【文档说明】2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破 第9讲　函数性质的综合问题 精品讲义含解析【高考】.docx，共(18)页，937.371 KB，由管理员店铺上传

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1第9讲函数性质的综合问题➢考点1函数的单调性与奇偶性综合问题[名师点睛]函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y轴对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时

一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知()fx是定义在R上的奇函数，当0

x时，()fx为增函数，且()30f=，那么不等式()0xfx的解集是（）A．()()3,11,3−−B．()()3,03,−+C．()()3,00,3−D．()(),30,3−−2．（2022·天津市第一中学滨海学校高三阶段练习）已知函数()

yfx=在区间[0,)+单调递增，且()()fxfx−=，则（）2A．()()2121ln2log(log)3efffB．()()1221ln2(log)log3feffC．()()2121logln2

(log)3fffeD．()()1221(log)logln23fffe[举一反三]1．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知定义域为R的函数()fx满足()()13fxfx+=，且当(01x，时，()()41fxxx=−，则当(20x−，时，()fx

的最小值为（）A．181−B．127−C．19−D．13−2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx对于任意x、yR，总有()()()2fxfyfxy+=++，且当0x时，()2fx，若

已知()23f=，则不等式()()226fxfx+−的解集为（）A．()2,+B．()1,+C．()3,+D．()4,+3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在()(),00,−+上的奇函数()fx在(),0−上单调递减，且满足()22f=，则关于x的不等式()

sinfxxx+的解集为（）A．()(),22,−−+B．()()2,02,−+C．()(),20,2−−D．()()2,00,2−4．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数()fx为定义在R上的奇函数，满足对12,[0,)xx+，其中

12xx，都有121122()[()()]0xxxfxxfx−−，且(2)3f=，则不等式6()fxx的解集为___________.➢考点2函数的周期性与奇偶性综合问题[名师点睛]周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用

奇偶性及周期性进行转换，将3所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）设()fx是R上的奇函数且满足()()11fxfx−=+，当01x时，()()51fxxx=−，则()2020.6f−=（）A．2125B．

710C．85−D．65−2．（2022·全国·高三专题练习）设函数()fx的定义域为R，()1fx−为奇函数，()1fx+为偶函数，当1,3x时，()fxkxm=+，若()()032ff−=−，则()2022f=（）A．2−B．0C．2D．4[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练

习）偶函数()fx对于任意实数x，都有(2)(2)fxfx+=−成立，并且当20x−时，()2fxx=−，则20192f=（）A．52B．52−C．72D．72−2．（2022·全国·

高三专题练习）已知定义域为R的函数()fx满足：①图象关于原点对称；②3()2fxfx=−；③当30,4x时，2()log(1)fxxm=++.若2(2020)log3f=，则m=（）A．

1−B．1C．2−D．23．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数()fx的图象关于原点对称，且0x时，(2)4()fxfx+=．当(0x，2]时，3()log(2)2=+xfx，则(8)ff−+（4）=．➢考点3函数的

奇偶性、周期性与对称性问题[名师点睛]函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．4[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R的函数满

足()(4)fxfx=−，(2)()4fxfx++−=，则下列结论正确的是（）A．()fx不是周期函数B．()fx是奇函数C．对任意nZ，恒有(41)fn+为定值D．对任意*nN，有(1)(3)(5)(21)ffffnn++++−=2．（2022·全国·高三

专题练习）已知()yfx=是定义在R上的奇函数，满足()()12fxfx+=−，下列说法：①()yfx=的图象关于32x=对称；②()yfx=的图象关于3,02对称；③()yfx=在0,6内至少有5个零点；④若()yfx=在0,1上单调

递增，则它在2021,2022上也是单调递增．其中正确的是（）A．①④B．②③C．②③④D．①③④3．（2022·全国·高三专题练习）已知()fx是定义域为R的函数，满足()()13fxfx+=−，()()13fxfx+=−，当02x时，()2fx

xx=−，则下列说法正确的是（）①()fx的最小正周期为4②()fx的图像关于直线2x=对称③当04x时，函数()fx的最大值为2④当68x时，函数()fx的最小值为12−A．①②③B．①②C．①②④

