【文档说明】天津市经济技术开发区第一中学2021届高三上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(22)页，1.949 MB，由小赞的店铺上传

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天津开发区第一中学2020-2021学年度第一学期高三年级数学测试（11月）一.选择题（共10小题，共50分，将答案填写在答题纸上）1.设集合A={x|x>3}，104xBxx−=−∣，则(∁RA)∩B=（）A.(1，3)B.[1，3]C.(3，4)D.[3，

4)【答案】B【解析】【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出ARð与B的交集即可．【详解】由104xx−−可得(1)(4)0xx−−且40x−，解得14x，所以[1,4)B=，因为A={x|x>3}，所以(,3]RA=−ð，所以(∁R

A)∩B=[1，3]，故选：B【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，分式不等式求解，属于中档题.2.设等差数列na的前n项之和为nS，已知10100S=，则47aa+=（）A.12B.20C.40D.100【答案】B【解析】【分析】由等差数列的通项公式可得47129aaad+=+，再由1

011045100Sad=+=，从而可得结果.【详解】解：1011045100Sad=+=，12920ad+=，4712920aaad+=+=.故选：B3.设等比数列na的前n项和为nS，若23S=，415S=，则6S=（）A.31

B.32C.63D.64【答案】C【解析】【分析】根据等比数列前n项和的性质列方程，解方程求得6S.【详解】因为nS为等比数列na的前n项和，所以2S，42SS−，64SS−成等比数列，所以()()242264SSSSS−=−，即()()62153315−=−S，解得

663S=.故选：C4.函数y=||2xsin2x的图象可能是A.B.C.D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin2xfxx=，因为,()2sin2()

2sin2()xxxRfxxxfx−−=−=−=−，所以||()2sin2xfxx=为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x时，()0fx，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图

象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．5.下列三个命题：①命题p：2,0xRxx+，则命题p的否定是：2,0xRxx+；②命题p：211

x−，命题q：101x−，则p是q成立的充分不必要条件；③在等比数列nb中，若52b=，98b=，则74b=；其中真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】【分析】对每个命题逐一判断真假即可.【详解】①命题p：2,0xRxx+，则命题p的否定是2,0xR

xx+，所以该命题是假命题；②化简命题p：01x，命题q：1x，则p是q成立的非充分非必要条件，所以该命题是假命题；③在等比数列nb中，若52b=，98b=，则74b=，但是等比数列的奇数项都是同号的，所以要舍去-4，所以74b=.所以该命题是假命题.所以有0

个真命题.故选：A.6.如图所示，在菱形ABCD中，1AB=，60DAB=，E为CD的中点，则ABAE的值是（）A.1B.1−C.2D.2−【答案】A【解析】【分析】用AB、AD表示向量AE，然后利用平面

向量数量积的运算性质可计算出ABAE的值.【详解】E为CD的中点，且ABCD为菱形，则12AEADDEABAD=+=+，22111cos60222ABAEABABADABABADABABAD=+=+=+2

21111122=+=.故选：A.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查了平面向量数量积运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.7.△ABC中，,,ABC对应的边分别为,,abc，23A=，3b=，三角

形ABC的面积为1534，则边a的长为（）A.19B.912C.7D.49【答案】C【解析】【分析】首先利用三角形的面积公式1153sin24ABCSbcA==，求出5c=，再利用余弦定理即可求解.【详解】由23A=，3b=，则1153sin24ABCSbcA

==，解得5c=，在△ABC中，由余弦定理可得：22212cos925235492abcbcA=+−=+−−=，解得7a=.故选：C【点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，需熟记公式与定理，属于基础题.8.已知函数()25xfxx=+．若131log2af=

，()3log5bf=，()0.26cf=．则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.acbC.cabD.cba【答案】D【解析】【分析】先根据对数函数与指数函数的性质，得到13310loglog512，0.261

，再根据函数单调性，即可判断出结果.【详解】因为113333310log1logloglog5lo2g312===，0.261，函数2xy=与5yx=都是增函数，所以()25xfxx=+也是增函数，因此()(

)0.21331loglog562fff，即cba.故选：D.【点睛】本题主要考查由函数单调性比较大小，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.9.已知函数()3sincos

