【文档说明】江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.715 MB，由envi的店铺上传

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2024-2025学年第一学期高二年级期中学情调研测试数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线tan10x=的倾斜角为（）A.0B

.10C.90D.不存在【答案】C【解析】【分析】根据直线的方程，利用斜率和倾斜角的关系求解.【详解】因为直线tan10x=的斜率不存在，所以其斜率为90.故选：C.2.若直线3430xy+−=与直线610xmy+−=平行，则它们之间的距离

为（）A.1B.12C.15D.25【答案】B【解析】【分析】首先根据两直线平行求出8m=，再利用两平行线间距离公式求解即可.【详解】依题意可得3460m−=，解得8m=，则直线方程为6810xy+−=，而方程3430xy+−=，即6860+−=x

y，所以两条平行线间的距离为22611268d−+==+.故选：B.3.直线1axby+=与圆221xy+=有两个公共点，那么点(),ab与圆22+1xy=位置关系是（）A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.不能确定【答案】A的【解析】【分析】直线1axby+=与圆221xy+=

有两个公共点，可得||2211ab+，即为221ab+，由此可得点与圆的位置关系．【详解】因为直线1axby+=与圆221xy+=有两个公共点，所以有||2211ab+，即221ab+，因为点(,)ba与221xy+=的圆心的距离为22ab+，圆224xy+=的半径为1，所以点P在圆外

.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来.4.如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（）A.43mB.45mC.83mD.

85m【答案】D【解析】【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，过原点且垂直于y轴的直线为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220xpyp=−，分析可知点()8,4−在该抛物线上，求出p的值，

可得出抛物线的方程，将5y=−代入抛物线方程，即可得出结果.【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，过原点且垂直于y轴的直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220xpyp=−，由题意可知点()8,4−在抛物线上，所以

()6424p=−−，可得8p=，所以抛物线的方程为216xy=−，当水面下降1m后，即当5y=−时，()2165x=−−，可得45x=，因此，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为85m.故选：D.5.已知圆221:4Cxy+=和圆222:4470Cxyxy+−−+=，则两圆

的公切线条数为（）A1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】首先把圆的一般方程转化为标准方程，分别求出两圆圆心与半径，利用圆心距与半径和差大小，判断两圆的位置关系，可得圆的公切线的条数．【详解】已知圆221:4Cxy+=，圆心()10,0C，

半径12r=.圆222:4470Cxyxy+−−+=，即()()22221xy−+−=，圆心()22,2C，半径21r=.所以圆心距22122222CC=+=，12121,3rrrr−=+=，所以121212rrCCrr−+,所以两圆相交，故公切线的条数为2.故选：

B.6.已知抛物线24yx=，则抛物线上一点P到直线50xy−+=的最小距离为（）A.22B.4C.522D.5【答案】A.【解析】【分析】由题意可得当点P为平行于50xy−+=的直线且与抛物线相切的切点时，才能

取最小值，求出切线方程，即可得点P的坐标，即可得解.【详解】解：由题意可知，当平行于50xy−+=的直线与抛物线相切，且点P为切点时，P点到直线50xy−+=最小，设切线方程为0xym−+=，即yxm=+，由24yxmyx

=+=，可得2440yym−+=，所以16160m=−=，解得1m=，所以12xy==，即(1,2)P，所以点P到直线50xy−+=的距离|125|222d−+==.故选：A.7.椭圆具

有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆22:1168xyC+=，O为坐标原点，l是点()2,6P−处的切线，过左焦点1F作l的垂线，垂足为M，则OM=

（）的A.22B.42C.4D.8【答案】C【解析】【分析】延长1FM、2FP交于点N，由光学性质分析可知，则M为1FN的中点，且1PFPN=，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得OM的值.【详解】由椭圆22:1168xyC+=，则216a=，长轴长28a=.如图，在平面直角坐标系中，延长

21,FMFP交于点N，连接OM，由题意可知1FPMNPM=，又因为1PMFN⊥，则M为1FN的中点，且1PFPN=，所以221228FNPNPFPFPFa=+=+==，又因为O为12FF的中点，则O为12FNF△的中位

线，则2118422OMFN===.故选：C.8.已知斜率为155的直线l过双曲线()22:10yCxmm−=的左焦点F，且与C的左，右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为AB的中点，若OFP△是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A.2B.2C.3D.3

【答案】A【解析】【分析】由点差法得OPABkkm=，由条件知直线OP的倾斜角为AB倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线,ABOP的斜率，代入两直线的斜率关系式OPABkkm=，求得m，进而得离心率.【详解】由双