D．①②③④[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx是定义在(,0)(0,)−+上的偶函数，且当50x时，()()()22,0414,42xxfxfxx−=−，则方程()1fx=解的个数为（）A．4B．6C．8D．102．（多

选）（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知()fx是定义在R上的偶函数，且对任意xR，有()()11fxfx−=−+，当0,1x时，()22fxxx=+−，则（）A．()fx是以2为周期的周期函数B．点()3,0−是函数()fx的一个对称中心C．()()20

2120222ff+=−D．函数()()2log1yfxx=−+有3个零点3．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()fx对任意xR都有()()2fxfx+=−，若函数()1yfx=−的图象关于1x=对称，且对任意的()12,0,2

xx，且12xx，都有()()12120fxfxxx−−，若()20f−=，则下列结论正确的是（）A．()fx是偶函数B．()20220f=C．()fx的图象关于点()1,0对称D．()()21ff−−4．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的

函数()yfx=满足条件3()()2fxfx+=−，且函数3()4yfx=−是奇函数，给出以下四个命题：①函数()fx是周期函数；②函数()fx的图象关于点3(4−，0)对称；③函数()fx是偶函数；④函数()fx在R上是单

调函数.在上述四个命题中，正确命题的序号是___________（写出所有正确命题的序号第9讲函数性质的综合问题6➢考点1函数的单调性与奇偶性综合问题[名师点睛]函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解

决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于y轴对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，

要注意函数定义域对参数的影响．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()fx为增函数，且()30f=，那么不等式()0xfx的解集是（）A．()()3,11,3−−B．()()3,03,−+C．()()3,

00,3−D．()(),30,3−−【答案】C【解析】因为()fx是定义在R上的奇函数，则()00f=，因为()30f=，则()30f−=.因为函数()fx在()0,+上为增函数，则函数()fx在(),0−上也为增函数.7当0x时，由()0xfx可得()()03fxf=−，则3

0x−；当0x时，由()0xfx可得()()03fxf=，则03x.综上所述，不等式()0xfx的解集为()()3,00,3−.故选：C.2．（2022·天津市第一中学滨海学校高三阶段练习）已知函数()yfx=在区间[0,)+单调递增，且()()fxfx−=，则

（）A．()()2121ln2log(log)3efffB．()()1221ln2(log)log3feffC．()()2121logln2(log)3fffeD．()()1221(log)logln23fffe【答案】D【解析】因为()()fxfx−=，所以函数()yfx=为偶函

数，图象关于y轴对称，又由函数()fx在区间[0,)+单调递增，可得()fx在区间(,0)−单调递减，根据对数函数的性质，可得ln1ln2lne，即0ln21，又因为1221loglog33=，且222log3loglog21e=，所以()()22(

log3)logln2efff，即()()1221(log)logln23fffe.故选：D.[举一反三]1．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知定义域为R的函数()fx满足()()13fxfx+=，且当(01x，

时，()()41fxxx=−，则当(20x−，时，()fx的最小值为（）A．181−B．127−C．19−D．13−【答案】D【解析】解：当(01x，时，()()22141444()12fxxxxxx=−=−=−−，易知当12x=时，min()1fx=−，8因为()(

)13fxfx+=，所以()()113fxfx−=，所以当()10x−，时，()min11133y=−=−；当(21x−−，时，()2min11()139y=−=−，综上，当(20x−，时，min13y=−

．故选：D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx对于任意x、yR，总有()()()2fxfyfxy+=++，且当0x时，()2fx，若已知()23f=，则不等式()()226fxfx+−的解集为（）A．()2,+B．()1,+C．()3,+D．

()4,+【答案】A【解析】令()()2gxfx=−，则()()2fxgx=+，对任意的x、yR，总有()()()2fxfyfxy+=++，则()()()gxgygxy+=+，令0y=，可得()()()0gxggx

+=，可得()00g=，令yx=−时，则由()()()00gxgxg+−==，即()()gxgx−=−，当0x时，()2fx，即()0gx，任取1x、2xR且12xx，则()()()12120gx

gxgxx+−=−，即()()120gxgx−，即()()12gxgx，所以，函数()gx在R上为增函数，且有()()2221gf=−=，由()()226fxfx+−，可得()()2246gxgx+−+，即()()()2222gxgxg+−，所以，()()()