(0)fxxx=+的图象与x轴相邻交点的横坐标相差2，把函数()fx的图象沿x轴向左平移6个单位，得到函数()gx的图象.关于函数()gx，下列说法正确的是（）A.在,42上

是增函数B.其图象关于直线4πx=−对称C.函数()gx是奇函数D.当2,63x时，函数()gx的值域是2,1−【答案】D【解析】【分析】由已知可求出函数()fx的解析式，进而根据函数图象的平移变换法则得到函数()ygx=的解析

式，根据余弦函数的性质分析出函数的奇偶性、单调性、对称性以及函数的值域．【详解】函数()3sincos2sin()6fxxxx=+=+又函数()fx的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于22T=，故函数的最小正周期T=，又0，2=故()2sin(2)6fxx=+将函数()

yfx=的图象向左平移6个单位可得：()2sin[2()]2cos266ygxxx==++=；函数()gx是偶函数，C错；令222kxk−剟，即2kxk−+剟，kZ故函数()ygx=的增区间为[2k−+，]k，kZ在

,42上不是增函数，A错；4πx=−时，()2cos042g−=−=，不是最值，4πx=−不是对称轴，B错；由2,63x可得，2,343x，故1cos21

,2cos22,12xx−−，D正确，故选：D．【点睛】本题主要考查函数sin()yAx=+的周期性、三角函数图象的平移变换法则，两角和与差的正弦函数、诱导公式，余弦函数的奇偶性、单调性、对称性与值域，熟练掌握正弦型函数的图象性质及变换

法则是解答本题的关键．10.定义在R上的偶函数()fx满足(1)(1)fxfx−=+，且当[1,0]x−时，2()fxx=，函数()gx是定义在R上的奇函数，当0x时，()lggxx=，则函数()()()hxfxgx=−

的零点的的个数是（）A.9B.10C.11D.12【答案】C【解析】【分析】由()0hx=，得出()()fxgx=，转化为函数()yfx=与函数()ygx=图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可．【详解】由于()()11fxfx−=+，所以，函数()y

fx=的周期为2，且函数()yfx=为偶函数，由()0hx=，得出()()fxgx=，问题转化为函数()yfx=与函数()ygx=图象的交点个数，作出函数()yfx=与函数()ygx=的图象如下图所示，由图象可知，()01fx≤≤，当10x时，()lg1gxx=，则函数(

)yfx=与函数()ygx=在()10,+上没有交点，结合图像可知，函数()yfx=与函数()ygx=图象共有11个交点，故选C.【点睛】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数

的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题．二.填空题：（共8小题，共40分，将答案填写在答题纸上）11.在ABC中，若3,75,60ABABCACB===，则BC等于_______

___.【答案】6；【解析】【分析】由条件利用三角形内角和公式求得BAC，再利用正弦定理即可求解.【详解】在ABC中，3,75,60ABABCACB===，180607545BAC=−−=，sinsinBCABBACACB=，即2322BCAB=，6

BC=，故答案为：6【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，需熟记定理的内容，属于基础题.12.已知向量(,2)ax=，(2,1)=b，(3,)=cx，若a∥b，则bc+=__________.【答案】52【解析】【分析】先利用向量平行的坐标运算求得参数x，再求

bc+rr的坐标，再求得模长即可.【详解】向量(,2)ax=，(2,1)=b，a∥b，故1220x−=，故4x=，即(3,4)c=，()5,5bc+=，52bc+=.故答案为：52.13.曲线sinxyx=在点M

(π，0)处的切线方程为________．【答案】1()yx=−−【解析】【分析】由题意可得2cossin'xxxyx−=，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.【详解】由函数的解析式可得：2cossin'xxxyx−=，所求切线的斜率为：2cossin1'xky

=−===−，由于切点坐标为(),0，故切线方程为：()1yx=−−.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，

直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.14.若向量2a

=，2b=，()aba−⊥，则向量a与b的夹角等于_________.【答案】4【解析】【分析】先利用垂直关系得到2ab=，再利用数量积求夹角的余弦值，根据范围即求得夹角.【详解】因为向量2a=，2b=，()aba−⊥，故2(