曲线()22:10yCxmm−=，可知2221,,1abmcm===+.设()()()112200,,,,,AxyBxyPxy,由,AB均在22:1yCxm−=上，P为AB的中点，得22112222mxmymxmy=+=

+，则()()()()12121212mxxxxyyyy−+=−+，由,AB分别在C的左，右两支，则120xx−，且120xx+，0121212121212022yyyyyyymxxxxxxx−+−−=

=−+，OPABkkm=.设直线AB的倾斜角为，则15tan5ABk==，为锐角，OFP△是以FP为底边的等腰三角形，则PFOOPF==，直线OP的倾斜角为2，则22tantan21tanOPk==−.222

tantantan21tanOPABkkm===−，由15tan5=代入得，22152531515m==−.所以椭圆的离心率为12cema==+=.故选：A.【点睛】结论点睛：中点弦定理：若直线与椭圆（双曲线）交于,AB不同两点，中点

为P（不为原点），且,ABOP斜率存在，则有21ABOPkke=−，其中O为坐标原点，e为曲线的离心率.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得

6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.直线的斜率越大，倾斜角越大B.直线32yx=−在y轴上的截距为2−C.直线310xy−+=的斜率为3D.若直线ykxb=+经过第一、二、四象限，则点(),kb在第二象限【答案】BD【解析】【分析】A

项举例直线斜率正负特例即可；B项求与y轴交点的纵坐标可得；C项化一般式方程为点斜式可得；D项结合图象判断0,0kb可得.【详解】A项，设两条直线斜率分别为11k=，21k=−，12kk，但斜率为1的直线倾斜角1π4=，而斜率为1−的

直线倾斜角为23π4=，12，故A错误；B项，直线32yx=−，令0x=，得2y=−，即直线在y轴上的截距为2−，故B正确；C项，直线310xy−+=方程可化为()313yx=+，所以直线的斜率为3

3，故C错误；D项，若直线ykxb=+经过第一、二、四象限，则0k，0b，所以点(),kb在第二象限，故D正确.故选：BD.10.已知椭圆1C和双曲线2C具有相同的焦点()11,0F−，()21,0F，点P是它们的一个公共点，且在圆221xy+=上，椭圆1C和双曲线2C的离心率分别为12,

ee，且213ee=，则下列说法正确的是（）A.163e=B.双曲线2C的方程为22221xy−=C.12PFF的面积为12D.12PFF的周长为222+【答案】ABC【解析】【分析】结合对称性，利用椭圆与双曲线的定义可得1212PFPFa+=，1222PFPFa−

=，再由点P在圆221xy+=上得2221244PFPFc+==，消去12,PFPF可得12,,aac的关系222122aac+=，即2212112ee+=，联立213ee=解得12,ee，进而可得1212,,,aabb，再依选

项逐个求解判断可得.【详解】由题意知，设焦距为2c，则1c=.设椭圆的长轴长为12a，短轴长为12b，双曲线的实轴长为22a，虚轴长为22b，根据对称性，不妨设椭圆与双曲线的交点P在第一象限，由椭圆的定义知，1212PFPFa+=，则()221214PFPFa+=由双曲线的定义知，1222

PFPFa−=，则()221224PFPFa−=由两式相加化简得2222121222PFPFaa+=+，点P在圆221xy+=上，12PFPF⊥，2221244PFPFc+==，则2221222aac+==，则2212112ee+

=，又213ee=，A项，联立2212211123eeee+==，解得163e=，22e=，故A正确；B项，由A可知，11163ea==，2212ea==，解得162a=，222a=，则2222211122bca=−=−=，

所以双曲线方程为22221xy−=，故B正确；C项，由1212PFPFa+=，1222PFPFa−=，则()()221212124PFPFPFPFPFPF+−−=22221262122aa=−=−=，所以12PFF的面积121122SPFPF==，故C正确；

D项，12PFF的周长为1212162222622PFPFFFac++=+=+=+，故D错误.故选：ABC.11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线22:232Cxyxy+=−就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的

是（）A.曲线C与直线yx=有3个公共点B.曲线C与圆225xy+=有4个公共点C.曲线C所围成的图形的面积为：8π233−D.若点P在曲线C上，点()0,2Q−，线段PQ的长度可能为4【答案】ABD【