32224gxgg−=，所以，324x−，解得2x.因此，不等式()()226fxfx+−的解集为()2,+.故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在()(),00,−+上的奇函数()fx在(),0−上单调递减，且满足()22f=

，则关于x的不等式()sinfxxx+的解集为（）9A．()(),22,−−+B．()()2,02,−+C．()(),20,2−−D．()()2,00,2−【答案】B【解析】由题意，函数()fx定义在()(),00,−+上的奇函数，()fx在(),0−单

调减，所以()fx在()0,+单调减，且()22f=若函数()singxxx=+，当01x时，()(0,1gx，()2fx，此时()()fxgx无解；当12x时，1sin0x−≤≤，可得()2gx，()2fx，此时()()fxgx无

解；当23x时，()sin0,1x，可得()()2,3gx，此时()()fxgx成立；当3x时，可得()2gx，()2fx，所以()()fxgx，所以当2x时，满足不等式()sinfxxx+，令()()sinhxfxxx=−−，可得函数()hx的定义域为R，且()()

sin()hxfxxxhx−=−++=−，所以函数()hx奇函数，所以当20x−时，满足不等式()sinfxxx+成立，综上可得，不等式()sinfxxx+的解集为()()2,02,−+.故选：B.4．（2022·山东省淄博实

验中学高三期末）已知函数()fx为定义在R上的奇函数，满足对12,[0,)xx+，其中12xx，都有121122()[()()]0xxxfxxfx−−，且(2)3f=，则不等式6()fxx的解集为___________.【答案】(2,0)(2,)−+【解析】因为121122(

)[()()]0xxxfxxfx−−，所以当12xx时，1122()()xfxxfx，令()()Fxxfx=，则()()Fxxfx=在[0,)+上单调递增，10又因为()fx为定义在R上的奇函数,所以()

Fx是偶函数，且在(,0)−上单调递减，因为(2)3f=，所以(2)(2)2(2)6FFf−===，6()fxx等价于0()6(2)xFxF=或0()6(2)xFxF=−，所以2x或20x−，即不等式6()fxx的解集为(

2,0)(2,)−+.故答案为：(2,0)(2,)−+.➢考点2函数的周期性与奇偶性综合问题[名师点睛]周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内

求解．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）设()fx是R上的奇函数且满足()()11fxfx−=+，当01x时，()()51fxxx=−，则()2020.6f−=（）A．2125B．710C．85−D．65−【答案】D【解

析】对任意的xR，()()11fxfx−=+，即()()2fxfx=+，所以，函数()fx是以2为周期的周期函数，()()2020.60.6ff−=−，由于函数()fx为R的奇函数，且当01x时，()()51fxxx=−，因此，()()()()62020.60.60.650.610.

65fff−=−=−=−−=−.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）设函数()fx的定义域为R，()1fx−为奇函数，()1fx+为11偶函数，当1,3x时，()fxkxm=+，若()()032ff−=−，则()2

022f=（）A．2−B．0C．2D．4【答案】C【解析】因为()1fx−为奇函数，所以()1(1)−−=−−fxfx①；又()1fx+为偶函数，所以()1(1)fxfx−+=+②；令1x=，由②得：()(2)20==+ffkm，又()33=+fkm，所以()()

032(3)2−=+−+=−=−ffkmkmk，得2k=，令0x=，由①得：()()1(1)10−=−−−=fff；令2x=，由②得：()1(3)0−==ff，所以()0336=+==−fkmm.得1,3x时，()26=−fxx，结合①②得，()2(2)(4)()(8)(

4)()+=−−+=−+=−+=fxfxfxfxfxfxfx，所以函数()fx的周期为8T=，所以()()()()()202225286622262ffff=+==−=−−=.故选：C[举一反三]1．（2022·全国·高三

专题练习）偶函数()fx对于任意实数x，都有(2)(2)fxfx+=−成立，并且当20x−时，()2fxx=−，则20192f=（）A．52B．52−C．72D．72−【答案】C【解析】由于函数()yfx=为R上的偶函数，则(2)(2)(2)fxfxfx+=−=−，(

4)()fxfx+=，所以，函数()yfx=是以4为周期的周期函数，当20x−时，()2fxx=−，所以，20193337222222fff==−=−−=．故选：C．2．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函