)0abaaab−=−=，即22aba==.设向量a与b的夹角为，则0,，22cos0,222abab===，，故4=.故答案为：4.15.已知数列na满足11a=，11

22nnnaann++=++，则8a=_________.【答案】120【解析】【分析】先化简整理已知条件得nan是等差数列，求其通项公式，得到数列na通项公式，再计算8a即可.【详解】由1122nnnaann++=++得()()1

121nnnanann+=+++，即()()1121nnnanann+−+=+，故121nnaann+−=+，故nan是以111a=为首项，以2为公差的等差数列，所以()11221nannn=+−=−，所以()21nann=−，故8815120a

==.故答案为：120.【点睛】本题解题关键在于化简已知条件得到121nnaann+−=+，构造数列nan是等差数列，进而通过其通项公式求得数列na的通项公式，以突破难点.16.在数列na中，112a=，1nnaan+=+，则nan的最小值为________

_.【答案】225【解析】【分析】由累加法求出数列na的通项公式，进而可得到nan的解析式，再根据基本不等式可求得nan最小值.【详解】解：1nnaan+=+，1nnaan+−=，即：211aa−=，322aa−=，433aa−=，…，11(2,)nnaannnz−−

−=，将这1n−个式子累加可得：1123naa−=+++…(1)+12nnn−−=，即当2n时，1(1)2nnnaa−=+，又112a=，()2(1)2412=222nnnnnannz−−+=+，，又112a=也适合上式，()2(1)2412=22

nnnnnanz−−+=+224121=222nannnnnn−+=+−，由对勾函数的性质可知：当且仅当12=2nn时取得最小值，即26n=时取得最小值，又nz且4265，44121942422a=+−=，5512

12252525a=+−=，92225，nan的最小值为：225.故答案为：225.【点睛】易错点点睛：运用累加法求数列通项时，注意验证首项是否满足，若不满足，则需要写成分段的形式.17.已知首项与公比相等且不为1的等比数列na中，若*,mnN，满足22

6mnaaa=，则21mn+的最小值为___________；【答案】23【解析】【分析】将226mnaaa=写成等比数列基本量1a和q的形式，结合1aq=可得212mn+=，从而利用()21121212mnmnmn+=++，展开后使用基本

不等式即得结果.【详解】设等比数列na公比为q，则首项1aq=，由226mnaaa=得：()()22115111mnaqaqaq−−=则：212mnqq+=212mn+=再()2112114142224121212nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=

++*,mnN40,0nmmn则4424nmnmmnmn+=（当且仅当4nmmn=，即2nm=时取等号），即min44nmmn+=，()min211244123mn+=+=

.故答案为：23.【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.（1）积定，利用2xyxy+，求和的最小值；（2）和定，利用()24xyxy+，求积的最大值；（3）妙用“1”拼凑

基本不等式求最值.18.如图,菱形ABCD的边长为3,对角线AC与BD相交于O点,|AC|=23,E为BC边(包含端点)上一点,则|EA|的取值范围是_____,EAED的最小值为_____.【答案】(1).22,23(2).234.【解析】【分析】AEBC

⊥时，AE长度最短，E与C重合时，AE长度最长．然后以)以O为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，设出B点坐标，把向量数量积用坐标表示后可求得最小值．【详解】根据菱形性质可得OC3=,则BO6=.(1)作AF⊥BC,则AF

236223==,此时AE最短,当E与C重合时,AE最长,故2223AE,即|EA|∈22,23;(2)以O为原点,BD所在直线为x轴建系如图:则A(0,3)B(6−,0),C(0,3−),D(6,0),所以BC:y232x=−−,设E(m,232m−−)则22212

23,236,3322224EAEDmmmmm=−+−+=++,其中m6,0−对称轴为m66,012=−−,故当m612=−时EAED最小,最小值为234.故答案为

：[22,23]；234．【点睛】本题考查向量的模和向量的数量积，向量模的范围可由几何图得出，而数量积的最值通过建立坐标系，用坐标运算把数量积表示一个函数，由函数知识求解．这样只要计算即可．三.解答题（共4小题，共60分，将答案书写在

