【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题1.1 集合的概念-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(6)页，238.253 KB，由小赞的店铺上传

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专题1.1集合的概念-重难点题型精讲1．元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A

，B，C，…表示．(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．2．元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．(2)互异性：一

个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．3．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．(2)不属于：如果a不是集合A的元素

，就说a不属于集合A，记作a∉A．4．常用的数集及其记法5．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物．6．描述法(1

)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这

个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．【题型1集合的基本概念】【方法点拨】给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，

没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素．【例1】（2021秋•雨花区期末）下列对象不能组成集合的是（）A．不超过20的质数B．π的近似值C．方程x2＝1的实数根D．函数y＝x2，x∈R的最小值【变式

1-1】（2021秋•鲤城区校级期中）以下各组对象不能组成集合的是（）A．中国古代四大发明B．地球上的小河流C．方程x2﹣7＝0的实数解D．周长为10cm的三角形【变式1-2】（2021春•广南县期中）下列各对象可以组成集合的是（）A．与1

非常接近的全体实数B．北附广南实验学校2020～2021学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．中国著名的数学家【变式1-3】（2021秋•大安市校级月考）有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角

形的全体．其中能构成集合的个数是（）A．2B．3C．4D．5【题型2判断元素与集合的关系】【方法点拨】直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．推理法：对于一些没有直接表示的

集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．【例2】（2021秋•河北区期末）下列关系中正确的个数是（）①12∈𝑄；②√2∉𝑅；③0∈N*；④π∈Z．A．1B．2C．3D．4【变式2-1】（2021秋•桂林期末）下列关系

中，正确的是（）A．﹣2∈{0，1}B．32∈𝑍C．π∈RD．5∈∅【变式2-2】（2021秋•岳阳期末）下列元素与集合的关系中，正确的是（）A．﹣1∈NB．0∉N*C．√3∈𝑄D．25∉𝑅【变式2-3】（2021秋•绿园区校级月考）设集合A＝{2，3，5}，B＝{2，

3，6}，若x∈A，且x∉B，则x的值为（）A．2B．3C．5D．6【题型3利用集合中元素的特异性求参数】【方法点拨】①集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；②构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同

的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．③利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．【例3】（2022•渭滨区校级模拟）设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A

，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2【变式3-1】（2021秋•兴宁区校级月考）若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为（）A．1B．2C．0D．1或2【变式3-2】（2021秋•大安市校级月考）已知集合A含有三

个元素2，4，6，且当a∈A，有6﹣a∈A，那么a为（）A．2B．2或4C．4D．0【变式3-3】（2021春•西湖区期中）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（）

A．2B．3C．0或3D．0，2，3均可【题型4用列举法表示集合】【方法点拨】①求出集合的元素；②把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次．③用花括号括起来．【例4】（2021秋•合肥期末）集合{x∈N|

x﹣2＜2}用列举法表示是（）A．{1，2，3}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4}D．{0，1，2，3}【变式4-1】（2021秋•昌吉州期末）集合𝐴={𝑥∈𝑁∗|63−𝑥∈𝑁∗}用列举法可以表示为（）A．{3，6}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣

2，﹣1，0，1，2}【变式4-2】（2021秋•重庆月考）集合{x∈N|x﹣4＜1}用列举法表示为（）A．{0，1，2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}【变式4-3】（2021秋•番禺区校级期中）将集合{（x，y）|{𝑥+𝑦=5

2𝑥−𝑦=1}表示成列举法，正确的是（）A．{2，3}B．{（2，3）}C．{x＝2，y＝3}D．（2，3）【题型5用描述法表示集合】【方法点拨】①用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集

、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．②用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．【例5】（2021秋•金山

区校级期中）用描述法表示所有偶数组成的集合．【变式5-1】（2021秋•浦东新区校级月考）用描述法表示被5整除的整数组成的集合．【变式5-2】（2021秋•长宁区校级月考）用描述法表示被3除余2的所有自然数组成的集合．【变式5-3】（2020秋•徐汇区校级月考）平面直角坐标系

中坐标轴上所有点的坐标组成的集合可以用描述法表示为．【题型6集合中的新定义问题】【方法点拨】根据题目所给的有关集合的新定义问题，结合集合的相关知识，进行转化求解即可.【例6】（2021秋•长寿区期末）设集合P＝{3，4，5

}，Q＝{6，7}，定义P⊗Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P⊗Q中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【变式6-1】（2021秋•秦淮区校级月考）设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8

}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为（）A．4B．5C．19D．20【变式6-2】（2021秋•黄陵县校级期末）设集合A＝{﹣2，1}，B＝{﹣1，2}，定义集合A⊗B＝{x|x＝x1x2，x1∈A，x2∈B

}，则A⊗B中所有元素之积为（）A．﹣8B．﹣16C．8D．16【变式6-3】（2021秋•黄陵县校级月考）定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{2，0}，B＝{0，8}，则集合A⊗B的所有元素之和为（）A．16B．18C．20D．22