数()fx满足：①图象关于原点对称；12②3()2fxfx=−；③当30,4x时，2()log(1)fxxm=++.若2(2020)log3f=，则m=（）A．1−B．1C．2−D．2【

答案】B【解析】由①可知函数()fx为奇函数，又33()22fxfxfx=−=−−，故3(3)()2fxfxfx+=−+=，即函数()fx的周期为3，∴2213(2020)(1)loglog322fffm===+=，解得1m=

.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数()fx的图象关于原点对称，且0x时，(2)4()fxfx+=．当(0x，2]时，3()log(2)2=+xfx，则(8)ff−+（4）=．【答案】60−【解析】定义域为R的函数()fx的图象关

于原点对称，故()fx为奇函数，当0x时，(2)4()fxfx+=．当(0x，2]时，3()log(2)2=+xfx，f（8）(62)4ff=+=（6）4(42)44ff=+=（4）16(22)164ff=+=（2）64f=

（2），则(8)ff−+（4）64f=−（2）4f+（2）60f=−（2）360log360=−=−，故答案为：60−．➢考点3函数的奇偶性、周期性与对称性问题[名师点睛]函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．

特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R的函数满足()(4)fxfx=−，(2)()4fxfx++−=，则下列结论正确的是（）A

．()fx不是周期函数13B．()fx是奇函数C．对任意nZ，恒有(41)fn+为定值D．对任意*nN，有(1)(3)(5)(21)ffffnn++++−=【答案】C【解析】()(4)fxfx=−，∴(2)(2)fxfx+=−(2)()4fxfx++−=，∴(2)()4fxfx−+−=∴(2

)()4fxfx++=，∴(2)(4)4fxfx+++=∴(4)()fxfx+=，∴()fx是周期为4的函数∴()(4)()fxfxfx=−=−，∴()fx为偶函数在(2)()4fxfx++−=中，令1x=−，有(1)(1)4(1)2fff+==故(41)(1)2f

nf+==是定值当1n=时，(1)(3)(5)(21)ffffnn++++−=即为(1)1f=，故D不正确故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）已知()yfx=是定义在R上的奇函数，满足()()12fxfx+=

−，下列说法：①()yfx=的图象关于32x=对称；②()yfx=的图象关于3,02对称；③()yfx=在0,6内至少有5个零点；④若()yfx=在0,1上单调递增，则它在2021,2022上也是单调递增．其中正确

的是（）A．①④B．②③C．②③④D．①③④【答案】C【解析】因为()()12fxfx+=−且()yfx=是定义在R上的奇函数，则()()3fxfx+=，故函数()fx是周期为3的周期函数，且()()()3fxfxfx+==−−，所以，()()30fxfx++−=

，故函数()yfx=的图象关于3,02对称，①错误，②正确；由题意可知，()()()6300fff===，14因为()()()3fxfxfx=+=−−，令32x=−，可得3322ff−=，即3322ff=−，所以，302f=

，从而93022ff==，故函数()yfx=在0,6内至少有5个零点，③正确；因为202136741=−，20223674=，且函数()fx在0,1上单调递增，则函数()fx在1,0−上也为增函数，故函数()fx在2021,2022上也是单调递增

，④正确.故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）已知()fx是定义域为R的函数，满足()()13fxfx+=−，()()13fxfx+=−，当02x时，()2fxxx=−，则下列说法正确的是（）①()fx的最小正周期为4②()fx的图像关于直线

2x=对称③当04x时，函数()fx的最大值为2④当68x时，函数()fx的最小值为12−A．①②③B．①②C．①②④D．①②③④【答案】A【解析】对于①，()()13fxfx+=−，()()3133fxxf+=+−+，则()(4)fxfx

=+，即()fx的最小正周期为4，故①正确；对于②，由()()13fxfx+=−知()fx的图像关于直线2x=对称，故②正确；对于③，当02x时，()2fxxx=−在10,2上单调递减，在1,22上单调递增根据对称性

可知，函数()fx在10,2，72,2上单调递减，在1,22，7,42上单调递增，则函数()fx在0,4上的最大值为()2422f=−=，故③正确；对于④，根据周期性以及单调性可知，函数()fx在156,2上单调递减，