解析】【分析】对于A，联立22232yxxyxy=+=−，根据解的个数即可判断；对于B，联立22225232xyxyxy+=+=−，可得2325xy−=，再代入225xy+=，得216|

|203||50xx−+=，由判别式及韦达定理，可得此方程有4个不同的根，即可判断；对于C，求出一个弓形OAB的面，则可求出曲线C所围成的图形的面积，即可判断；对于D，当点(23,0)P或(23,0)P

−，满足题意，即可判断.【详解】对于A，由22232yxxyxy=+=−，可得222(31)xx=−，所以2(31)xx=−，即2||(31)xx=−，解得0x=或31x=−，所以0x=或31x=−或13x=−，

所以曲线C与直线yx=有3个公共点，故正确；对于B，由22225232xyxyxy+=+=−，可得2325xy−=，则有532yx=−，平方得2225353||4yxx=−+，代入225xy+=，得225453||54xx−+=，即216||203||5

0xx−+=，因为400341658800=−=，2035350,016416=，所以关于||x的方程216||203||50xx−+=有两个不同的正根，从而得x有四个不同的解，所以曲线

C与圆225xy+=有4个公共点，故正确；对于C，22222222222320,0,02320,0,02322320,0,02320,0,0xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy+−+=+++=+=−++−=+−−=，如图所示：曲线C所围成的图形

的面积为四个全等弓形OAB的面积之和，设弓形OAB的面积为1S，因为AB所在圆的圆心为(3,1)D−，半径为2，23=OA,在ADO△中，44121cos2222ADO+−==−，(0,π)ADO，所以2π3ADO=

，所以扇形ADO的面积212π4π2233S==,123132ADOS==，所以14π33S=−，所以曲线C所围成的图形的面积为116π4433S=−，故错误；对于D，当P与(23,0)A或(23,0)−重合时，则22||(23)24PQ=+=，故正确.故选：ABD【

点睛】难点点睛：本题难点是对C选项的判断，求出一个弓形OAB的面积.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上.12.已知椭圆2218xym+=的焦点在x轴上，离心率为12，则实数m的值为

______.【答案】6【解析】【分析】利用椭圆方程中表示的,,abc及关系,即可求得m的值.【详解】由椭圆2218xym+=的焦点在x轴上，可知228,abm==，所以2228cabm=−=−，再由离心率12e=，即228184cma−==，解得6m=，故答案为：6.13.过点()0,2

P作直线l，使它被两条相交直线220xy−−=和30xy++=所截得的线段，恰好被点P平分，则直线l的方程为______.【答案】2360xy−+=【解析】【分析】设出直线l与直线1l，2l的交点坐标𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(

𝑥2,𝑦2)，然后根据中点坐标的相关性质得出21xx=−，214yy=−，再然后根据A在1l上以及B在2l上得出112222030xyxy−−=++=，解得A的坐标，由直线的的两点式方程即得.【详解】设直线1:220−−=lxy，2:30lxy++=设直线l夹在直线1l，2l之间的线

段为AB（A在1l上，B在2l上），设𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)，因为AB被点(0,2)P平分，所以120xx+=，124yy+=，于是21xx=−，214yy=−，由于A在1l上，B在2l上

，则112222030xyxy−−=++=，即1111220430xyxy−−=−+−+=解得13x=，14y=，即A的坐标是()3,4，则直线l的方程是2423yx−=−，即2360xy−+=．故答案为：2360xy−+=.14.若直线:30mxyt++=

上存在点Q，过点Q作圆()22:38Cxy−+=的两条切线，切点分别为,EF，且90EQF=，则实数t的取值范围为______.【答案】11,5−【解析】【分析】由已知得圆C的圆心及半径，由条件90EQF=，根据图形结合直线与圆相切性质得4

CQ=，可知点Q在以C为圆心，4为半径的圆上，结合题意将点的存在问题转化为直线与圆有公共点来解决，再由圆心到直线的距离与半径关系得出不等式，求解即可.【详解】圆()22:38Cxy−+=，圆心(3,0)C，半径22r=，如图

，连接,CECF，由90EQF=，结合切线的性质可得，22CECFr===，,CEQECFQF⊥⊥，又QEQF⊥，则平面四边形EQFC既是矩形，又是菱形，即为正方形.所以24CQCE==，即点Q在以

C为圆心，4为半径的圆上.所在圆的方程为22(3)16xy−+=，由题意若直线:30mxyt++=上存在点Q，满足90EQF=，则直线:30mxyt++=与圆22(3)16xy−+=有公共点，所以圆心()3,0C到直线m的距离()22334213ttd++==

