=的图象在区间

1,m−上有且仅有10个不同的交点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数()fx为定义域R上的奇函数，可得()()fxfx−=−，又由()1fx+都是奇函数，可得函数()fx关于(1,0)点对称，即()(2)fxfx−=−+，联立可得()(2)fxfx=+，即函数()fx是以2为周期

的周期函数，即2T=；因为函数()()()sinFxfxx=−在区间1,m−上有且仅有10个零点，即函数()0Fx=在区间1,m−上有且仅有10个根，即函数()yfx=与()sinyx=的图象在区间

1,m−上有且仅有10个不同的交点，又由当(0,1x时，()21logfxx=，当[1,0)x−时，则(0,1x−，所以()()21logfxfxx=−−=−−，且(0)0f=，所以()()

221log,0,1001log,1,0xxfxxxx==−−−，在同一坐标系内画出()yfx=与()sinyx=图象，如图所示，又由当(0,1x时，令()1fx=，即21log1x=，

解得12x=，结合图象，可724m，即实数m的取值范围是7,42.故答案为：2，7,42.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中熟练应用对数函数和三角函数的图象与

性质，以及把函数的零点个数问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.2019年底，湖北省武汉市等多个地

区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者.为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史

），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据.（1）请将列联表填写完整：有接触史无接触史总计有武汉旅行史27无武汉旅行史18总计2754（2）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行

史与有确诊病例接触史有关系？附：22(),()()()()nadbcKnabcdabcdacbd−==+++++++()2PKk…0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）列联表见解析；（2）能【解析】【分析】（1）根据表格可得有

武汉旅行史且有接触史的有9人，有武汉旅行史且无接触史的有18人，可以完成表格；（2）根据列联表计算卡方，根据参考数据可以得出结论.【详解】（1）请将该列联表填写完整：有接触史无接触史总计有武汉旅行史91827无武汉旅行史18927总计272754（2）根据列联表中的数

据，由于2254(991818)27272727K−=22454(918)(918)27−+=2245492727=22927=65.024=.因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史

有关系.【点睛】本题主要考查独立性检验，题目较为简单，独立性检验根据公式计算卡方是求解的关键，侧重考查数据处理的核心素养.18.已知锐角三角形ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且2coscosabBc

C−=（1）求角C的大小．（2）求函数sinsinyAB=+的值域．【答案】（1）3C=；（2）3(,3].2y.【解析】【分析】（1）由2coscosabBcC−=利用正弦定理得2sincossincossincosACBCCB−=，根据两角和的正弦公式及诱

导公式可得1cos2C=，可求出C的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.【详解】（1）由2coscosabBc

C−=，利用正弦定理可得2sincossincossincosACBCCB−=，可化为()2sincossinACsinCBA=+=，1sin0,cos2AC=0,,23CC=.（2）sinsin3yAsinBAsinA=+=+−−

31sincossin3226AAAsinA=++=+，2,032ABA+=，62A，23,,136362AsinA++，3,32y.19.已知四边形ABCD为矩形，4=A

D，2AB=，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA⊥面ABCD.（Ⅰ）求证：PFFD⊥；（Ⅱ）设点G在PA上，且//EG面PFD，试确定点G的位置.【答案】（1）证明略（2）G点的位置在PA上靠近A点的四等分点处.【解析】【详解】(1)连接AF,在矩形ABCD中,∵4,2,ADAB==点F是

BC的中点,∴45AFBDFC==,∴90AFD=,即AFFD⊥,又∵PA⊥平面ABCD,∴PAFD⊥,又∵AFPAA=,∴FD⊥平面PAF,∵PF平面PAF,∴.PFFD⊥(2)过E作//EHFD交AD于H,FD面PFD,EH面PFD,则//EH面PF

D,且1.4AHAD=过H作//HGPD交PA于G,同理可得//GH面PFD且14AGPA=,GHEHH=,∴面//EHG面PFD,EG面EHG,可得//EG面PFD，从而点G满足14AGPA=,即G点的位置在PA上靠近A点的四等分点处.20.已知函数

()ln()fxaxxxaR=+．（1）若函数()fx在区间),e+上为增函数，求a的取值范围；（2）当1a=且kZ时，不等式()()1kxfx−在()1,x+上恒成立，求k的最大值．【答

案】（1）)2,−+；（2）max3k=．【解析】【分析】（1）函数()fx在区间),e+上为增函数，转化为xe时，()1ln0fxax=++恒成立，即可求解实数a的取值范围；（2）把不等式()()1kxfx−在()1,x+上恒成

立，转化为ln1xxxkx+−对任意1x恒成立，构造新函数()ln1xxxgxx+=−，利用导数求解()gx的最小值，即可求解k的最大值．【详解】试题解析：（1）∵()lnfxaxxx=+，又函数()fx在区间),e+上为增函数，

∴当xe时，()'1ln0fxax=++恒成立，∴()max1ln1ln2axe−−=−−=−，即a的取值范围为)2,−+；（2）当1x时，10x−，故不等式()()()11fxkxfxkx−−，即ln1xxxkx+−对

任意1x恒成立，令()ln1xxxgxx+=−则()()'2ln21xxgxx−−=−．令()()ln21hxxxx=−−，则()()1110xhxhxxx−=−=在()1,+上单增，∵()31ln30,(4)2ln40hh=−=−，∴存在(