在15,82上单调递增，则函数()fx在6,8上的最小值为1577111142222424ffff=+===−=−，故④错误.故选：A1

5[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx是定义在(,0)(0,)−+上的偶函数，且当0x时，()()()22,0414,42xxfxfxx−=−，则方程()1fx=解的个数为（）A．4B．6C．8D．10【答案】D【解析】由题意，函数当0x

时，()()()22,0414,42xxfxfxx−=−，作出函数()fx的图象，如图所示，又由方程()1fx=解的个数，即为函数()yfx=与1y=的图象交点的个数，当0x时，结合图象，两函数()yfx=与1y=的图象有5个交点，又由函数()yfx=为偶函

数，图象关于y轴对称，所以当0x时，结合图象，两函数()yfx=与1y=的图象也有5个交点，综上可得，函数()yfx=与1y=的图象有10个交点，即方程()1fx=解的个数为10.故选：D.2．（多选）（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）已知()fx是定义在

R上的偶函数，且对任意xR，有()()11fxfx−=−+，当0,1x时，()22fxxx=+−，则（）A．()fx是以2为周期的周期函数16B．点()3,0−是函数()fx的一个对称中心C．()()20212022

2ff+=−D．函数()()2log1yfxx=−+有3个零点【答案】BD【解析】依题意，()fx为偶函数，且()()11fxfx+=−−，有1112xx−++=，即()fx关于()1,0对称，则()()()()()413132fxfxfxfx+=++=−−+=−

−−()()()()()()()()221111fxfxfxfxfxfx=−−+=−+=−++=−+=−=，所以()fx是周期为4的周期函数，故A错误；因为()fx的周期为4，()fx关于()1,0对称，所以(3,0)−是函数()fx的一个对称中心，故B正确；因为()fx的周期为4，则(

)()202110ff==，()()()2022202fff==−=，所以()()202120222ff+=，故C错误；作函数()2log1yx=+和()yfx=的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，所以函数2log(1)()yxfx=+−有3个零点，故D正确.故

选：BD.173．（多选）（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()fx对任意xR都有()()2fxfx+=−，若函数()1yfx=−的图象关于1x=对称，且对任意的()12,0,2xx，且12xx，都有

()()12120fxfxxx−−，若()20f−=，则下列结论正确的是（）A．()fx是偶函数B．()20220f=C．()fx的图象关于点()1,0对称D．()()21ff−−【答案】ABCD【解析】对于选项A：由

函数(1)fx+的图像关于1x=−对称，根据函数的图象变换，可得函数()fx的图象关于0x=对称，所以函数()fx为偶函数，所以A正确；对于选项B：由函数()fx对任意xR都有(2)()fxfx+=−，可得()2(()4)fxfxfx−+=+=，所以函数()fx是周期为4的周期函数，因为(2)0

f−=，可得(2)0f=，则(2022)(50542)(2)0fff=+==，所以B正确；又因为函数()fx为偶函数，即()()fxfx−=，所以(2)()()fxfxfx+=−=−−，可得(2)()0fxfx++−=，所以函数(

)fx关于(1,0)中心对称，所以C正确；由对任意的12,(0,2)xx，且12xx，都有1212()()0fxfxxx−−，可得函数()fx在区间(0,2)上为单调递增函数，又因为函数为偶函数，故函数()fx在区间(2,0)−上为单调递减函数，故()()21ff−−，所以D正确.故

选：ABCD4．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数()yfx=满足条件3()()2fxfx+=−，且函数3()4yfx=−是奇函数，给出以下四个命题：①函数()fx是周期函数；②函数

()fx的图象关于点3(4−，0)对称；③函数()fx是偶函数；18④函数()fx在R上是单调函数.在上述四个命题中，正确命题的序号是___________（写出所有正确命题的序号）【答案】①②③【解析】解：对于①：3(3)()()2fxfxfx+=−

+=函数()fx是周期函数且其周期为3.①对对于②：3()4yfx=−是奇函数其图象关于原点对称又函数()fx的图象是由3()4yfx=−向左平移34个单位长度得到.函数()fx的图象关于点3(4−，0)对称，故②对.对于③：

由②知，对于任意的xR，都有33()()44fxfx−−=−−+，用34x+换x，可得：3()()02fxfx−−+=33()()()22fxfxfx−−=−=+对于任意的xR都成立