+，即38t+，解得115t−，所以t的取值范围为11,5−．故答案为：11,5−．【点睛】关键点点睛：解决此题关键在于利用相切性质将条件90EQF=转化为点Q在定圆上运动，进而将点的存在问题转化为直线与圆有公共点来解决即可.四、解答题：

本大題共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABCV的顶点()2,0A−，()4,3B，()2,2C−.（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求经过点B，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线的方程.【答案

】（1）220xy+−=的（2）34yx=或2100xy+−=【解析】【分析】（1）求出直线AB斜率，由垂直可得高线CD斜率，由点斜式直线方程可得；（2）按截距是否为0分类讨论.当截距不为0时，设出截距式方

程代入点的坐标待定系数可得.【小问1详解】如图，过C作CDAB⊥，垂足为D，由题意知3014(2)2ABk−==−−，则2CDk=−，又(2,2)C−，故直线CD的方程为：()222yx+=−−，即220xy+−=，即AB边上的高所在直线的方

程为：220xy+−=；【小问2详解】由题意，设直线在y轴上的截距为a，则在x轴上的截距为2a，①当0a=时，由直线过()4,3B，则直线方程为34yx=，②当0a时，设直线方程为：12xyaa+=，代入点()4,3B，得4312aa+

=，解得5a=，则直线方程为1105xy+=，即2100xy+−=，综上所述，直线方程为：34yx=或2100xy+−=16.已知圆C的圆心()1,Cb在第一象限，半径为5，且经过直线320xy+−=与直线3260xy−−=的交点.（1）求

圆C的方程；（2）过点()1,3P−作圆C的切线，求切线的方程.【答案】（1）()()22125xy−+−=（2）25yx=−或21yx=−−【解析】【分析】（1）根据题意设圆的方程，求出两条直线的交点坐标，将交点坐标代入圆的方程即可；（2）分切线的斜率是否存在

两种情况讨论，根据圆心到切线的距离等于半径即可.【小问1详解】由圆C的圆心()1,Cb在第一象限，半径为5，可设圆C的方程为()()2215xyb−+−=，其中0b，联立3203260xyxy+−=−−=，解得两直线的交点为()2,0，由

()()()2221205b−+−=得24b=，又因为0b，所以2b=，圆心为()1,2，所以圆C的方程为()()22125xy−+−=；【小问2详解】①当切线的斜率不存在时，直线为1x=，此时，圆心()1,2

到直线的距离05d=，舍去；②当切线的斜率存在时，设直线方程为()31ykx+=−，即30kxyk−−−=，此时，圆心()1,2到直线的距离22235511kkdkk−−−===++，解得2k=，所以切线方程为25yx=−或21yx=−

−.17.已知拋物线1C的顶点在坐标原点，其焦点F与双曲线222:13xCy−=的上焦点重合，A，B为拋物线1C上两点.（1）求拋物线1C的标准方程及其准线方程；（2）若8AFBF+=，求线段AB的中点到x轴的

距离.【答案】（1）28xy=，2y=−（2）2【解析】【分析】（1）利用双曲线的焦点来求抛物线方程；（2）利用抛物线定义推导的焦半径公式为02pPFy=+，即可求解问题.【小问1详解】由题知双曲线222:13xCy−=

,所以221,3ab==，所以222134cab=+=+=，即双曲线的上焦点为()0,2，由抛物线的焦点为()0,2，可设抛物线1C的标准方程为：()220xpyp=，则22p=，4p=，所以抛物线1C的标准方程为：28xy=，其准线方程为：2y=−；【小问2详解】设()11,

Axy，()22,Bxy，线段AB的中点记为()00,Mxy，由8AFBF+=，结合抛物线的焦半径公式得：12228yy+++=，即124yy+=，所以12022yyy+==，即线段AB的中点到x轴的距离为2.18.已知()12,0F−，()22,0F

，点P满足122PFPF−=，记点P的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程；（2）直线l经过点(5,0)A，倾斜角为45，与轨迹E交于,CD两点（C在,AD之间），若ACAD=，R，求的值；（3）已知点()1,0T−，过点2F作直线m与轨迹E交于M，N两点，记直

线,TMTN的斜率分别为1k，2k，试问：12kk是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2213yx−=（2）14（3）是，1−【解析】【分析】（1）利用定义判断动点轨迹是双曲线，再利用双曲线中基本量的关系求解即可.（2）依据题意写出直线

方程，联立求出交点坐标，再结合给定条件求解即可.（3）用不同方法设出直线方程，再利用韦达定理求解，最后将结果代入12kk中，消去变量，得到定值即可.【小问1详解】因为122PFPF−=，所以点P的轨迹为以()()122,0,2

