【文档说明】安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题 含答案.docx，共(12)页，480.375 KB，由小赞的店铺上传

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2021-2022学年度第二学期第一次月考试卷高一数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．(34)(12)ii++−=（）A．42i+B．42i−C

．14i+D．15i+2．下列说法错误的是（）A．若非零向量abc，，有//ab，//bc，则//acB．零向量与任意向量平行C．已知向量ab，不共线，且//ac，//bc，则0c=D．平行四边形ABCD中，ABCD=3．已知正方形

ABCD的边长为6，M在边BC上且3BCBM=，N为DC的中点，则AMBN=（）A．-6B．12C．6D．-124．若向量a，b满足1==abrr，且()12aab−=，则向量a与b的夹角为（）A．6B．3

C．23D．565．在ABC中，ABc=，ACb=．若点D满足2BDDC=，则AD=（）A．2133bc+B．5233cb−C．2133bc−D．1233bc+6．已知i是虚数单位，复数1232,14zizi=−+=−，则复数12zzz=+在

复平面内表示的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝3

0°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为（）km.A．853B．4153C．2153D．258．欧拉公式cossinixexix=+（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定

义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当x=时，10ie+=被称为数学上的优美公式.根据欧拉公式，263iiee+表示复数z，则z=（）A．23+B．2C．2D．23−9．三棱柱111ABCABC−中，90BAC=，ABA

Ca==，111160==AABAAC，1190=BBC，侧棱长为b，则其侧面积为（）A．334abB．322ab+C．()32ab+D．2322ab+10．下列说法中正确的个数是（）①空间中三条直线交于一点，则这

三条直线共面；②平行四边形可以确定一个平面；③若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；④若,AA挝，且l=，则A在l上.A．1B．2C．3D．411．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积

与侧面积的比值是（）A．142+B．122+C．12+D．142+12．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的个数是（）①面PAB⊥面PBC②面

PAB⊥面PAD③面PAB⊥面PCD④面PAB⊥面PACA．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．在平行四边形ABCD中1ABe=，2ACe=，14NCAC=，12BMMC=

，则MN=________.（用12,ee表示）14．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则A，B两点的距离为__

_____m15．如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边11AB作一个平行于棱1CC的平面11ABEF，记平面分三棱台两部分的体积为1V（三棱柱111ABCFEC−），2V两部分，那么12:VV=______.16．如图，S为等边三角形

ABC所在平面外一点，且SASBSCAB===，,EF分别为,SCAB的中点，则异面直线EF与AC所成的角为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）如图所示，在ABO中，14OCOA=uuuruur，12ODOB=uuuruu

ur，AD与BC相交于点M.设OAa=，OBb=.（1）试用向量a、b表示OM；（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设OEOA=，OFOB=，求证：137+=.18．（12分）如图，一

艘船从港口O出发往南偏东75°方向航行了100km到达港口A，然后往北偏东60°方向航行了160km到达港口B．试用向量分解知识求从出发点O到港口B的直线距离（21.414,145.5612.065，结果精确到0.1km）．（提示：将OA，AB分解为垂直的两个向量．）19．

（12分）如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O，点D，E，F为圆O上的点，,,DBCECAFAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB为折痕折起,,DBCECAFAB，使得D，E，F重合，

得到三棱锥，则当ABC的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围.20．（12分）如图，长方体1111ABCDABCD−中，12,3ABBCAA===；(1)求异面直线1AB和CD所成角的正切值；(2)

求三棱柱11AABDDC−的体积和表面积.21．（12分）如图，四边形ABCD中，,,642ABADADBCADBCAB^===，，P，,EF分别在,BCAD上，EFAB∥.现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC.（1）当1BE=时，是否在折叠

后的AD上存在一点P，使得CPP平面ABEF？若存在，求出P点位置；若不存在，说明理由（2）设BEx=，问当x为何值时，三棱锥ACDF−的体积有最大值？并求出这个最大值.22．（12分）如图，正方体1111ABCDABCD−中，E，F

分别为11CD，11BC的中点．（1）求证：B，D，E，F四点共面；（2）若ACBDP=I，11ACEFQ=I，1AC与平面EFBD交于点R，求证：,,PQR三点共线．参考答案1．A2．D3．A4．B5．A6．C7．B8．B9．C10．B11．B12．B13．12