)03,4x使()00hx=，即当01xx时，()0hx，即()0gx，当0xx时，()0hx，即()0gx，∴()gx在()01,x上单减，在()0,x+上单增．令()000ln20=−−=hxxx，即00ln2xx=−，，∴(

)0minkgxx=且kZ，即max3k=考点：利用导数研究函数的单调性与极值最值；函数的单调性与导数的关系．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及利用导数求解函数在闭区间上的极值、最值、不等式的恒成立

问题的求解，着重考查了转化与化归思想和分类讨论思想的应用，属于中档试题，本题的第二问的解答中把不等式()()1kxfx−在()1,x+上恒成立，转化为ln1xxxkx+−对任意1x恒成立，构造新函数()ln1xxxgxx+=−，利用导数求解()gx的

最小值，即可求解k的最大值．21.已知12,FF分别为椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左、右焦点，点31,2P在椭圆E上，且124PFPF+=．（1）求椭圆E的方程；（2）过1F的直线12

,ll分别交椭圆E于,AC和,BD，且12ll⊥，问是否存在实数，使得11,,||||ACBD成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143xy+=；（2）存在，724=.【解析】【分

析】（1）根据椭圆的定义可得2a=，将31,2P的坐标代入椭圆方程可得3b=，从而可得结果；（2）当ACx⊥轴或BDx⊥轴时，计算出||AC和||BD，根据112||||ACBD+=可得724=，当,ACBD都不与x轴垂直时，设出直线方程，代入椭圆方程，根据弦长公式计

算出||AC和||BD，代入112||||ACBD+=可解得724=.【详解】（1）由已知124PFPF+=，得24a=，即2a=．又点31,2P在椭圆上，所以219144b+=，解得3b=，故椭圆的标准方程为22143xy+=．（2）当ACx⊥轴时，222

3||4,||32bBDACa====，由1172||||12BDAC=+=，由724=．当BDx⊥轴时，2223||3,||42bBDACa====，由1172||||12BDAC=+=，得724=，当,ACBD都不与x轴垂直时，设1:(1)(0)l

ykxk=+，设()()1122,,,AxyCxy，直线1l的方程与椭圆E的方程联立并消去y得：()22223484120kxkxk+++−=，则221212228412,3434kkxxxxkk−−+==++，所以()2222222212121222212184(412)||11()41()3

43434kkkACkxxkxxxxkkkk+−−=+−=++−=+−=+++，从而()22134||121kACk+=+，同理可得()22143||121kBDk+=+．所以()()2271117||

||12121kACBDk++==+，令7212=，得724=．综上，存在常数724=，使得11,,||||ACBD成等差数列．【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程，考查了等差中项的应用，考查了弦

长公式，考查了运算求解能力，考查了分类讨论思想，属于中档题.22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线1C：113cos,sin.xtyt=−+=（1t为参数）．曲线2C：223cos,sin.xtyt=+=（2t为参数），且tantan1=−．点P为曲线1C

与2C的公共点．（1）求动点P的轨迹方程；（2）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos2sin50−+=，求动点P到直线l距离的最大值．【答案】（1）()2293xyx+=；（2）53+．【解析】【分析】（1）设点P()

,xy，点P同时满足曲线1C与2C的方程，消参得，1tan3yx=+，2tan3yx=−，由12tantan1=−，即可求得点P的轨迹方程；（2）由cosx=，siny=，将极坐标方程转化为直角坐标方程，动点P为圆心在原点，半径为3的圆，先求

出圆心到直线l的距离，即可求出动点P到直线l距离的最大值.【详解】（1）设点P的坐标为(),xy.因为点P为曲线1C与2C的公共点，所以点P同时满足曲线1C与2C的方程.曲线1C消去参数可得1tan3yx=+，曲

线2C消去参数可得2tan3yx=−.由tantan1=−，所以133yyxx=−+−，所以点P的轨迹方程为()2293xyx+=．（2）因为直线l的极坐标方程为cos2sin50−+=，根据cosx=，siny=可化直线l的直角坐标方程为250

xy−+=，因为动点P的轨迹为圆()2293xyx+=（去掉两点()3,0），圆心O到直线l的距离为555d==，所以动点P到直线l的距离的最大值为53+．【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法、极坐标方程与直

角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系，考查学生转化和计算能力，属于基础题.23.已知函数()||||fxxabxc=+++−的最小值为6，,,abcR+.（1）求abc++的值；（2）若不等式14923123mabc++−+++恒成

立，求实数的取值范围.【答案】（1）6；（2）[0,3].【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式的性质及题目所给最小值可求结果；（2）利用柯西不等式可求1493123abc+++++，进而解不等式233m−得到实数

m的取值范围.【详解】（1）()()()fxxabxcxabxcabcabc=+++−++−−=++=++，当且仅当()abxc−+时等号成立∴6abc++=；（2）由柯西不等式得2149[(1)(2)(3)](123)36123ab

cabc+++++++++=+++，∴1493123abc+++++，当且仅当1,2,3abc===时等号成立，∴233m−，即3233m−−，解得03m.故m的取值范围是[0,3].【点睛】本题主要考查绝对值不等式的性质

及柯西不等式应用，熟悉柯西不等式的结构是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.