,0FF−为焦点的双曲线，设此双曲线方程为()222210,0xyabab−=，易知222ac==，又由2223bca=−=解得2213ab==，即轨迹E的方程为：2213yx−=；【小问2详解】因为直线l经过点(5,0)A，倾斜角为4

5，所以直线l的方程为5yx=−，联立22135yxyx−==−，解得23xy==−或712xy=−=−，故得点()2,3C−和点()7,12D−−，则()3,3AC=−−，()12,12AD=−−，由ACAD=得()()3,312,12−−

=−−，解得14=，【小问3详解】如图，法一：由题意得直线m不可能与x轴重合，设为：2xny=+，()11,Mxy，()22,Nxy，联立22132yxxny−==+得到()22311290nyny−++=，而2310n−，(

)222Δ144363136360nnn=−−=+由韦达定理得1221221231931nyynyyn−+=−=−，()()()12121212212121212113339yyyyyykkxx

nynynyynyy===+++++++()()22222229993113129993693193131nnnnnnnnn−====−−−−+−++−−，故12kk是为定值，且该定值为1−，法二：①当直线m的斜率

不存在时，直线方程为2x=，可得()2,3M，()2,3N−，此时121kk=−，②当直线m的斜率存在时，设直线方程为()2ykx=−，联立()22132yxykx−==−，得到()2222

34430kxkxk−+−−=而230k−，()()()4222Δ1643433610kkkk=+−+=+由韦达定理得2122212243433kxxkkxxk+=−+=−，所以()()()()()()22221212121212121212122224111

11kxxkxxkxxkyykkxxxxxxxx−−−++===+++++++()()222222222224324439143439kkkkkkkkkkk+−+−−===−+++−故12kk是为定值，且该定值为1−，综上所述，12kk为定值1−.19.已知椭圆(

)2222:10xyCabab+=的焦距为2，1F，2F分别为其左右焦点，O为原点，且点114,24P在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过左焦点1F的直线l与椭圆C交于A，B两点（异于左右顶点）

，M为线段AB的中点，①若90AOB=，求线段OM的长度；②求点A到直线OM的距离d的最小值.【答案】（1）2212xy+=（2）①325；②22【解析】【分析】（1）由焦距求c，代入点的坐标联立方程求解22,ab可得；（2）①设直线AB的方程为1xmy

=−，将条件90AOB=转化为12120OAOBxxyy=+=，联立直线与椭圆方程，由韦达定理将根的关系转化为系数m的方程，求解可得；②由韦达定理用m分别表示弦中点M坐标与12yy−，利用面积关系2AOMAOBSS=△△得d关于m的函数关系

，再求函数最值可得.【小问1详解】由题知，22c=，即1c=，221ab−=，由点114,24P在椭圆C上，代入椭圆方程2222:1xyCab+=得，2214116411bb+=+，解得21b=，则2

2a=，故椭圆C的标准方程为：2212xy+=.【小问2详解】①由题意可知，直线AB不与y轴垂直，且经过点𝐹1(−1,0)，所以可设直线AB的方程为1xmy=−，并设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)由221,12xmyxy=−+=得()222210m

ymy+−−=.则()2Δ810m=+，12222myym+=+，12212yym−=+.因为90AOB=，则0OAOB=，即12120xxyy+=，即()()()()2121212121111mymyyymyymyy−−+=+−++()

22222212212022mmmmmm−+−++−===++，解得212m=，22m=.由()12122422xxmyym−+=+−=+，所以AB的中点M为222,22mmm−++，即点42,55M−

，所以325OM=；②由①可知AB的中点M为222,22mmm−++，则2222222+4+=222mmOMmmm−=+++，且直线OM的斜率为2m−，所以直线OM的方程为20

mxy+=.设点A到直线OM的距离为d，因为点M是弦AB的中点，所以点B到直线OM的距离也为d，又因为()2212121222214422myyyyyymm−−=+−=−++222212mm+=+，由2AOMAOBSS=△△知，112112

22OMdOFyy=−，所以()222222141222mmdmm++=++，解得22214mdm+=+，由2222132144mdmm+==−++，令24,4tmt=+，则3()1gtt=−，由()gt在)4,

+单调递增，得min1()(4)2gtg==，即当0m=时，min22d=.即点A到直线OM的距离d的最小值为22.【点睛】方法点睛：解析几何中面积求解问题中，当三角形某条边过定点时，可以把三角形某个定顶点和该定点为边，转化为定底边的两个三

角形面积之和，从而简化运算.