答题纸上）19.已知向量31cos2,sincos22mxxx=−，311,sincos22nxx=−，设函数()fxmn=.（1）求函数()fx取得最大值时x取值的集合；（

2）设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若3cos5B=，()14fC=−，求cosA的值.【答案】（1）|,12xxkkZ=−；（2）43310−【解析】【分析】（1）利用三角函数公式和平面向量数量积对函数简化，再根据三角函数的性质求得函数取得最大值时x取值的集合；（2

）根据已知条件求得的B，C大小，然后利用()coscosABC=−+展开即可求解.【详解】（1）231()cos2sincos22fxmnxxx==+−22313cos2sincossin

cos442xxxxx=++−31cos211cos23cos2sin242424xxxx−+=++−33113cos2sin2sin2442223xxx=−+=−−，要使函数()fx取得最大值，需要满足sin23x−

取得最小值，所以()2232xkkZ−=−+，所以12xk=−()kZ，所以当()fx取得最大值时x取值的集合为|,12xxkkZ=−，（2）因为A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，3cos5B=所以24sin1cos5BB=−=，由()131s

in22234fCC=−−=−，得3sin232C−=，因为22333C−−所以233C−=，解得3C=，所以()3143433coscoscoscossinsin525210

ABCBCBC−=−+=−+=−+=所以433cos10A−=.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记两角和差的正弦余弦公式，辅助角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系，向量的数量积的坐标表示，注意三角形是锐角三角形以确定角的范围.20.已

知数列na的前n项和为nS，且22nnnS+=，数列nb满足：2lognnab=，*nN.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）设1,?(2)2,?nnnnancnb+=为奇数为偶数，nT为数列nc的前n项和，求2nT

.【答案】（1）nan=，2nnb=；（2）()2712622134nnTn=−−+【解析】【分析】（1）根据22nnnS+=，利用数列的通项与前n项和的关系11,1,2nnnSnaSSn−==−求解；（2）由（1）知，nan=，2nnb=得到(

)()()11212nnnnncn−+=为奇数为偶数，然后利用分组求和法求解.【详解】（1）数列{}na的前n项和22nnnS+=，当1n=时，111aS==当2n时，22nnnS+=，()21112nnnS−−+−=，两式相减得：1nnnaSSn−=−=(2)n又

1n=时，11a=满足上式所以nan=又2lognnab=，所以2lognnb=，所以2nnb=.（2）()()()122nnnnancnb+=为奇数为偶数，由（1）知，nan=，2nnb=所以()()()11212

nnnnncn−+=为奇数为偶数21321242()()nnnTcccccc−=+++++++111111=(++...+)+(++...+)2n-11?33?5(2n-1)(2n+1)28211(1)11111124(1)1233521

2114nnn−=−+−++−+−+−1121(1)(1)22134nn=−+−+71262(21)34nn=−−+【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，()()11122nnnaannSnad+−=

=+②等比数列的前n项和公式()11,11,11nnnaqSaqqq==−−；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项

拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前

n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．21.已知等比数列na的公比1q，且1320aa+=，28a=，

等差数列nb的前n项和为nS，且有657S=，411b=.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）设nnnbca=，nT是数列nc的前n项和，对任意正整数n，不等式13(1)2nnnnTa++−恒成立，求实数

a的取值范围.【答案】（1）12nna+=；31nan=−；（2）51548a−.【解析】【分析】（1）利用已知条件列关系求出基本量，进而得到通项公式即可；（2）利用错位相减法求和，再讨论n的奇偶性分离参数，利用最值解决恒成立问题.【详解】解：（1）等比数列na中，1320

aa+=，28a=，故()2111208aqaq+==，又1q，所以142aq==，故12nna+=；等差数列nb中，()1666572aaS+==，即1619aa+=，又411b=，故112519311adad+=+=，所以123ad=

=，故31nan=−；（2）因为1312nnnnbnca+−==，123...nnTcccc=++++，故()213411113258...22122nnnT+=++++−，则()()3

42511134311111258...222222nnnnnT++=++++−+−，两式作差得：()2241311311111238...222222nnnnT++=++++−