25312ee−+14．502m15．3：416．45°17．【详解】（1）不妨设OMmanb=+.由于A、D、M三点共线，则存在()1−使得AMMD=，即()OMOAODOM−=−，于是1OAODOM+=+.又12ODOB=uuu

ruuur，所以()121121OAOBOMab+==++++，则()1121mn=+=+，即21mn+=.①由于B、C、M三点共线，则存在()1−使得CMMB=，即()OMOCOBOM−=−，于是1OCOBOM+=+.又14OC

OA=uuuruur，所以()1141411OAOBOMab+==++++，所以()1411mn=+=+，即41mn+=.②由①②可得17m=，37n=，所以1377OMab=+；（2）由于E、M、F三点

共线，所以存在实数()1−使得EMMF=，即()OMOEOFOM−=−，于是1OEOFOM+=+.又OEOA=，OFOB=，所以111OAOBOMab+==++++，所以137

711abab+=+++，则117317=+=+，可得171371=+=+，两式相加得137+=.18．【详解】建立如图所示的坐标系：显然907515,906030,100,

160AOCBAEOAAB=−==−===，于是有：sin15100sin15ACACOA==，cos15100cos15OCOCOA==，sin30160sin3080BEBEBA===，cos301

60cos30803AEAEBA===，所以(100cos15,100sin15),(803,80)OAAB=−=，因为(100cos15803,100sin1580)OBOAAB=+=+−+，所以有：222222(100cos15803)(1

00sin1580)(100cos15)(803)(100sin15)80160003cos1516000sin153560032000cos4520894022089401.41420145.562012.065241.3OB=++−+=++−++−=+=++=

=19．解：由题可知，等边三角形ABC的中心为O，圆O的半径为6，设三棱锥的底面边长为a，即等边三角形ABC的边长为a，如图，连接OD，交BC与点G，由题意可知，ODBC^，则233323OAaa=

=，6OD=，可知OAOD，即363a，则063a，1336,326ODOGaa===，则366DGODOGa=−=−，三棱锥的底面积为：213sin6024ABCSaaa==△，由题可知，,,DBCECAFAB全等，则面积相等，三棱锥的侧面积为：21133333

692264DBCSBCDGaaaa==−=−△，所以三棱锥的表面积为：223339944ABCDBCSSSaaaa=+=+−=△△，063a，09543a，即()0,543S，所以当ABC的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围是()0,543

.20．【解析】(1)在长方体中，因为//ABCD，所以1AB与CD所成的角即为1AB与AB所成的角，即1ABA（或补角），113tan2AAABAAB==，所以异面直线1AB和CD所成角的正切值为32；(2)易知三棱柱

11AABDDC−是直三棱柱，底面1AAB是直角三角形，所以111132322AABSAAAB===．又11AD为三棱柱的高，所以111326AABVSAD===，又四边形11ADCB为矩形，1112,

13ADAB==，所以1111213,224,236ADCBABCDADDASSS=====四边形四边形四边形，故所求表面积111112AABADCBABCDADDASSSSS=+++四边形四边形四边形232

134616213=+++=+.21．【详解】（1）存在点P，使得CPP平面ABEF，此时32APPD=.当32APPD=时，35APAD=，过点P作MPFDP，交AF于点M，连接EM，如图，则35MPFD=.∵在四边形ABCD中，16BE

AFAD===，∴5FD=，∴3MP=.∵3,//ECECFD=，∴//MPEC，且MPEC=，故四边形MPCE为平行四边形，∴//PCME.∵CPË平面,ABEFMEÌ平面ABEF，∴CPP平面ABEF.（2）∵平面ABEF⊥平面

EFDC，平面ABEF平面EFDCEF=，,AFEFAF^^平面EFDC.∵BEx=，∴(04),6AFxxFDx=<<=-，故三棱锥ACDF−的体积()()21112633323Vxxx=创?=--+，当3x=时，三棱锥ACDF−的体积V有最大值，

最大值为322．证明：（1）连接11BD，在正方体1111ABCDABCD−中，∵E，F分别为11CD，11BC的中点，∴EF是111BCD△的中位线，∴11//EFBD，又因为11//BDBD，∴//EFBD∴四边形BDEF为梯形，即B，D，E，

F四点共面．（2）在正方体1111ABCDABCD−中，ACBDP=I，11ACEFQ=I，∴PQ是平面11AACC与平面BDEF的交线，又因为1AC交平面BDEF于点R，∴R是平面11AACC与平面BDEF的一个公共点．因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，∴,,PQR三点

共线．