−()32211112212312121312nnn−+−=+−−−253542nn++=−故153

522nnnT++=−，所以11113535355(1)222222nnnnnnnnnTa++++++=−+=−−恒成立，当n是偶数时，不等式即15522na+−，易见15522n+−是递增数列，故2

n=时取得最小值158，所以158a，当n是奇数时，不等式即15522na+−，易见15522n+−是递减数列，故1n=时取得最大值54−，所以54a−，综上可知，实数a的取值范围是51548a−.【

点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}na的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位

相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数

列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nnafn=−类型，可采用两项合并求解.22.已知函数()(ln1)fxxxk=−−，kR.（1）当1x时，求函数()fx的单调区间和极值；（2）若对于任意2,xee

，都有()4lnfxx成立，求实数k的取值范围；（3）若12xx，且12()()fxfx=，证明：212kxxe.【答案】(1)答案见解析；(2)28(1,)e−+；(3)证明见解析.【解析】【详解】（1）()1ln1lnfxxxkxkx=+−−=

−，①0k时，因为1x，所以()ln0fxxk=−，函数()fx的单调递增区间是()1,+，无单调递减区间，无极值；②当0k时，令ln0xk−=，解得kxe=，当1kxe时，()0fx；当kxe，()0fx．所以函数()fx的单调递减区间是()

1,ke，单调递增区间是(),ke+，在区间()1,+上的极小值为()()1kkkfekkee=−−=−，无极大值．（2）由题意，()4ln0fxx−，即问题转化为()()4ln10xxkx−−+对于2,xee恒成立，即(

)4ln1xxkx−+对于2,xee恒成立，令()()4lnxxgxx−=，则()24ln4xxgxx=+−，令()24ln4,,txxxxee=+−，则()410txx+=，所以()tx在区间2,ee

上单调递增，故()()min440txteee==−+=，故()0gx，所以()gx在区间2,ee上单调递增，函数()()22max82gxgee==−．要使()4ln1xxkx−+对于2,xee恒成立，只要()max1kgx+，所以281

2ke+−，即实数k的取值范围为281,e−+．（3）证法1因为()()12fxfx=，由（1）知，函数()fx在区间()0,ke上单调递减，在区间(),ke+上单调递增，且()10kfe+=．不妨设12xx，则112

0kkxexe+，要证212kxxe，只要证221kexx，即证221kkeexx．因为()fx在区间(),ke+上单调递增，所以()221kefxfx，又()()12fxfx=，即证()21

1kefxfx，构造函数()()()222ln1ln1kkkeeehxfxfxkxkxxx=−=−−−−−，即()()2ln1ln1kxkhxxxkxexx−=−++−，()0,kxe．()()()2222221ln1(l

n11lnkkxkxehxxkexkxxx−−−=+−+++=−），因为()0,kxe，所以22ln0,kxkxe−，即()0hx，所以函数()hx在区间()0,ke上单调递增，故()()khxhe，

而()()20kkkkehefefe=−=，故()0hx，所以()211kefxfx，即()()2211kefxfxfx=，所以212kxxe成立．证法2要证212kxxe成立，只要证：12lnln2xxk+.因为12xx，且()()1

2fxfx=，所以()()1122ln1ln1xkxxkx−−=−−，即()()112212lnln1xxxxkxx−=+−，()()1121212212lnln+lnln1xxxxxxxxkxx−−=+

−，即()()()11212122lnln1xxxxxkxxx−+=+−，122112ln1lnxxxkxxx+=+−，同理112212ln1lnxxxkxxx+=+−，从而112122121212lnln2lnln2xxxxxxkxxxxxx=+++−−−，要证12l

nln2xxk+，只要证1121221212lnln20xxxxxxxxxx+−−−，令不妨设12xx，则1201xtx=，即证lnln20111tttt+−−−，即证()1ln21ttt+−，即证1ln21ttt−+对()0,

1t恒成立，设()1ln2(01)1thtttt−=−+，()()()()222114'011thttttt−=−=++，所以()ht在()0,1t单调递增，()()10hth=，得证，所以212ekxx.